آمار و احتمال(فصل 7 ریاضی 2) (علوم تجربی)

درس اول: احتمال شرطی و پیشامدهای مستقل

مرور مفاهیم پایه

فضای نمونه ($S$): مجموعه همه نتایج ممکن یک آزمایش تصادفی. پیشامد: هر زیرمجموعه از $S$. دو پیشامد $A$ و $B$ ناسازگارند اگر $A \cap B = \emptyset$.

برای پیشامدهای ناسازگار: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

احتمال شرطی

یعنی احتمال رخ‌دادن $A$ با فرض اینکه می‌دانیم $B$ رخ داده — دانستن این اطلاعه، فضای نمونه را به $B$ محدود می‌کند.

مثال: در مسابقه رانندگی، $A$: عدم نقص فنی با $P(A)=0.8$، $B$: رسیدن به خط پایان، $P(A\cap B)=0.7$:

مثال دیگر: $P(A)=\frac14$، $P(B)=\frac16$، $P(A|B)=\frac13$. ابتدا:

نکات کنکوری: $P(A|B)+P(A'|B)=1$؛ $P(A|B)$ لزوماً با $P(B|A)$ برابر نیست؛ اگر $A\subset B$ آنگاه $P(A|B)=\dfrac{P(A)}{P(B)}$؛ قانون ضرب: $P(A \cap B) = P(B)\cdot P(A|B) = P(A)\cdot P(B|A)$.

پیشامدهای مستقل

دو پیشامد $A$ و $B$ مستقلند هرگاه وقوع یکی بر احتمال دیگری اثر نگذارد؛ شرط معادل:

اگر این تساوی برقرار نباشد، $A$ و $B$ وابستهاند. استقلال متقارن است.

مثال — پرتاب دو تاس: $B$: عدد ۲ در تاس اول، $P(B)=\frac16$.

• مجموع = ۷: $P(A)=\frac16$، $A\cap B=\{(2,5)\}\Rightarrow P(A\cap B)=\frac1{36}=P(A)P(B)$ ⟵ مستقل
• مجموع = ۱۰: $P(A)=\frac1{12}$، $A\cap B=\emptyset\Rightarrow P(A\cap B)=0\neq P(A)P(B)$ ⟵ وابسته

نکته کنکوری مهم: ناسازگاری و استقلال دو مفهوم متفاوتند! دو پیشامد ناسازگار با احتمال غیرصفر هرگز مستقل نیستند، چون $P(A\cap B)=0\neq P(A)\cdot P(B)$.

کاربردهای پرتکرار:

مثال (احمد): $P(\text{مدرسه})=0.7$، $P(\text{ملی})=0.8$، مستقل: هر دو $=0.56$؛ هیچ‌کدام $=0.06$؛ فقط یکی $=0.38$؛ حداقل یکی $=0.94$.

درس دوم: آمار توصیفی

معیارهای گرایش به مرکز

اگر به همه داده‌ها عدد $c$ اضافه شود: $\overline{x+c}=\bar{x}+c$؛ اگر در $c$ ضرب شوند: $\overline{cx}=c\bar{x}$.

میانه: داده‌ها را مرتب می‌کنیم؛ اگر $N$ فرد باشد میانه داده وسطی است، اگر زوج باشد میانگین دو داده وسطی. میانه برخلاف میانگین به داده‌های دورافتاده حساس نیست.

معیارهای پراکندگی

فرمول کوتاه‌تر: $\sigma^2 = \overline{x^2}-\bar{x}^2$.

مثال: نمرات $8,9,10,11,12$ با میانگین $10$:

ویژگی‌های واریانس و انحراف معیار: افزودن ثابت $c$ به داده‌ها آن‌ها را تغییر نمی‌دهد ($\sigma^2_{x+c}=\sigma^2_x$)؛ ضرب در $c$: $\sigma^2_{cx}=c^2\sigma^2_x$ و $\sigma_{cx}=c\cdot\sigma_x$.

ضریب تغییرات

برای مقایسهٔ پراکندگی مجموعه‌هایی با مقیاس‌های متفاوت به کار می‌رود. افزودن ثابت مثبت، $CV$ را کاهش می‌دهد؛ ضرب در ثابت مثبت، $CV$ را ثابت نگه می‌دارد.

مثال: نوزادان با جرم‌های $1.5$ و $2.5$: $\bar x=2$، $\sigma=0.5$، $CV=25\%$. افراد ۴۰ساله با جرم‌های $80$ و $81$: $\bar y=80.5$، $\sigma=0.5$، $CV\approx0.62\%$ — با اینکه اختلاف خام یکسان است، پراکندگی نسبی خیلی متفاوت است.

چارک‌ها

داده‌های مرتب‌شده به چهار قسمت مساوی تقسیم می‌شوند: $Q_1$ (۲۵٪)، $Q_2$=میانه (۵۰٪)، $Q_3$ (۷۵٪). دامنه میان‌چارکی $IQR=Q_3-Q_1$ به دورافتاده‌ها حساس نیست؛ داده $x$ دورافتاده است اگر $x<Q_1-1.5\,IQR$ یا $x>Q_3+1.5\,IQR$.

نکات کنکوری کلیدی: افزودن ثابت میانگین را تغییر می‌دهد ولی انحراف معیار را نه؛ ضرب در ثابت هر دو را در آن ثابت ضرب می‌کند؛ برای «حداقل یکی» از $1-P(A'\cap B')$ استفاده کن.

مثال دیگر احتمال شرطی (انتخاب کارت): از اعداد ۱ تا ۹ سه کارت انتخاب می‌شود. $A$: هر سه زوج، $n(A)=\binom43=4$. $B$: مجموع زوج (سه زوج یا دو فرد و یک زوج)، $n(B)=\binom43+\binom52\binom41=4+40=44$. چون $A\subset B$:

قضیه استقلال (فراتر از کتاب): اگر $A$ و $B$ مستقل باشند، آنگاه $A$ و $B'$ هم مستقلند:

نکته: اگر $P(A)=0$ یا $P(A)=1$، آنگاه $A$ با هر پیشامدی مستقل است.

استقلال چند پیشامد: پیشامدهای $A_1,\dots,A_n$ مستقل‌اند اگر برای هر زیرمجموعه‌ای از آن‌ها احتمال اشتراک برابر حاصل‌ضرب احتمال‌ها باشد؛ برای سه پیشامد مستقل: $P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)$.

مثال کاربردی ضریب تغییرات (مقایسه دو شرکت): شرکت $A$: حقوق‌های ۱٬۲۰۰٬۰۰۰ و ۱٬۶۰۰٬۰۰۰ تومان، $\bar x_A=1{,}400{,}000$، $\sigma_A=200{,}000$، $CV_A\approx14.3\%$. شرکت $B$: حقوق‌های ۲٬۵۰۰٬۰۰۰ و ۳٬۰۰۰٬۰۰۰ تومان، $\bar x_B=2{,}750{,}000$، $\sigma_B=250{,}000$، $CV_B\approx9.1\%$. چون $CV_A>CV_B$، در شرکت $A$ بی‌عدالتی نسبی بیشتری در پرداخت حقوق وجود دارد؛ با اینکه انحراف معیار شرکت $B$ خام بیشتر است.

دهک‌ها و صدک‌ها (خواندنی): چارک داده‌ها را به ۴ قسمت، دهک به ۱۰ قسمت ($D_1,\dots,D_9$) و صدک به ۱۰۰ قسمت ($P_1,\dots,P_{99}$) تقسیم می‌کند. رابطه‌های مهم: $Q_2=D_5=P_{50}$ (میانه)، $Q_1=P_{25}$، $Q_3=P_{75}$.

مثال محاسبه چارک (تصادف‌های ۱۵ روز): داده‌های مرتب‌شده: $10,12,14,15,16,18,\mathbf{19},23,25,27,31,32,34,41,43$. میانه ($Q_2$) داده هشتم یعنی $19$ است. برای شش داده قبل از میانه، $Q_1$ میانگین داده سوم و چهارم است:

نکات کنکوری پایانی: میانگین به داده‌های دورافتاده حساس است اما میانه نه؛ برای سؤال‌های «حداقل یکی» همیشه از $1-P(A'\cap B')$ استفاده کن که سریع‌تر از محاسبه مستقیم $P(A\cup B)$ است؛ ضریب تغییرات فقط برای داده‌های مثبت معنادار است و تنها برای مقایسهٔ مجموعه‌هایی با مقیاس‌های متفاوت به کار می‌رود، نه برای یک مجموعهٔ تنها.