تالس، تشابه و ترسیم‌های هندسی (ریاضی ۲)

درس اول: ترسیم‌های هندسی

مکان هندسی، نقطهٔ شروع همه‌چیز

مکان هندسی مجموعهٔ تمام نقاطی است که یک شرط معین را برآورده می‌کنند. تقریباً هر ترسیمی که در این درس یاد می‌گیرید، در واقع «پیدا کردن نقطه‌ای که هم‌زمان دو شرط را دارد» است — یعنی تقاطع دو مکان هندسی.

شرط	مکان هندسی
$d(P,O)=r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	دایره به مرکز $O$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و شعاع $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$d(P,O)<r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	داخل دایره
$d(P,O)>r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	خارج دایره
$d(P,L)=d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	دو خط موازی با $L$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، هرکدام در فاصلهٔ $d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$d(P,A)=d(P,B)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	عمودمنصف $AB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$d(P,\ell_1)=d(P,\ell_2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	نیمسازهای زاویه

دایره به همین زبان تعریف می‌شود: $C(O,r)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مجموعهٔ نقاط $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است که $d(P,O)=r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ نقطه با $d(P,O)<r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داخل و با $d(P,O)>r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خارج دایره است.

عمودمنصف پاره‌خط

عمودمنصف خطی است که هم بر $AB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عمود است و هم از وسط آن می‌گذرد. مهم‌ترین قضیهٔ آن، دوشرطی است:

\boxed{P \text{ روی عمودمنصف } AB \iff PA = PB}

جهت اول ( $\Rightarrow$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین): اگر $W$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی عمودمنصف باشد و $M$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین وسط $AB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، در دو مثلث $WMA$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $WMB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم $WM$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مشترک، $MA=MB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و دو زاویهٔ $M$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هر دو قائمه؛ پس این دو مثلث هم‌نهشت‌اند (ضلع-زاویه-ضلع) و نتیجه $WA=WB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

جهت دوم ( $\Leftarrow$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین): اگر $PA=PB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، در دو مثلث $PMA$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $PMB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هر سه ضلع متناظر برابرند (ضلع-ضلع-ضلع)، پس زاویه‌های $\angle PMA$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\angle PMB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر و در نتیجه هرکدام $90°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شوند؛ یعنی $PM\perp AB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی عمودمنصف است.

روش ترسیم: پرگار را کمی بیش از نصف $AB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باز کنید، یک‌بار با مرکز $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و یک‌بار با همان شعاع با مرکز $B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کمان بزنید، و دو نقطهٔ تقاطع را به هم وصل کنید. چرایی‌اش دقیقاً همان قضیهٔ بالاست: هر دو نقطهٔ تقاطع از $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم‌فاصله‌اند، پس هر دو روی عمودمنصف‌اند و دو نقطه یک خط را تعیین می‌کنند.

نیمساز زاویه

نیمساز زاویهٔ $uOv$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خطی است که آن را به دو زاویهٔ مساوی تقسیم می‌کند، و قضیهٔ دوشرطی‌اش این است:

\boxed{P \text{ روی نیمساز } \angle uOv \iff d(P,Ou)=d(P,Ov)}

اثبات: از $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر دو ضلع زاویه عمود کنید و پای عمودها را $F_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $F_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بنامید. در دو مثلث $OPF_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $OPF_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: زاویه‌های رأس $O$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابرند (تعریف نیمساز)، $OP$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مشترک است و هر دو زاویهٔ پای عمود قائمه‌اند؛ پس دو مثلث هم‌نهشت‌اند و $PF_1=PF_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

روش ترسیم: با مرکز $O$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و شعاع دلخواه دو نقطهٔ $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $Q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی دو ضلع زاویه بگیرید (پس $OP=OQ$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)؛ عمودمنصف $PQ$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان نیمساز است. توجه کنید که هر دو ترسیم بالا، در عمل روی یک ساختار بنا شده‌اند: عمودمنصف.

عمود و موازی از نقطه‌ای خارج خط

برای رسم خط عمود از نقطهٔ $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر خط $d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: با مرکز $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و شعاعی به‌قدر کافی بزرگ، دو نقطهٔ $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را روی $d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین پیدا کنید؛ چون $PA=PB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، خودِ $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شرط عمودمنصف $AB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را دارد، پس عمودمنصف $AB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حتماً از $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌گذرد و بر $d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عمود است. اندازهٔ شعاع انتخابی هیچ اهمیتی ندارد، فقط باید آن‌قدر بزرگ باشد که دایره واقعاً $d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را قطع کند.

برای رسم خط موازی از $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: همان ساخت را دو بار تکرار کنید — نخست از $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خطی عمود بر $d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رسم کنید ( $d_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، سپس از $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خطی عمود بر $d_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ( $d_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین). چون $d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $d_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هر دو بر $d_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عمودند، موازی‌اند. طبق اصل موازی اقلیدس، از هر نقطهٔ خارج یک خط، دقیقاً یک خط موازی با آن می‌گذرد.

دایره‌های محاطی و محیطی مثلث

دو مکان هندسی بالا مستقیماً به دو دایرهٔ مهم مثلث می‌رسند:

دایره	مرکزش کجاست	چرا
محیطی (خارجی)	تقاطع عمودمنصف‌های سه ضلع	این نقطه از هر سه رأس هم‌فاصله است
محاطی (داخلی)	تقاطع نیمسازهای سه زاویه	این نقطه از هر سه ضلع هم‌فاصله است

شعاع‌هایشان با مساحت $S$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و نیم‌محیط $s=\dfrac{a+b+c}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آید:

r=\frac{S}{s} \qquad\qquad R=\frac{abc}{4S}=\frac{a}{2\sin A}

مثال: در مثلث قائم‌الزاویهٔ $3,4,5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم $S=6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $s=6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس $r=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $R=\dfrac{3\times4\times5}{24}=2.5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. جالب اینکه $R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دقیقاً نصف وتر شد — که با این نکته جور درمی‌آید که مرکز دایرهٔ محیطی مثلث قائم‌الزاویه وسط وتر است.

درس دوم: استدلال و قضیهٔ تالس

نسبت و تناسب

همهٔ محاسبه‌های تالس روی چند خاصیت سادهٔ تناسب سوارند. فرض کنید $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $b,d\neq0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

ضرب وسطین و طرفین: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\iff ad=bc$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (دو طرف را در $bd$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ضرب کنید).
معکوس کردن: $\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
ترکیب در مخرج: با افزودن عدد ۱ به دو طرف، $\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
تفضیل در صورت: با کم‌کردن عدد ۱ از دو طرف، $\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{c-d}{d}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
تعویض وسطین: $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. این یکی در تالس خیلی به کار می‌آید: از $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مستقیم به $\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{DB}{EC}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسید، بدون آنکه دوباره از اول تالس بنویسید.
خاصیت زنجیره‌ای: اگر $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}=k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، آنگاه $\dfrac{a+c+e}{b+d+f}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم برابر همان $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ چون $a=kb$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $c=kd$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $e=kf$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و با جمع کردن، $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از صورت بیرون می‌آید.

دو گونه استدلال

نوع	مسیر	مثال	اعتبار
استقرایی	از جزء به کل	مشاهدهٔ چند حالت و حدس یک قاعدهٔ کلی	ممکن است نادرست باشد
استنتاجی	از کل به جزء	از اصول پذیرفته‌شده به نتیجه رسیدن	قطعی و یقینی

در هندسه، حدس زدن با استقرا مجاز است، ولی اثبات فقط با استنتاج پذیرفته می‌شود.

قضیهٔ تالس

اگر در مثلث $ABC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خط $DE$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین موازی ضلع $BC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد ( $D$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی $AB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $E$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی $AC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین):

\boxed{\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}}

اثبات با مساحت: دو مثلث $DEB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $DEC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قاعدهٔ مشترک $DE$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارند و رأس‌هایشان روی خط $BC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که موازی $DE$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است قرار دارد، پس ارتفاعشان هم برابر است و $S_{DEB}=S_{DEC}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. حالا:

\frac{S_{ADE}}{S_{DEB}}=\frac{AD}{DB} \qquad \frac{S_{ADE}}{S_{DEC}}=\frac{AE}{EC}

(هر جفت مثلث، ارتفاعی مشترک نسبت به دو قاعدهٔ روی یک خط دارند.) چون مخرج‌های سمت چپ برابرند، سمت راست‌ها هم برابرند.

تعمیم: با ترکیب نسبت در مخرج، از همان رابطه می‌رسیم به

\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}

و به‌طور کلی‌تر، سه خط موازی روی هر دو قاطع (نه فقط روی اضلاع یک مثلث) نسبت‌های برابر می‌سازند.

عکس قضیه هم درست است، پس تالس یک قضیهٔ دوشرطی کامل است:

DE\parallel BC \iff \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}

اثبات عکس با برهان خلف: فرض کنید $DE$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین موازی $BC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نباشد. از $D$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خطی موازی $BC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رسم کنید که $AC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را در $E'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قطع کند. طبق خودِ قضیهٔ تالس $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE'}{E'C}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و با مقایسه با فرض مسئله $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AE'}{E'C}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ از اینجا $AE=AE'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی $E$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $E'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یکی‌اند، پس $DE$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان خط موازی است — تناقض با فرض خلف.

قضیه، عکس قضیه و روش‌های اثبات

هر قضیه یک فرض و یک حکم دارد؛ در عکس قضیه جای این دو عوض می‌شود. نکتهٔ مهم این است که درستی قضیه هیچ تضمینی برای درستی عکسش نیست — باید جداگانه اثبات شود. تالس و فیثاغورس هر دو از قضیه‌هایی هستند که عکسشان هم درست است، پس دوشرطی‌اند.

سه روش استدلال که در این فصل به کار می‌روند:

برهان مستقیم: از فرض، با زنجیره‌ای از استدلال‌ها، به حکم می‌رسیم.
برهان خلف: نقیض حکم را فرض می‌کنیم، از آن و از فرض اصلی به تناقض می‌رسیم، پس نقیض باطل و حکم درست است. نمونهٔ کلاسیکش اثبات یکتایی خط موازی از یک نقطه است.
مثال نقض: برای رد یک ادعای کلی، یک نمونهٔ ناقض کافی است. مثلاً «همهٔ اعداد اول فردند» با عدد $2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رد می‌شود. توجه کنید مثال نقض فقط رد می‌کند؛ هیچ تعداد مثال درستی نمی‌تواند جای اثبات را بگیرد.

تالس دوبل — الگوی Z

گاهی در یک شکل دو جفت خط موازی هم‌زمان وجود دارد: یکی در مثلث بزرگ و یکی در یکی از زیرمثلث‌ها. آن‌وقت تالس دو بار نوشته می‌شود و نتیجه‌ای بسیار پرتکرار می‌دهد.

فرض کنید در مثلث $ABC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، نقطهٔ $D$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی $AB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $E$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی $AC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد با $DE\parallel BC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ سپس $F$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی $AE$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین چنان گرفته شود که $DF\parallel BE$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. از تالس اول در مثلث $ABC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و از تالس دوم در مثلث $ABE$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AF}{AE}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. چون سمت چپ هر دو یکی است:

\frac{AF}{AE}=\frac{AE}{AC} \implies AE^2=AF\cdot AC

یعنی $AE$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین میانگین هندسی $AF$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $AC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است — دقیقاً همان ساختار $h^2=mn$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در مثلث قائم‌الزاویه، منتها این‌بار از دل تالس بیرون آمده. تلهٔ رایج: چون در صورت مسئله $DE\parallel BC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نوشته شده، خیلی‌ها همهٔ نسبت‌ها را نسبت به مثلث بزرگ می‌بندند؛ اما تالس دوم داخل مثلث کوچک‌تر $ABE$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رخ می‌دهد و باید با پایه و مخرج خودش نوشته شود.

تالس در ذوزنقه

در ذوزنقهٔ $ABCD$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $AB\parallel DC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، اگر پاره‌خط $MN$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (با $M$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی ساق $AD$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $N$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی ساق $BC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) موازی دو قاعده باشد، نسبتی که روی ساق‌ها ساخته می‌شود برابر نسبت ارتفاع‌های دو تکهٔ ذوزنقه است:

\frac{AM}{MD}=\frac{BN}{NC}=\frac{h_1}{h_2}

که $h_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فاصلهٔ $AB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا $MN$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $h_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فاصلهٔ $MN$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا $DC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. چرا؟ قطر $AC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را رسم کنید تا $MN$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را در $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قطع کند. در مثلث $ADC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین چون $MP\parallel DC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، تالس می‌دهد $\dfrac{AM}{MD}=\dfrac{AP}{PC}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ و در مثلث $ABC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین چون $PN\parallel AB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، همان تالس می‌دهد $\dfrac{BN}{NC}=\dfrac{AP}{PC}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. پس دو نسبت برابرند، و چون فاصلهٔ خطوط موازی هم به همین نسبت تقسیم می‌شود، رابطهٔ ارتفاع‌ها هم برقرار است. فایدهٔ عملی‌اش این است که اگر در سؤال به‌جای طول ساق، دو ارتفاع (یا مساحت دو تکه) داده شده باشد، مستقیم سراغ نسبت ارتفاع‌ها می‌روید.

درس سوم: تشابه مثلث‌ها

تعریف و نسبت تشابه

دو مثلث $ABC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $A'B'C'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین متشابهاند ( $\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) هرگاه زاویه‌های متناظرشان برابر و اضلاع متناظرشان متناسب باشند:

\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}=k

عدد $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نسبت تشابه است. ترتیب نوشتن رأس‌ها حیاتی است: $\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $A'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $B'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $C'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین متناظرند.

مثال: مثلثی با اضلاع $3,4,5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و مثلثی با اضلاع $6,8,10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین متشابه‌اند، چون هر سه نسبت برابر $\frac12$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

قضیهٔ اساسی و سه معیار تشابه

قضیهٔ اساسی: اگر $DE\parallel BC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، آنگاه $\triangle ADE\sim\triangle ABC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین — چون زاویه‌های متناظر برابرند و زاویهٔ $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مشترک است.

برای اثبات تشابه، لازم نیست همهٔ شرط‌ها را بررسی کنید؛ سه معیار کافی وجود دارد:

معیار	شرط
زاویه-زاویه (ZZ)	برابری فقط دو زاویه (زاویهٔ سوم خودبه‌خود برابر می‌شود)
ضلع-زاویه-ضلع (ZW)	تناسب دو ضلع و برابری زاویهٔ بین آن‌ها
ضلع-ضلع-ضلع (WWW)	تناسب هر سه جفت ضلع

در تست‌ها معمولاً ZZ سریع‌ترین راه است، چون پیدا کردن دو زاویهٔ برابر (متقابل به رأس، متناظر یا مشترک) آسان‌تر از محاسبهٔ نسبت‌هاست.

محیط، مساحت و نسبت تشابه

اگر نسبت تشابه $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، هر طول در مثلث (ضلع، محیط، ارتفاع، میانه، شعاع دایره‌ها) با همان $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تغییر می‌کند، اما مساحت با $k^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

\frac{\text{محیط}_1}{\text{محیط}_2}=k \qquad\qquad \frac{S_1}{S_2}=k^2

اثبات نسبت مساحت: با فرمول $S=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، چون $\sin A=\sin A'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، دو نسبت ضلع در هم ضرب می‌شوند و $k\cdot k=k^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آید.

مثلث قائم‌الزاویه و ارتفاع وارد بر وتر

این بخش، پرکاربردترین کاربرد تشابه است. در مثلث قائم‌الزاویهٔ $ABC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با زاویهٔ قائمهٔ $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ارتفاع $AH$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین وارد بر وتر، هر سه مثلث با هم متشابه‌اند:

\triangle ABC\sim\triangle HBA\sim\triangle HAC

با نمادگذاری $BC=a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $AB=c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $AC=b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $BH=m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $HC=n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $AH=h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، چهار رابطهٔ زیر مستقیماً از همین تشابه بیرون می‌آید:

h^2=m\cdot n \qquad c^2=m\cdot a \qquad b^2=n\cdot a \qquad bc=ah

رابطهٔ آخر از محاسبهٔ مساحت به دو روش ( $\frac12bc$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\frac12ah$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) می‌آید. نکتهٔ زیبا اینکه خود قضیهٔ فیثاغورس هم از اینجا بیرون می‌آید: جمع دو رابطهٔ وسط می‌دهد $b^2+c^2=(m+n)a=a^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مثال: اگر $BH=9$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $BC=10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، $HC=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، پس $AH=\sqrt{9\times1}=3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $AB=\sqrt{9\times10}=3\sqrt{10}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

خط میانی و کاربردهای عملی

قضیهٔ خط میانی: خط واصل وسط دو ضلع مثلث، موازی ضلع سوم و نصف آن است. اگر $M$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین وسط $AB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $N$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین وسط $AC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد:

MN\parallel BC \qquad MN=\frac{BC}{2}

اثباتش یک خط است: از $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac12$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و زاویهٔ مشترک $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، تشابه با نسبت $\frac12$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نتیجه می‌شود.

از کاربردهای کلاسیک تشابه، اندازه‌گیری غیرمستقیم ارتفاع است: چوبی به ارتفاع $1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین متر با سایهٔ $5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین متری، با نورافکنی به ارتفاع $60$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین متر مثلث‌های متشابه می‌سازد، و از $\dfrac{60}{d}=\dfrac{1}{5}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فاصلهٔ $d=300$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین متر به دست می‌آید.

جعبه‌ابزار نسبت مساحت

بخش قبل فقط یک حالت را پوشش داد: دو مثلث متشابه با نسبت مساحت $k^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. اما بیشتر سؤال‌های «نسبت مساحت» اصلاً به تشابه ربطی ندارند؛ دو مثلث فقط یک قاعده یا یک ارتفاع یا یک زاویه مشترک دارند:

حالت	نتیجه
ارتفاع مشترک (یک رأس مشترک، قاعده‌ها روی یک خط)	$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{a_1}{a_2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (نسبت قاعده‌ها)
قاعدهٔ مشترک (یک ضلع مشترک، رأس‌ها جدا)	$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{h_1}{h_2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (نسبت ارتفاع‌ها)
بدون اشتراک	$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{a_1}{a_2}\times\dfrac{h_1}{h_2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
زاویهٔ مشترک (لزوماً متشابه نیستند)	$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{p_1q_1}{p_2q_2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (نسبت ضرب دو ضلع مجاور آن زاویه)

سطر آخر مستقیماً از $S=\frac12pq\sin\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌آید: وقتی $\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یکی است، $\sin\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ساده می‌شود.

پرکاربردترین حالت، ارتفاع مشترک است: اگر $D$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی ضلع $BC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، دو زیرمثلث از رأس $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ارتفاع یکسانی دارند، پس $\dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\dfrac{BD}{DC}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

تلهٔ ترکیبی: در سؤال‌های سخت، این جدول همراه نسبت $k^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین لازم می‌شود — مثلاً با $DE\parallel BC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مساحت مثلث کوچک را از $k^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌گیرند و مساحت ذوزنقهٔ باقی‌مانده را می‌خواهند. نسبت مساحت ذوزنقه به مثلث کوچک برابر نسبت دو مثلث کامل نیست؛ باید اول $S_{ABC}-S_{ADE}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را جدا حساب کنید.

نکات طلایی کنکوری

نیمساز داخلی و نیمساز خارجی یک زاویه بر هم عمودند.
مرکز دایرهٔ محیطی در مثلث تیزگوشه داخل مثلث، در مثلث قائم‌الزاویه وسط وتر، و در مثلث منفرجه خارج مثلث است. نتیجهٔ مهمش: در مثلث قائم‌الزاویه وسط وتر از هر سه رأس هم‌فاصله و برابر نصف وتر است.
چهار شکل معادل تناسب تالس را با هم بشناسید:

\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC} \iff \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC} \iff \frac{DB}{AB}=\frac{EC}{AC} \iff \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}

تالس عمومی هم یادتان باشد: سه خط موازی روی دو قاطع دلخواه نسبت‌های برابر می‌سازند، حتی اگر هیچ مثلثی در شکل نباشد.
در تشابه، $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برای همهٔ طول‌ها و $k^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط برای مساحت است — این دو را جابه‌جا نکنید.
چهار رابطهٔ $h^2=mn$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $b^2=na$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $c^2=ma$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $bc=ah$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در تست مستقیم استفاده می‌شوند و ارزش حفظ کردن دارند.

قضایای تکمیلی (فراتر از کتاب)

قضیهٔ نیمساز (بیسکتور): نیمساز داخلی زاویهٔ $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ضلع $BC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را در $D$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قطع می‌کند، طوری که

\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}

نیمساز خارجی همان زاویه هم امتداد $BC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را در نقطه‌ای مثل $D'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قطع می‌کند و همان نسبت را می‌سازد، منتها به‌صورت خارجی.

رابطهٔ میانه: طول میانهٔ رسم‌شده از رأس $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به وسط $BC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}

قضیهٔ استوارت: اگر $AD$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هر پاره‌خطی از رأس $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به نقطه‌ای روی $BC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد با $BD=m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $DC=n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $AD=d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

b^2m+c^2n=a(d^2+mn)

نسبت طلایی: در پنج‌ضلعی منتظم، نسبت قطر به ضلع برابر $\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\approx1.618$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و مثلث‌های ساخته‌شده با قطر و دو ضلع، با هم متشابه‌اند.

قضیهٔ پاپوس: اگر $A,B,C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی یک خط و $D,E,F$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی خطی دیگر باشند، سه نقطهٔ تقاطع $AE\cap BD$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $AF\cap CD$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $BF\cap CE$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همواره هم‌خط‌اند.