هندسه (فصل 2 ریاضی 2) (علوم تجربی)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$13$» درست است. نقطهٔ $O$ محلِ تقاطعِ عمودمنصف‌ها، یعنی مرکزِ دایرهٔ محیطی است و از هر سه رأس به فاصلهٔ $R$ قرار دارد. گامِ ۱: پایِ عمودِ $O$ بر $AB$ را $M$ بنامیم. چون $OM\perp AB$ و $O$ از $A$ و $B$ به یک فاصله است، $M$ وسطِ $AB$ است، پس $AM=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5$. گامِ ۲: مثلثِ $OMA$ در $M$ قائمه است و $OM=12$، $AM=5$. با فیثاغورس: $$R^2=OA^2=OM^2+AM^2=12^2+5^2=144+25=169\Rightarrow R=13$$ وارسیِ مستقل (مختصاتی): $M$ را مبدأ و $AB$ را محورِ $x$ بگیریم؛ آنگاه $A=(-5,0)$، $B=(5,0)$ و $O=(0,12)$. فاصلهٔ $O$ تا $A$ برابر $\sqrt{25+144}=13$ و تا $B$ نیز $13$ است — هر دو با $R=13$ می‌خوانند. ردِ گزینه‌ها: «$10$» همان طولِ ضلعِ $AB$ است، نه شعاع. «$12$» همان فاصلهٔ $O$ تا ضلع ($OM$) است؛ این فاصله یک ساقِ مثلثِ قائم است نه وترِ آن، پس نمی‌تواند $R$ باشد. «$14$» از جمعِ نادرستِ $12+\frac{10}{2}-3$ یا از تقریب‌زدنِ $\sqrt{169}$ به عددِ بزرگ‌تر می‌آید؛ فیثاغورس دقیقاً $13$ می‌دهد. تلهٔ تستی: فاصلهٔ مرکزِ دایرهٔ محیطی تا یک ضلع، *نصفِ وتر* نیست؛ باید آن را با نصفِ همان ضلع در فیثاغورس ترکیب کرد تا $R$ به دست آید. رابطهٔ کلیدی: $R^2=d^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$AH=\frac{48}{10}$، $BH=\frac{36}{10}$، $HC=\frac{64}{10}$» درست است. گامِ ۱: با فیثاغورس $$BC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$$ گامِ ۲: از رابطهٔ $AB\cdot AC=BC\cdot AH$ داریم $$AH=\frac{6\times8}{10}=\frac{48}{10}=4.8$$ گامِ ۳: از روابطِ طلایی $AB^2=BH\cdot BC$ و $AC^2=HC\cdot BC$: $$BH=\frac{36}{10}=3.6,\qquad HC=\frac{64}{10}=6.4$$ وارسیِ مستقل: باید $BH+HC=BC$ شود: $\frac{36}{10}+\frac{64}{10}=\frac{100}{10}=10=BC$ ✓. هم‌چنین $AH^2=BH\cdot HC$ می‌دهد $4.8^2=23.04$ و $3.6\times6.4=23.04$ ✓. ردِ گزینه‌ها: گزینه‌های دارای $HC=\frac{44}{10}$ در آزمونِ جمع رد می‌شوند، چون $\frac{36}{10}+\frac{44}{10}=8\neq10$. گزینهٔ $HC=\frac{16}{10}$ نیز جمعِ $\frac{36+16}{10}=5.2\neq10$ می‌دهد. گزینهٔ $AH=\frac{24}{10}$ حاصلِ نصف‌کردنِ نابه‌جایِ $\frac{48}{10}$ است (خلطِ ارتفاع با نصفِ آن). تلهٔ تستی: سریع‌ترین راهِ ردِ گزینه‌ها در این تست، آزمونِ $BH+HC=BC$ است؛ پیش از هر محاسبهٔ دیگری این جمع را چک کنید تا سه گزینه در چند ثانیه حذف شوند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«ذوزنقه‌ای که $AD\parallel BC$ است ولی $AB$ و $DC$ موازی نیستند.» درست است. گامِ ۱: مثالِ نقض برای گزارهٔ «اگر $p$ آنگاه $q$» باید شکلی باشد که $p$ را *دارد* ولی $q$ را *ندارد*. اینجا $p$ یعنی «دو ضلعِ موازی دارد» و $q$ یعنی «متوازی‌الاضلاع است». گامِ ۲: ذوزنقهٔ غیرمتوازی‌الاضلاع دقیقاً همین است: یک زوجِ ضلعِ موازی دارد (فرض برقرار)، اما زوجِ دیگر موازی نیست، پس متوازی‌الاضلاع نیست (نتیجه نقض شد). وارسیِ مستقل (مختصاتی): چهارضلعیِ $A(0,0)$، $B(6,0)$، $C(4,3)$، $D(1,3)$ را در نظر بگیرید. $\vec{AB}=(6,0)$ و $\vec{DC}=(3,0)$ هم‌جهت‌اند پس $AB\parallel DC$؛ اما $\vec{AD}=(1,3)$ و $\vec{BC}=(-2,3)$ مضربِ هم نیستند، پس $AD\nparallel BC$. این شکل واقعاً وجود دارد و گزاره را نقض می‌کند. ردِ گزینه‌ها: «چهارضلعی‌ای که هیچ دو ضلعِ موازی ندارد» اصلاً فرضِ گزاره را ندارد، پس نمی‌تواند نقضش کند. «متوازی‌الاضلاعی که هر دو زوج موازی‌اند» هم فرض و هم نتیجه را دارد، یعنی *مثالِ موافق* است نه نقض. «لوزی» نوعی متوازی‌الاضلاع است و باز نتیجه را برآورده می‌کند. تلهٔ تستی: مثالِ نقض باید فرض را نگه دارد و فقط نتیجه را بشکند؛ انتخابِ شکلی که *فرض* را هم ندارد (مثلِ چهارضلعیِ بدونِ ضلعِ موازی) رایج‌ترین خطای این نوع سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$\dfrac{65}{8}$» درست است. گامِ ۱: با فرمولِ هرون، $$s=\frac{13+14+15}{2}=21$$ و $$S=\sqrt{21\times8\times7\times6}=\sqrt{7056}=84$$ گامِ ۲: $$abc=13\times14\times15=2730$$ پس $$R=\frac{abc}{4S}=\frac{2730}{4\times84}=\frac{2730}{336}=\frac{65}{8}=8.125$$ (ساده‌سازی: هر دو بر $42$ بخش‌پذیرند.) وارسیِ مستقل: مثلثِ ۱۳-۱۴-۱۵ از دو مثلثِ قائمِ ۵-۱۲-۱۳ و ۹-۱۲-۱۵ ساخته می‌شود که ارتفاعِ مشترکشان ۱۲ است؛ پس $S=\frac{15\times... }{}$ یا ساده‌تر $S=\frac{14\times12}{2}=84$ ✓. هم‌چنین از قانونِ سینوس‌ها $R=\frac{a}{2\sin A}$: با $\cos A=\frac{14^2+15^2-13^2}{2\times14\times15}=\frac{196+225-169}{420}=\frac{252}{420}=0.6$، پس $\sin A=0.8$ و $R=\frac{13}{2\times0.8}=\frac{13}{1.6}=8.125$ ✓. ردِ گزینه‌ها: «$\frac{65}{4}$» از گذاشتنِ $2S$ به‌جایِ $4S$ در مخرج می‌آید. «$\frac{65}{2}$» از فراموش‌کردنِ کاملِ ضریبِ $4$ (یعنی $\frac{abc}{S}$) ناشی می‌شود. «$4$» شعاعِ دایرهٔ *محاطی* است ($r=\frac{S}{s}=\frac{84}{21}=4$)، نه محیطی. تلهٔ تستی: یک وارسیِ سریع، نامساویِ $R\geq\frac{a_{\max}}{2}$ است: بزرگ‌ترین ضلع $15$ است، پس $R$ باید دستِ‌کم $7.5$ باشد — این بی‌درنگ گزینهٔ $4$ را رد می‌کند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$BD'>D'C$ و $\dfrac{BD'}{D'C}=\dfrac{8}{6}$» درست است. طبقِ قضیهٔ نیمسازِ خارجی: $\dfrac{BD'}{D'C}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{8}{6}$. چون $AB>AC$، نقطهٔ $D'$ به‌گونه‌ای روی امتدادِ $BC$ قرار می‌گیرد که $BD'>D'C$. گزینهٔ «$BD'<D'C$ و $\dfrac{BD'}{D'C}=\dfrac{8}{6}$» نسبتِ عددی را درست گرفته اما ترتیبِ نامساوی را وارونه بیان می‌کند. گزینه‌های «$BD'>D'C$ و $\dfrac{BD'}{D'C}=\dfrac{6}{8}$» و «$BD'<D'C$ و $\dfrac{BD'}{D'C}=\dfrac{6}{8}$» خودِ نسبت را وارونه ($AC/AB$ به‌جایِ $AB/AC$) گرفته‌اند. تلهٔ تستی: در قضیهٔ نیمسازِ خارجی، $BD'$ (فاصلهٔ $D'$ از رأسِ متناظر با ضلعِ *بزرگ‌تر*) همیشه بزرگ‌تر است — نیمسازِ خارجی نقطهٔ $D'$ را همیشه در سمتِ رأسِ ضلعِ کوچک‌تر (اینجا $C$) به بیرون می‌فرستد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«سهمی‌ای که $O$ کانون و $\ell$ خطِ هادیِ آن است» درست است. گامِ ۱: شرطِ مسئله $$d(P,O)=d(P,\ell)$$ است؛ یعنی فاصلهٔ $P$ تا یک نقطهٔ ثابت با فاصلهٔ آن تا یک خطِ ثابت برابر باشد. این دقیقاً *تعریفِ* سهمی است: نقطهٔ ثابت کانون و خطِ ثابت خطِ هادی نام دارد. گامِ ۲ (وارسیِ مختصاتی): $\ell$ را محورِ $x$ و $O=(0,c)$ با $c>0$ بگیریم. آنگاه $$\sqrt{x^2+(y-c)^2}=|y|\Rightarrow x^2+y^2-2cy+c^2=y^2\Rightarrow y=\frac{x^2+c^2}{2c}$$ که معادلهٔ یک سهمی است. رأسِ آن در $x=0$ یعنی $y=\frac{c}{2}$ قرار دارد — درستِ وسطِ $O$ و $\ell$، نه روی خودِ $\ell$. ردِ گزینه‌ها: «دایره‌ای به مرکز $O$» شرطِ فاصله تا خط را کاملاً نادیده می‌گیرد و فقط $d(P,O)$ را ثابت می‌گیرد، در حالی که اینجا این فاصله متغیر است. «عمودمنصف» مکانِ نقاطِ هم‌فاصله از دو *نقطه* است، نه از یک نقطه و یک خط. «نیمساز» مکانِ نقاطِ هم‌فاصله از دو *خط* است. تلهٔ تستی: سه مکانِ هندسیِ پایه را از هم تفکیک کنید: هم‌فاصله از دو نقطه ← عمودمنصف؛ هم‌فاصله از دو خط ← نیمساز؛ هم‌فاصله از یک نقطه و یک خط ← سهمی. هم‌چنین رأسِ این سهمی *وسطِ* عمودِ $O$ بر $\ell$ است، نه روی $\ell$.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

در عکس تالس، فرض می‌شود نسبت‌ها برقرارند و باید نشان داد خطوط موازی‌اند. اثبات مستقیم معمولاً با ساخت مثلث‌های مشابه و استفاده از زوایا انجام می‌شود؛ اما رویکرد کتاب از برهان خلف استفاده می‌کند: فرض می‌کنیم $DE$ با $BC$ موازی نیست ($DE\nparallel BC$) و از $D$ خطی موازی با $BC$ می‌کشیم که $AC$ را در $E'$ قطع کند. با استفاده از تالس در مثلث جدید، همان نسبت‌ها را برای $AE'/E'C$ به‌دست می‌آوریم؛ سپس با ترکیب نسبت‌ها نتیجه می‌شود $E=E'$. این تناقض با فرض $DE\nparallel BC$ است؛ بنابراین خطوط موازی‌اند. گزینهٔ ۳ این فرآیند را خلاصه می‌کند. تلهٔ تستی: برهانِ خلف زمانی به‌کار می‌رود که نتیجه به‌شکلِ منفی یا «یکتایی» باشد (مثلِ «فقط یک خط موازی وجود دارد») که اثباتِ مستقیمِ آن دشوار است — تشخیصِ این الگو، پیش‌نیازِ انتخابِ درستِ روشِ اثبات است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$23.2$» درست است. گامِ ۱: بررسیِ سازگاریِ داده‌ها: $m+n=4+6=10=a$ ✓ پس $D$ واقعاً روی $BC$ است. گامِ ۲: در رابطهٔ استوارت، $b=AC$ رو‌به‌روی رأسِ $B$ است و با $m=BD$ ضرب می‌شود؛ $c=AB$ رو‌به‌روی $C$ است و با $n=DC$ ضرب می‌شود: $$b^2m=8^2\times4=256,\qquad c^2n=6^2\times6=216$$ پس $$b^2m+c^2n=472$$ گامِ ۳: $$d^2=\frac{472}{10}-mn=47.2-24=23.2$$ وارسیِ مستقل (مختصاتی): چون $6^2+8^2=10^2$، مثلث در $A$ قائمه است. $B=(0,0)$، $C=(10,0)$ و $A=(3.6,4.8)$ (زیرا $AB=6$ و $AC=8$). نقطهٔ $D=(4,0)$ است، پس $$AD^2=(4-3.6)^2+(0-4.8)^2=0.16+23.04=23.2$$ ✓ ردِ گزینه‌ها: «$47.2$» یعنی فراموش‌کردنِ کسرِ $mn$ در انتها. «$71.2$» یعنی *جمع‌کردنِ* $mn$ به‌جایِ کم‌کردن. «$28.8$» از جابه‌جاکردنِ $m$ و $n$ می‌آید ($b^2n+c^2m=384+144=528$، $\frac{528}{10}-24=28.8$). تلهٔ تستی: در استوارت، هر ضلع با پاره‌خطِ *دورتر* از خودش ضرب می‌شود ($b$ با $m=BD$)؛ جابه‌جاییِ این تناظر جوابی می‌دهد که هنوز «معقول» به نظر می‌رسد و به همین دلیل خطرناک‌ترین گزینهٔ انحرافی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«مثلث قائم با اضلاع ۳،۴،۵» درست است. گامِ ۱: گزاره می‌گوید «در هر مثلث، هر ضلع از هر ارتفاع بزرگ‌تر است». برای نقضِ آن باید مثلثی بیابیم که در آن دستِ‌کم یک ارتفاع از دستِ‌کم یک ضلع بزرگ‌تر (یا مساوی) باشد. گامِ ۲: در مثلثِ قائمِ ۳-۴-۵ مساحت $S=\frac{3\times4}{2}=6$ است، پس ارتفاع‌ها: $$h_3=\frac{2S}{3}=4,\qquad h_4=\frac{2S}{4}=3,\qquad h_5=\frac{2S}{5}=2.4$$ اینجا $h_3=4$ است که از ضلعِ ۳ *بزرگ‌تر* است؛ گزاره نقض شد. وارسیِ مستقل: در مثلثِ قائم، دو ساق خودشان ارتفاعِ یکدیگرند؛ پس ارتفاعِ وارد بر ساقِ ۳ همان ساقِ ۴ است — بدونِ هیچ محاسبه‌ای معلوم است که $4>3$. ردِ گزینه‌ها: در متساوی‌الاضلاعِ ضلعِ ۲ داریم $h=\sqrt{3}\approx1.73$ که از ۲ کوچک‌تر است، پس گزاره را *تأیید* می‌کند نه نقض. در مثلثِ ۵،۵،۹ مساحت $\approx9.81$ و بزرگ‌ترین ارتفاع $\frac{2\times9.81}{5}\approx3.92$ است که از هر دو ضلعِ ۵ و ۹ کوچک‌تر است. در مثلثِ ۲،۲،۳ مساحت $\approx1.98$ و بزرگ‌ترین ارتفاع $\approx1.98$ است که باز از ۲ کوچک‌تر است. تلهٔ تستی: مثلثِ قائم‌الزاویه سریع‌ترین ابزارِ نقضِ چنین گزاره‌هایی است، چون در آن هر ساق هم‌زمان ضلع و ارتفاعِ ساقِ دیگر است؛ مثلث‌های «کشیده» یا متساوی‌الاضلاع معمولاً گزاره را تأیید می‌کنند نه نقض.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«با تلاش برای یافتنِ خطی غیرعمود از رأس به ضلعِ مقابل که از ارتفاع کوتاه‌تر باشد.» درست است. گامِ ۱: روشِ مثالِ نقض یعنی جست‌وجوی نمونه‌ای که حکم را بشکند. حکم می‌گوید «ارتفاع کوتاه‌ترین پاره‌خط از رأس تا ضلعِ مقابل است»، پس مثالِ نقض باید پاره‌خطی *غیرعمود* و کوتاه‌تر از ارتفاع باشد. گامِ ۲ (نتیجهٔ جست‌وجو): چنین پاره‌خطی وجود ندارد. اگر $AH$ ارتفاع و $AP$ پاره‌خطی دلخواه با $P\neq H$ روی ضلع باشد، مثلثِ $AHP$ در $H$ قائمه است و $AP$ وترِ آن؛ پس $$AP^2=AH^2+HP^2>AH^2\Rightarrow AP>AH$$ یعنی هر جست‌وجویی برای مثالِ نقض شکست می‌خورد و حکم تأیید می‌شود. وارسیِ مستقل (مختصاتی): ضلع را محورِ $x$ و $A=(0,h)$ بگیرید. فاصلهٔ $A$ تا نقطهٔ $(t,0)$ برابر $\sqrt{t^2+h^2}$ است که تنها در $t=0$ (یعنی همان پایِ عمود) کمینه و برابرِ $h$ می‌شود. ردِ گزینه‌ها: «اثباتِ استنتاجیِ مستقیم» روشِ درستی برای این حکم است، اما سؤال صراحتاً روشِ *مثالِ نقض* را می‌خواهد. «تشابهِ مثلث‌ها در مثلثِ قائم» ابزارِ روابطِ طلایی است و به کمینه‌بودنِ فاصله ربطی ندارد. گزینهٔ آخر حکم را «اصل» می‌نامد، در حالی که این یک قضیهٔ اثبات‌پذیر (از فیثاغورس) است. تلهٔ تستی: شکست‌خوردنِ جست‌وجوی مثالِ نقض، خودش دلیلِ اثباتی نیست؛ اما وقتی بتوان *نشان داد* چرا هیچ مثالِ نقضی ممکن نیست (اینجا با نامساویِ وتر)، همان استدلال به اثباتِ کامل تبدیل می‌شود.