توابع نمایی و لگاریتمی (فصل 5 ریاضی 2) (علوم تجربی)

درس اول: تابع نمایی و ویژگی‌های آن

انگیزه: در جام حذفی با ۳۲ تیم، در هر مرحله نصف تیم‌ها حذف می‌شوند: تعداد تیم باقی‌مانده در مرحلهٔ $x$ برابر $y=2^x$ است — این یک تابع نمایی است.

تعریف: هر تابع با ضابطهٔ $f(x)=a^x$ که $a>0$ و $a\neq1$ باشد، تابع نمایی نامیده می‌شود. اگر $a=1$، تابع ثابت $f(x)=1$ می‌شود که نمایی نیست؛ برای $a$ منفی، توان‌های کسری مثل $(-2)^{1/2}$ تعریف نمی‌شوند.

قوانین توان (با $a,b>0$، $a,b\neq1$، $x,y\in\mathbb{R}$):

ویژگی‌های نمودار $y=a^x$: دامنه $\mathbb{R}$، برد $(0,+\infty)$، همیشه از نقطهٔ $(0,1)$ می‌گذرد، محور $x$ را قطع نمی‌کند، یک‌به‌یک است. برای $a>1$ تابع صعودی است (هرچه $x$ بزرگ‌تر، $y$ بزرگ‌تر)؛ برای $0<a<1$ تابع نزولی است.

رابطهٔ $y=2^x$ و $y=(\frac12)^x$: چون $(\frac12)^x=2^{-x}$، نمودار $y=(\frac12)^x$ قرینهٔ نمودار $y=2^x$ نسبت به محور $y$ است.

معادلات نمایی: با یک‌به‌یک بودن تابع نمایی:

مثال: $4^{2x-1}=8^{x+1}$؛ با یکسان‌کردن پایه: $(2^2)^{2x-1}=(2^3)^{x+1}\implies2^{4x-2}=2^{3x+3}\implies4x-2=3x+3\implies x=5$.

مثال ترکیبی: $9^x=3^{x^2-4x} \implies 3^{2x}=3^{x^2-4x} \implies 2x=x^2-4x \implies x^2-6x=0 \implies x=0$ یا $x=6$.

کاربرد — رشد نمایی باکتری: اگر باکتری هر ۲۰ دقیقه دو برابر شود، تعداد پس از $t$ دقیقه $N(t)=2^{t/20}$ است.

عدد $e$ (فراتر از کتاب): مهم‌ترین پایهٔ توابع نمایی:

رشد و کاهش نمایی: رشد $P(t)=P_0\cdot a^t$ ($a>1$)؛ کاهش $Q(t)=Q_0\cdot a^t$ ($0<a<1$)؛ نیمه‌عمر: $Q(t)=Q_0\cdot(\frac12)^{t/T_{1/2}}$.

درس دوم: تابع لگاریتمی و ویژگی‌های آن

چون تابع نمایی $f(x)=a^x$ یک‌به‌یک است، وارونش نیز تابع است:

$\log_a x$ یعنی توانی که باید $a$ را به آن رساند تا $x$ به دست آید. مثال: $\log_2 8=3$ چون $2^3=8$؛ $\log_3\frac19=-2$ چون $3^{-2}=\frac19$.

لگاریتم اعشاری (پایهٔ ۱۰، بدون نوشتن مبنا): $\log a$. لگاریتم طبیعی (پایهٔ $e$): $\ln x$.

ویژگی‌های پایه:

قوانین لگاریتم:

اثبات قانون حاصل‌ضرب: فرض $m=\log_c a$، $n=\log_c b$، پس $a=c^m$، $b=c^n$؛ $ab=c^{m+n}$، پس $\log_c(ab)=m+n=\log_c a+\log_c b$.

قانون تغییر مبنا (فراتر از کتاب، مهم کنکور):

محاسبه با $\log2\approx0.3$ و $\log3\approx0.48$: $\log6=\log2+\log3\approx0.78$؛ $\log5=\log\frac{10}2=1-0.3=0.7$؛ $\log12=2\log2+\log3\approx1.08$.

نمودار تابع لگاریتمی: نمودار $y=\log_a x$ قرینهٔ نمودار $y=a^x$ نسبت به خط $y=x$ است. دامنه $(0,+\infty)$، برد $\mathbb{R}$، همیشه از $(1,0)$ می‌گذرد، آسمپتوت عمودی $x=0$. برای $a>1$ صعودی و برای $0<a<1$ نزولی است.

معادلات لگاریتمی: $\log_a x=\log_a y \iff x=y$ ($x,y>0$)؛ همیشه باید شرط مثبت‌بودن عبارت داخل لگاریتم بررسی شود.

مثال: $\log_5(x+6)+\log_5(x+2)=\log_5 5=1 \implies (x+6)(x+2)=5 \implies x^2+8x+7=0 \implies x=-7$ یا $x=-1$. بررسی: $x=-7$ رد می‌شود ($x+6<0$)؛ $x=-1$ قابل‌قبول است.

کاربرد — مقیاس ریشتر: $\log E=11.8+1.5M$؛ برای زلزلهٔ بم با $M=6.6$: $\log E=11.8+9.9=21.7 \implies E=10^{21.7}$ ارگ.

درس سوم: نمودارها و کاربردهای توابع نمایی و لگاریتمی

انتقال توابع: $f(x)+k$ بالا $k$ واحد؛ $f(x-h)$ راست $h$ واحد؛ $-f(x)$ قرینه نسبت به $x$؛ $f(-x)$ قرینه نسبت به $y$. مثال: $j(x)=3\cdot2^{x-1}$ یعنی انتقال به راست ۱ واحد و کشش عمودی ضریب ۳.

شناسایی نمودار از ضابطه: بررسی کن تابع در $x=0$ و $y=0$ چه مقداری دارد، صعودی است یا نزولی، آسمپتوتش افقی است (نمایی) یا عمودی (لگاریتمی).

کاربرد pH: $\text{pH}=-\log[\text{H}^+]$؛ محلول خنثی $[\text{H}^+]=10^{-7}\implies\text{pH}=7$.

کاربرد رشد جمعیت: $P(t)=P_0\cdot e^{rt}$؛ زمان دو برابر شدن جمعیت: $t=\dfrac{\ln2}{r}\approx\dfrac{0.693}{r}$. قانون ۷۲: با نرخ رشد $r\%$، مدت دو برابر شدن تقریباً $\dfrac{72}{r}$ سال است.

نکات طلایی کنکوری

• در $f(x)=a^x$ متغیر در توان است؛ اگر متغیر در پایه باشد ($x^2$)، تابع توانی است نه نمایی.
• برد تابع نمایی همیشه $(0,+\infty)$ است — هرگز صفر یا منفی نمی‌شود.
• برای حل $4^x-3\cdot2^x-4=0$ جایگذاری $t=2^x$ کن: $t^2-3t-4=0\implies(t-4)(t+1)=0\implies t=4\implies x=2$ ($t=-1$ رد می‌شود چون $2^x>0$).
• لگاریتم فقط برای اعداد مثبت تعریف می‌شود.
• $\log_a x=0\iff x=1$؛ $\log_a x=1\iff x=a$.
• قانون زنجیر: $\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c$.
• نامعادلهٔ نمایی $a^{f(x)}>a^{g(x)}$: اگر $a>1$ آنگاه $f(x)>g(x)$؛ اگر $0<a<1$ جهت نامساوی برعکس می‌شود.
• نامعادلهٔ لگاریتمی $\log_a f(x)>\log_a g(x)$ (با $a>1$): باید $f(x)>g(x)>0$ همزمان برقرار باشد.

نمونه‌های تکمیلی

جدول تبدیل نمایی-لگاریتمی

معادلات نمایی و لگاریتمی بیشتر

مثال (نوع درجه دو با تغییر مبنا): $\left(\dfrac3{25}\right)^{5x+1}=\left(\dfrac59\right)^{x+1}$؛ چون $\frac3{25}=\frac3{5^2}$ و $\frac59=\frac5{3^2}$، این نوع معادله را می‌توان با جایگذاری $t=\left(\dfrac35\right)^x$ حل کرد.

مثال معادلهٔ ربعی لگاریتمی: $\log_2(x+1)+\log_2(x+4)=2 \implies (x+1)(x+4)=4 \implies x^2+5x=0 \implies x=0$ یا $x=-5$. بررسی: $x=0$ قابل‌قبول ($1\times4=4$ ✓)؛ $x=-5$ رد می‌شود ($x+1<0$). جواب: $x=0$.

مثال یافتن پایه از روی نمودار: اگر نمودار $y=\log_a x$ از نقطهٔ $(2,4)$ بگذرد:

مثال یافتن پارامترهای انتقال: برای $y=a+2^{(x-b)}$، اگر نمودار از $(0,-4)$ بگذرد و آسمپتوت افقی $y=-5$ داشته باشد: چون $x\to-\infty \implies 2^{x-b}\to0$، پس آسمپتوت یعنی $a=-5$؛ از نقطهٔ $(0,-4)$: $-4=-5+2^{-b}\implies2^{-b}=1\implies b=0$.

هویت‌های تکمیلی (فراتر از کتاب)

مثال محاسبهٔ سریع با تغییر مبنا:

کاربردهای دیگر توابع نمایی-لگاریتمی

تراز شدت صوت: $\beta_{dB}=10\log\dfrac{I}{I_0}$ که $I_0=10^{-12}$ وات بر مترمربع (آستانهٔ شنوایی) است؛ صحبت معمولی حدود ۶۰ دسی‌بل و موتور جت حدود ۱۴۰ دسی‌بل است.

عمریابی کربن-۱۴ (فراتر از کتاب): $N(t)=N_0\cdot\left(\dfrac12\right)^{t/5730}$ که ۵۷۳۰ سال نیمه‌عمر کربن-۱۴ است؛ اگر $N(t)=0.6N_0$:

مقایسهٔ توابع نمایی و لگاریتمی:

کاربردهای بیشتر رشد و کاهش نمایی

رشد جمعیت جهان (مثال کتاب): $P(x)=3\cdot(1.017)^{x-1960}$ (جمعیت به میلیارد) — پایهٔ کمی بزرگ‌تر از ۱ یعنی رشد آهسته اما پیوسته.

داروی آسم (مثال کتاب): مقدار دارو در خون پس از $t$ دقیقه: $A=100(1-0.9^t)$ میلی‌گرم — با گذشت زمان $0.9^t\to0$ و $A$ به ۱۰۰ میلی‌گرم میل می‌کند.

فشار هوا و ارتفاع (مثال کتاب): $a=5500\cdot\log\dfrac{10}{p}$؛ برای قلهٔ دماوند ($a=5610$ متر):

تشخیص تابع نمایی از میان چند ضابطه (نمونه سؤال کنکور)

بررسی کن کدام ضابطه‌ها نمایی‌اند: $y=2x^2-3x+1$ (چندجمله‌ای، نیست)؛ $y=x^3$ (توانی، نیست)؛ $y=(0.1)^x$ (نمایی، هست)؛ $y=\left(\frac32\right)^x$ (نمایی، هست)؛ $y=3^x+2$ (نمایی انتقال‌یافته، هست).

بررسی نقاط روی نمودار $y=3^x$: نقطهٔ $(0,1)$ چون $3^0=1$ ✓؛ نقطهٔ $(1,3)$ چون $3^1=3$ ✓؛ نقطهٔ $\left(-1,\frac13\right)$ چون $3^{-1}=\frac13$ ✓.

تکنیک‌های سریع محاسبه (نکات کنکوری)

• $10^{0.3}\approx2$، $10^{0.48}\approx3$، $10^{0.7}\approx5$، $10^{0.78}\approx6$ — برای تخمین سریع لگاریتم اعداد اول کوچک مفیدند.
• مرتب‌سازی $a^x$ (با $a>1$) معادل مرتب‌سازی $x$ است — نیازی به محاسبهٔ عددی نیست.
• رابطهٔ سریع: $\log_{0.5}x=-\log_2 x$.
• برای تبدیل $a^{f(x)}=b$ به شکل لگاریتمی: $f(x)=\log_a b$.
• $\log_a x>0 \iff x>1$ وقتی $a>1$؛ و $\log_a x>0 \iff 0<x<1$ وقتی $0<a<1$ — این تفاوت علامت در نامعادلات کنکوری خیلی مهم است.

نکتهٔ نهایی: همیشه در پایان هر معادلهٔ لگاریتمی، جواب‌ها را در شرط تعریف‌شدگی (عبارت داخل لگاریتم مثبت) بررسی کن؛ جواب‌های خارج از دامنه باید حذف شوند، حتی اگر جبراً درست به نظر برسند.

خلاصهٔ فرمول‌های پرکاربرد فصل:

این فرمول‌ها پایهٔ حل تقریباً همهٔ سؤال‌های نمایی و لگاریتمی کنکورند.