واحدهای زاویه و توابع مثلثاتی (ریاضی ۲)

درس اول: واحدهای اندازه‌گیری زاویه

دایرهٔ مثلثاتی دایره‌ای است به شعاع واحد ( $r=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) با مرکز مبدأ مختصات، که جهت مثبتش خلاف حرکت عقربه‌های ساعت است. اگر محیطش را به ۳۶۰ قسمت مساوی بخش کنیم، هر قسمت کمانی یک‌درجه‌ای می‌سازد و زاویهٔ مرکزی روبه‌روی هر کمان با اندازهٔ همان کمان برابر است.

رادیان: اگر روی دایره‌ای به شعاع $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین طول کمانی دقیقاً برابر خودِ $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، زاویهٔ مرکزی روبه‌روی آن را یک رادیان می‌نامیم. اگر پیاپی قطعه‌هایی به طول $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی محیط بگذاری، حدود ۶ بار (دقیقاً $2\pi \approx 6.28$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بار) دور می‌زنی؛ پس یک دور کامل $2\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رادیان است.

فرمول اساسی رادیان:

\alpha = \frac{l}{r} \quad \Longleftrightarrow \quad l = r\alpha

که در آن $l$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین طول کمان، $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شعاع و $\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین زاویهٔ مرکزی بر حسب رادیان است. شرط مهم: $l$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باید هم‌واحد باشند، وگرنه جواب بی‌معناست.

مثال: در دایره‌ای به شعاع ۱۰ سانتی‌متر، کمانی به طول ۸ سانتی‌متر زاویهٔ مرکزی $\alpha = \frac{8}{10} = 0.8$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رادیان می‌سازد.

تبدیل درجه و رادیان: چون $\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رادیان $=180°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

R = D \times \frac{\pi}{180} \qquad D = R \times \frac{180}{\pi}

نمونه‌های پرکاربرد: $30°=\dfrac{\pi}{6}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $45°=\dfrac{\pi}{4}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $60°=\dfrac{\pi}{3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $90°=\dfrac{\pi}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $135°=\dfrac{3\pi}{4}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $180°=\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $270°=\dfrac{3\pi}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $360°=2\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

زوایای هم‌انتها: دو زاویهٔ $\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\beta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم‌انتهایند اگر ضلع انتهایی‌شان روی دایرهٔ مثلثاتی منطبق شود، یعنی:

\alpha - \beta = 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

مثلاً $405°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $45°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم‌انتهایند، چون تفاضلشان $360°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

ربع زاویه: $0°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا $90°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ربع اول، تا $180°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ربع دوم، تا $270°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ربع سوم و تا $360°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ربع چهارم. برای زاویهٔ بزرگ‌تر از $360°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا منفی، اول هم‌انتهای آن در $[0°,360°)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را پیدا کن، بعد ربع را تعیین کن.

واحدهای دیگر: یک دور کامل $400$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین گراد است، پس $1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین گراد $=0.9°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. هر درجه هم $60$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دقیقهٔ قوسی ( $'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و هر دقیقه $60$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ثانیهٔ قوسی ( $''$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) است؛ یعنی $1°=3600''$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و مثلاً $37°30'=37.5°=\dfrac{5\pi}{24}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رادیان.

دو کاربرد مستقیم رادیان: سرعت زاویه‌ای $\omega = \dfrac{\theta}{t}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و سرعت خطی $v = r\omega$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ و مساحت قطاع دایره:

S = \frac{1}{2} r^2 \alpha = \frac{1}{2} r l

درس دوم: روابط تکمیلی نسبت‌های مثلثاتی

برای نقطهٔ $P(x,y)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی دایره‌ای به شعاع $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با زاویهٔ $\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم $\sin\alpha=\frac{y}{r}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\cos\alpha=\frac{x}{r}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ روی دایرهٔ مثلثاتی که $r=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، این تعریف‌ها ساده می‌شوند:

\sin\alpha = y, \quad \cos\alpha = x, \quad \tan\alpha = \frac{y}{x}, \quad \cot\alpha = \frac{x}{y}

رابطهٔ اساسی (فیثاغورس) و دو نتیجهٔ آن:

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} \quad (\cos\alpha \neq 0), \qquad 1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} \quad (\sin\alpha \neq 0)

همچنین $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

علامت نسبت‌ها در هر ربع را با عبارت حفظی «همه سینوس تانژانت کسینوس» به یاد بسپار: ربع اول همه مثبت، ربع دوم فقط $\sin$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، ربع سوم فقط $\tan$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\cot$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، ربع چهارم فقط $\cos$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مثبت است.

مثال: اگر $\sin\alpha = -\dfrac{1}{3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و انتهای کمان در ربع سوم باشد:

\cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \implies \cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \quad (\text{در ربع سوم منفی})

\tan\alpha = \frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{4}, \qquad \cot\alpha = 2\sqrt{2}

روابط زوایای وابسته: هر کدام از این‌ها ریشه در یک تقارن ساده روی دایره دارد — قرینه نسبت به محور $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، محور $y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا مبدأ.

رابطه	$\sin$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\cos$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\tan$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$-\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (قرینه)	$-\sin\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\cos\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$-\tan\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\pi-\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (مکمل)	$\sin\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$-\cos\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$-\tan\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\pi+\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$-\sin\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$-\cos\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\tan\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\frac{\pi}{2}-\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (متمم)	$\cos\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\sin\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\cot\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\frac{\pi}{2}+\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\cos\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$-\sin\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$-\cot\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$2k\pi+\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\sin\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\cos\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\tan\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$2k\pi-\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$-\sin\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\cos\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$-\tan\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

دقت کن در روابط متمم و $\frac{\pi}{2}+\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، سینوس با کسینوس و تانژانت با کتانژانت جابه‌جا می‌شوند، ولی در روابط $-\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $\pi-\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\pi+\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط علامت عوض می‌شود.

تکنیک چرخه (روش کلی ساده‌سازی): ۱) زاویه را با رابطهٔ هم‌انتهایی به $[0°,360°)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ببر. ۲) آن را به شکل $n\cdot 90° \pm \alpha_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بنویس که $\alpha_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین زاویه‌ای حاد باشد. ۳) اگر $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فرد باشد نسبت عوض می‌شود ( $\sin \leftrightarrow \cos$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $\tan \leftrightarrow \cot$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و اگر زوج باشد ثابت می‌ماند. ۴) علامت را از ربعِ زاویهٔ اصلی بردار.

مثال: $\sin 315° = \sin(4\times 90° - 45°)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ ضریب ۴ زوج است پس نسبت ثابت می‌ماند، و چون $315°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در ربع چهارم است سینوس منفی می‌شود: $\sin 315° = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

درس سوم: توابع مثلثاتی

تابع سینوس $y=\sin x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: دامنه $\mathbb{R}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، برد $[-1,1]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، تناوب $2\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، تابعی فرد، صفرها در $x=k\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، بیشینهٔ $1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و کمینهٔ $-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. در ربع اول افزایشی و مثبت، در ربع دوم کاهشی و مثبت، در ربع سوم کاهشی و منفی و در ربع چهارم افزایشی و منفی است.

تابع کسینوس $y=\cos x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: دامنه $\mathbb{R}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، برد $[-1,1]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، تناوب $2\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، تابعی زوج، صفرها در $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، بیشینهٔ $1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $x=2k\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و کمینهٔ $-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $x=\pi+2k\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

این دو در واقع یک منحنی‌اند که $\frac{\pi}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نسبت به هم جابه‌جا شده‌اند:

\cos x = \sin\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \qquad \sin x = \cos\!\left(x - \frac{\pi}{2}\right)

نمودار سینوس نسبت به مبدأ و نمودار کسینوس نسبت به محور $y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین متقارن است — همان تقارنی که روابط زوایای قرینه از آن می‌آید.

$\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\frac{\pi}{6}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\frac{\pi}{4}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\frac{\pi}{3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\frac{\pi}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\sin\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\frac{1}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\cos\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\frac{1}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

توابع کلی $y=a\sin(bx)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $y=a\cos(bx)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: ضریب $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط بازهٔ نوسان و ضریب $b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط تناوب را تغییر می‌دهد و نوع منحنی همان می‌ماند:

\text{دامنهٔ نوسان} = |a| \qquad \text{تناوب} = \frac{2\pi}{|b|}

مثلاً $y=3\sin(2x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بین $-3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نوسان می‌کند و تناوبش $\frac{2\pi}{2}=\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، یعنی دو برابر سریع‌تر از $\sin x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تکرار می‌شود. رایج‌ترین اشتباه این بخش قاطی‌کردن نقش $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ آن‌ها را جدا حساب کن.

واحدهای زاویه و توابع مثلثاتی (ریاضی ۲)

خلاصه‌ی درسنامه

درس اول: واحدهای اندازه‌گیری زاویه

درس دوم: روابط تکمیلی نسبت‌های مثلثاتی

درس سوم: توابع مثلثاتی

مباحث مرتبط

ادامه‌ی این مبحث رو ببین