احتمال شرطی و آمار توصیفی (ریاضی ۲)

درس اول: احتمال شرطی و پیشامدهای مستقل

یادآوری مفاهیم پایه

پدیدهٔ تصادفی پدیده‌ای است که نتیجه‌اش را نمی‌توان از پیش به‌طور قطعی پیش‌بینی کرد. مجموعهٔ همهٔ نتایج ممکنِ یک آزمایشِ تصادفی فضای نمونه ($S$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) نام دارد و هر زیرمجموعهٔ $S$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک پیشامد است. دو پیشامد $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وقتی ناسازگارند که $A \cap B = \emptyset$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی هرگز با هم رخ ندهند.

برای پیشامدهای ناسازگار جملهٔ اشتراک حذف می‌شود و $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

احتمال شرطی

فرض کن در قرعه‌کشیِ شماره‌های ۱ تا ۲۰ شمارهٔ ۸ مالِ توست. احتمالِ برنده شدنت $\frac{1}{20}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ اما اگر بدانی شمارهٔ برنده یک‌رقمی است، همین احتمال به $\frac{1}{9}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسد. اطلاعِ تازه فضای نمونه را کوچک می‌کند و همین ایدهٔ احتمالِ شرطی است:

چرا؟ چون وقتی می‌دانیم $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رخ داده، فضای نمونهٔ تازه خودِ $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است:

مثال: در یک مسابقهٔ رانندگی احتمالِ نداشتنِ نقصِ فنی $P(A) = 0.8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و احتمالِ اینکه هم نقصِ فنی پیش نیاید و هم اتومبیل به خطِ پایان برسد $P(A \cap B) = 0.7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. پس احتمالِ رسیدن به خطِ پایان به شرطِ نبودِ نقصِ فنی برابر است با:

چهار نکته‌ای که سرِ کنکور به کار می‌آید:

• $P(A|B) + P(A'|B) = 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، چون فضای نمونهٔ جدید $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• $P(A|B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی لزوماً برابرِ $P(B|A)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیست؛ جای شرط و پیشامد را عوض نکن.
• اگر $A \subset B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، آنگاه $P(A|B) = \dfrac{P(A)}{P(B)}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• اگر $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ناسازگار باشند، $P(A|B) = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قانون ضرب مستقیماً از همین تعریف بیرون می‌آید و برای محاسبهٔ احتمالِ اشتراک بسیار پرکاربرد است:

پیشامدهای مستقل

$A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مستقل‌اند اگر وقوعِ یکی احتمالِ دیگری را تغییر ندهد، یعنی $P(A|B) = P(A)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. با جایگذاری در تعریفِ احتمالِ شرطی، شرطِ معادل و عملیِ استقلال به دست می‌آید:

اگر این تساوی برقرار نباشد دو پیشامد وابسته‌اند. استقلال رابطه‌ای متقارن است: اگر $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مستقل باشد، $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم از $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مستقل است.

مثال کلیدی (دو تاس، $n(S) = 36$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). فرض کن $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی «تاسِ اول ۲ بیاید»، پس $P(B) = \frac{1}{6}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

• مجموع $= 7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: شش حالت دارد، $P(A) = \frac{1}{6}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $A \cap B = \{(2,5)\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $P(A \cap B) = \frac{1}{36} = P(A)P(B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و دو پیشامد مستقل‌اند.
• مجموع $= 5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: چهار حالت دارد، $P(A) = \frac{1}{9}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $P(A \cap B) = \frac{1}{36} \neq \frac{1}{54}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس وابسته‌اند.
• مجموع $= 10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: با تاسِ اولِ ۲ اصلاً ممکن نیست، پس $P(A \cap B) = 0 \neq \frac{1}{72}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و باز هم وابسته‌اند.

نتیجهٔ مهمِ همین مثالِ سوم: ناسازگاری و استقلال دو چیزِ کاملاً متفاوت‌اند. دو پیشامدِ ناسازگار با احتمالِ غیرصفر هرگز مستقل نیستند، چون اشتراکشان صفر است ولی حاصل‌ضربِ احتمال‌هایشان صفر نیست. در مقابل، اگر $P(A) = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $P(A) = 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با هر پیشامدی مستقل است.

قضیهٔ متمم‌ها: اگر $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مستقل باشند، جفت‌های $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $A'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و $A'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم مستقل‌اند. اثباتِ حالتِ اول:

برای بیش از دو پیشامد، استقلال یعنی برای هر زیرمجموعه‌ای از آن‌ها احتمالِ اشتراک برابرِ حاصل‌ضربِ احتمال‌ها باشد؛ مثلاً برای سه پیشامدِ مستقل $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

دو الگوی پرتکرار:

مثال: احتمالِ قهرمانیِ تیمِ مدرسهٔ احمد ۰٫۷ و تیمِ ملی ۰٫۸ و این دو مستقل‌اند. پس هر دو قهرمان شوند $0.56$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، هیچ‌کدام نشوند $0.3 \times 0.2 = 0.06$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، فقط یکی $0.38$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و دست‌کم یکی $1 - 0.06 = 0.94$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

درس دوم: آمار توصیفی

آمارِ توصیفی می‌خواهد یک تودهٔ داده را در چند عدد خلاصه کند و به دو پرسش پاسخ دهد: داده‌ها حولِ کجا جمع شده‌اند (گرایش به مرکز) و چقدر پخش‌اند (پراکندگی).

گرایش به مرکز

میانگین مرکزِ ثقلِ داده‌هاست و دو رفتارِ ساده دارد: با افزودنِ ثابتِ $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به همهٔ داده‌ها $\overline{x+c} = \bar{x} + c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و با ضربِ همهٔ داده‌ها در $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\overline{cx} = c\bar{x}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. همین دو خاصیت کارِ تبدیلِ واحد را راحت می‌کند؛ مثلاً اگر میانگینِ دما $\bar{C} = 28$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، بر حسبِ فارنهایت $\bar{F} = \frac{9}{5}(28) + 32 = 82.4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

میانه را با مرتب کردنِ داده‌ها می‌یابیم: اگر $N$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فرد باشد میانه دادهٔ $\frac{N+1}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییاُم است و اگر زوج باشد میانگینِ دو دادهٔ وسطی. میانه همان چارکِ دوم ($Q_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) است.

تفاوتِ مهمِ این دو: میانگین به داده‌های دورافتاده حساس است ولی میانه نه. مثلاً نمره‌های ۵، ۱۷، ۱۸، ۱۸، ۱۹ و ۲۰ میانهٔ ۱۸ دارند اما میانگینشان حدودِ ۱۶٫۱۷ است؛ آن نمرهٔ ۵ میانگین را پایین کشیده ولی میانه را تکان نداده است. پس وقتی دادهٔ پرت داریم، میانه تصویرِ صادق‌تری می‌دهد.

پراکندگی

ساده‌ترین معیار دامنهٔ تغییرات است:

عیبش این است که فقط به دو دادهٔ ابتدا و انتها نگاه می‌کند و بقیه را نادیده می‌گیرد. معیارِ دقیق‌تر واریانس است که میانگینِ مربعِ فاصلهٔ داده‌ها از میانگین را می‌سنجد، و جذرِ آن انحراف معیار:

فرمولِ سومی همان شکلِ کوتاهِ واریانس است و در محاسبه سریع‌تر از تعریفِ اصلی عمل می‌کند. چرا مربع می‌گیریم؟ چون مجموعِ خودِ انحراف‌ها همیشه صفر است: $\sum (x_i - \bar{x}) = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

ویژگی‌ها: واریانس هیچ‌وقت منفی نمی‌شود و فقط وقتی صفر است که همهٔ داده‌ها برابر باشند؛ افزودنِ ثابتِ $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی آن را تغییر نمی‌دهد ($\sigma^2_{x+c} = \sigma^2_x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) چون پراکندگی با جابه‌جا شدنِ کلِ داده‌ها عوض نمی‌شود؛ و ضرب در $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی آن را $c^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر می‌کند ($\sigma_{cx} = c\sigma_x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثبت). واحدِ واریانس مجذورِ واحدِ داده‌هاست و دقیقاً به همین دلیل معمولاً انحرافِ معیار را گزارش می‌کنیم که هم‌واحدِ خودِ داده‌هاست.

مثال روشنگر. کلاسِ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نمره‌های ۸، ۹، ۱۰، ۱۱، ۱۲ و کلاسِ $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نمره‌های ۰، ۵، ۱۰، ۱۵، ۲۰ دارد:

میانگین و میانه دقیقاً یکی‌اند، ولی وضعِ دو کلاس اصلاً شبیهِ هم نیست. این یعنی گزارشِ مرکز به‌تنهایی گمراه‌کننده است و بدونِ معیارِ پراکندگی تصویر ناقص می‌ماند.

ضریب تغییرات

این شاخص پراکندگی را نسبت به اندازهٔ خودِ داده‌ها می‌سنجد و برای مقایسهٔ مجموعه‌هایی با مقیاس‌های متفاوت به کار می‌رود. مثلاً جرمِ دو نوزاد $1.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $2.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کیلوگرم است ($\bar{x} = 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\sigma = 0.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $CV = 25\%$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و جرمِ دو مردِ چهل‌ساله ۸۰ و ۸۱ کیلوگرم ($\bar{x} = 80.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\sigma = 0.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $CV \approx 0.62\%$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). اختلافِ خام در هر دو گروه نیم کیلوگرم است، ولی پراکندگیِ نسبیِ نوزادان به‌مراتب بیشتر است.

رفتارش: افزودنِ ثابتِ مثبت $CV$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را کم می‌کند (چون $\sigma$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ثابت می‌ماند و $\bar{x}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بزرگ‌تر می‌شود) و ضرب در ثابتِ مثبت آن را بی‌تغییر می‌گذارد. ضریبِ تغییرات فقط برای داده‌های مثبت معنا دارد.

چارک، دهک و صدک

چارک‌ها داده‌های مرتب‌شده را به چهار بخشِ مساوی می‌شکنند: $Q_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که ۲۵ درصدِ داده‌ها زیرِ آن‌اند، $Q_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که همان میانه است، و $Q_3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با ۷۵ درصد. برای یافتنشان اول میانه را پیدا کن، بعد $Q_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را میانهٔ داده‌های پیش از میانه و $Q_3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را میانهٔ داده‌های پس از آن بگیر.

به همین ترتیب دهک‌ها داده‌ها را به ۱۰ بخش و صدک‌ها به ۱۰۰ بخش تقسیم می‌کنند، با روابطِ $Q_2 = D_5 = P_{50}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $Q_1 = P_{25}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $Q_3 = P_{75}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $D_1 = P_{10}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

دامنهٔ میان‌چارکی $IQR = Q_3 - Q_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پراکندگیِ ۵۰ درصدِ میانیِ داده‌هاست و مثلِ میانه به دورافتاده‌ها حساس نیست. دادهٔ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دورافتاده شمرده می‌شود اگر $x < Q_1 - 1.5\,IQR$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $x > Q_3 + 1.5\,IQR$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

جمع‌بندی اثر تبدیل‌ها