توان‌های گویا و اتحادهای جبری (ریاضی ۱)

چرا توان کسری اختراع شد؟

همه چیز از یک خواستهٔ ساده شروع می‌شود: می‌خواهیم قاعدهٔ $a^r\times a^s=a^{r+s}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حتی وقتی توان‌ها کسری‌اند از کار نیفتد. اگر این قاعده برقرار بماند، باید $a^{1/2}\times a^{1/2}=a^{1}=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد؛ یعنی $a^{1/2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همان عددی است که مربعش $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود. پس تعریف زیر نه یک قرارداد دلبخواهی، بلکه تنها انتخاب سازگار است (برای $a>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $n\ge2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی طبیعی):

هر دو شکلِ $\sqrt[n]{a^m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(\sqrt[n]{a})^m$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک جواب می‌دهند، چون ترتیب ریشه و توان فرقی نمی‌کند. در عمل اول ریشه را می‌گیریم و بعد به توان می‌رسانیم تا عددها کوچک بمانند: $8^{2/3}=(\sqrt[3]{8})^2=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $16^{3/4}=8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $4^{5/2}=32$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $125^{-2/3}=\frac{1}{25}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

یک کاربرد ملموس: جمعیت باکتری‌ای که هر ساعت دو برابر می‌شود، بعد از نیم ساعت $2^{1/2}=\sqrt2\approx1.414$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر شده؛ و دو نیم‌ساعت پشت هم یعنی $(\sqrt2)^2=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، همان دوبرابرشدن یک‌ساعته.

همهٔ قوانین آشنای توان برای توان‌های گویا هم برقرارند ($a,b>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $r,s$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی گویا):

نمونه: $\dfrac{a^{1/2}\cdot a^{1/3}}{a^{1/6}}=a^{\frac12+\frac13-\frac16}=a^{2/3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. یک نتیجهٔ مهم هم این است که کسر توان را می‌توان ساده کرد و همین باعث می‌شود شاخص رادیکال قابل تغییر باشد:

ریشهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییام: چه وقت هست، چند تاست

$b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ریشهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییام $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است هرگاه $b^n=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اینکه چنین $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ای اصلاً پیدا شود و چند تا باشد، به زوج یا فرد بودن $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و علامت $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بستگی دارد:

سطر سوم دلیل ساده‌ای دارد: هیچ عددی به توان زوج منفی نمی‌شود. برای اینکه نماد رادیکال یک مقدار مشخص بدهد، قرارداد شده وقتی $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج است $\sqrt[n]{a}\ge0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد؛ یعنی $\sqrt[4]{625}=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و برای هر دو ریشه باید خودمان $\pm$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگذاریم. از همین قرارداد، یکی از پرخطاترین رابطه‌های فصل بیرون می‌آید:

پس $\sqrt{x^2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیست، برابر $|x|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ مثلاً $\sqrt[4]{(-2)^4}=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ولی $\sqrt[3]{(-2)^3}=-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. بقیهٔ قوانین ریشه چهارتاست و همه از قوانین توان می‌آیند:

در دو رابطهٔ اول، اگر $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج باشد باید $a,b\ge0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشند؛ برای $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فرد محدودیتی نیست. با همین قوانین، رادیکال‌ها را ساده می‌کنیم: بزرگ‌ترین توان کاملِ زیر ریشه را بیرون می‌آوریم، مثل $\sqrt{75}=5\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مقایسه و تقریب، بدون ماشین‌حساب

برای $a>1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تابع $a^x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صعودی است و توان بزرگ‌تر عدد بزرگ‌تری می‌دهد؛ برای $0<a<1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ماجرا برعکس می‌شود. اما وقتی پایه منفی باشد، علامت هم وارد بازی می‌شود و لازم است محور را به چهار ناحیه بشکنیم:

قاعدهٔ «توان بزرگ‌تر یعنی عدد بزرگ‌تر» فقط در ناحیهٔ اول درست است؛ پیش از هر مقایسه اول باید بدانیم پایه کجای محور ایستاده. برای دو توان با پایه‌های مختلف، راه استاندارد رساندن توان‌ها به مخرج مشترک است: $2^{0.3}=\sqrt[10]{2^3}=\sqrt[10]{8}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $3^{0.2}=\sqrt[10]{3^2}=\sqrt[10]{9}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $2^{0.3}<3^{0.2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ همین ترفند برای ریشه‌های با شاخص متفاوت هم کار می‌کند.

برای تقریب عددی، ساده‌ترین راه محصورکردن بین دو عدد صحیح است: از $2^3=8<25<27=3^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌فهمیم $2<\sqrt[3]{25}<3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و با آزمودن $2.9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $2.92$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $\sqrt[3]{25}\approx2.92$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسیم (عددی گنگ با اعشار نامتناوب). وقتی دو رقم اعشار می‌خواهیم، میان‌بر سریع‌تری هست:

ایده این است که تغییر کوچکِ زیر رادیکال با نرخ $\frac{1}{n\,a^{n-1}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به جواب منتقل می‌شود. چون $5^3=125$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، داریم $\sqrt[3]{126}\approx5+\frac{1}{75}\approx5.013$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ و چون $7^2=49$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، داریم $\sqrt{50}\approx7+\frac{1}{14}\approx7.071$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پرتکرارترین خطا فراموش‌کردن ضریب $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در مخرج است: برای ریشهٔ دوم مخرج $2a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و برای ریشهٔ سوم $3a^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اتحادها و تجزیه

اتحادهای پایه را مرور می‌کنیم: $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. با یک بار ضرب $(a\pm b)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $(a\pm b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، اتحادهای درجه‌سوم به دست می‌آیند:

ولی ستون اصلی این فصل، تجزیهٔ مجموع و تفاضل مکعب‌هاست:

الگویش ساده است: پرانتز اول همان $a\pm b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و پرانتز دوم «مربع، منهای یا به‌علاوهٔ حاصل‌ضرب، مربع» با علامت وارونه. دقت کن که پرانتز دوم مربع کامل نیست، چون ضریب $ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک است نه دو. کاربردش مستقیم است: $8x^3-27=(2x-3)(4x^2+6x+9)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x^6-1=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. کلی‌تر: $a^n-b^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه بر $a-b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بخش‌پذیر است و $a^n+b^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط برای $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فرد بر $a+b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ برای $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج تجزیهٔ حقیقی ندارد.

اگر دو اتحاد مربع را کنار هم بگذاریم و یک‌بار جمع و یک‌بار تفریق کنیم، دو ابزار کم‌ادعا اما پرکاربرد بیرون می‌آید:

این دو مثل پل عمل می‌کنند: با دانستن دو تا از چهار مقدار $a+b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $a-b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $a^2+b^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، بقیه بدون پیداکردن خودِ $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به دست می‌آید. مثلاً اگر $(a+b)^2=20$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(a-b)^2=8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، از $20-8=4ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه می‌گیریم $ab=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. تلهٔ رایج، نوشتن ضریب $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌جای $4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در رابطهٔ دوم است.

برای تجزیه‌های دشوارتر دو راه کمکی داریم. گروه‌بندی: $a^3-2ab+a^2b-2b^2=a^2(a+b)-2b(a+b)=(a+b)(a^2-2b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. و جست‌وجوی ریشهٔ صحیح: هر ریشهٔ صحیحِ چندجمله‌ای حتماً مقسوم‌علیه جملهٔ ثابت است، پس فقط چند عدد محدود را باید آزمود. برای $P(x)=x^3-4x^2+x+6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $P(-1)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، پس $(x+1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عامل است و $P(x)=(x+1)(x^2-5x+6)=(x+1)(x-2)(x-3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

ضرایب بسط $(a+b)^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم از مثلث خیام می‌آیند؛ ردیف $1,3,3,1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً ضرایب مکعب مجموع است و حالت کلی $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

کسرهای جبری و گویاسازی مخرج

عبارت گویا به شکل $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نوشته می‌شود و فقط جایی معنا دارد که $Q(x)\ne0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ مثلاً $\dfrac{x^2+1}{x-3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به ازای $x=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعریف‌نشده است. ساده‌کردنش با فاکتورگیری از صورت و مخرج انجام می‌شود، و شرط اولیه را باید همراه جواب نوشت: $\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به شرط $x\ne2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. جمع و تفریق هم مثل کسرهای عددی، با مخرج مشترک: $\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{3}{x^2-1}=\dfrac{3x+2}{x^2-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

وقتی رادیکال در مخرج بنشیند، سه سناریو داریم. مخرج تک‌رادیکالی را در خودش ضرب می‌کنیم: $\dfrac{2}{\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مخرج دوجمله‌ای با ریشهٔ دوم را در مزدوج ضرب می‌کنیم، چون $(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)=a-b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ مثلاً $\dfrac{2}{\sqrt3+\sqrt5}=\sqrt5-\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. و برای مخرج با ریشهٔ سوم، همان اتحاد تفاضل مکعب کار را راه می‌اندازد: $(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})=a-b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، که از آن $\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به دست می‌آید.

گویاسازی یک کاربرد خوش‌ساخت هم دارد: چون $\dfrac{1}{\sqrt n+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، در جمع‌هایی مثل $\sum_{n=1}^{8}\dfrac{1}{\sqrt n+\sqrt{n+1}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جمله‌های میانی حذف می‌شوند و فقط دو سر زنجیره می‌ماند: $\sqrt9-\sqrt1=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر گام بین مخرج‌ها بزرگ‌تر از یک باشد، باید بر همان گام تقسیم کنی: $\dfrac{1}{\sqrt a+\sqrt b}=\dfrac{\sqrt b-\sqrt a}{b-a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

گاهی هم رادیکال درون رادیکال پنهان است، مثل $\sqrt{7-4\sqrt3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای باز کردن این رادیکال مرکب، عبارت $A\pm2\sqrt B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به شکل $(\sqrt x\pm\sqrt y)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌نویسیم، یعنی دنبال دو عدد با $x+y=A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $xy=B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌گردیم. اینجا $4\sqrt3=2\sqrt{12}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $x+y=7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $xy=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که جوابش $4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است: $7-4\sqrt3=(2-\sqrt3)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و چون $2>\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، حاصل $2-\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود. نمونه‌های دیگر: $\sqrt{9+4\sqrt5}=2+\sqrt5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\sqrt{11-6\sqrt2}=3-\sqrt2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌سادگی پیدا نشدند، فرمول $\sqrt{A\pm\sqrt B}=\sqrt{\frac{A+C}{2}}\pm\sqrt{\frac{A-C}{2}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $C=\sqrt{A^2-B}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کار را تمام می‌کند.

دو خطای رایج: $\sqrt{a^2+b^2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $a+b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیست و $\sqrt{a+b}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم برابر $\sqrt a+\sqrt b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیست. در شرط تعریفِ $\dfrac{\sqrt{f(x)}}{g(x)}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم باید $f(x)\ge0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد و هم $g(x)\ne0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.