پرش به محتوای اصلی

حد و پیوستگی (فصل 6 ریاضی 2) (علوم تجربی)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

درس اول: حد تابع در یک نقطه

انگیزه: گاهی لازم است رفتار تابع را در نزدیکی یک نقطه بررسی کنیم، نه لزوماً مقدار تابع در آن نقطه. برای f(x)=2x−1f(x)=2x-1، وقتی xx به ۴ نزدیک می‌شود، f(x)f(x) به ۷ نزدیک می‌شود:

lim⁡x→4f(x)=7\lim_{x \to 4} f(x) = 7

حد یک‌طرفه: حد چپ lim⁡x→x0−f(x)=l\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)=l یعنی مقادیر ff را می‌توان از سمت چپ به ll نزدیک کرد؛ به همین شکل حد راست lim⁡x→x0+f(x)=l\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)=l.

قضیهٔ اساسی حد دوطرفه:

lim⁡x→x0f(x)=l  ⟺  lim⁡x→x0−f(x)=l و lim⁡x→x0+f(x)=l\boxed{\lim_{x \to x_0} f(x) = l \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = l \text{ و } \lim_{x \to x_0^+} f(x) = l}

مثال — حد راست و چپ نابرابر: اگر lim⁡x→1−f(x)=2\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=2 و lim⁡x→1+f(x)=4\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)=4 باشند، چون نابرابرند، حد دوطرفه وجود ندارد.

مثال — حد به مقدار تابع بستگی ندارد: برای g(x)=x2−5x+4x−4g(x)=\dfrac{x^2-5x+4}{x-4} (x≠4x\neq4): lim⁡x→4g(x)=7\displaystyle\lim_{x\to4}g(x)=7 در حالی که g(4)g(4) اصلاً تعریف نشده است.

مثال — تابع x\sqrt x: lim⁡x→0+x=0\displaystyle\lim_{x\to0^+}\sqrt x=0 اما lim⁡x→0−x\displaystyle\lim_{x\to0^-}\sqrt x وجود ندارد (تابع برای x<0x<0 تعریف نشده)، پس حد دوطرفه در x=0x=0 وجود ندارد.

نکات کلیدی: حد در یک نقطه فقط به رفتار اطراف آن نقطه بستگی دارد، نه به مقدار تابع در خود نقطه؛ برای بررسی وجود حد، همیشه هر دو حد راست و چپ را بررسی کن.

درس دوم: محاسبهٔ حد توابع

قوانین پایهٔ حد (با lim⁡x→af(x)=l\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=l، lim⁡x→ag(x)=m\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=m):

lim⁡x→ac=c,lim⁡x→ax=a,lim⁡x→a[f(x)±g(x)]=l±m\lim_{x \to a} c = c, \qquad \lim_{x \to a} x = a, \qquad \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = l \pm m
lim⁡x→a[f(x)⋅g(x)]=l⋅m,lim⁡x→af(x)g(x)=lm(m≠0)\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = l \cdot m, \qquad \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{l}{m} \quad (m \neq 0)

حد توابع چندجمله‌ای: برای هر چندجمله‌ای P(x)P(x): lim⁡x→aP(x)=P(a)\displaystyle\lim_{x\to a}P(x)=P(a) — کافی است aa را جای xx بگذاریم.

حد توابع گویا: اگر Q(a)≠0Q(a)\neq0، جایگذاری مستقیم کافی است. اگر P(a)=Q(a)=0P(a)=Q(a)=0 (حالت 00\frac00)، باید صورت و مخرج را بر عامل مشترک (x−a)(x-a) تقسیم کرد.

مثال:

lim⁡x→2x2−4x−2=lim⁡x→2(x−2)(x+2)x−2=lim⁡x→2(x+2)=4\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4

حد با ریشه (روش مزدوج): برای حالت 00\frac00 با ریشه، صورت و مخرج را در مزدوج ضرب می‌کنیم.

مثال:

lim⁡x→3x+1−2x−3=lim⁡x→3(x+1)−4(x−3)(x+1+2)=lim⁡x→31x+1+2=14\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x+1)-4}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)} = \lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt{x+1}+2} = \frac14

حد توابع مثلثاتی: sin⁡\sin و cos⁡\cos در همه نقاط پیوسته‌اند، پس lim⁡x→αsin⁡x=sin⁡α\displaystyle\lim_{x\to\alpha}\sin x=\sin\alpha و lim⁡x→αcos⁡x=cos⁡α\displaystyle\lim_{x\to\alpha}\cos x=\cos\alpha.

حد مهم مثلثاتی (فراتر از کتاب، مهم کنکور):

lim⁡x→0sin⁡xx=1\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1}

نتایج مستقیم: lim⁡x→0tan⁡xx=1\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1، lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12، lim⁡x→0sin⁡(ax)bx=ab\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{bx}=\frac ab.

مثال: lim⁡x→0sin⁡3xx=lim⁡x→0sin⁡3x3x⋅3=1×3=3\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}\cdot3=1\times3=3.

تابع جزء صحیح در نقاط صحیح: برای m∈Zm\in\mathbb{Z}:

lim⁡x→m−[x]=m−1,lim⁡x→m+[x]=m,lim⁡x→m[x] وجود ندارد\lim_{x \to m^-} [x] = m - 1, \qquad \lim_{x \to m^+} [x] = m, \qquad \lim_{x \to m} [x] \text{ وجود ندارد}

در نقاط غیرصحیح، lim⁡x→a[x]=[a]\displaystyle\lim_{x\to a}[x]=[a].

قضیهٔ فشردگی (Squeeze Theorem): اگر g(x)≤f(x)≤h(x)g(x)\leq f(x)\leq h(x) و lim⁡x→ag(x)=lim⁡x→ah(x)=L\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L، آنگاه lim⁡x→af(x)=L\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L. مثال کلاسیک: از −1≤sin⁡1x≤1-1\leq\sin\frac1x\leq1 نتیجه می‌شود −x2≤x2sin⁡1x≤x2-x^2\leq x^2\sin\frac1x\leq x^2، پس lim⁡x→0x2sin⁡1x=0\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\frac1x=0.

حد در بی‌نهایت (فراتر از کتاب):

lim⁡x→∞anxn+…bmxm+…={anbnn=m0n<m±∞n>m\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + \ldots}{b_m x^m + \ldots} = \begin{cases} \frac{a_n}{b_n} & n=m \\ 0 & n<m \\ \pm\infty & n>m \end{cases}

درس سوم: پیوستگی

تعریف: تابع ff در نقطهٔ x=cx=c پیوسته است هرگاه:

lim⁡x→cf(x)=f(c)\boxed{\lim_{x \to c} f(x) = f(c)}

این تعریف سه شرط همزمان دارد: (۱) f(c)f(c) تعریف‌شده باشد، (۲) lim⁡x→cf(x)\displaystyle\lim_{x\to c}f(x) وجود داشته باشد، (۳) حد با مقدار تابع برابر باشد.

انواع ناپیوستگی:

  • نقطهٔ جدا (قابل رفع): حد وجود دارد اما f(c)f(c) تعریف‌نشده یا با حد برابر نیست؛ مثل f(x)=x2−4x−2f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2} در x=2x=2.
  • نقطهٔ پرش: حد راست و چپ وجود دارند اما نابرابرند.
  • ناپیوستگی اساسی: مانند f(x)=1xf(x)=\dfrac1x در x=0x=0.

پیوستگی راست و چپ: ff در cc از راست پیوسته است اگر lim⁡x→c+f(x)=f(c)\displaystyle\lim_{x\to c^+}f(x)=f(c)؛ از چپ پیوسته اگر lim⁡x→c−f(x)=f(c)\displaystyle\lim_{x\to c^-}f(x)=f(c). تابع در cc پیوسته است اگر و فقط اگر هر دو برقرار باشند.

مثال: f(x)=[x]f(x)=[x] در x=2x=2: پیوستگی راست دارد (lim⁡x→2+[x]=2=f(2)\lim_{x\to2^+}[x]=2=f(2)) اما پیوستگی چپ ندارد (lim⁡x→2−[x]=1≠2\lim_{x\to2^-}[x]=1\neq2)، پس در x=2x=2 ناپیوسته است.

توابع پیوسته روی R\mathbb{R}: چندجمله‌ای‌ها، sin⁡x\sin x، cos⁡x\cos x، axa^x، ∣x∣|x|. توابع لگاریتمی روی (0,+∞)(0,+\infty) پیوسته‌اند.

خواص ترکیبی پیوستگی: اگر f,gf,g در cc پیوسته باشند، f±gf\pm g، f⋅gf\cdot g و (با g(c)≠0g(c)\neq0) f/gf/g نیز پیوسته‌اند؛ اگر gg در cc و ff در g(c)g(c) پیوسته باشد، f∘gf\circ g در cc پیوسته است.

قضیهٔ مقدار میانی (IVT، فراتر از کتاب، مهم کنکور): اگر ff روی [a,b][a,b] پیوسته باشد و f(a)⋅f(b)<0f(a)\cdot f(b)<0، آنگاه معادلهٔ f(x)=0f(x)=0 حداقل یک ریشه در (a,b)(a,b) دارد.

مثال: برای f(x)=x3+x−1f(x)=x^3+x-1: f(0)=−1<0f(0)=-1<0 و f(1)=1>0f(1)=1>0، پس معادله در (0,1)(0,1) ریشه دارد.

مثال یافتن پارامتر برای پیوستگی (نوع رایج کنکور):

f(x)={x2−9x−3x≠3kx=3f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3} & x \neq 3 \\ k & x = 3 \end{cases}
lim⁡x→3f(x)=lim⁡x→3(x+3)=6  ⟹  k=6\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (x+3) = 6 \implies k = 6

نکات طلایی کنکوری

  • حد در یک نقطه به مقدار تابع در آن نقطه ربطی ندارد؛ فقط رفتار نزدیک به نقطه مهم است.
  • در عبارت 00\frac00، همیشه ابتدا عامل‌گیری کن و عامل مشترک را حذف کن؛ برای ریشه، از مزدوج استفاده کن.
  • lim⁡x→a[x]=[a]\displaystyle\lim_{x\to a}[x]=[a] فقط وقتی aa صحیح نباشد؛ اگر aa صحیح باشد، حد وجود ندارد.
  • سه شرط پیوستگی را همزمان بررسی کن: تعریف‌شدگی، وجود حد، برابری حد با مقدار.
  • در تابع گویا P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)}، نقاط ناپیوستگی دقیقاً همان‌جایی‌اند که Q(x)=0Q(x)=0.
  • اشتباه رایج: lim⁡x→0sin⁡xx=0\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=0 نادرست است؛ مقدار درست 11 است.

فرمول‌های تکمیلی مهم (فراتر از کتاب):

lim⁡x→0(1+x)1/x=e,lim⁡x→0ax−1x=ln⁡a,lim⁡x→0ln⁡(1+x)x=1\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x} = \ln a, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1

نمونه‌های حل‌شده تکمیلی

درس اول — تابع تکه‌تکه و حد یک‌طرفه

برای f(x)={−2x+8x>2x2−1≤x<22x<−3f(x)=\begin{cases}-2x+8 & x>2\\x^2 & -1\leq x<2\\2 & x<-3\end{cases}: f(2)f(2) تعریف‌نشده است ولی lim⁡x→2f(x)=4\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)=4؛ در x=−1x=-1، lim⁡x→−1+f(x)=1\displaystyle\lim_{x\to-1^+}f(x)=1 اما حد دوطرفه وجود ندارد چون از سمت چپ تابع تعریف نشده.

مثال دیگر: برای f(x)={−xx<0xx>0f(x)=\begin{cases}-x & x<0\\x & x>0\end{cases}:

lim⁡x→0−f(x)=0,lim⁡x→0+f(x)=0  ⟹  lim⁡x→0f(x)=0\lim_{x \to 0^-}f(x)=0, \qquad \lim_{x \to 0^+}f(x)=0 \implies \lim_{x \to 0}f(x)=0

اما f(0)f(0) تعریف نشده — یعنی حد وجود دارد ولی مقدار تابع در آن نقطه نه.

درس دوم — محاسبات بیشتر حد

مثال حد گویا با صورت غیرصفر: lim⁡x→−2x2+8x2−4\displaystyle\lim_{x\to-2}\dfrac{x^2+8}{x^2-4}؛ صورت در x=−2x=-2 برابر 12≠012\neq0 و مخرج برابر 00 است، پس حد وجود ندارد (یا بی‌نهایت است) — برخلاف حالت 00\frac00، اینجا نباید عامل‌گیری کرد.

مثال ترکیبی جزء صحیح: lim⁡x→−2+[x]⋅x\displaystyle\lim_{x\to-2^+}[x]\cdot x؛ وقتی x→−2+x\to-2^+، داریم [x]=−2[x]=-2 و x→−2x\to-2، پس حاصل‌ضرب =(−2)(−2)=4=(-2)(-2)=4.

مثال با چند تابع همزمان: اگر lim⁡x→2f(x)=3\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)=3، lim⁡x→2g(x)=0\displaystyle\lim_{x\to2}g(x)=0، lim⁡x→2h(x)=−1\displaystyle\lim_{x\to2}h(x)=-1:

lim⁡x→2[f(x)+h(x)]=2,lim⁡x→2[g(x)⋅f(x)]=0,lim⁡x→2h(x) وجود ندارد (چون h→−1<0)\lim_{x\to2}[f(x)+h(x)]=2, \qquad \lim_{x\to2}[g(x)\cdot f(x)]=0, \qquad \lim_{x\to2}\sqrt{h(x)} \text{ وجود ندارد (چون } h\to-1<0)

مثال حد گویای بالاتر از درجهٔ ۲:

lim⁡x→1x3−1x−1=lim⁡x→1(x−1)(x2+x+1)x−1=lim⁡x→1(x2+x+1)=3\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1}(x^2+x+1) = 3

درس سوم — بررسی پیوستگی و ناپیوستگی

مثال نقطهٔ پرش: h(x)={x+1x≥3x2−1x<3h(x)=\begin{cases}x+1 & x\geq3\\x^2-1 & x<3\end{cases} در x=3x=3: lim⁡x→3+h(x)=4=h(3)\displaystyle\lim_{x\to3^+}h(x)=4=h(3) ولی lim⁡x→3−h(x)=8≠4\displaystyle\lim_{x\to3^-}h(x)=8\neq4، پس تابع در x=3x=3 ناپیوسته است (پرش از ۸ به ۴).

مثال یافتن پارامتر برای پیوستگی نوع دوم: g(x)={2x−1x≥1x2+kx<1g(x)=\begin{cases}2x-1 & x\geq1\\x^2+k & x<1\end{cases}؛ برای پیوستگی در x=1x=1 باید lim⁡x→1−g(x)=g(1)\displaystyle\lim_{x\to1^-}g(x)=g(1):

1+k=1  ⟹  k=01+k=1 \implies k=0

مثال بررسی پیوستگی روی یک بازه (تابع تجویز دارو): f(t)={6t+40≤t≤12t+101<t≤10f(t)=\begin{cases}6t+4 & 0\leq t\leq1\\2t+10 & 1<t\leq10\end{cases}؛ در t=1t=1: lim⁡t→1−f(t)=10\displaystyle\lim_{t\to1^-}f(t)=10 و lim⁡t→1+f(t)=12\displaystyle\lim_{t\to1^+}f(t)=12؛ چون نابرابرند، تابع در t=1t=1 ناپیوسته است و بنابراین روی کل [0,10][0,10] پیوسته نیست.

نکتهٔ چک‌لیست کنکور برای محاسبهٔ حد: چندجمله‌ای → جایگذاری مستقیم؛ گویا با مخرج غیرصفر → جایگذاری مستقیم؛ گویا با 00\frac00 → عامل‌گیری و حذف؛ ریشه با 00\frac00 → مزدوج؛ جزء صحیح → حد راست و چپ جداگانه؛ تعریف‌شدهٔ تکه‌تکه → حد راست و چپ از قطعات مختلف.

اشتباهات رایج دانش‌آموزان (جدول تصحیح):

اشتباه رایج درست
lim⁡x→2f(x)=f(2)\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)=f(2) همیشه برقرار است فقط اگر ff در x=2x=2 پیوسته باشد
اگر حد وجود ندارد، تابع در آن نقطه تعریف‌نشده است تابع ممکن است تعریف‌شده باشد ولی حد نداشته باشد
[x+y]=[x]+[y][x+y]=[x]+[y] همیشه برقرار است این تساوی همیشه برقرار نیست

پیوستگی روی بازه: برای [a,b][a,b] باید تابع در (a,b)(a,b) پیوسته باشد، در aa پیوستگی راست و در bb پیوستگی چپ داشته باشد؛ برای نقطهٔ ناپیوستهٔ قابل‌رفع، می‌توان با تعریف مجدد مقدار تابع در همان نقطه، ناپیوستگی را برطرف کرد.

نمونه تست

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. اگر lim⁡x→1x−1x−1\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1} را بخواهیم، مقدار آن کدام است؟

  • 11
  • 12\frac12
  • 22
  • 00

پاسخنامه‌ی تحلیلی

صورت و مخرج در x=1x=1 صفر می‌شوند. با ضرب در مزدوجِ x+1\sqrt{x}+1: (x−1)(x+1)(x−1)(x+1)=x−1(x−1)(x+1)=1x+1→12\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{1}{\sqrt{x}+1}\to\frac{1}{2}. تله‌ی تستی: در حالت 00\frac{0}{0} همراه با رادیکال، جای‌گذاری مستقیم جواب نمی‌دهد؛ باید عبارت در مزدوجِ رادیکال ضرب شود تا عامل مشترکِ صفرکننده حذف شود. بنابراین پاسخِ صحیح «12\frac12» است.

2. اگر lim⁡x→0ax−1x=2\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=2 باشد، مقدار aa چیست؟

  • e2e^2
  • ee
  • 2e2e
  • e−2e^{-2}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

با بازنویسیِ ax−1x\frac{a^x-1}{x} به کمکِ حدِ مهمِ lim⁡x→0ax−1x=ln⁡a\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a: طبقِ فرض ln⁡a=2\ln a=2، پس a=e2a=e^2. بنابراین پاسخِ صحیح «e2e^2» است. تله‌ی تستی: در فرمولِ ax−1x→ln⁡a\frac{a^x-1}{x}\to\ln a، نباید ln⁡a\ln a را با خودِ aa اشتباه گرفت؛ باید معادله‌ی ln⁡a=2\ln a=2 را حل کرد تا a=e2a=e^2 به‌دست آید.

3. اگر lim⁡x→01−cos⁡5xx2\lim_{x\to0}\frac{1-\cos 5x}{x^2} باشد، مقدار کدام است؟

  • 52\frac52
  • 252\frac{25}{2}
  • 55
  • 12\frac12

پاسخنامه‌ی تحلیلی

حدِ مهمِ موردِ نیاز: lim⁡u→01−cos⁡uu2=12\lim_{u\to0}\frac{1-\cos u}{u^2}=\frac12. با u=5xu=5x چون u2=25x2u^2=25x^2، عبارت را طوری می‌نویسیم که مخرجْ همان u2u^2 شود: 1−cos⁡5xx2=25⋅1−cos⁡5x(5x)2 ⟶ 25×12=252\frac{1-\cos5x}{x^2}=25\cdot\frac{1-\cos5x}{(5x)^2}\ \longrightarrow\ 25\times\frac12=\frac{25}{2}. وارسیِ مستقل: برای xxهای کوچک cos⁡5x≈1−(5x)22\cos5x\approx1-\frac{(5x)^2}{2}، پس 1−cos⁡5x≈25x221-\cos5x\approx\frac{25x^2}{2} و تقسیم بر x2x^2 دوباره 252=12.5\frac{25}{2}=12.5 می‌دهد. عددی هم با x=0.01x=0.01 حاصلِ عبارت ≈12.4974\approx12.4974 است که به 12.512.5 نزدیک است. ردِ سه گزینهٔ دیگر: «52\frac52» وقتی به‌دست می‌آید که ضریب را 55 (به‌جایِ 52=255^2=25) بگیریم؛ «55» از فراموش‌کردنِ عاملِ 12\frac12 در خودِ حدِ مهم می‌آید (25×1225\times\frac12 به‌جایش 55 نوشته شده)؛ «12\frac12» یعنی ضریبِ داخلِ کسینوس اصلاً دیده نشده و مثلِ حالتِ u=xu=x حساب شده است. تله‌ی تستی: در 1−cos⁡(ax)x2\frac{1-\cos(ax)}{x^2} ضریبِ aa به‌صورتِ **مربع** بیرون می‌آید و نتیجه a22\frac{a^2}{2} است، نه a2\frac{a}{2}؛ همین توانِ دو تفاوتِ 252\frac{25}{2} با 52\frac52 را می‌سازد.

4. اگر lim⁡x→1x3−1x2−1\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x^2-1} را بخواهیم، مقدار آن کدام است؟

  • 32\frac32
  • 11
  • 22
  • 12\frac12

پاسخنامه‌ی تحلیلی

صورت و مخرج در x=1x=1 صفر می‌شوند: x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) و x2−1=(x−1)(x+1)x^2-1=(x-1)(x+1). با حذفِ عاملِ مشترک، عبارت به x2+x+1x+1\frac{x^2+x+1}{x+1} ساده می‌شود و با جای‌گذاریِ x=1x=1، حد برابرِ 32\frac{3}{2} است. تله‌ی تستی: در حالت 00\frac{0}{0} هرگز نباید مستقیم عدد را جای‌گذاری کرد؛ باید صورت و مخرج تجزیه و عامل مشترکِ صفرکننده حذف شود. بنابراین پاسخِ صحیح «32\frac32» است.

5. اگر lim⁡x→4x−2x−4\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4} را بخواهیم، مقدار آن کدام است؟

  • 14\frac14
  • 12\frac12
  • 22
  • 44

پاسخنامه‌ی تحلیلی

صورت و مخرج در x=4x=4 صفر می‌شوند. با ضرب در مزدوجِ x+2\sqrt{x}+2: x−4(x−4)(x+2)=1x+2→14\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x}+2}\to\frac{1}{4}. تله‌ی تستی: در حالت 00\frac{0}{0} همراه با رادیکال، جای‌گذاری مستقیم جواب نمی‌دهد؛ باید عبارت در مزدوجِ رادیکال ضرب شود تا عامل مشترکِ صفرکننده حذف شود. بنابراین پاسخِ صحیح «14\frac14» است.

6. اگر lim⁡x→0log⁡2(1+x)x\lim_{x\to 0}\frac{\log_2(1+x)}{x} را بخواهیم، مقدار آن کدام است؟

  • 1ln⁡2\frac{1}{\ln2}
  • ln⁡2\ln2
  • 11
  • 22

پاسخنامه‌ی تحلیلی

با نوشتنِ log⁡2(1+x)=ln⁡(1+x)ln⁡2\log_2(1+x)=\frac{\ln(1+x)}{\ln2}: log⁡2(1+x)x=1ln⁡2⋅ln⁡(1+x)x→1ln⁡2×1=1ln⁡2\frac{\log_2(1+x)}{x}=\frac{1}{\ln2}\cdot\frac{\ln(1+x)}{x}\to\frac{1}{\ln2}\times1=\frac{1}{\ln2}. بنابراین پاسخِ صحیح «1ln⁡2\frac{1}{\ln2}» است. تله‌ی تستی: در log⁡a(1+x)\log_a(1+x)، باید پایه را با تبدیل به لگاریتمِ طبیعی (log⁡at=ln⁡tln⁡a\log_a t=\frac{\ln t}{\ln a}) لحاظ کرد؛ فراموش‌کردنِ ضریبِ 1ln⁡a\frac{1}{\ln a} باعثِ جوابِ اشتباهِ 11 می‌شود.

7. اگر lim⁡x→01−cos⁡xxsin⁡x\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x\sin x} را بخواهیم، مقدار آن کدام است؟

  • 12\frac12
  • 11
  • 00
  • 22

پاسخنامه‌ی تحلیلی

صورت را بازنویسی می‌کنیم: 1−cos⁡xxsin⁡x=1−cos⁡xx2⋅xsin⁡x→12×1=12\frac{1-\cos x}{x\sin x}=\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot\frac{x}{\sin x}\to\frac{1}{2}\times1=\frac{1}{2}. تله‌ی تستی: قبل از استفاده از حدِ مهمِ sin⁡uu→1\frac{\sin u}{u}\to1 باید مطمئن شد آرگومانِ داخلِ سینوس/تانژانت دقیقاً با مخرج یکی است؛ اگر نبود، باید عبارت را با ضرب/تقسیم به شکلِ استاندارد رساند. بنابراین پاسخِ صحیح «12\frac12» است.

8. اگر f(x)={x2−1x−1x≠1kx=1f(x)=\begin{cases}\frac{x^2-1}{x-1}&x\ne1\\k&x=1\end{cases} و g(x)=x+1g(x)=x+1، کدام گزاره درست است؟

  • f(1)=g(1)f(1)=g(1) برای هر kk
  • اگر k=3k=3، آنگاه ff و gg در x=1x=1 نیز برابرند
  • اگر k=2k=2، آنگاه ff و gg به‌عنوان تابع روی همه دامنه مشترک برابرند
  • برای هیچ kkای پیوسته نمی‌شود

پاسخنامه‌ی تحلیلی

برای x≠1x\neq1، f(x)=x2−1x−1=x+1=g(x)f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1=g(x) (تساویِ جبریِ محض، مستقل از kk). با k=2k=2، مقدارِ f(1)=2f(1)=2 نیز با g(1)=1+1=2g(1)=1+1=2 برابر می‌شود. پس با k=2k=2، ff و gg روی کلِ دامنه‌ی مشترکشان (همه‌ی اعدادِ حقیقی) دقیقاً برابرند. بنابراین پاسخِ صحیح «اگر k=2k=2، آنگاه ff و gg به‌عنوان تابع روی همه دامنه مشترک برابرند» است. تله‌ی تستی: تساویِ جبریِ f(x)=g(x)f(x)=g(x) برای x≠1x\neq1 به‌تنهایی پیوستگی در x=1x=1 را تضمین نمی‌کند؛ باید مقدارِ kk را هم جداگانه با همان حد مقایسه کرد.

9. اگر lim⁡x→04+x−2x\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{4+x}-2}{x} را بخواهیم، مقدار آن کدام است؟

  • 14\frac14
  • 12\frac12
  • 11
  • 22

پاسخنامه‌ی تحلیلی

صورت و مخرج در x=0x=0 صفر می‌شوند. با ضرب در مزدوجِ 4+x+2\sqrt{4+x}+2: صورت به xx ساده می‌شود و عبارت به 14+x+2→14\frac{1}{\sqrt{4+x}+2}\to\frac{1}{4} می‌رسد. تله‌ی تستی: در حالت 00\frac{0}{0} همراه با رادیکال، جای‌گذاری مستقیم جواب نمی‌دهد؛ باید عبارت در مزدوجِ رادیکال ضرب شود تا عامل مشترکِ صفرکننده حذف شود. بنابراین پاسخِ صحیح «14\frac14» است.

10. اگر f(x)={log⁡2(x+1)x>0kx=02x−1x<0f(x)=\begin{cases}\log_2(x+1)&x>0\\k&x=0\\2^x-1&x<0\end{cases} در x=0x=0 پیوسته باشد، kk چیست؟

  • 00
  • 22
  • −1-1
  • 11

پاسخنامه‌ی تحلیلی

حد راست در x=0x=0: lim⁡x→0+log⁡2(x+1)=log⁡2(1)=0\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\log_2(x+1)=\log_2(1)=0. حد چپ در x=0x=0: lim⁡x→0−(2x−1)=20−1=1−1=0\displaystyle\lim_{x\to 0^-}(2^x-1)=2^0-1=1-1=0. چون حد راست و حد چپ هر دو برابر 00 هستند، برای پیوستگی باید k=0k=0 باشد. سایر گزینه‌ها («22»، «−1-1»، «11») از محاسبه‌ی نادرست یکی از دو حد یک‌طرفه یا جای‌گذاری اشتباه در پایه‌ی لگاریتم/توان به‌دست می‌آیند. تله‌ی تستی: در این‌جور سؤال‌ها باید هر دو حد یک‌طرفه را جداگانه محاسبه کرد و با هم مقایسه کرد؛ فرض کردن اینکه فقط بررسی یک طرف کافی است، مقدار kk را اشتباه می‌کند.

مباحث مرتبط

هندسه تحلیلی و جبر (فصل 1 ریاضی 2) (علوم تجربی)هندسه (فصل 2 ریاضی 2) (علوم تجربی)تابع (فصل 3 ریاضی 2)(علوم تجربی)مثلثات (فصل 4 ریاضی 2) (علوم تجربی)توابع نمایی و لگاریتمی (فصل 5 ریاضی 2) (علوم تجربی)آمار و احتمال(فصل 7 ریاضی 2) (علوم تجربی)مجموعه، الگو و دنباله(فصل 1 ریاضی 1) (علوم تجربی)مثلثات (فصل 2 ریاضی 1) (علوم تجربی)توان های گویا و عبارت های جبری (فصل 3 ریاضی 1) (علوم تجربی)معادله ها و نامعادله ها (فصل 4 ریاضی 1) (علوم تجربی)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان