انواع تابع، وارون و اعمال جبری (ریاضی ۲)

درس اول: انواعی از توابع و دامنهٔ آن‌ها

تابع، دامنه، برد

تابعِ $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از مجموعهٔ $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به مجموعهٔ $B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قانونی است که به هر عضوِ $x\in A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دقیقاً یک عضوِ $y\in B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نسبت می‌دهد و می‌نویسیم $y=f(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. چهار جزء را از هم جدا نگه دار: دامنه ( $D_f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) مجموعهٔ ورودی‌هاست، برد ( $R_f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) مجموعهٔ خروجی‌هایی است که واقعاً ساخته می‌شوند، ضابطه قانونِ تناظر است، و مقدامنه ( $B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) مجموعهٔ هدف است که برد زیرمجموعه‌ای از آن است.

اگر در صورتِ مسئله دامنه ذکر نشده باشد، منظور دامنهٔ طبیعی است: بزرگ‌ترین مجموعه‌ای از اعدادِ حقیقی که ضابطه در آن معنا پیدا می‌کند.

توابع گویا

تابعِ گویا به شکلِ زیر است که در آن $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $Q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین چندجمله‌ای‌اند:

f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},\qquad Q(x)\neq 0

قانونِ دامنه ساده است: هر عددی که مخرج را صفر کند از دامنه بیرون می‌رود.

D_f=\mathbb{R}\setminus\{x\mid Q(x)=0\}

برای نمونه در $f(x)=\dfrac{x^2-5}{x^2+3x-10}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، تجزیهٔ مخرج به $(x+5)(x-2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسد، پس $D_f=\mathbb{R}\setminus\{-5,2\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. توجه کن که هر چندجمله‌ای هم خودش گویاست، چون می‌توان مخرجش را ۱ گرفت؛ پس $f(x)=5x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $f(x)=2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هر دو تابعِ گویا هستند و دامنه‌شان کلِ $\mathbb{R}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

گاهی خودِ مسئله دامنه را تنگ‌تر می‌کند. اگر هزینهٔ پاک‌سازیِ یک رودخانه بر حسبِ درصدِ پاک‌شده با $p(x)=\dfrac{25x}{100-x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داده شود، هم شرطِ ریاضی ( $x\neq 100$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و هم معنای فیزیکیِ درصد ( $0\le x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) را باید اعمال کرد و به $D_p=[0,100)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رسید؛ یعنی رساندنِ آلودگی به صفرِ کامل هزینه‌ای بی‌نهایت می‌خواهد.

تساوی دو تابع

دو تابع وقتی برابرند که هم دامنه‌هایشان یکی باشد و هم مقدارشان در هر نقطهٔ دامنه. این دو شرط با هم لازم‌اند، و ترتیبِ کار هم مهم است: دامنه را همیشه پیش از ساده‌کردنِ ضابطه حساب کن. نمونهٔ کلاسیک، $f(x)=\dfrac{x^{2}}{x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در برابرِ $g(x)=x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ ضابطه‌ها برای هر $x\neq 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یکی‌اند، ولی $D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $D_g=\mathbb{R}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس $f\neq g$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. در مقابل، $f(x)=\sqrt{x^{2}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $g(x)=|x|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین واقعاً برابرند، چون هم دامنه‌شان $\mathbb{R}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و هم $\sqrt{x^2}=|x|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

توابع رادیکالی

برای رادیکال با اندیسِ زوج، عبارتِ زیرِ رادیکال باید نامنفی باشد:

f(x)=\sqrt{g(x)}\ \Rightarrow\ D_f=\{x\mid g(x)\ge 0\}

ولی رادیکالِ با اندیسِ فرد هیچ شرطی نمی‌گذارد و دامنهٔ $\sqrt[3]{g(x)}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان دامنهٔ $g$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

تابع	شرط	دامنه
$\sqrt{x-3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$x-3\ge 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$[3,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\sqrt{2-x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$2-x\ge 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$(-\infty,2]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\sqrt{x^{2}-4}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$x^{2}-4\ge 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\sqrt{-x^{2}+1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$-x^{2}+1\ge 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$[-1,1]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\sqrt[3]{x-1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	بدونِ شرط	$\mathbb{R}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

نمونهٔ کاربردی: تندیِ موجِ سونامی با $S=356\sqrt{d}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از عمقِ دریا به دست می‌آید و چون عمق منفی نمی‌شود، دامنه $[0,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

نمودارِ همهٔ توابعِ رادیکالی از یک منحنیِ پایه ساخته می‌شود. $\sqrt{x-a}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان $\sqrt{x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است که $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین واحد به راست رفته، $\sqrt{x+a}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به چپ، $\sqrt{x}+b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به بالا و $\sqrt{x}-b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به پایین؛ $-\sqrt{x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قرینهٔ آن نسبت به محورِ $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و $\sqrt{-x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قرینه نسبت به محورِ $y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که دامنه را به $(-\infty,0]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌برد.

جزء صحیح و توابع پله‌ای

جزء صحیحِ هر عدد، بزرگ‌ترین عددِ صحیحِ کوچک‌تر یا مساویِ آن است:

[x]=n \iff n\le x<n+1,\qquad n\in\mathbb{Z}

پس $[6.1]=6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $[\pi]=3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، اما دامِ اصلی در اعدادِ منفی است: $[-4.3]=-5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نه $-4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، چون روی محورِ اعداد باید به سمتِ چپ حرکت کنی. ویژگی‌های پرکاربرد:

[x]\le x<[x]+1,\qquad x-1<[x]\le x

[x+n]=[x]+n\ \ (n\in\mathbb{Z}),\qquad [-x]=\begin{cases}-[x] & x\in\mathbb{Z}\\ -[x]-1 & x\notin\mathbb{Z}\end{cases}

از همین‌جا نتیجهٔ پرتکرارِ $[x]+[-x]=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برای $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین صحیح و $-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برای $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین غیرصحیح به دست می‌آید. برای حلِ معادله هم کافی است به بازه برگردی: $[x]=n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی $x\in[n,n+1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و به‌طورِ کلی

[ax+b]=c \iff c\le ax+b<c+1 \iff \frac{c-b}{a}\le x<\frac{c+1-b}{a}\quad (a>0)

دو رابطهٔ سریعِ دیگر که در تست‌ها به کار می‌آیند: $[nx]\ge n[x]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\left[\frac{[x]}{n}\right]=\left[\frac{x}{n}\right]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برای $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین طبیعی.

جزء صحیح نمونه‌ای از تابعِ پله‌ای است: هر تابعی که روی بازه‌ها مقدارِ ثابت داشته باشد و در مرزها بپرد، پله‌ای است؛ تعرفهٔ پارکینگ بر حسبِ ساعتِ توقف نمونهٔ روزمرهٔ آن است. در رسمِ این نمودارها، نقطهٔ توپر یعنی آن مقدار عضوِ دامنه است و نقطهٔ توخالی یعنی تابع در آن نقطه آن مقدار را نمی‌گیرد.

درس دوم: وارونِ تابع و تابعِ یک‌به‌یک

ایدهٔ وارون

اگر $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسد، $f^{-1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین راهِ برگشت است. برای تابعی که با زوج‌های مرتب داده شده، کافی است جای دو مؤلفه را عوض کنی: وارونِ $\{(1,2),(2,5),(3,7)\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابرِ $\{(2,1),(5,2),(7,3)\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. در نتیجه:

D_{f^{-1}}=R_f,\qquad R_{f^{-1}}=D_f,\qquad f^{-1}(y)=x \iff f(x)=y

و همواره $f^{-1}(f(x))=x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برای هر $x\in D_f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و $f(f^{-1}(x))=x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برای هر $x\in R_f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

چه وقت وارون، خودش تابع است؟

تابعِ $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را یک‌به‌یک می‌گوییم هرگاه ورودی‌های متفاوت خروجی‌های متفاوت بدهند:

x_1\neq x_2\Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)\qquad\text{یا هم‌ارز با آن}\qquad f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2

وارونِ یک تابع تنها وقتی خودش تابع است که تابعِ اصلی یک‌به‌یک باشد. دلیلش روشن است: اگر $f(a)=f(b)=c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $a\neq b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، آن‌گاه وارون باید به ورودیِ $c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و هم $b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را نسبت دهد و این با تعریفِ تابع می‌جنگد.

ابزارِ تشخیصِ تصویری، آزمونِ خطِ افقی است: تابع یک‌به‌یک است اگر و تنها اگر هر خطِ افقی نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند. قضیهٔ مفیدِ دیگر: هر تابعِ اکیداً صعودی یا اکیداً نزولی یک‌به‌یک است، چون از $x_1<x_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همیشه نابرابریِ اکیدِ میانِ $f(x_1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $f(x_2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بیرون می‌آید.

تابع	یک‌به‌یک؟	دلیل
$f(x)=ax+b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $a\neq 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	بله	خطیِ غیرثابت
$f(x)=x^{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	خیر	$f(1)=f(-1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$f(x)=x^{3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	بله	اکیداً صعودی
$f(x)=\vert x\vert$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	خیر	$f(2)=f(-2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$f(x)=\dfrac{1}{x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	بله	روی هر بازهٔ پیوستهٔ دامنه اکیداً نزولی
$f(x)=c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	خیر	همهٔ ورودی‌ها به یک خروجی می‌روند

یافتنِ ضابطهٔ وارون

چهار گام: بنویس $y=f(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را بر حسبِ $y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حل کن؛ جای نام‌ها را عوض کن تا $f^{-1}(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست آید؛ و دامنهٔ وارون را برابرِ بردِ تابعِ اصلی بگذار. برای $f(x)=2x+1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم $x=\frac{y-1}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس $f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و درستیِ کار را با $f^{-1}(f(x))=x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین وارسی می‌کنی.

اگر تابع یک‌به‌یک نباشد، می‌توان دامنه را محدود کرد تا وارون‌پذیر شود. سهمیِ $f(x)=x^{2}-4x+3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رأسی در $x=2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد و روی کلِ $\mathbb{R}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یک‌به‌یک نیست، اما روی $[2,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین صعودی و روی $(-\infty,2]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نزولی است. هر شاخه وارونِ خودش را دارد:

f^{-1}(x)=2+\sqrt{x+1}\quad\text{برای شاخهٔ راست},\qquad f^{-1}(x)=2-\sqrt{x+1}\quad\text{برای شاخهٔ چپ}

و چون کمینهٔ تابع $f(2)=-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، بردِ هر دو حالت $[-1,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود که همان دامنهٔ وارون است.

هندسهٔ وارون

نمودارِ $f^{-1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قرینهٔ نمودارِ $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نسبت به خطِ $y=x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، چون بودنِ نقطهٔ $(a,b)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی نمودارِ $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم‌ارزِ بودنِ $(b,a)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی نمودارِ $f^{-1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و این دو نقطه نسبت به خطِ $y=x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قرینه‌اند. دو نتیجهٔ مستقیم: اگر نمودارِ تابعی خودش نسبت به $y=x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین متقارن باشد آن‌گاه $f=f^{-1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (مثلِ $f(x)=\frac{1}{x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، و اگر $f(a)=a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، همان نقطهٔ ثابت در وارون هم برقرار است، یعنی $f^{-1}(a)=a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

درس سوم: اعمالِ جبری روی توابع

چهار عمل و دامنه‌شان

(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x),\qquad (f\cdot g)(x)=f(x)\,g(x),\qquad D_{f\pm g}=D_{f\cdot g}=D_f\cap D_g

\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)},\qquad D_{f/g}=(D_f\cap D_g)\setminus\{x\mid g(x)=0\}

پس دامنهٔ تقسیم همیشه از دامنهٔ ضرب کوچک‌تر یا مساوی است، چون ریشه‌های مخرج هم کنار می‌روند. نکتهٔ مهم این است که این تقاطع می‌تواند خیلی کوچک شود: برای $f(x)=\sqrt{x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $g(x)=\sqrt{-x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم $D_f=[0,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $D_g=(-\infty,0]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس $D_{f+g}=\{0\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و تابعِ حاصل فقط در یک نقطه تعریف شده است.

در تقسیم هم همان قاعدهٔ «اول دامنه، بعد ساده‌سازی» برقرار است: $\dfrac{x^{2}-4}{x+2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین پس از ساده‌شدن $x-2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود، ولی دامنه‌اش $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌ماند.

تحول‌های نمودار

ضابطه	تحول	اثر
$y=kf(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $k>1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	کششِ عمودی	نمودار کشیده‌تر می‌شود
$y=kf(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $0<k<1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	فشردگیِ عمودی	نمودار پهن‌تر می‌شود
$y=-f(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	قرینه نسبت به محورِ $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	هر نقطهٔ $(x,y)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $(x,-y)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رود
$y=f(-x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	قرینه نسبت به محورِ $y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	بازتابِ افقی
$y=f(x)+c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	انتقالِ عمودی	$c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین واحد بالا یا پایین
$y=f(x-c)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	انتقالِ افقی	$c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین واحد راست یا چپ

وقتی چند تحول با هم می‌آیند، ترتیب تعیین‌کننده است. در $y=af(bx+c)+d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نخست تغییرهای داخلِ تابع (یعنی $bx+c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) اعمال می‌شود، سپس ضریبِ بیرونیِ $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و در پایان جمعِ $d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. برای $y=-2\sqrt{x+3}+1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مسیر چنین است: از $\sqrt{x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شروع کن، ۳ واحد به چپ برو، با ضریبِ ۲ بکش، نسبت به محورِ $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قرینه کن و ۱ واحد بالا ببر؛ نتیجه $D_f=[-3,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $R_f=(-\infty,1]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

دامنهٔ ترکیبی

وقتی ضابطه چند بخشِ محدودکننده دارد، شرط‌ها را با «و» (یعنی اشتراک) ترکیب کن. در $f(x)=\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{x-3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باید هم‌زمان $x\ge 1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $x\neq 3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برقرار باشد:

D_f=[1,3)\cup(3,+\infty)

مفاهیم تکمیلی

ترکیبِ توابع: $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با دامنهٔ $\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. ترکیب جابه‌جایی نیست و عموماً $f\circ g\neq g\circ f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. رابطهٔ آن با وارون هم این است که $f^{-1}\circ f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $f\circ f^{-1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هر دو تابعِ همانی‌اند، اولی روی دامنه و دومی روی برد.

توابعِ زوج و فرد: تابع زوج است اگر $f(-x)=f(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (تقارن نسبت به محورِ $y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، مثلِ $x^{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $|x|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\cos x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و فرد است اگر $f(-x)=-f(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (تقارن نسبت به مبدأ، مثلِ $x^{3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\sin x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین). جمعِ دو زوج زوج است، جمعِ دو فرد فرد، حاصل‌ضربِ زوج در فرد فرد، و حاصل‌ضربِ دو فرد زوج می‌شود.

پیوستگی: شهوداً تابع پیوسته است اگر نمودارش را بدونِ برداشتنِ قلم بتوان رسم کرد. $\frac{1}{x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $x=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $[x]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در هر عددِ صحیح ناپیوسته‌اند. قضیهٔ مقدارِ میانی می‌گوید اگر $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی $[a,b]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین پیوسته باشد و $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین میانِ $f(a)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $f(b)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قرار گیرد، دستِ‌کم یک $c\in(a,b)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $f(c)=k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هست؛ رایج‌ترین کاربردش اثباتِ وجودِ ریشه برای یک معادله است.

یافتنِ بردِ تابعِ گویا بدونِ رسم: معادلهٔ $y=f(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را در مخرج ضرب کن تا بر حسبِ $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مرتب شود. اگر به شکلِ $A(y)x^{2}+B(y)x+C(y)=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین درآمد، چون $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باید حقیقی باشد شرطِ $\Delta\ge 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را بنویس و نامعادله را بر حسبِ $y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حل کن؛ جوابْ همان برد است. برای $f(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $yx^{2}-2x+y=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسی و از $\Delta=4-4y^{2}\ge 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نتیجه می‌گیری $R_f=[-1,1]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. فقط یادت باشد حالتِ $A(y)=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را جداگانه وارسی کنی، چون در آن حالت معادله دیگر درجه‌دو نیست.

یکنواییِ تابعِ خطی‌بر‌خطی: برای $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $c\neq 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، تفاضلِ دو مقدار به این شکلِ تمیز ساده می‌شود:

f(x_2)-f(x_1)=\frac{(ad-bc)(x_2-x_1)}{(cx_1+d)(cx_2+d)}

اگر $x_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $x_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در یک سمتِ نقطهٔ $-\frac{d}{c}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشند، مخرج مثبت است، پس علامتِ تغییرِ تابع را فقط علامتِ $ad-bc$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تعیین می‌کند: مثبت یعنی اکیداً صعودی و منفی یعنی اکیداً نزولی روی هر بازهٔ پیوستهٔ دامنه، و در هر دو حالت تابع روی آن بازه یک‌به‌یک است. دامِ رایج اینجاست که این حکم را به کلِ دامنه تعمیم بدهی؛ اگر یک نقطه پیش از مجانب و دیگری پس از آن باشد، ترتیبِ مقادیر تضمینی ندارد.