پرش به محتوای اصلی

مثلثات (فصل 4 ریاضی 2) (علوم تجربی)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

درس اول: واحدهای اندازه‌گیری زاویه

رادیان: اگر روی دایره‌ای به شعاع rr، طول کمانی درست برابر خود rr باشد، زاویه مرکزی روبه‌روی آن را یک رادیان می‌نامیم.

فرمول اساسی رادیان:

α=lr⟺l=rα\alpha = \frac{l}{r} \quad \Longleftrightarrow \quad l = r\alpha

که ll طول کمان، rr شعاع و α\alpha زاویه مرکزی بر حسب رادیان است (باید هم‌واحد باشند).

مثال: در دایره‌ای به شعاع ۱۰ سانتی‌متر، کمانی به طول ۸ سانتی‌متر زاویه مرکزی:

α=lr=810=0.8 رادیان\alpha = \frac{l}{r} = \frac{8}{10} = 0.8 \text{ رادیان}

تبدیل درجه به رادیان و برعکس: چون π\pi رادیان =180°= 180°:

R=D×π180D=R×180πR = D \times \frac{\pi}{180} \qquad D = R \times \frac{180}{\pi}

نمونه‌های پرکاربرد: 30°=π630° = \dfrac{\pi}{6}، 45°=π445° = \dfrac{\pi}{4}، 60°=π360° = \dfrac{\pi}{3}، 90°=π290° = \dfrac{\pi}{2}، 180°=π180° = \pi، 270°=3π2270° = \dfrac{3\pi}{2}، 360°=2π360° = 2\pi.

زوایای هم‌انتها: دو زاویه α\alpha و β\beta را هم‌انتها گوییم اگر اضلاع انتهایی‌شان روی دایره مثلثاتی بر هم منطبق شوند:

α−β=2kπ(k∈Z)\alpha - \beta = 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

مثلاً 405°405° و 45°45° هم‌انتهایند، چون 405°−45°=360°405° - 45° = 360°.

ربع زاویه: 0°0° تا 90°90° ربع اول، 90°90° تا 180°180° ربع دوم، 180°180° تا 270°270° ربع سوم، 270°270° تا 360°360° ربع چهارم. برای زوایای بزرگ‌تر از 360°360° یا منفی، ابتدا هم‌انتهای آن در [0°,360°)[0°,360°) را پیدا می‌کنیم.

درس دوم: روابط تکمیلی نسبت‌های مثلثاتی

روی دایره مثلثاتی (شعاع r=1r=1)، برای نقطه P(x,y)P(x,y) متناظر با زاویه α\alpha:

sin⁡α=y,cos⁡α=x,tan⁡α=yx,cot⁡α=xy\sin\alpha = y, \quad \cos\alpha = x, \quad \tan\alpha = \frac{y}{x}, \quad \cot\alpha = \frac{x}{y}

رابطه اساسی فیثاغورس:

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
1+tan⁡2α=1cos⁡2α(cos⁡α≠0),1+cot⁡2α=1sin⁡2α(sin⁡α≠0)1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} \quad (\cos\alpha \neq 0), \qquad 1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} \quad (\sin\alpha \neq 0)

علامت نسبت‌ها در هر ربع (قاعده حفظی «همه سینوس تانژانت کسینوس»): ربع اول همه مثبت؛ ربع دوم فقط sin⁡\sin مثبت؛ ربع سوم فقط tan⁡\tan (و cot⁡\cot) مثبت؛ ربع چهارم فقط cos⁡\cos مثبت.

مثال: اگر sin⁡α=−13\sin\alpha = -\dfrac{1}{3} و انتهای کمان α\alpha در ربع سوم باشد:

cos⁡2α=1−19=89  ⟹  cos⁡α=−223(در ربع سوم منفی)\cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \implies \cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \quad (\text{در ربع سوم منفی})
tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=−13−223=24\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{4}

روابط زوایای خاص (خلاصه):

رابطه sin⁡\sin cos⁡\cos tan⁡\tan
−α-\alpha −sin⁡α-\sin\alpha cos⁡α\cos\alpha −tan⁡α-\tan\alpha
π−α\pi - \alpha sin⁡α\sin\alpha −cos⁡α-\cos\alpha −tan⁡α-\tan\alpha
π+α\pi + \alpha −sin⁡α-\sin\alpha −cos⁡α-\cos\alpha tan⁡α\tan\alpha
π2−α\frac{\pi}{2} - \alpha cos⁡α\cos\alpha sin⁡α\sin\alpha cot⁡α\cot\alpha

تکنیک ساده‌سازی سریع: زاویه را به بازه [0°,360°)[0°,360°) ببر و به شکل n⋅90°±α0n \cdot 90° \pm \alpha_0 بنویس (α0\alpha_0 حاد). اگر ضریب ۹۰° فرد باشد (90°,270°90°,270°) نسبت تغییر می‌کند (sin⁡↔cos⁡\sin \leftrightarrow \cos)؛ اگر زوج باشد (180°,360°180°,360°) نسبت تغییر نمی‌کند. سپس علامت را از روی ربع اصلی تعیین کن.

مثال: sin⁡315°=sin⁡(4×90°−45°)\sin 315° = \sin(4\times90° - 45°)؛ ضریب ۴ زوج است پس نسبت ثابت می‌ماند؛ چون 315°315° در ربع چهارم است، sin⁡\sin منفی:

sin⁡315°=−sin⁡45°=−22\sin 315° = -\sin 45° = -\frac{\sqrt{2}}{2}

فرمول‌های جمع و تفاضل زوایا (فراتر از کتاب، مهم کنکور):

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta
cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

فرمول‌های دو برابر زاویه:

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha
cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1

درس سوم: توابع مثلثاتی

تابع سینوس y=sin⁡xy=\sin x: دامنه R\mathbb{R}، برد [−1,1][-1,1]، تناوب 2π2\pi، تابع فرد (sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin x)، صفرهایش در x=kπx=k\pi، بیشینه 11 در x=π2+2kπx=\frac{\pi}{2}+2k\pi و کمینه −1-1 در x=3π2+2kπx=\frac{3\pi}{2}+2k\pi. روی [0,π2][0,\frac{\pi}{2}] افزایشی و مثبت، روی [π2,π][\frac{\pi}{2},\pi] کاهشی و مثبت، روی [π,3π2][\pi,\frac{3\pi}{2}] کاهشی و منفی، روی [3π2,2π][\frac{3\pi}{2},2\pi] افزایشی و منفی است.

تابع کسینوس y=cos⁡xy=\cos x: دامنه R\mathbb{R}، برد [−1,1][-1,1]، تناوب 2π2\pi، تابع زوج (cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x)، صفرهایش در x=π2+kπx=\frac{\pi}{2}+k\pi، بیشینه 11 در x=2kπx=2k\pi و کمینه −1-1 در x=π+2kπx=\pi+2k\pi.

جدول نسبت‌های زوایای پرکاربرد:

α\alpha 00 π6\frac{\pi}{6} π4\frac{\pi}{4} π3\frac{\pi}{3} π2\frac{\pi}{2}
sin⁡α\sin\alpha 00 12\frac{1}{2} 22\frac{\sqrt{2}}{2} 32\frac{\sqrt{3}}{2} 11
cos⁡α\cos\alpha 11 32\frac{\sqrt{3}}{2} 22\frac{\sqrt{2}}{2} 12\frac{1}{2} 00

نکته کنکوری: برای محاسبه هر نسبت مثلثاتی، همیشه اول زاویه را هم‌انتها به بازه [0°,360°)[0°,360°) ببر، بعد با تکنیک ساده‌سازی به یک زاویه حاد آشنا برگردان و در آخر علامت را از ربع اصلی بگیر — این سه گام تقریباً همه سؤال‌های نسبت مثلثاتی کنکور را حل می‌کند.

نمونه تست

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. اگر tan⁡α=12\tan\alpha=\frac{1}{2}، مقدار tan⁡2α\tan2\alpha کدام است؟

  • 43\frac{4}{3}
  • 23\frac{2}{3}
  • 34\frac{3}{4}
  • 13\frac{1}{3}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از فرمولِ tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} استفاده می‌کنیم. پس tan⁡2α=2×121−14=134=43\tan2\alpha=\frac{2\times\frac12}{1-\frac14}=\frac{1}{\frac34}=\frac43. «43\frac43» درست است. رد گزینه‌های غلط: سایر گزینه‌ها از جای‌گذاریِ اشتباه در فرمول یا فراموش‌کردنِ توانِ دوم در مخرج حاصل می‌شوند. تلهٔ تستی: در فرمولِ تانژانتِ دوبرابر، مخرج 1−tan⁡2α1-\tan^2\alpha است نه 1−tan⁡α1-\tan\alpha؛ فراموش‌کردنِ توانِ دو یک خطایِ بسیار رایج است.

2. اگر x=5π4x=\frac{5\pi}{4}، مقدار tan⁡x−sin⁡x\tan x-\sin x کدام است؟

  • 1+221+\frac{\sqrt2}{2}
  • 1−221-\frac{\sqrt2}{2}
  • −1+22-1+\frac{\sqrt2}{2}
  • −1−22-1-\frac{\sqrt2}{2}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

در زاویهٔ 5π4=225∘\frac{5\pi}{4}=225^\circ (ربعِ سوم) داریم tan⁡x=1\tan x=1 و sin⁡x=−22\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}. بنابراین tan⁡x−sin⁡x=1−(−22)=1+22\tan x-\sin x=1-(-\frac{\sqrt2}{2})=1+\frac{\sqrt2}{2}. «1+221+\frac{\sqrt2}{2}» درست است. رد گزینه‌های غلط: سایر گزینه‌ها از اشتباه در علامتِ sin⁡x\sin x یا در عملِ تفریق (جمع‌کردن به‌جایِ کم‌کردن) حاصل می‌شوند. تلهٔ تستی: در ربعِ سوم، سینوس منفی است اما تانژانت مثبت است؛ فراموش‌کردنِ این ترکیبِ علامت خطایِ رایجی در این نوع سؤالات است.

3. مقدار sin⁡120∘cos⁡120∘\sin120^\circ\cos120^\circ کدام است؟

  • 14\frac{1}{4}
  • −34-\frac{\sqrt3}{4}
  • 34\frac{\sqrt3}{4}
  • −14-\frac{1}{4}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

داریم sin⁡120∘=32\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{2} و cos⁡120∘=−12\cos120^\circ=-\frac12. بنابراین حاصل‌ضربِ آن‌ها 32×(−12)=−34\frac{\sqrt3}{2}\times(-\frac12)=-\frac{\sqrt3}{4} می‌شود. «−34-\frac{\sqrt3}{4}» صحیح است. رد گزینه‌های غلط: سایر گزینه‌ها از فراموش‌کردنِ علامتِ منفیِ cos⁡120∘\cos120^\circ یا اشتباه‌گرفتنِ زاویهٔ مرجع ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: 120∘120^\circ در ربعِ دوم است که در آن کسینوس منفی است؛ اگر این علامت را فراموش کنید، حاصلِ ضرب مثبت (و اشتباه) به دست می‌آید.

4. اگر tan⁡α=34\tan\alpha=\frac{3}{4} و α\alpha در ربع اول باشد، مقدار sin⁡α+cos⁡α\sin\alpha+\cos\alpha کدام است؟

  • 75\frac{7}{5}
  • 15\frac{1}{5}
  • 57\frac{5}{7}
  • 43\frac{4}{3}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

وقتی tan⁡α=34\tan\alpha=\frac34، می‌توان مثلثی با ضلع‌هایِ مقابل و مجاورِ 33 و 44 در نظر گرفت؛ پس وتر برابرِ 55 می‌شود. چون ربعِ اول است، sin⁡α=35\sin\alpha=\frac35 و cos⁡α=45\cos\alpha=\frac45، و مجموعِ آن‌ها 75\frac75 است. «75\frac75» درست است. رد گزینه‌های غلط: سایر گزینه‌ها از تفریق به‌جایِ جمع یا از محاسبهٔ اشتباهِ وتر حاصل می‌شوند. تلهٔ تستی: در ساختِ مثلثِ قائم‌الزاویه از رویِ tan⁡α\tan\alpha، وتر همیشه با قضیهٔ فیثاغورس (32+42=5\sqrt{3^2+4^2}=5) محاسبه می‌شود، نه با حدس یا میانگین‌گیری.

5. اگر cot⁡x>0\cot x>0 و cos⁡x<0\cos x<0، کدام ربع ممکن است؟

  • اول
  • دوم
  • سوم
  • چهارم

پاسخنامه‌ی تحلیلی

مثبت بودنِ کتانژانت یعنی سینوس و کسینوس هم‌علامت‌اند. منفی‌بودنِ کسینوس پس نتیجه می‌دهد سینوس نیز منفی است. تنها ربعی که در آن هر دو منفی‌اند، ربعِ سوم است. «سوم» درست است. رد گزینه‌های غلط: در ربعِ اول هر دو مثبت‌اند؛ در ربعِ دوم سینوس مثبت و کسینوس منفی است (کتانژانت منفی می‌شود)؛ در ربعِ چهارم کسینوس مثبت است که با شرطِ سؤال ناسازگار است. تلهٔ تستی: علامتِ کتانژانت را نباید مستقیماً از رویِ علامتِ یکی از دو کمیت حدس زد؛ باید هر دو شرط (مثبت‌بودنِ نسبت و منفی‌بودنِ کسینوس) را هم‌زمان روی جدولِ علامت‌هایِ ربع‌ها اعمال کرد.

6. مقدار sin⁡210∘+cos⁡210∘\sin210^\circ+\cos210^\circ کدام است؟

  • −1+32-\frac{1+\sqrt3}{2}
  • 1−32\frac{1-\sqrt3}{2}
  • −1−32-\frac{1-\sqrt3}{2}
  • 1+32\frac{1+\sqrt3}{2}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

در 210∘210^\circ (ربعِ سوم) داریم sin⁡210∘=−12\sin210^\circ=-\frac12 و cos⁡210∘=−32\cos210^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}. مجموعِ آن‌ها برابرِ −12−32=−1+32-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}=-\frac{1+\sqrt3}{2} می‌شود. «−1+32-\frac{1+\sqrt3}{2}» درست است. رد گزینه‌های غلط: سایر گزینه‌ها از فراموش‌کردنِ علامتِ منفیِ یکی از دو مقدار حاصل می‌شوند. تلهٔ تستی: در ربعِ سوم هر دویِ سینوس و کسینوس منفی‌اند؛ فراموش‌کردنِ منفی‌بودنِ حتی یکی از این دو، نتیجهٔ نهایی را کاملاً تغییر می‌دهد.

7. اگر sin⁡x=45\sin x=\frac45 و xx در ربع اول باشد، مقدار cos⁡(π2+x)\cos(\frac{\pi}{2}+x) کدام است؟

  • −45-\frac45
  • 45\frac45
  • −35-\frac35
  • 35\frac35

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از رابطهٔ کاهشِ زاویهٔ cos⁡(π2+x)=−sin⁡x\cos(\frac{\pi}{2}+x)=-\sin x استفاده می‌کنیم. بنابراین مقدار خواسته مستقیماً برابر −45-\frac45 است. «−45-\frac45» درست است. رد گزینه‌های غلط: 45\frac45 و −35-\frac35 و 35\frac35 از اشتباه‌گرفتنِ فرمولِ کاهش یا فراموش‌کردنِ علامتِ منفی حاصل می‌شوند. تلهٔ تستی: فرمولِ cos⁡(π2+x)=−sin⁡x\cos(\frac{\pi}{2}+x)=-\sin x (نه cos⁡(π2−x)=sin⁡x\cos(\frac{\pi}{2}-x)=\sin x که علامتِ متفاوتی دارد) اغلب با هم اشتباه گرفته می‌شوند؛ دقت کنید علامتِ ++ یا −- داخلِ پرانتز مستقیماً روی نتیجه اثر می‌گذارد.

8. اگر sin⁡x+cos⁡x=−2\sin x+\cos x=-\sqrt2، مقدار xx در بازهٔ [0,2π)[0,2\pi) کدام است؟

  • 3π4\frac{3\pi}{4}
  • 5π4\frac{5\pi}{4}
  • 7π4\frac{7\pi}{4}
  • 3π2\frac{3\pi}{2}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

کمینهٔ عبارتِ sin⁡x+cos⁡x\sin x+\cos x برابرِ −2-\sqrt2 است و این کمینه دقیقاً زمانی رخ می‌دهد که sin⁡x=cos⁡x=−22\sin x=\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}، یعنی در x=5π4x=\frac{5\pi}{4}. «5π4\frac{5\pi}{4}» درست است. رد گزینه‌های غلط: 3π4\frac{3\pi}{4} و 7π4\frac{7\pi}{4} زوایایی هستند که در آن‌ها فقط یکی از سینوس یا کسینوس منفی است؛ 3π2\frac{3\pi}{2} نقطه‌ای است که مجموع تنها −1-1 می‌شود. تلهٔ تستی: کمینهٔ مطلقِ sin⁡x+cos⁡x\sin x+\cos x فقط در یک نقطهٔ مشخص از هر دوره رخ می‌دهد (جایی که هر دو مقدار برابر و منفی‌اند)؛ با نقاطی که فقط یکی از دو مقدار منفی است اشتباه نگیرید.

9. اگر sin⁡α=−725\sin\alpha=-\frac{7}{25} و انتهای کمان در ربع سوم باشد، مقدار tan⁡α−cot⁡α\tan\alpha-\cot\alpha کدام است؟

  • −49168-\frac{49}{168}
  • −527168-\frac{527}{168}
  • 527168\frac{527}{168}
  • −337168-\frac{337}{168}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

در ربعِ سوم کسینوس منفی است. cos⁡α=−1−49625=−2425\cos\alpha=-\sqrt{1-\frac{49}{625}}=-\frac{24}{25}. پس tan⁡α=724\tan\alpha=\frac{7}{24} و cot⁡α=247\cot\alpha=\frac{24}{7} (هر دو مثبت، چون نسبتِ دو عددِ منفی است). بنابراین tan⁡α−cot⁡α=724−247=49−576168=−527168\tan\alpha-\cot\alpha=\frac{7}{24}-\frac{24}{7}=\frac{49-576}{168}=-\frac{527}{168}. «−527168-\frac{527}{168}» درست است. رد گزینه‌های غلط: −49168-\frac{49}{168} از محاسبهٔ اشتباهِ صورتِ کسر حاصل می‌شود؛ 527168\frac{527}{168} از خطا در علامتِ نهاییِ تفریق ناشی می‌شود؛ −337168-\frac{337}{168} از خطایِ محاسباتی در مخرجِ مشترک به دست می‌آید. تلهٔ تستی: در محاسبهٔ این تفریق، باید صورت‌ها را به‌درستی به‌توانِ دو رساند (72=497^2=49 و 242=57624^2=576) قبل از تفریق.

10. اگر cos⁡α=−35\cos\alpha=-\frac{3}{5} و tan⁡α>0\tan\alpha>0 باشد، مقدار sin⁡α+tan⁡α\sin\alpha+\tan\alpha کدام است؟

  • 815\frac{8}{15}
  • −815-\frac{8}{15}
  • 1615\frac{16}{15}
  • −1615-\frac{16}{15}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

مثبت‌بودنِ تانژانت و منفی‌بودنِ کسینوس یعنی زاویه در ربعِ سوم است. پس sin⁡α=−45\sin\alpha=-\frac45 و tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=−4/5−3/5=43\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{-4/5}{-3/5}=\frac43. جمعِ این دو برابرِ −45+43=−12+2015=815-\frac45+\frac43=\frac{-12+20}{15}=\frac{8}{15} است. «815\frac{8}{15}» درست است. رد گزینه‌های غلط: −815-\frac{8}{15} از فراموش‌کردنِ علامتِ درستِ یکی از دو جمله حاصل می‌شود؛ ±1615\pm\frac{16}{15} از خطایِ محاسباتی در مخرجِ مشترک ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در ربعِ سوم هم سینوس و هم کسینوس منفی‌اند، اما تانژانت (نسبتِ دو منفی) مثبت می‌شود؛ فراموش‌کردنِ این ترکیبِ علامت باعثِ خطا در جمعِ نهایی می‌شود.

مباحث مرتبط

هندسه تحلیلی و جبر (فصل 1 ریاضی 2) (علوم تجربی)هندسه (فصل 2 ریاضی 2) (علوم تجربی)تابع (فصل 3 ریاضی 2)(علوم تجربی)توابع نمایی و لگاریتمی (فصل 5 ریاضی 2) (علوم تجربی)حد و پیوستگی (فصل 6 ریاضی 2) (علوم تجربی)آمار و احتمال(فصل 7 ریاضی 2) (علوم تجربی)مجموعه، الگو و دنباله(فصل 1 ریاضی 1) (علوم تجربی)مثلثات (فصل 2 ریاضی 1) (علوم تجربی)توان های گویا و عبارت های جبری (فصل 3 ریاضی 1) (علوم تجربی)معادله ها و نامعادله ها (فصل 4 ریاضی 1) (علوم تجربی)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان