پرش به محتوای اصلی

تابع (فصل 3 ریاضی 2)(علوم تجربی)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

درس اول: آشنایی با برخی از انواع توابع

تعریف تابع: تابع ff از AA به BB به هر عضو x∈Ax\in A دقیقاً یک عضو y∈By\in B نسبت می‌دهد: y=f(x)y=f(x). دامنه (DfD_f) مجموعه ورودی‌ها و برد (RfR_f) مجموعه خروجی‌های واقعی است. اگر دامنه صریحاً ذکر نشود، دامنه طبیعی (بزرگ‌ترین مجموعه‌ای که تابع در آن معنی دارد) در نظر گرفته می‌شود.

توابع گویا: f(x)=P(x)Q(x)f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)} که P,QP,Q چندجمله‌ای‌اند و Q(x)≠0Q(x)\neq0.

Df=R∖{x∣Q(x)=0}D_f = \mathbb{R} \setminus \{x \mid Q(x) = 0\}

مثال: f(x)=x2−5x2+3x−10f(x)=\dfrac{x^2-5}{x^2+3x-10}؛ x2+3x−10=(x+5)(x−2)=0  ⟹  Df=R∖{−5,2}x^2+3x-10=(x+5)(x-2)=0 \implies D_f=\mathbb{R}\setminus\{-5,2\}.

تساوی دو تابع: f=gf=g اگر و فقط اگر Df=DgD_f=D_g و برای هر x∈Dfx\in D_f، f(x)=g(x)f(x)=g(x). دامنه را همیشه قبل از ساده‌کردن ضابطه حساب کن. مثال کلاسیک: f(x)=x2xf(x)=\dfrac{x^2}{x} و g(x)=xg(x)=x؛ چون Df=R∖{0}≠Dg=RD_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\neq D_g=\mathbb{R}، پس f≠gf\neq g با اینکه برای x≠0x\neq0 ضابطه‌ها یکسانند.

توابع رادیکالی: برای رادیکال با اندیس زوج، عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد:

f(x)=g(x)  ⟹  Df={x∣g(x)≥0}f(x)=\sqrt{g(x)} \implies D_f=\{x\mid g(x)\geq0\}

برای اندیس فرد (مانند x3\sqrt[3]x) هیچ محدودیتی نیست. مثال: f(x)=x2−4f(x)=\sqrt{x^2-4}؛ x2−4≥0  ⟹  Df=(−∞,−2]∪[2,+∞)x^2-4\geq0 \implies D_f=(-\infty,-2]\cup[2,+\infty).

انتقال نمودار: g(x)=x−ag(x)=\sqrt{x-a} انتقال به راست aa واحد؛ g(x)=x+bg(x)=\sqrt{x}+b انتقال به بالا bb واحد؛ g(x)=−xg(x)=-\sqrt x قرینه نسبت به محور xx؛ g(x)=−xg(x)=\sqrt{-x} قرینه نسبت به محور yy.

تابع جزء صحیح: [x]=n  ⟺  n≤x<n+1[x]=n \iff n\leq x<n+1 (n∈Zn\in\mathbb{Z}) — یعنی بزرگ‌ترین عدد صحیح کمتر یا مساوی xx. دام رایج: [−4.3]=−5[-4.3]=-5 نه −4-4! خواص مهم: [n]=n[n]=n (n∈Zn\in\mathbb{Z})، [x+n]=[x]+n[x+n]=[x]+n، و [−x]=−[x]−1[-x]=-[x]-1 (وقتی x∉Zx\notin\mathbb{Z}).

درس دوم: وارون یک تابع و تابع یک‌به‌یک

تابع وارون: اگر f={(a,b)}f=\{(a,b)\}، آنگاه f−1={(b,a)}f^{-1}=\{(b,a)\} (جای اعضای هر زوج مرتب عوض می‌شود):

Df−1=Rf,Rf−1=Df,f−1(y)=x  ⟺  f(x)=yD_{f^{-1}}=R_f, \quad R_{f^{-1}}=D_f, \qquad f^{-1}(y)=x \iff f(x)=y

تابع یک‌به‌یک: ff یک‌به‌یک است هرگاه x1≠x2  ⟹  f(x1)≠f(x2)x_1\neq x_2 \implies f(x_1)\neq f(x_2) (معادل: f(x1)=f(x2)  ⟹  x1=x2f(x_1)=f(x_2)\implies x_1=x_2). وارون یک تابع فقط زمانی خودش تابع است که تابع اصلی یک‌به‌یک باشد؛ زیرا اگر f(a)=f(b)=cf(a)=f(b)=c، آنگاه f−1f^{-1} باید هم aa و هم bb را به cc نسبت دهد که با تعریف تابع در تضاد است.

آزمون خط افقی: ff یک‌به‌یک است اگر و فقط اگر هر خط افقی نمودارش را حداکثر در یک نقطه قطع کند. قضیه مهم: هر تابع کاملاً صعودی یا کاملاً نزولی، یک‌به‌یک است.

روش یافتن ضابطه وارون: بنویس y=f(x)y=f(x)؛ xx را برحسب yy بیان کن؛ جای x,yx,y را عوض کن و بنویس f−1(x)=…f^{-1}(x)=\ldots؛ دامنه f−1f^{-1} را برابر برد ff بگذار. مثال: f(x)=2x+1f(x)=2x+1؛ y=2x+1  ⟹  x=y−12  ⟹  f−1(x)=x−12y=2x+1\implies x=\dfrac{y-1}{2}\implies f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}؛ بررسی: f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x))=x ✓.

محدودکردن دامنه برای یک‌به‌یک‌شدن: f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3 (سهمی با رأس در x=2x=2) روی R\mathbb{R} یک‌به‌یک نیست؛ اما روی [2,+∞)[2,+\infty) صعودی و یک‌به‌یک است:

f−1(x)=2+x+1(برای دامنه [2,+∞))f^{-1}(x)=2+\sqrt{x+1} \quad (\text{برای دامنه } [2,+\infty))

نمودار ff و f−1f^{-1}: نمودار f−1f^{-1} قرینه نمودار ff نسبت به خط y=xy=x است، چون (a,b)(a,b) روی نمودار ff باشد یعنی (b,a)(b,a) روی نمودار f−1f^{-1} است.

درس سوم: اعمال جبری روی توابع

(f±g)(x)=f(x)±g(x),(f⋅g)(x)=f(x)g(x),Df±g=Df⋅g=Df∩Dg(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x), \quad (f\cdot g)(x)=f(x)g(x), \qquad D_{f\pm g}=D_{f\cdot g}=D_f\cap D_g
(fg)(x)=f(x)g(x),Df/g=(Df∩Dg)∖{x∣g(x)=0}\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}, \qquad D_{f/g}=(D_f\cap D_g)\setminus\{x\mid g(x)=0\}

نکته مهم: دامنه تقسیم از دامنه ضرب کوچک‌تر است، چون نقاط صفرکنندهٔ مخرج هم حذف می‌شوند.

مثال با توابع رادیکالی: f(x)=xf(x)=\sqrt x، g(x)=−xg(x)=\sqrt{-x}؛ Df=[0,+∞)D_f=[0,+\infty)، Dg=(−∞,0]D_g=(-\infty,0]، پس Df+g=Df∩Dg={0}D_{f+g}=D_f\cap D_g=\{0\} — این تابع فقط در یک نقطه تعریف می‌شود!

ضرب اسکالر و انتقال: برای y=af(bx+c)+dy=af(bx+c)+d، ابتدا تغییرات داخل تابع (bx+cbx+c)، سپس ضرب خارجی aa، در آخر جمع dd اعمال می‌شود. مثال: y=−2x+3+1y=-2\sqrt{x+3}+1 یعنی از x\sqrt x ابتدا ۳ واحد چپ، سپس کشش عمودی ۲، سپس قرینه نسبت به xx، در آخر ۱ واحد بالا:

Df=[−3,+∞),Rf=(−∞,1]D_f=[-3,+\infty), \qquad R_f=(-\infty,1]

نکات کنکوری و مطالب تکمیلی

دامنه ترکیبی: شرط‌ها را با «و» (تقاطع) ترکیب کن. مثال: f(x)=x−1+1x−3f(x)=\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{x-3}؛ x≥1x\geq1 و x≠3  ⟹  Df=[1,3)∪(3,+∞)x\neq3 \implies D_f=[1,3)\cup(3,+\infty).

ترکیب توابع (فراتر از کتاب):

(f∘g)(x)=f(g(x)),Df∘g={x∈Dg∣g(x)∈Df}(f\circ g)(x)=f(g(x)), \qquad D_{f\circ g}=\{x\in D_g \mid g(x)\in D_f\}

عموماً f∘g≠g∘ff\circ g \neq g\circ f.

توابع زوج و فرد: زوج: f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) (تقارن نسبت به محور yy، مثل x2,cos⁡xx^2,\cos x)؛ فرد: f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) (تقارن نسبت به مبدأ، مثل x3,sin⁡xx^3,\sin x). خواص: زوج+زوج=زوج، فرد+فرد=فرد، زوج×فرد=فرد.

قضیه ارزش میانی (فراتر از کتاب): اگر ff روی [a,b][a,b] پیوسته و f(a)<k<f(b)f(a)<k<f(b)، آنگاه c∈(a,b)c\in(a,b) وجود دارد که f(c)=kf(c)=k؛ کاربرد اصلی: اثبات وجود ریشهٔ معادله.

نکته کنکوری مهم: f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x))=x برای همه x∈Dfx\in D_f؛ اگر ff نسبت به خط y=xy=x متقارن باشد آنگاه f=f−1f=f^{-1} (مثل f(x)=1xf(x)=\frac1x).

نمونه‌های کاربردی درس اول

مثال هزینهٔ پاک‌سازی رودخانه: p(x)=25x100−xp(x)=\dfrac{25x}{100-x} که xx درصد آلودگی پاک‌سازی‌شده و p(x)p(x) هزینه بر حسب میلیون تومان است.

100−x=0  ⟹  x=100  ⟹  Dp=[0,100)100-x=0 \implies x=100 \implies D_p=[0,100)

یعنی هیچ‌وقت نمی‌توان ۱۰۰٪ آلودگی را کاملاً پاک کرد، چون هزینه به بی‌نهایت میل می‌کند.

مثال پرتاب آزاد: با ۷ موفق از ۱۰ پرتاب اولیه، اگر xx پرتاب بعدی همه موفق باشند: f(x)=7+x10+xf(x)=\dfrac{7+x}{10+x}. برای رسیدن به درصد موفقیت ۸۰٪:

7+x10+x=0.8  ⟹  7+x=8+0.8x  ⟹  0.2x=1  ⟹  x=5\frac{7+x}{10+x}=0.8 \implies 7+x=8+0.8x \implies 0.2x=1 \implies x=5

یعنی پس از ۵ پرتاب موفق پیاپی، درصد موفقیت به ۸۰٪ می‌رسد.

تابع پله‌ای (مثال هزینه پارکینگ):

f(x)={30<x≤242<x≤2.552.5<x<363≤x≤5f(x) = \begin{cases} 3 & 0 < x \leq 2 \\ 4 & 2 < x \leq 2.5 \\ 5 & 2.5 < x < 3 \\ 6 & 3 \leq x \leq 5 \end{cases}

روی نمودار، نقطه بسته (توپر) یعنی عضو دامنه است و نقطه باز (توخالی) یعنی تعریف‌نشده در آن نقطه.

مثال محاسبات جزء صحیح: [300.4002]=300[300.4002]=300، [−103.003]=−104[-103.003]=-104، [−2309.54]=−2310[-2309.54]=-2310 — همیشه یادت باشد برای اعداد منفی غیرصحیح، جزء صحیح یک واحد کوچک‌تر از قسمت صحیح ظاهری است.

نمونه‌های بیشتر درس دوم

مثال محدودکردن دامنه یک تابع درجه دو دیگر: برای f(x)=x2f(x)=x^2 با Df=[0,+∞)D_f=[0,+\infty): y=x2  ⟹  x=yy=x^2\implies x=\sqrt y (x≥0x\geq0)   ⟹  f−1(x)=x\implies f^{-1}(x)=\sqrt x با Df−1=[0,+∞)D_{f^{-1}}=[0,+\infty).

جدول یک‌به‌یک بودن توابع پرکاربرد:

تابع یک‌به‌یک؟ دلیل
f(x)=2x+3f(x)=2x+3 بله خطی غیر ثابت
f(x)=x2f(x)=x^2 خیر f(1)=f(−1)=1f(1)=f(-1)=1
f(x)=x3f(x)=x^3 بله کاملاً افزایشی
f(x)=∣x∣f(x)=|x| خیر f(2)=f(−2)=2f(2)=f(-2)=2
f(x)=1xf(x)=\frac1x بله کاملاً کاهشی روی هر بازه

جدول جمع‌بندی انواع توابع (کنکوری)

نوع تابع ضابطه دامنه طبیعی یک‌به‌یک؟
خطی f(x)=ax+bf(x)=ax+b، a≠0a\neq0 R\mathbb{R} بله
درجه ۲ f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c R\mathbb{R} خیر (با محدودیت دامنه، بله)
گویا P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)} R∖{Q=0}\mathbb{R}\setminus\{Q=0\} بستگی دارد
رادیکالی g(x)\sqrt{g(x)} {g(x)≥0}\{g(x)\geq0\} بله اگر gg خطی
جزء صحیح [x][x] R\mathbb{R} خیر

مثال جامع اعمال جبری

f(x)=x2−5xf(x)=\sqrt{x^2-5x}، g(x)=x2+3x−10g(x)=x^2+3x-10. دامنهٔ ff: x(x−5)≥0  ⟹  Df=(−∞,0]∪[5,+∞)x(x-5)\geq0\implies D_f=(-\infty,0]\cup[5,+\infty). دامنهٔ gg: R\mathbb{R}. برای f/gf/g، صفرهای مخرج: (x+5)(x−2)=0  ⟹  x=−5,2(x+5)(x-2)=0\implies x=-5,2:

Df/g=[(−∞,0]∪[5,+∞)]∖{−5}=(−∞,−5)∪(−5,0]∪[5,+∞)D_{f/g} = \big[(-\infty,0]\cup[5,+\infty)\big]\setminus\{-5\} = (-\infty,-5)\cup(-5,0]\cup[5,+\infty)

نکات کنکوری تکمیلی جزء صحیح:

[x]+[−x]={0x∈Z−1x∉Z[[x]n]=[xn](n∈N)[x]+[-x]=\begin{cases}0 & x\in\mathbb{Z}\\-1 & x\notin\mathbb{Z}\end{cases} \qquad \left[\frac{[x]}{n}\right]=\left[\frac{x}{n}\right] \quad (n\in\mathbb{N})

حل معادله [ax+b]=c[ax+b]=c:

[ax+b]=c  ⟺  c≤ax+b<c+1  ⟺  c−ba≤x<c+1−ba[ax+b]=c \iff c\leq ax+b<c+1 \iff \frac{c-b}{a}\leq x<\frac{c+1-b}{a}

رابطهٔ ترکیب و وارون (فراتر از کتاب):

f−1∘f=ID(تابع هویت روی دامنه),f∘f−1=IRff^{-1}\circ f = I_D \quad (\text{تابع هویت روی دامنه}), \qquad f\circ f^{-1} = I_{R_f}

توابع صعودی و نزولی: x1<x2  ⟹  f(x1)<f(x2)x_1<x_2\implies f(x_1)<f(x_2) یعنی صعودی؛ x1<x2  ⟹  f(x1)>f(x2)x_1<x_2\implies f(x_1)>f(x_2) یعنی نزولی. اثبات یک‌به‌یک‌بودن تابع صعودی: اگر x1≠x2x_1\neq x_2، بدون از دست دادن کلیت x1<x2x_1<x_2، پس f(x1)<f(x2)f(x_1)<f(x_2)، یعنی f(x1)≠f(x2)f(x_1)\neq f(x_2).

توابع پیوسته و ناپیوسته: تابع پیوسته یعنی نمودارش بدون برداشتن قلم قابل رسم است. توابع گویا، رادیکالی و جزء صحیح ممکن است ناپیوسته باشند — مثلاً f(x)=1xf(x)=\frac1x در x=0x=0 و f(x)=[x]f(x)=[x] در هر عدد صحیح ناپیوسته‌اند (پرش دارند).

نمونه تست

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. دامنهٔ تابع f(x)=x2−4x+1f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-4}}{x+1} کدام است؟

  • (−∞,−2]∪[2,+∞)∖{−1}(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\setminus\{-1\}
  • (−∞,−2)∪(2,+∞)(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)
  • [−2,+∞)∖{−1}[-2,+\infty)\setminus\{-1\}
  • (−∞,−1)∪(−1,+∞)(-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

شرط رادیکال: x2−4≥0⇒x≤−2x^2-4\ge0\Rightarrow x\le-2 یا x≥2x\ge2. شرط مخرج: x≠−1x\neq-1. عدد −1-1 در هیچ‌یک از این دو بازه نیست، پس حذفش اثری در مجموعه ندارد؛ دامنهٔ نهایی «(−∞,−2]∪[2,+∞)∖{−1}(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\setminus\{-1\}» است که با «(−∞,−2)∪(2,+∞)(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)» فرق دارد چون آن یکی نقاطِ مرزیِ ±2\pm2 را که رادیکال در آن‌ها دقیقاً صفر می‌شود (مجاز) به‌اشتباه حذف کرده. «[−2,+∞)∖{−1}[-2,+\infty)\setminus\{-1\}» بخشِ x≤−2x\le-2 را کاملاً کنار گذاشته. «(−∞,−1)∪(−1,+∞)(-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)» فقط شرطِ مخرج را در نظر گرفته و شرطِ رادیکال را نادیده گرفته. تلهٔ تستی: نقطه‌ای که خارج از بازهٔ مجازِ رادیکال باشد (اینجا −1-1)، ذکرِ حذفش در نماد بی‌اثر است ولی نادرست هم نیست؛ اشتباهِ رایج‌تر نادیده‌گرفتنِ کاملِ شرطِ رادیکال است.

2. اگر f(x)=3−x+x−1f(x)=\sqrt{3-x}+\sqrt{x-1} باشد، دامنهٔ تابع کدام است؟

  • [1,3][1,3]
  • [1,+∞)[1,+\infty)
  • (−∞,3](-\infty,3]
  • [0,3][0,3]

پاسخنامه‌ی تحلیلی

شرط‌ها: 3−x≥0⇒x≤33-x\ge0\Rightarrow x\le3 و x−1≥0⇒x≥1x-1\ge0\Rightarrow x\ge1. تقاطع: 1≤x≤31\le x\le3. پس دامنه [1,3][1,3] است و «[1,3][1,3]» درست است. تلهٔ تستی: دامنهٔ مجموعِ دو رادیکال همیشه **تقاطعِ** دو شرط است، نه اتحادشان؛ فراموش‌کردنِ یکی از دو شرط شایع‌ترین اشتباه است.

3. تابع f(x)=x2−5x+6+1x−2f(x)=\sqrt{x^2-5x+6}+\dfrac{1}{x-2} را در نظر بگیرید. دامنهٔ آن چیست؟

  • (−∞,2)∪(3,+∞)(-\infty,2)\cup(3,+\infty)
  • (−∞,2)∪[3,+∞)(-\infty,2)\cup[3,+\infty)
  • (−∞,1]∪[2,+∞)∖{2}(-\infty,1]\cup[2,+\infty)\setminus\{2\}
  • (−∞,1]∪[3,+∞)∖{2}(-\infty,1]\cup[3,+\infty)\setminus\{2\}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«(−∞,2)∪[3,+∞)(-\infty,2)\cup[3,+\infty)» درست است. شرطِ رادیکال: x2−5x+6=(x−2)(x−3)≥0⇒x≤2x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\ge0 \Rightarrow x\le2 یا x≥3x\ge3. شرطِ مخرج: x≠2x\neq2. تقاطعِ این دو: x<2x<2 یا x≥3x\ge3، یعنی (−∞,2)∪[3,+∞)(-\infty,2)\cup[3,+\infty). «(−∞,2)∪(3,+∞)(-\infty,2)\cup(3,+\infty)» غلط است چون در x=3x=3 عبارتِ زیرِ رادیکال دقیقاً صفر می‌شود (0=0\sqrt0=0) و مخرج در آن نقطه (3−2=13-2=1) صفر نیست، پس x=3x=3 باید در دامنه بماند نه حذف شود. «(−∞,1]∪[2,+∞)∖{2}(-\infty,1]\cup[2,+\infty)\setminus\{2\}» غلط است چون ریشه‌هایِ عبارتِ زیرِ رادیکال را اشتباه محاسبه کرده (به‌جایِ 2,32,3، عددِ 11 را آورده). تلهٔ تستی: وقتی نقطه‌ای فقط صورتِ رادیکال (نه مخرج) را صفر می‌کند، آن نقطه باید با کروشهٔ بسته در دامنه بماند؛ فقط نقطه‌ای که مخرج را صفر می‌کند با دایرهٔ باز حذف می‌شود.

4. برد تابع f(x)=x2+2x+2f(x)=x^2+2x+2 کدام است؟

  • [1,+∞)[1,+\infty)
  • (−∞,1](-\infty,1]
  • [2,+∞)[2,+\infty)
  • (−∞,+∞)(-\infty,+\infty)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

تابع درجه دوم با ضریب مثبت؛ رأس: x=−b2a=−22=−1x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2}{2}=-1. مقدار در رأس: f(−1)=1−2+2=1f(-1)=1-2+2=1. چون سهمی رو به بالا است، حداقل مقدار 1 و برد [1,+∞)[1,+\infty) است. «[1,+∞)[1,+\infty)» درست است. تلهٔ تستی: بردِ سهمیِ رو-به-بالا همیشه بازه‌ای از مقدارِ رأس تا +∞+\infty است، نه فقط خودِ مقدارِ رأس؛ فراموش‌کردنِ نمادِ بازه (به‌جایِ فقط عدد) خطایِ رایج است.

5. برد تابع f(x)=1x2+1f(x)=\dfrac{1}{x^2+1} چیست؟

  • (0,1](0,1]
  • [0,1)[0,1)
  • (−∞,1](-\infty,1]
  • (0,+∞)(0,+\infty)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

برای همهٔ xx، داریم x2+1≥1x^2+1\ge1 پس 1x2+1≤1\dfrac{1}{x^2+1}\le1. همچنین x2+1>1x^2+1>1 برای هر x≠0x\neq0، پس مقدار تابع در این نقاط کمتر از 1 است و به سمت 0 میل می‌کند اما هرگز به 0 نمی‌رسد. در x=0x=0 مقدار تابع 1 است. بنابراین برد (0,1](0,1] است. «(0,1](0,1]» درست است. تلهٔ تستی: کسرِ 1x2+1\dfrac{1}{x^2+1} هرگز به 00 نمی‌رسد (صورتِ ثابتِ 11 هرگز صفر نیست) اما در x=0x=0 دقیقاً به کرانِ بالا (11) می‌رسد؛ این عدم‌تقارنِ باز/بسته رایج‌ترین اشتباه است.

6. تابع f(x)=2x+3x−1f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1} را در نظر بگیرید. برد این تابع چیست؟

  • (−∞,2)∪(2,+∞)(-\infty,2)\cup(2,+\infty)
  • (−∞,3)∪(3,+∞)(-\infty,3)\cup(3,+\infty)
  • (−∞,+∞)(-\infty,+\infty)
  • (−∞,1)∪(1,+∞)(-\infty,1)\cup(1,+\infty)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

بگذارید y=2x+3x−1y=\dfrac{2x+3}{x-1}. حل: y(x−1)=2x+3⇒yx−y=2x+3⇒x(y−2)=y+3⇒x=y+3y−2y(x-1)=2x+3\Rightarrow yx-y=2x+3\Rightarrow x(y-2)=y+3\Rightarrow x=\dfrac{y+3}{y-2}. مخرج این کسر صفر نشود: y−2≠0⇒y≠2y-2\neq0\Rightarrow y\neq2. پس برد همهٔ اعداد حقیقی بجز 2 است: (−∞,2)∪(2,+∞)(-\infty,2)\cup(2,+\infty). «(−∞,2)∪(2,+∞)(-\infty,2)\cup(2,+\infty)» درست است. تلهٔ تستی: در تابعِ گویایِ ax+bcx+d\dfrac{ax+b}{cx+d}، مقدارِ ac\dfrac{a}{c} (نسبتِ ضرایبِ xx) همیشه از برد حذف می‌شود، چون هیچ xxای وجود ندارد که yy را دقیقاً به آن مقدار برساند.

7. اگر f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} و g(x)=x+2g(x)=x+2 باشد، ترکیب f∘gf\circ g چیست؟

  • 1x+2\dfrac{1}{x+2}
  • 1x−2\dfrac{1}{x-2}
  • 12x\dfrac{1}{2x}
  • 2x\dfrac{2}{x}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

ترکیب f∘g(x)=f(g(x))f\circ g(x)=f(g(x)). داریم g(x)=x+2g(x)=x+2، پس f(g(x))=1x+2f(g(x))=\dfrac{1}{x+2}. «1x+2\dfrac{1}{x+2}» درست است. تلهٔ تستی: در f∘gf\circ g، تابعِ gg **داخلی** و ff **بیرونی** است — یعنی اول gg رویِ xx اعمال می‌شود، بعد ff رویِ نتیجه؛ جابه‌جاکردنِ این ترتیب g∘fg\circ f می‌سازد که معمولاً پاسخِ متفاوتی دارد.

8. اگر f(x)=x+1f(x)=\sqrt{x+1} و g(x)=x2−4g(x)=x^2-4 باشد، ترکیب g∘fg\circ f چیست و دامنهٔ آن کدام است؟

  • تابع: g(f(x))=x2−3g(f(x))=x^2-3 با دامنهٔ x≥−1x\ge-1
  • تابع: g(f(x))=x−3g(f(x))=x-3 با دامنهٔ R\mathbb{R}
  • تابع: g(f(x))=(x+1)2−4=x−3g(f(x))=(\sqrt{x+1})^2-4=x-3 با دامنهٔ x≥−1x\ge-1
  • تابع: g(f(x))=(x2−4)2g(f(x))=(x^2-4)^2 با دامنهٔ R\mathbb{R}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«تابع: g(f(x))=(x+1)2−4=x−3g(f(x))=(\sqrt{x+1})^2-4=x-3 با دامنهٔ x≥−1x\ge-1» درست است. گامِ اول: f(x)=x+1f(x)=\sqrt{x+1} فقط وقتی تعریف می‌شود که x+1≥0x+1\ge0، یعنی x≥−1x\ge-1. گامِ دوم: g(f(x))=(x+1)2−4=(x+1)−4=x−3g(f(x))=\bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^2-4=(x+1)-4=x-3. گامِ سوم: چون gg (چندجمله‌ای) روی کلِ R\mathbb{R} تعریف است، تنها محدودیتِ ترکیب از ff می‌آید: x≥−1x\ge-1. وارسیِ مستقل با دو عددِ نمونه: x=3⇒f(3)=2x=3\Rightarrow f(3)=2 و g(2)=22−4=0g(2)=2^2-4=0؛ و x−3=0x-3=0 ✓. x=−1⇒f(−1)=0x=-1\Rightarrow f(-1)=0 و g(0)=−4g(0)=-4؛ و x−3=−4x-3=-4 ✓. «g(f(x))=x2−3g(f(x))=x^2-3 با دامنهٔ x≥−1x\ge-1» غلط است چون جایِ دو تابع را عوض کرده و در واقع سراغِ f(g(x))f(g(x)) رفته (x2−4+1\sqrt{x^2-4+1})، نه g(f(x))g(f(x)). «g(f(x))=x−3g(f(x))=x-3 با دامنهٔ R\mathbb{R}» ضابطه را درست دارد اما دامنه را اشتباه گرفته: در x=−5x=-5 عبارتِ ساده‌شدهٔ x−3x-3 عددِ −8-8 می‌دهد، ولی f(−5)=−4f(-5)=\sqrt{-4} اصلاً وجود ندارد، پس −5-5 نمی‌تواند در دامنهٔ ترکیب باشد. «g(f(x))=(x2−4)2g(f(x))=(x^2-4)^2 با دامنهٔ R\mathbb{R}» غلط است چون به‌جایِ جای‌گذاریِ ff در gg، خودِ gg را به توانِ دو رسانده. تلهٔ تستی: دامنهٔ g∘fg\circ f از دامنهٔ **تابعِ داخلی ff** می‌آید، نه از ضابطهٔ ساده‌شدهٔ نهایی؛ ساده‌شدنِ (x+1)2(\sqrt{x+1})^2 به x+1x+1 محدودیتِ x≥−1x\ge-1 را پاک نمی‌کند.

9. اگر f(x)=x2f(x)=x^2 و g(x)=x−1g(x)=\sqrt{x-1} باشد، ترکیب g∘fg\circ f چیست و دامنهٔ آن کدام است؟

  • g(f(x))=x2−1g(f(x))=\sqrt{x^2-1} با دامنهٔ x≤−1x\le-1
  • g(f(x))=x2−1g(f(x))=\sqrt{x^2-1} با دامنهٔ −1≤x≤1-1\le x\le1
  • g(f(x))=x2−1g(f(x))=\sqrt{x^2-1} با دامنهٔ x≤−1x\le-1 یا x≥1x\ge1
  • g(f(x))=x2−1g(f(x))=\sqrt{x^2-1} با دامنهٔ x∈Rx\in\mathbb{R}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«g(f(x))=x2−1g(f(x))=\sqrt{x^2-1} با دامنهٔ x≤−1x\le-1 یا x≥1x\ge1» درست است. گامِ اول: f(x)=x2f(x)=x^2 روی کلِ R\mathbb{R} تعریف است. گامِ دوم: g(f(x))=x2−1g(f(x))=\sqrt{x^2-1}. گامِ سوم: شرطِ رادیکالِ زوج، x2−1≥0x^2-1\ge0 یعنی x2≥1x^2\ge1 یعنی ∣x∣≥1|x|\ge1، پس x≤−1x\le-1 یا x≥1x\ge1. وارسیِ مستقل با نقاطِ نمونه: x=0⇒−1x=0\Rightarrow\sqrt{-1} تعریف‌نشده (پس 00 نباید در دامنه باشد)؛ x=−2⇒3x=-2\Rightarrow\sqrt{3} تعریف‌شده؛ x=1⇒0=0x=1\Rightarrow\sqrt0=0 تعریف‌شده (پس کرانه‌ها بسته‌اند). «دامنهٔ x≤−1x\le-1» غلط است چون فقط شاخهٔ منفی را نگه داشته و کلِ شاخهٔ x≥1x\ge1 را — که کاملاً معتبر است (x=2x=2 مقدارِ 3\sqrt3 می‌دهد) — انداخته. «دامنهٔ −1≤x≤1-1\le x\le1» غلط است چون علامتِ نامساوی را برعکس حل کرده: بازهٔ بینِ دو ریشه دقیقاً جایی است که x2−1x^2-1 **منفی** است (x=0x=0 می‌دهد −1-1). «دامنهٔ x∈Rx\in\mathbb{R}» غلط است چون شرطِ نامنفی‌بودنِ عبارتِ زیرِ رادیکال را کاملاً نادیده گرفته. تلهٔ تستی: در g∘fg\circ f، شرطِ دامنهٔ gg باید رویِ **خروجیِ** ff اعمال شود، نه رویِ خودِ xx؛ اینجا شرطِ gg یعنی «ورودی‌اش ≥1\ge1 باشد» که به x2≥1x^2\ge1 ترجمه می‌شود، نه x≥1x\ge1.

10. تابع f(x)=x3−xf(x)=x^3-x را در نظر بگیرید. آیا این تابع یک‌به‌یک است؟

  • بله، چون مشتق فقط در یک نقطه صفر است
  • بله، چون تابع فرد است
  • خیر، چون f(−1)=f(1)f(-1)=f(1)
  • خیر، چون دامنه محدود نیست

پاسخنامه‌ی تحلیلی

بررسی یک‌به‌یکی: اگر f(a)=f(b)f(a)=f(b)، آیا حتماً a=ba=b؟ مثال نقض: f(−1)=−1+1=0f(-1)=-1+1=0 و f(1)=1−1=0f(1)=1-1=0، پس f(−1)=f(1)f(-1)=f(1) با −1≠1-1\neq1. پس تابع یک‌به‌یک نیست. «خیر، چون f(−1)=f(1)f(-1)=f(1)» درست است. تلهٔ تستی: توابعِ چندجمله‌ایِ درجهٔ فرد لزوماً یک‌به‌یک نیستند — فقط اگر همیشه اکیداً صعودی یا نزولی باشند یک‌به‌یک‌اند؛ اینجا وجودِ یک نقطهٔ اکسترمومِ محلی همین را نقض می‌کند.

مباحث مرتبط

هندسه تحلیلی و جبر (فصل 1 ریاضی 2) (علوم تجربی)هندسه (فصل 2 ریاضی 2) (علوم تجربی)مثلثات (فصل 4 ریاضی 2) (علوم تجربی)توابع نمایی و لگاریتمی (فصل 5 ریاضی 2) (علوم تجربی)حد و پیوستگی (فصل 6 ریاضی 2) (علوم تجربی)آمار و احتمال(فصل 7 ریاضی 2) (علوم تجربی)مجموعه، الگو و دنباله(فصل 1 ریاضی 1) (علوم تجربی)مثلثات (فصل 2 ریاضی 1) (علوم تجربی)توان های گویا و عبارت های جبری (فصل 3 ریاضی 1) (علوم تجربی)معادله ها و نامعادله ها (فصل 4 ریاضی 1) (علوم تجربی)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان