تابع، دامنه و برد و وارون (ریاضی ۱)

تابع، دامنه و برد و وارون — خلاصهٔ فصل ۵ ریاضی ۱

تابع از کجا خراب می‌شود؟

ساده‌ترین راه فهمیدن تابع، شناختن دو حالتی است که تابع‌بودن را از بین می‌برند: وقتی یک ورودی دو خروجی متفاوت داشته باشد، و وقتی یک ورودی اصلاً خروجی نداشته باشد. اگر هیچ‌کدام رخ ندهد، رابطه تابع است:

$A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دامنه و $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همدامنه نام دارد، و $\exists!$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی «وجود دارد و یکتاست». دقت کن که شرط تابع‌بودن دربارهٔ همهٔ اعضای $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه بعضی‌شان. نکته‌ای که مرتب در آزمون‌ها سنجیده می‌شود: اینکه دو ورودی متفاوت به یک خروجی مشترک برسند هیچ اشکالی ندارد — فقط تکرارِ ورودی با خروجی‌های متفاوت ممنوع است.

همین معیار در چهار بازنمایی تابع لباس‌های مختلف می‌پوشد: در نمودار پیکانی از هر عضو دامنه دقیقاً یک پیکان خارج می‌شود؛ در زوج مرتب شرط این است که $(a,b)\in f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(a,c)\in f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه دهد $b=c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ در نمودار مختصاتی همان چیزی است که به آن معیار خط عمودی می‌گویند: هر خط موازی محور $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید نمودار را در حداکثر یک نقطه قطع کند. با همین معیار، دایرهٔ $x^2+y^2=r^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و خط $x=c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تابع نیستند ولی سهمی $y=x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تابع است. جدول هم چهارمین بازنمایی است.

دام ضابطه‌های ضمنی: گاهی رابطه‌ای با ظاهر ساده تابع نیست. برای $|y-1|+x+3=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اگر $x=-5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگذاریم به $|y-1|=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسیم، یعنی $y=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $y=-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — دو خروجی برای یک ورودی، پس تابع نیست. معیار همیشگی: «آیا حل‌کردن رابطه برای $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً یک جواب می‌دهد؟»

معادلات تابعی

گاهی به‌جای ضابطهٔ $f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، رابطه‌ای مثل $f(2x-1)=4x+7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌دهند. برای یافتن $f(3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نباید عدد ۳ را جای $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی گذاشت؛ باید اول داخل پرانتز را برابر ۳ قرار داد: از $2x-1=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسیم به $x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و سپس $f(3)=4(2)+7=15$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر خودِ $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در نقطهٔ هدف در طرف راست هم ظاهر شود (مثل $f(x-1)=x^2+3x-f(4)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، با جای‌گذاری مناسب یک معادلهٔ جبری سادهٔ برحسبِ همان مقدار به دست می‌آید.

جای‌گذاری عبارت به‌جای عدد: در محاسبهٔ $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی یک عبارت، همان عبارت جای تمام $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی‌ها می‌نشیند؛ برای $g(x)=2x^2-3x+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $g(t+1)=2(t+1)^2-3(t+1)+1=2t^2+t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. و همیشه یادت باشد که $f(a)=b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً یعنی نقطهٔ $(a,b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی نمودار $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قرار دارد.

دامنهٔ طبیعی: سه ممنوعه

وقتی دامنه صریحاً گفته نشده، بزرگ‌ترین زیرمجموعهٔ $\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که تابع در آن تعریف می‌شود دامنه است. عملاً سه محدودیت کار را تعیین می‌کند:

وقتی چند شرط با هم می‌آیند، هرکدام را جدا بنویس و در آخر اشتراک بگیر. برای $f(x)=\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{x-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از رادیکال $-2\le x\le2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و از مخرج $x\ne1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به دست می‌آید، پس دامنه $[-2,1)\cup(1,2]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

برد و سه راه یافتنش

برد مجموعهٔ خروجی‌های واقعی تابع است و همیشه $\text{برد}\subseteq\text{همدامنه}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، اما لزوماً برابر نیست. سه مسیر برای یافتنش:

۱. از نمودار: تصویر نمودار روی محور $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (و دامنه، تصویرش روی محور $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). نقاط توپر داخل دامنه و نقاط توخالی بیرون آن‌اند.
۲. تحلیل جبری: $y=f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را برحسب $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حل کن و ببین برای کدام $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جواب حقیقی وجود دارد. مثلاً از $y=x^2+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسیم به $x^2=y-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و شرط $y\ge1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی برد $[1,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
۳. از خواص تابع: چون همیشه $|x|\ge0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، برد $f(x)=|x|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بدون هیچ محاسبه‌ای $[0,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

برای تابع قطعه‌ای، برد هر قطعه را جدا حساب کن و اتحاد بگیر؛ گاهی یکی زیرمجموعهٔ دیگری است و اتحاد ساده می‌شود. برای $f(x)=x+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $x\ge1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $f(x)=-x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $x<1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، بردها $[3,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(-1,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی‌اند و برد کل $(-1,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود.

دو تابع کِی برابرند؟

برابری ضابطه کافی نیست؛ دامنه‌ها هم باید یکی باشند. $f(x)=x+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پس از ساده‌سازی ضابطهٔ یکسانی دارند، ولی $D_f=\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $D_g=\mathbb{R}-\{1\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ پس دو تابع متفاوت‌اند.

در مسائل کاربردی هم دامنه را معنای مسئله تعیین می‌کند نه فقط جبر: شمعی با ارتفاع $f(t)=20-4t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از نظر جبری روی کل $\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعریف است، اما فقط $[0,5]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی معنا دارد چون در $t=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تمام می‌شود (برد $[0,20]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). هزینهٔ ارسالی با $C(x)=15000+8000x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و سقف وزن ۲۰ کیلوگرم، دامنهٔ کاربردی $(0,20]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد.

خانوادهٔ توابع آشنا

چندجمله‌ای $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $a_n\ne0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درجهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد و دامنه‌اش همیشه $\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. خطی $f(x)=ax+b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $a\ne0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، دامنه و برد $\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، شیب $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و همیشه یک‌به‌یک؛ از دو نقطه $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b=y_1-ax_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ روی بازهٔ $[m,n]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم بردش $[f(m),f(n)]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است اگر $a>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $[f(n),f(m)]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اگر $a<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر داده‌ها جدولی باشند، خطی‌بودن یعنی شیبِ محاسبه‌شده از هر دو زوج دلخواه دقیقاً یکسان باشد. همانی $f(x)=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دامنه و بردش برابر است و $f(f(x))=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. ثابت $f(x)=k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بردِ تک‌عضوی $\{k\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد؛ مستقل‌بودن خروجی از ورودی نقض تابع‌بودن نیست.

قدرمطلق $f(x)=|x|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نمودار $V$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی-شکل با رأس مبدأ و برد $[0,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد. خواص پرکاربردش: $|xy|=|x||y|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و نامساوی مثلث $|x+y|\le|x|+|y|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. در فرم عمومی $f(x)=k|x-h|+t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رأس در $(h,t)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است — مراقب علامت باش، در $|x-h|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رأس روی $+h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌افتد.

قطعه‌ای یعنی ضابطه‌های متفاوت روی بخش‌های متفاوت دامنه، مثل تعرفهٔ تلفن. در نقطهٔ مرزی فقط ضابطه‌ای معتبر است که شرطش آن نقطه را در بر بگیرد: برای $f(x)=x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $x\ge0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $f(x)=-3x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $x<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، مقدار $f(0)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از ضابطهٔ اول می‌آید و $f(-2)=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از دومی.

گویا کسری از دو چندجمله‌ای است و دامنه‌اش $\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی منهای ریشه‌های مخرج. حالت خاص پرکاربردش هموگرافیک است:

با تقسیم چندجمله‌ای، $\frac{2x+1}{x-3}=2+\frac{7}{x-3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود و چون کسر باقی‌مانده هرگز صفر نمی‌شود، مقدار $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هرگز ساخته نمی‌شود. قاعدهٔ سریع: دامنه $\mathbb{R}-\{-\frac{d}{c}\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و برد $\mathbb{R}-\{\frac{a}{c}\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — یعنی نسبت ضرایب $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نه اعداد دیگر ضابطه.

درجهٔ دوم $f(x)=ax^2+bx+c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را با فرم رأسی $a(x-h)^2+k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌نویسیم که $h=-\frac{b}{2a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $k=\frac{4ac-b^2}{4a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ اگر ریشه‌ها معلوم باشند، $h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً وسط دو ریشه است و این میان‌بر سریع‌تر جواب می‌دهد. برد آن $[k,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای $a>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(-\infty,k]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای $a<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ مثلاً برد $f(x)=-2(x-3)^2+5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $(-\infty,5]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. روی بازهٔ محدود $[m,n]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اول ببین رأس داخل بازه هست یا نه: اگر داخل باشد یک سرِ برد را رأس می‌سازد و سر دیگر را بزرگ‌ترین مقدار دو انتها؛ اگر بیرون باشد تابع روی کل بازه یکنواست و فقط دو انتها کافی است.

تبدیل نمودارها

به‌جای نقطه‌یابی دوباره، نمودار تابع پایه را جابه‌جا می‌کنیم:

دام رایج: $f(x+k)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی انتقال به چپ است نه راست، و $f(x-k)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به راست — برعکس شهود اول.

وقتی چند تبدیل با هم می‌آیند و می‌خواهیم از $y=f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $y=k\,f(ax+b)+h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برسیم، ترتیب مهم است: اول انتقال افقی ($b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، بعد کشش یا انقباض افقی ($a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و اگر منفی بود قرینه نسبت به $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، بعد کشش عمودی ($k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و اگر منفی بود قرینه نسبت به $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و در آخر انتقال عمودی ($h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). اثر همین تبدیل روی یک نقطه هم قابل ردیابی است: اگر $(a,b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $y=f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، پس از $y=k\,f(x-h)+t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $(a+h,\ kb+t)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رود.

نگاهی به جلو (فراتر از کتاب)

این مفاهیم در فصل تابعِ ریاضی ۳ عمیق می‌شوند، اما آشنایی اولیه‌شان اینجا مفید است. تابع یک‌به‌یک است اگر $f(a)=f(b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه دهد $a=b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ با معیار خط افقی تشخیص داده می‌شود و $f(x)=x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی آن را ندارد چون $f(2)=f(-2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. تابع پوشا یعنی برد با همدامنه برابر باشد. وارون فقط برای تابع یک‌به‌یک تعریف می‌شود: $f^{-1}(y)=x\iff f(x)=y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ روش یافتنش حل $y=f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برحسب $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و سپس جابه‌جایی نام متغیرهاست، و نمودارش بازتاب $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نسبت به خط $y=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. تابع زوج یعنی $f(-x)=f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (تقارن نسبت به محور $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و فرد یعنی $f(-x)=-f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (تقارن نسبت به مبدأ). تابع یکنوا (اکیداً صعودی یا نزولی) حتماً یک‌به‌یک است، هرچند $f(x)=x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط روی هر یک از دو نیم‌محور یکنواست. تابع گام $\lfloor x\rfloor$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بزرگ‌ترین عدد صحیح کوچک‌تر یا مساوی $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را می‌دهد ($\lfloor3.7\rfloor=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\lfloor-1.2\rfloor=-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و در تعرفه‌های پله‌ای کاربرد دارد. و ترکیب $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اول $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و بعد $g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را اعمال می‌کند و معمولاً با $(f\circ g)(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر نیست.