حد تابع و پیوستگی (ریاضی ۲)

پیش‌نیاز: تقسیم چندجمله‌ای‌ها

پیش از ورود به حد، یک ابزار جبری لازم داریم؛ چون در رفع ابهام $\frac00$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مدام به آن برمی‌گردیم. برای تقسیم $A(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بر $B(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با خارج‌قسمت $Q(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و باقی‌ماندهٔ $R(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

اگر $R(x)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شود، $B(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عاملی از $A(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. وقتی مقسوم‌علیه درجهٔ اول باشد، باقی‌مانده عددی ثابت است و بدون انجام تقسیم به دست می‌آید:

مثلاً باقی‌ماندهٔ تقسیم $P(x)=2x^3-7x^2+3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بر $x-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $P(1)=-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. کاربردش در حد مستقیم است: اگر در تابع گویا هم صورت و هم مخرج در $x=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صفر شوند، همین قضیه تضمین می‌کند $(x-a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بدون باقی‌مانده عاملِ هر دو است — یعنی عامل مشترکی هست که می‌توان حذفش کرد.

درس اول: مفهوم حد و همسایگی

پیش از هر محاسبه‌ای باید بدانیم دامنهٔ تابع دور و بر یک نقطه چه شکلی است. این را با همسایگی بیان می‌کنیم:

برای اینکه حد دوطرفه اصلاً قابل طرح باشد، تابع باید دست‌کم در یک همسایگی محذوف $x_0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعریف شده باشد. اگر تابع فقط از یک طرف تعریف شده باشد (مثل $\sqrt x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در صفر)، تنها همان حد یک‌طرفه معنا دارد. نمونهٔ همسایگی محذوف: $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $x_0=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همه‌جای اطرافش تعریف شده ولی خودش نه؛ به همین دلیل می‌شود دربارهٔ حدش حرف زد، هرچند $f(1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وجود ندارد.

ایدهٔ حد: می‌خواهیم رفتار تابع را در نزدیکی یک نقطه بسنجیم، نه مقدارش را در خود آن نقطه. برای $f(x)=2x-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هرچه $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به ۴ نزدیک‌تر شود ($3.9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $3.99$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $3.999$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و از آن سو $4.001$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $4.01$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، مقدار تابع به ۷ نزدیک‌تر می‌شود:

حد یک‌طرفه: اگر بتوان مقادیر $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را با نزدیک‌شدن $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از سمت چپ به عدد $l$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هرقدر بخواهیم نزدیک کرد، می‌نویسیم $\lim_{x\to x_0^-}f(x)=l$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ و به همین ترتیب برای نزدیک‌شدن از راست، $\lim_{x\to x_0^+}f(x)=l$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قضیهٔ اساسی:

یعنی حد دوطرفه هست اگر و تنها اگر هر دو حد یک‌طرفه وجود داشته و برابر باشند. اگر مثلاً $\lim_{x\to1^-}f(x)=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ولی $\lim_{x\to1^+}f(x)=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، حد دوطرفه در $x=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وجود ندارد.

حد و مقدار تابع دو چیز جدا هستند. اگر $\lim_{x\to a}f(x)=l$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، برای $f(a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سه حالت ممکن است:

دو تابع $f(x)=2x-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $h(x)=2x-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با قید $x\ne4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، در نزدیکی ۴ رفتار کاملاً یکسانی دارند و حد هر دو ۷ است؛ فقط یکی در خود نقطه مقدار دارد و دیگری نه. نمونهٔ یک‌طرفه هم روشن است: $\lim_{x\to0^+}\sqrt x=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اما $\lim_{x\to0^-}\sqrt x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اصلاً معنا ندارد، پس حد دوطرفه در صفر وجود ندارد.

درس دوم: محاسبهٔ حد توابع

اگر $\lim_{x\to a}f(x)=l$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\lim_{x\to a}g(x)=m$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، قوانین زیر برقرارند:

چندجمله‌ای‌ها: برای هر چندجمله‌ای $P(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $\lim_{x\to a}P(x)=P(a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ یعنی فقط جایگذاری. مثلاً $\lim_{x\to1}(3x^2+2x-7)=-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

توابع گویا: اگر $Q(a)\ne0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، باز هم جایگذاری مستقیم جواب می‌دهد: $\lim_{x\to2}\dfrac{x^2+1}{x+3}=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اما اگر $P(a)=Q(a)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شود (ابهام $\frac00$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، قانون تقسیم به کار نمی‌آید و باید عامل مشترک $(x-a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را از صورت و مخرج بیرون کشید و حذف کرد — این کار مجاز است، چون $x\to a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نزدیک می‌شود ولی برابرش نیست:

حواست باشد این روش فقط مخصوص $\frac00$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. در $\lim_{x\to-2}\dfrac{x^2+8}{x^2-4}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صورت برابر ۱۲ و مخرج صفر می‌شود؛ اینجا عامل مشترکی در کار نیست و حد وجود ندارد (به بی‌نهایت میل می‌کند).

توابع رادیکالی: وقتی حالت $\frac00$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همراه رادیکال است، صورت و مخرج را در مزدوج ضرب می‌کنیم تا رادیکال از یکی از دو طرف برداشته شود:

توابع مثلثاتی: سینوس و کسینوس همه‌جا پیوسته‌اند، پس $\lim_{x\to\alpha}\sin x=\sin\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\lim_{x\to\alpha}\cos x=\cos\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ مثلاً $\lim_{x\to\pi}\dfrac{\sin x+\cos x}{1+2\cos x}=\dfrac{-1}{-1}=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اما وقتی مخرج به صفر میل کند داستان فرق می‌کند: در $\lim_{x\to0^+}\dfrac{2\cos x}{\sin x}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صورت به ۲ و مخرج به صفرِ مثبت میل می‌کند، پس حاصل به $+\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رود و حد متناهی وجود ندارد. در کنار این‌ها یک حد کلیدی هست:

و نتیجه‌های مستقیمش: $\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(ax)}{bx}=\dfrac ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. نمونه: $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin5x}{\sin3x}=\dfrac53$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

تابع جزء صحیح $[x]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بزرگ‌ترین عدد صحیح کوچک‌تر یا مساوی $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را می‌دهد ($[2.3]=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $[-1.7]=-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). در نقاط صحیح، دو طرف با هم نمی‌خوانند:

ولی در نقاط غیرصحیح حد وجود دارد و برابر $[a]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ مثلاً $\lim_{x\to1.5}[x]=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قضیهٔ فشردگی: اگر $g(x)\le f(x)\le h(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در اطراف $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برقرار باشد و $\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، آنگاه $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم چاره‌ای جز میل‌کردن به $L$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ندارد. نمونهٔ کلاسیک: از $-1\le\sin\frac1x\le1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه می‌شود $-x^2\le x^2\sin\frac1x\le x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $\lim_{x\to0}x^2\sin\frac1x=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

حد در بی‌نهایت: $\lim_{x\to\pm\infty}\frac1x=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و برای نسبت دو چندجمله‌ای فقط درجه‌ها تعیین‌کننده‌اند:

برای توابع نمایی و لگاریتمی هم می‌توان حد را به داخل برد: $\lim_{x\to a}e^{f(x)}=e^{\lim f(x)}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و برای حد مثبت، $\lim_{x\to a}\log f(x)=\log\big(\lim f(x)\big)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

درس سوم: پیوستگی

شهودی‌اش این است که نمودار تابع پیوسته را می‌شود بدون برداشتن قلم از کاغذ کشید. تعریف دقیقش یک تساوی ساده است:

و همین یک خط، سه شرط را با هم می‌طلبد: $f(c)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعریف شده باشد، حد در $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وجود داشته باشد (یعنی دو طرف برابر باشند)، و این حد دقیقاً همان $f(c)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد. نبودِ هرکدام یعنی ناپیوستگی، و ناپیوستگی سه شکل دارد:

• رفع‌شدنی (نقطهٔ جدا): حد هست اما $f(c)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا وجود ندارد یا با حد فرق دارد؛ مثل $\frac{x^2-4}{x-2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که با تعریف $f(2)=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کاملاً ترمیم می‌شود.
• پرش: هر دو حد یک‌طرفه وجود دارند ولی برابر نیستند؛ مثل تابعی که برای $x<2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $x+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و برای $x\ge2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $x+3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد (حد چپ ۳، حد راست ۵).
• اساسی: مثل $\frac1x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $x=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که مقدار تابع بی‌کران می‌شود و هیچ تعریف تازه‌ای نجاتش نمی‌دهد.

پیوستگی یک‌طرفه: اگر $\lim_{x\to c^+}f(x)=f(c)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد تابع در $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از راست پیوسته است و اگر $\lim_{x\to c^-}f(x)=f(c)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد از چپ؛ پیوستگی کامل یعنی هر دو با هم. نمونه: $f(x)=[x]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از راست پیوسته است ($\lim_{x\to2^+}[x]=2=f(2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) ولی از چپ نه ($\lim_{x\to2^-}[x]=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، پس آنجا ناپیوسته است.

پیوستگی روی بازه:

کدام توابع همه‌جا پیوسته‌اند؟ چندجمله‌ای‌ها، $\sin x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\cos x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $a^x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $|x|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی کل $\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $\log_a x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $(0,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\sqrt x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $[0,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی هرکدام روی دامنهٔ خودشان. ترکیب‌کردن هم پیوستگی را خراب نمی‌کند: اگر $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پیوسته باشند، $f\pm g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $f\cdot g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و به شرط $g(c)\ne0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نسبت $\frac fg$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم پیوسته‌اند؛ و اگر $g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $g(c)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پیوسته باشد، تابع مرکب $f\circ g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پیوسته است، یعنی $\lim_{x\to c}f(g(x))=f(g(c))$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. در یک تابع گویا هم نقاط ناپیوستگی دقیقاً همان ریشه‌های مخرج‌اند.

قضیهٔ مقدار میانی: اگر $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $[a,b]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پیوسته باشد، برای هر عدد $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی میان $f(a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $f(b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دست‌کم یک $c\in(a,b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هست که $f(c)=k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پرکاربردترین شکلش برای ریشه‌یابی است: اگر $f(a)\cdot f(b)<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، معادلهٔ $f(x)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $(a,b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حداقل یک جواب دارد. مثلاً برای $f(x)=x^3+x-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $f(0)=-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $f(1)=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس این معادله در بازهٔ $(0,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ریشه دارد.

تعیین پارامتر برای پیوستگی یکی از پرتکرارترین قالب‌هاست: کافی است حد چپ، حد راست و مقدار تابع در نقطه را مساوی بگذاری. برای تابعی که به ازای $x\ne3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و در $x=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، چون $\lim_{x\to3}(x+3)=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، باید $k=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد.

نکات طلایی و خطاهای رایج

• حد یک تابع در یک نقطه به مقدار تابع در آن نقطه کاری ندارد؛ فقط رفتار اطراف مهم است.
• هر جا سؤال از وجود حد باشد، دو حد یک‌طرفه را جدا حساب کن.
• $\lim_{x\to a}[x]=[a]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط وقتی درست است که $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صحیح نباشد.
• در تابع تکه‌ای، هر طرف را با ضابطهٔ خودش حساب کن، نه با ضابطهٔ نقطه.

فرمول‌های تکمیلی پرکاربرد: