تابع (فصل 5 ریاضی 1) (علوم تجربی)

تابع — از تعریف رسمی تا وارون‌پذیری

فصل پنجم ریاضی ۱ زبان تابع را از صفر می‌سازد: چه چیزی تابع است، دامنه و بردش چیست، چه انواعی دارد، و چطور نمودارش را جابه‌جا کنیم.

تعریف رسمی و بازنمایی‌ها

تابع از $A$ به $B$ رابطه‌ای است که به هر عضو $A$ دقیقاً یک عضو از $B$ نسبت می‌دهد:

$A$ دامنه و $B$ همدامنه نام دارند. چهار روش نمایش هست: جدول، نمودار پیکانی، زوج مرتب، و نمودار مختصاتی. در نمایش زوج‌مرتبی، معیار تابع‌بودن این است که هیچ دو زوج متمایز، مؤلفهٔ اول یکسان نداشته باشند: $(a,b)\in f$ و $(a,c)\in f \implies b=c$. در نمودار، معیار خط عمودی همین شرط را بازمی‌گوید: اگر هر خط موازی محور $y$ نمودار را در حداکثر یک نقطه قطع کند، آن نمودار تابع است. نکتهٔ مهمی که در کنکور بارها امتحان می‌شود: این‌که دو عضو مختلف $A$ به یک عضو مشترک در $B$ نظیر شوند، هیچ مشکلی ندارد — فقط تکرارِ ورودی با خروجی متفاوت، تابع‌بودن را نقض می‌کند.

دامنه و برد

از نمایش زوج‌مرتبی: دامنه مجموعهٔ مؤلفه‌های اول و برد مجموعهٔ مؤلفه‌های دوم است؛ همیشه $\text{برد}\subseteq\text{همدامنه}$، اما لزوماً برابر نیستند. برای توابع جبری، دامنهٔ طبیعی از سه محدودیت اصلی به دست می‌آید:

مثال ترکیبی: $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x-3}$ نیاز دارد $x\ge-1$ و $x\ne3$، پس دامنه $[-1,3)\cup(3,+\infty)$ است. برای یافتن برد، رایج‌ترین روش تحلیل جبری است: $y=f(x)$ را بر حسب $x$ حل می‌کنیم و می‌بینیم چه مقادیر $y$ جواب حقیقی می‌دهند؛ برای $f(x)=x^2+1$، از $x^2=y-1$ نتیجه می‌شود $y\ge1$، یعنی برد $[1,+\infty)$.

توابع پایه

تابع خطی $f(x)=ax+b$ ($a\ne0$) دامنه و بردش $\mathbb{R}$ است و یک‌به‌یک است. معادلهٔ آن از دو نقطه با $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ و $b=y_1-ax_1$ به دست می‌آید. تابع همانی $f(x)=x$ دامنه‌اش با بردش برابر است. تابع ثابت $f(x)=k$ بردی تک‌عضوی ($\{k\}$) دارد. تابع قدرمطلق $f(x)=|x|$ دامنه‌اش $\mathbb{R}$ و بردش $[0,+\infty)$ است، با نمودار $V$-شکل و محور تقارن $x=0$. و تابع درجهٔ دوم $f(x)=ax^2+bx+c$ با فرم رأسی $f(x)=a(x-h)^2+k$ نوشته می‌شود ($h=-\frac{b}{2a}$)، و بردش:

توابع قطعه‌ای

تابعی که در بخش‌های مختلف دامنه با فرمول‌های متفاوت تعریف می‌شود؛ مثلاً تعرفهٔ تلفن $f(t)=2000$ برای $0<t\le3$ و $f(t)=2000+1000(t-3)$ برای $t>3$. برای یافتن برد چنین تابعی، برد هر قطعه را جدا حساب و اتحادشان را می‌گیریم — برای $f(x)=x+2$ در $x\ge1$ و $f(x)=-x$ در $x<1$، برد کل $(-1,+\infty)$ می‌شود.

انتقال توابع

با تغییر فرمول، نمودار جابه‌جا می‌شود:

دام رایج کنکور: $f(x+k)$ یعنی انتقال به چپ، نه راست؛ و $f(x-k)$ یعنی انتقال به راست. ترکیب هر دو، $g(x)=f(x-h)+k$، رأس تابع پایه را از $(0,0)$ به $(h,k)$ می‌برد. بازتاب هم دو نوع دارد: $-f(x)$ نسبت به محور $x$ و $f(-x)$ نسبت به محور $y$.

یک‌به‌یکی، پوشایی و تابع وارون

تابع یک‌به‌یک است اگر $f(a)=f(b)\implies a=b$؛ با معیار خط افقی تشخیص داده می‌شود (هر خط افقی حداکثر یک نقطه از نمودار را قطع کند). $f(x)=x^2$ یک‌به‌یک نیست چون $f(2)=f(-2)=4$. تابع پوشا از $A$ به $B$ یعنی $\text{برد}(f)=B$. وارون فقط برای تابع یک‌به‌یک تعریف می‌شود:

روش یافتنش: $y=f(x)$ را بر حسب $x$ حل کن، سپس جای $x$ و $y$ را عوض کن. مثال: از $f(x)=2x-3$ به $f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}$ می‌رسیم. نمودار $f^{-1}$ بازتاب نمودار $f$ نسبت به خط $y=x$ است.

زوج و فرد بودن، و ترکیب توابع (فراتر از کتاب)

تابع زوج یعنی $f(-x)=f(x)$ برای همهٔ $x$ (نمودار نسبت به محور $y$ متقارن، مثل $x^2$ یا $|x|$)؛ تابع فرد یعنی $f(-x)=-f(x)$ (نمودار نسبت به مبدأ متقارن، مثل $x^3-x$). ترکیب دو تابع:

که به‌طور کلی با $(f\circ g)(x)$ برابر نیست؛ مثلاً برای $f(x)=x^2$ و $g(x)=x+3$: $(g\circ f)(x)=x^2+3$ اما $(f\circ g)(x)=(x+3)^2$.

نکات کنکوری تکمیلی: برای تشخیص سریع تابع‌بودن در نمایش زوج‌مرتبی، دنبال مؤلفهٔ اول تکراری با مقادیر متفاوت بگرد — مثلاً $\{(1,5),(2,9),(2,5)\}$ تابع نیست چون $2$ دو خروجی متفاوت دارد. برای برد تابع درجهٔ دوم روی یک بازهٔ محدود $[m,n]$، اول باید بررسی کرد که آیا رأس در آن بازه است یا نه: اگر باشد و $a>0$، حداقل مقدار همان $k$ رأس است و حداکثر برابر $\max\{f(m),f(n)\}$؛ اگر رأس بیرون بازه باشد، فقط کافی است دو سر بازه را بررسی کرد.

دامنه در مسائل کاربردی و توابع چندجمله‌ای

در مسائل کاربردی، دامنه را باید بر اساس معنای فیزیکی مسئله تعیین کرد، نه فقط شرط جبری خام. مثال شمع: شمعی با ارتفاع اولیهٔ ۲۰ سانتی‌متر که هر ساعت ۴ سانتی‌متر می‌سوزد، با تابع $f(t)=20-4t$ مدل می‌شود؛ از نظر جبری دامنه‌اش $\mathbb{R}$ است، اما از نظر فیزیکی فقط $0\le t\le5$ معنا دارد (چون شمع در $t=5$ تمام می‌شود) — پس دامنهٔ کاربردی $[0,5]$ و برد $[0,20]$ است. توابع چندجمله‌ای عمومی به فرم $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ نوشته می‌شوند و درجه‌شان بالاترین توان $x$ است؛ همهٔ آن‌ها روی $\mathbb{R}$ تعریف‌شده‌اند، از تابع خطی (درجه ۱) تا درجهٔ دوم و بالاتر.

محاسبهٔ مقدار تابع در نقاط ترکیبی

برای محاسبهٔ $f(a)$، عدد $a$ جای همهٔ $x$‌های فرمول قرار می‌گیرد. نمونهٔ پیچیده‌تر، جایگذاری عبارت به‌جای $x$: برای $g(x)=2x^2-3x+1$:

در توابع قطعه‌ای، اول باید تعیین کرد کدام شرط برای ورودی برقرار است، سپس فرمول متناظر جایگذاری شود؛ مثلاً برای $f(x)=x^2$ در $x\ge0$ و $f(x)=-3x$ در $x<0$: $f(-2)=-3(-2)=6$.

دامنهٔ ترکیبی رادیکال و کسر

وقتی رادیکال و کسر با هم ترکیب می‌شوند، هر دو شرط باید همزمان برقرار باشند. برای $f(x)=\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{x-1}$: از رادیکال $4-x^2\ge0 \Rightarrow -2\le x\le2$، و از مخرج $x\ne1$؛ در نتیجه دامنه $[-2,1)\cup(1,2]$ است — نمونه‌ای که نشان می‌دهد شرط‌های مختلف باید جداگانه استخراج و بعد مشترک گرفته شوند.

توابع یکنوا و تابع گام (فراتر از کتاب)

تابع صعودی یعنی $x_1<x_2\implies f(x_1)<f(x_2)$؛ نزولی برعکس آن است. $f(x)=x^2$ خودش هم صعودی هم نزولی نیست، بلکه روی $(-\infty,0]$ نزولی و روی $[0,+\infty)$ صعودی است — و هر تابع یکنوای اکید (کاملاً صعودی یا کاملاً نزولی)، لزوماً یک‌به‌یک هم هست. تابع گام یا جزء صحیح، $f(x)=\lfloor x\rfloor$، بزرگ‌ترین عدد صحیح کوچک‌تر یا مساوی $x$ را برمی‌گرداند: $\lfloor3.7\rfloor=3$ و $\lfloor-1.2\rfloor=-2$؛ کاربرد آن در تعرفه‌های پله‌ای و هزینهٔ ارسال بسته دیده می‌شود.

دامنهٔ ترکیب دو تابع

برای $(g\circ f)(x)$، دامنه فقط مقادیری از $x$ در دامنهٔ $f$ است که $f(x)$ هم در دامنهٔ $g$ باشد:

این شرط اغلب در ترکیب یک تابع رادیکالی با تابع کسری، دامنهٔ نهایی را از دامنهٔ هرکدام به‌تنهایی محدودتر می‌کند.

نکات کنکوری تکمیلی: برای معیار خط عمودی و افقی با هم، جدول ساده‌ای کمک می‌کند: خط عمودی تابع‌بودن را می‌سنجد و خط افقی یک‌به‌یک‌بودن را. تابع همانی رابطهٔ $f(f(x))=x$ را برقرار می‌کند و وارونش خودش است ($f^{-1}(x)=x$)؛ تابع ثابت اگر $k\ne x$ باشد وارون ندارد چون یک‌به‌یک نیست. و برای معادلهٔ تابع خطی از دو مقدار معلوم، مثلاً $f(0)=7$ و $f(2)=11$: شیب $a=\frac{11-7}{2}=2$ و عرض از مبدأ $b=7$، پس $f(x)=2x+7$.