تابع نمایی و لگاریتمی (ریاضی ۲)

درس اول: تابع نمایی و ویژگی‌های آن

از جام حذفی تا یک ضابطه

در جام حذفی با ۳۲ تیم، هر مرحله نصفِ تیم‌ها حذف می‌شوند: $32=2^5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، بعد $16=2^4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، بعد $8=2^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و... . اگر مسابقه $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مرحله داشته باشد، تعداد تیم‌های اولیه $y=2^x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. متغیر اینجا در توان نشسته، نه در پایه — و همین تفاوتِ ساده، کلِ رفتارِ تابع را عوض می‌کند.

قوانین توان (پیش‌نیاز)

برای $a,b>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $x,y\in\mathbb{R}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و با یادآوریِ $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

a^0=1,\quad a^{-x}=\frac{1}{a^x},\quad a^x\cdot a^y=a^{x+y},\quad \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}

(a^x)^y=a^{xy},\quad (ab)^x=a^x b^x,\quad \left(\frac ab\right)^x=\frac{a^x}{b^x}

تعریف و دو شرطِ آن

هر تابع با ضابطهٔ $f(x)=a^x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که در آن $a>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $a\neq1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، تابع نمایی است.

دو شرطِ روی $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تزئینی نیستند. اگر $a=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، $f(x)=1^x=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود؛ یعنی یک تابعِ ثابت، نه نمایی. اگر $a<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، توان‌های کسری از کار می‌افتند: $(-2)^{\frac12}=\sqrt{-2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین اصلاً تعریف نمی‌شود.

پس $y=2^x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $y=\left(\frac12\right)^x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $y=(0.1)^x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نمایی‌اند، اما $y=2x^2-3x+1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین چندجمله‌ای است، $y=x^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین توانی است (متغیر در پایه) و $y=x^x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هیچ‌کدام، چون پایه و توان هر دو متغیرند.

نمودار و رفتار

برای $y=2^x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جدولِ مقادیر سریع می‌گوید ماجرا از کجا می‌آید: $2^{-3}=\frac18$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $2^{-1}=\frac12$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $2^0=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $2^2=4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $2^3=8$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. نتیجه‌اش این است که هر تابعِ نمایی دامنهٔ $\mathbb{R}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و بردِ $(0,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد، همیشه از نقطهٔ $(0,1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌گذرد (چون $a^0=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، هرگز محور $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را قطع نمی‌کند و یک‌به‌یک است.

ویژگی	$a>1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$0<a<1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
رفتار	صعودی	نزولی
$x\to+\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$f(x)\to+\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$f(x)\to0^+$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$x\to-\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$f(x)\to0^+$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$f(x)\to+\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
آسمپتوت افقی	$y=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$y=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

همین جهتِ یکنوایی کلیدِ مقایسه‌هاست: اگر $a>1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $x<y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین آنگاه $a^x<a^y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ اما اگر $0<a<1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد نامساوی برعکس می‌شود و $a^x>a^y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. مثلاً $2^{-1}<2^{0.3}<2^{\frac32}<2^5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، در حالی که $\left(\frac12\right)^{-3}>\left(\frac12\right)^0>\left(\frac12\right)^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

قرینگی: چون $\left(\frac1a\right)^x=a^{-x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، نمودارهای $y=a^x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $y=\left(\frac1a\right)^x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نسبت به محور $y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قرینهٔ یکدیگرند.

معادلات و نامعادلات نمایی

معادله‌ای که متغیر در توانش باشد، معادلهٔ نمایی است. چون تابعِ نمایی یک‌به‌یک است:

\boxed{a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x) \qquad (a>0,\;a\neq1)}

روشِ استاندارد یعنی یکسان‌کردنِ پایه‌ها. مثال: $4^{2x-1}=8^{x+1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ هر دو طرف را با پایهٔ ۲ بنویسید: $2^{4x-2}=2^{3x+3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس $4x-2=3x+3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $x=5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. مثالِ ترکیبی: $9^x=3^{x^2-4x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود $2x=x^2-4x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، یعنی $x^2-6x=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $x=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $x=6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

وقتی هم‌پایه‌سازی جواب نداد، سراغِ تغییر متغیر بروید. در $4^x-3\cdot2^x-4=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قرار دهید $t=2^x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

t^2-3t-4=0 \implies (t-4)(t+1)=0

$t=4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌دهد $2^x=4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی $x=2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ اما $t=-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین پذیرفتنی نیست، چون $2^x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همیشه مثبت است. همین دقت، پرتکرارترین نمرهٔ ازدست‌رفتهٔ این مبحث است.

در نامعادله، علامتِ پایه سرنوشت‌ساز است:

a^{f(x)}>a^{g(x)} \implies \begin{cases} f(x)>g(x) & a>1\\ f(x)<g(x) & 0<a<1\end{cases}

مثلاً در $\left(\frac13\right)^{2x-1}>\left(\frac13\right)^{x+2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین چون پایه کوچک‌تر از ۱ است جهتِ نامساوی برمی‌گردد: $2x-1<x+2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس $x<3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

رشد و کاهش نمایی

فرمِ عمومیِ رشد $P(t)=P_0\cdot a^t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $a>1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و فرمِ کاهش $Q(t)=Q_0\cdot a^t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $0<a<1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. در پدیده‌های واپاشی، نیمه‌عمر ( $T_{1/2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) مدتی است که مقدارِ ماده نصف می‌شود:

Q(t)=Q_0\cdot\left(\frac12\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}

مثالِ کلاسیک: جمعیتی از ۱۰۰ باکتری که هر نیم‌ساعت دو برابر می‌شود، پس از $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ساعت برابرِ $p(t)=100\cdot2^{2t}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ بعد از ۳ ساعت $p(3)=100\times2^6=6400$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باکتری.

مهم‌ترین پایه در ریاضیات و علوم، عددِ اویلر است:

e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n\approx2.71828

درس دوم: تابع لگاریتمی و ویژگی‌های آن

لگاریتم، یعنی وارونِ نمایی

تابعِ نمایی یک‌به‌یک است، پس وارونش هم تابع است. همین وارون را لگاریتم می‌نامیم:

\boxed{a^y=x \iff y=\log_a x \qquad (x>0,\;a>0,\;a\neq1)}

ترجمهٔ ساده‌اش: $\log_a x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان توانی است که باید $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را به آن رساند تا $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست بیاید. مثال: $\log_2 8=3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین چون $2^3=8$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ $\log_3\frac19=-2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین چون $3^{-2}=\frac19$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ $\log_4 2=\frac12$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین چون $4^{\frac12}=2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

دو مبنا آن‌قدر پرکاربردند که نامِ اختصاصی گرفته‌اند: لگاریتم اعشاری با مبنای ۱۰ که مبنایش نوشته نمی‌شود ( $\log_{10}a=\log a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و لگاریتم طبیعی با مبنای $e$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که $\log_e x=\ln x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نوشته می‌شود.

ویژگی‌ها و قوانین

\log_a 1=0,\quad \log_a a=1,\quad \log_a\frac1a=-1,\quad a^{\log_a x}=x,\quad \log_a a^x=x

سه قانونِ اصلی، همان قوانینِ توان‌اند که از آینهٔ لگاریتم عبور کرده‌اند:

\boxed{\log_c(ab)=\log_c a+\log_c b}\quad \boxed{\log_c\frac ab=\log_c a-\log_c b}\quad \boxed{\log_c a^n=n\log_c a}

اثباتِ قانونِ اول: فرض کنید $m=\log_c a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $n=\log_c b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، یعنی $a=c^m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $b=c^n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. آن‌گاه $ab=c^m\cdot c^n=c^{m+n}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس $\log_c(ab)=m+n=\log_c a+\log_c b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. قانونِ کسر هم مستقیماً از همین به دست می‌آید، چون $\frac ab=a\cdot b^{-1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

فراتر از کتاب اما پرتکرار در کنکور، سه رابطهٔ زیر است:

\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a},\qquad \log_a b=\frac{1}{\log_b a},\qquad \log_a b\cdot\log_b c=\log_a c

و نیز $\log_{a^n}b^m=\frac mn\log_a b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. کاربردِ فوریِ تغییرِ مبنا: $\log_8 32=\frac{\log32}{\log8}=\frac{5\log2}{3\log2}=\frac53$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

محاسبه با تقریب: با $\log2\approx0.3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\log3\approx0.48$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌توان بسیاری از لگاریتم‌ها را بدون ماشین‌حساب ساخت: $\log6=\log2+\log3\approx0.78$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ $\log5=\log\frac{10}{2}=1-0.3=0.7$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ $\log12=2\log2+\log3\approx1.08$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ $\log0.75=\log3-2\log2\approx-0.12$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نمودار تابع لگاریتمی

نمودارِ $y=\log_a x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قرینهٔ نمودارِ $y=a^x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نسبت به خطِ $y=x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است — و همین تقارن، همهٔ ویژگی‌هایش را از تابعِ نمایی به ارث می‌برد، فقط با جای‌عوض‌کردنِ دامنه و برد:

ویژگی	$a>1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$0<a<1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
رفتار	صعودی	نزولی
$x\to+\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$f(x)\to+\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$f(x)\to-\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$x\to0^+$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$f(x)\to-\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$f(x)\to+\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
آسمپتوت عمودی	$x=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$x=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

دامنه $(0,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و برد $\mathbb{R}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، همهٔ توابعِ لگاریتمی از نقطهٔ $(1,0)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌گذرند و هیچ‌کدام محورِ $y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را قطع نمی‌کنند.

معادلات و نامعادلات لگاریتمی

\log_a x=\log_a y \iff x=y \qquad (x,y>0)

اما یک شرطِ همیشگی هست که فراموش‌کردنش جوابِ درست را غلط می‌کند: هر عبارتِ داخلِ لگاریتم باید مثبت باشد و جوابِ نهایی باید در این شرط بررسی شود.

مثال: $\log_5(x+6)+\log_5(x+2)=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. سمتِ چپ را به $\log_5[(x+6)(x+2)]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تبدیل و راست را $\log_5 5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بنویسید:

(x+6)(x+2)=5 \implies x^2+8x+7=0 \implies x=-7 \text{ یا } x=-1

$x=-7$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رد می‌شود چون $x+6=-1<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ تنها جوابِ قابل‌قبول $x=-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

در نامعادله‌ها هم دوباره پایه تعیین‌کننده است: برای $a>1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رابطهٔ $\log_a f(x)>\log_a g(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $f(x)>g(x)>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسد، و برای $0<a<1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $0<f(x)<g(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. دو نکتهٔ کوتاهِ مرتبط: اگر $a>1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین آنگاه $\log_a x>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دقیقاً وقتی $x>1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ و اگر $0<a<1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برعکس، $\log_a x>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین وقتی $0<x<1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

درس سوم: انتقال نمودارها و کاربردها

انتقال‌ها

ضابطه	تغییر
$f(x)+k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	انتقال به بالا به اندازهٔ $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$f(x-h)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	انتقال به راست به اندازهٔ $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$-f(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	قرینه نسبت به محور $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$f(-x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	قرینه نسبت به محور $y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$k\,f(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	کشش یا فشردگی عمودی

چند نمونه: $j(x)=3\cdot2^{x-1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی یک واحد به راست به‌علاوهٔ کششِ عمودیِ ضریبِ ۳؛ $l(x)=2+\log_3 x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی دو واحد به بالا؛ و $g(x)=\log_3(x-1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی یک واحد به راست، که دامنه‌اش هم به $(1,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تغییر می‌کند — انتقالِ افقیِ لگاریتم، آسمپتوتِ عمودی و دامنه را با خودش جابه‌جا می‌کند.

برای شناساییِ نمودار از روی ضابطه (و برعکس) چهار پرسش کافی است: در $x=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین چه مقداری دارد؟ کجا محورِ $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را قطع می‌کند؟ صعودی است یا نزولی (یعنی $a>1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $0<a<1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)؟ و آسمپتوتش افقی است (نمایی) یا عمودی (لگاریتمی)؟ آن‌گاه یک نقطهٔ معلوم، پارامترها را می‌دهد؛ مثلاً اگر $y=\log_a x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از $(2,4)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بگذرد: $4=\log_a 2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس $a^4=2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $a=\sqrt[4]{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

کاربردها

مقیاس ریشتر: $\log E=11.8+1.5M$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که $E$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین انرژیِ آزادشده (ارگ) و $M$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بزرگیِ زلزله است. برای زلزلهٔ بم ( $M=6.6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) داریم $\log E=21.7$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و برای رودبار-منجیل ( $M=7$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) داریم $\log E=22.3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ پس منجیل حدود $10^{0.6}\approx4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر بمِ پرانرژی‌تر بوده است. همین نکته نشان می‌دهد چرا مقیاسِ لگاریتمی فریبنده است: یک واحد اختلاف در ریشتر، اختلافِ انرژیِ بسیار بزرگی است.

تراز شدت صوت: $\beta_{dB}=10\log\frac{I}{I_0}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $I_0=10^{-12}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین وات بر مترمربع (آستانهٔ شنوایی)؛ صحبتِ معمولی حدود ۶۰ و موتورِ جت حدود ۱۴۰ دسی‌بل است.

pH: $\mathrm{pH}=-\log[\mathrm H^+]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ محلولِ خنثی با $[\mathrm H^+]=10^{-7}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $\mathrm{pH}=7$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسد.

رشد جمعیت: $P(t)=P_0\cdot e^{rt}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و زمانِ دوبرابرشدن از $2P_0=P_0e^{rt}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آید: $t=\frac{\ln2}{r}\approx\frac{0.693}{r}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. تقریبِ مشهورِ آن قانون ۷۲ است: با نرخِ رشدِ $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین درصد، جمعیت تقریباً در $\frac{72}{r}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سال دو برابر می‌شود.

عمریابی کربن-۱۴: $N(t)=N_0\left(\frac12\right)^{\frac{t}{5730}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که ۵۷۳۰ سال نیمه‌عمرِ کربن-۱۴ است؛ اگر $N(t)=0.6N_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، لگاریتم‌گرفتن از دو طرف می‌دهد $t=\frac{5730\log0.6}{\log0.5}\approx4226$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سال.

جمع‌بندی: دو تابع، یک آینه

ویژگی	$y=a^x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$y=\log_a x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
دامنه	$\mathbb{R}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$(0,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
برد	$(0,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\mathbb{R}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
قطع با محور $y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$(0,1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	ندارد
قطع با محور $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	ندارد	$(1,0)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
آسمپتوت	افقی $y=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	عمودی $x=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
وارون	$\log_a x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$a^x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

سه تلهٔ پرتکرارِ فصل را همیشه به یاد داشته باشید: متغیر در توان یعنی نمایی و در پایه یعنی توانی؛ بردِ تابعِ نمایی هرگز صفر یا منفی نمی‌شود، پس هر جوابِ منفی در تغییرِ متغیرِ $t=a^x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باید حذف شود؛ و هر جوابِ معادلهٔ لگاریتمی باید در شرطِ مثبت‌بودنِ عبارتِ داخلِ لگاریتم آزموده شود، حتی اگر جبراً بی‌عیب به نظر برسد.

خلاصه‌ی درسنامه