پرش به محتوای اصلی

توان های گویا و عبارت های جبری (فصل 3 ریاضی 1) (علوم تجربی)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

توان‌های گویا و عبارت‌های جبری — از ریشهٔ nام تا گویاسازی مخرج

فصل سوم ریاضی ۱ سه لایه دارد: تعریف ریشه، بازنویسی ریشه به‌شکل توان کسری، و اتحادهای جبری‌ای که در گویاکردن مخرج‌ها به کار می‌روند.

ریشهٔ nام و قرارداد رادیکال

bb ریشهٔ nnاُم aa است اگر bn=ab^n=a، یعنی bn=a  ⟺  an=bb^n=a \iff \sqrt[n]{a}=b. تعداد و وجود ریشه به زوج/فرد بودن nn و علامت aa بستگی دارد:

شرط نتیجه
a>0a>0، nn زوج دو ریشه: ±an\pm\sqrt[n]{a}
a>0a>0، nn فرد یک ریشهٔ مثبت
a<0a<0، nn زوج وجود ندارد
a<0a<0، nn فرد یک ریشهٔ منفی

قرارداد مهم: وقتی nn زوج است و an\sqrt[n]{a} می‌نویسیم، همیشه ریشهٔ مثبت مقصود است (6254=5\sqrt[4]{625}=5، نه −5-5). و نتیجهٔ کلیدی که در کنکور بیشترین خطا را ایجاد می‌کند:

ann={∣a∣n زوجan فرد\sqrt[n]{a^n}=\begin{cases}|a| & n\text{ زوج}\\ a & n\text{ فرد}\end{cases}

یعنی x2=x\sqrt{x^2}=x غلط است؛ درست آن x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x| است.

قوانین ریشه‌ها و توان‌های گویا

an×bn=abnanbn=abn(an)m=amn\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\qquad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\qquad (\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}

این‌جا تعریف توان کسری معنا پیدا می‌کند: برای حفظ قاعدهٔ ضرب توان‌ها (a1/2×a1/2=aa^{1/2}\times a^{1/2}=a) باید a1/2=aa^{1/2}=\sqrt a باشد. به‌طور کلی‌تر:

a1n=anamn=amn=(an)m(a>0)\boxed{a^{\frac1n}=\sqrt[n]{a}}\qquad \boxed{a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m}\qquad (a>0)

مثال: 82/3=(83)2=48^{2/3}=(\sqrt[3]8)^2=4 و 16−1/4=1164=1216^{-1/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{16}}=\frac12. قوانین معمول توان همچنان برقرارند: ar×as=ar+sa^r\times a^s=a^{r+s}، (ar)s=ars(a^r)^s=a^{rs}. برای مقایسهٔ توان‌های گویا با پایه‌های متفاوت، رساندن به مخرج مشترک روش استاندارد است: 20.3=8102^{0.3}=\sqrt[10]{8} و 30.2=9103^{0.2}=\sqrt[10]{9}، پس 20.3<30.22^{0.3}<3^{0.2}.

اتحادهای جبری — تمرکز روی مکعب‌ها

اتحادهای درجهٔ دوم ($ (a\pm b)^2,,a^2-b^2$) از پایه مرور می‌شوند، اما مهم‌ترین اتحاد این فصل مجموع و تفاضل مکعب‌هاست:

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)\boxed{a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)}\qquad \boxed{a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}

نکتهٔ حیاتی برای جلوگیری از اشتباه: جملهٔ میانی a2∓ab+b2a^2\mp ab+b^2 اتحاد مربع نیست، چون ضریب abab برابر ∓1\mp1 است نه ∓2\mp2. کاربرد مستقیم در تجزیه: 8x3−27=(2x−3)(4x2+6x+9)8x^3-27=(2x-3)(4x^2+6x+9).

گویا کردن مخرج کسرها

سه سطح گویاسازی در فصل کار می‌شود. برای رادیکال تک‌جمله‌ای، ضرب در خودش کافی است: 23=233\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}. برای مخرج دوجمله‌ای با رادیکال درجه دو، از عبارت مزدوج استفاده می‌شود:

(a+b)(a−b)=a−b(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)=a-b

مثال: 23+5=2(3−5)3−5=5−3\frac{2}{\sqrt3+\sqrt5}=\frac{2(\sqrt3-\sqrt5)}{3-5}=\sqrt5-\sqrt3. برای مخرج با ریشهٔ سوم، همان اتحاد تفاضل مکعب به کمک می‌آید:

(a3−b3)(a23+ab3+b23)=a−b(\sqrt[3]a-\sqrt[3]b)(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})=a-b

که با آن 123−1=43+23+1\frac{1}{\sqrt[3]2-1}=\sqrt[3]4+\sqrt[3]2+1 ساده می‌شود.

نکات کنکوری: برای مقایسهٔ ریشه‌های با درجهٔ متفاوت (مثل 53\sqrt[3]5 و 74\sqrt[4]7)، هر دو را با توان کسری به مخرج مشترک ۱۲ می‌رسانیم و زیر رادیکال‌ها را مقایسه می‌کنیم. برای ساده‌سازی رادیکال از بزرگ‌ترین توان کامل زیر ریشه استفاده می‌شود: 543=27×23=323\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\times2}=3\sqrt[3]2. و شرط تعریف عبارت‌های گویا و رادیکالی همیشه با هم چک می‌شود: برای f(x)g(x)\dfrac{\sqrt{f(x)}}{g(x)} باید f(x)≥0f(x)\ge0 و g(x)≠0g(x)\ne0.

مکعب مجموع و تفاضل

دو اتحاد درجه‌سومِ دیگر که مستقیماً از بسط (a+b)2(a+b)(a+b)^2(a+b) به دست می‌آیند:

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3\boxed{(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\qquad \boxed{(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}

راه یادسپاری سریع، ضرایب مثلث خیام است: ردیف چهارم مثلث خیام 1,3,3,11,3,3,1، دقیقاً همان ضرایب بسط (a+b)3(a+b)^3. بررسی عددی: (2+3)3=8+36+54+27=125=53(2+3)^3=8+36+54+27=125=5^3. کاربرد در تجزیهٔ عبارات جبری با گروه‌بندی هم رایج است، مثل a3−2ab+a2b−2b2=(a+b)(a2−2b)a^3-2ab+a^2b-2b^2=(a+b)(a^2-2b).

عبارت‌های گویا (کسرهای جبری)

عبارتی به فرم P(x)Q(x)\dfrac{P(x)}{Q(x)} که PP و QQ چندجمله‌ای‌اند، به شرط Q(x)≠0Q(x)\ne0 تعریف می‌شود. ساده‌سازی معمولاً با فاکتورگیری از صورت و مخرج انجام می‌شود:

x2−4x−2=(x−2)(x+2)x−2=x+2(x≠2)\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2 \quad (x\ne2)

برای جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج‌های متفاوت، اول باید به مخرج مشترک رساند: 1x−1+2x+1+3x2−1=3x+2x2−1\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x^2-1}=\frac{3x+2}{x^2-1}.

محاسبهٔ سریع با اتحادها و سه‌تایی‌های فیثاغورسی

اتحادها فقط برای فاکتورگیری نیستند؛ محاسبات ذهنی هم سریع‌تر می‌شوند: 99×101=(100−1)(100+1)=999999\times101=(100-1)(100+1)=9999 و 1052=(100+5)2=11025105^2=(100+5)^2=11025. سه‌تایی‌های فیثاغورسی پرکاربرد (3,4,53,4,5 و 5,12,135,12,13 و 8,15,178,15,17) از فرمول کلی a=m2−n2, b=2mn, c=m2+n2a=m^2-n^2,\ b=2mn,\ c=m^2+n^2 (برای m>n>0m>n>0) ساخته می‌شوند.

مثلث خیام و بسط دوجمله‌ای (فراتر از کتاب)

(nk)=n!k!(n−k)!(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\qquad (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k

هر عدد مثلث خیام مجموع دو عدد بالای خودش است: (nk)=(n−1k−1)+(n−1k)\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k} — همان ابزاری که پشت بسط (a+b)n(a+b)^n برای هر nn دلخواه قرار دارد، نه فقط ۲ و ۳.

نکته دربارهٔ محل ریشه‌ها روی محور: برای تقریب عددی ریشه‌های گنگ مثل 253\sqrt[3]{25}، بین دو عدد صحیح متوالی محصورش می‌کنیم: 23=8<25<27=332^3=8<25<27=3^3 پس 2<253<32<\sqrt[3]{25}<3، و با محاصرهٔ دقیق‌تر (2.93<25<332.9^3<25<3^3) به تقریب 2.922.92 می‌رسیم — روشی که در سؤالات مقایسه‌ای کنکور بدون ماشین‌حساب لازم است.

نمونه تست

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. اگر 23<k<332^3<k<3^3، کدام نتیجه درست است؟

  • 2<k3<32<\sqrt[3]{k}<3
  • 2<k2<32<\sqrt[2]{k}<3
  • 2<k4<32<\sqrt[4]{k}<3
  • 8<k3<278<\sqrt[3]{k}<27

پاسخنامه‌ی تحلیلی

تابع ریشهٔ سوم صعودی است. از 8<k<278<k<27 نتیجه می‌گیریم «2<k3<32<\sqrt[3]{k}<3». سایرِ گزینه‌ها از نادیده‌گرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریف‌نشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|) را با محاسبات ساده‌انگارانه اشتباه نگیرید.

2. اگر x=253x=\sqrt[3]{25}، کدام گزاره صحیح است؟

  • xx عددی گویاست
  • 2<x<32<x<3
  • 3<x<43<x<4
  • 1<x<21<x<2

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«2<x<32<x<3» درست است. چون 23=8<25<27=332^3=8<25<27=3^3، پس 2<253<32<\sqrt[3]{25}<3. این عدد نیز گنگ است. سایرِ گزینه‌ها از نادیده‌گرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریف‌نشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|) را با محاسبات ساده‌انگارانه اشتباه نگیرید.

3. اگر x=23−1x=\sqrt[3]{2}-1، مقدار 1x\dfrac{1}{x} کدام است؟

  • 1−231-\sqrt[3]{2}
  • 23+1\sqrt[3]{2}+1
  • 43+23+1\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1
  • 43−23+1\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«43+23+1\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1» درست است. برای گویا کردن مخرج از اتحاد تفاضل مکعب استفاده می‌کنیم: 123−1=43+23+12−1\dfrac1{\sqrt[3]{2}-1}=\dfrac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}{2-1}. سایرِ گزینه‌ها از نادیده‌گرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریف‌نشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|) را با محاسبات ساده‌انگارانه اشتباه نگیرید.

4. اگر a3−b3=56a^3-b^3=56 و a−b=2a-b=2، مقدار a2+ab+b2a^2+ab+b^2 برابر است با

  • 3030
  • 5454
  • 1414
  • 2828

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از اتحاد a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) داریم 56=2(a2+ab+b2)56=2(a^2+ab+b^2)؛ پس مقدار خواسته‌شده «2828» است. سایرِ گزینه‌ها از فراموش‌کردنِ یکی از جمله‌هایِ اتحادِ به‌کاررفته ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در محاسبهٔ عباراتی مانندِ a2+b2a^2+b^2 یا a3+b3a^3+b^3 از رویِ مجموع و حاصل‌ضرب، باید از اتحادهایِ (a+b)2−2ab(a+b)^2-2ab یا (a+b)3−3ab(a+b)(a+b)^3-3ab(a+b) استفاده کرد، نه جمعِ سادهٔ مربع‌ها یا مکعب‌ها.

5. اگر a3+b3=80a^3+b^3=80 و a+b=4a+b=4، مقدار a2−ab+b2a^2-ab+b^2 کدام است؟

  • 2020
  • 2424
  • 1616
  • 1818

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از اتحاد مجموع مکعب‌ها: 80=(a+b)(a2−ab+b2)=4(a2−ab+b2)80=(a+b)(a^2-ab+b^2)=4(a^2-ab+b^2)، پس مقدار برابر «2020» است. سایرِ گزینه‌ها از فراموش‌کردنِ یکی از جمله‌هایِ اتحادِ به‌کاررفته ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در محاسبهٔ عباراتی مانندِ a2+b2a^2+b^2 یا a3+b3a^3+b^3 از رویِ مجموع و حاصل‌ضرب، باید از اتحادهایِ (a+b)2−2ab(a+b)^2-2ab یا (a+b)3−3ab(a+b)(a+b)^3-3ab(a+b) استفاده کرد، نه جمعِ سادهٔ مربع‌ها یا مکعب‌ها.

6. عبارت x2+1x−3\dfrac{x^2+1}{x-3} در کدام مقدار تعریف نشده است؟

  • x=1x=1
  • x=3x=3
  • x=−3x=-3
  • x=0x=0

پاسخنامه‌ی تحلیلی

در عبارت گویا فقط باید مخرج صفر نشود. چون x−3=0x-3=0 در «x=3x=3»، عبارت در آن نقطه تعریف‌نشده است. سایرِ گزینه‌ها یکی از دو شرطِ لازم (رادیکال یا مخرج) را ناقص یا نادرست بیان می‌کنند. تلهٔ تستی: ریشهٔ زوجِ یک عددِ منفی در مجموعهٔ اعدادِ حقیقی هرگز تعریف نمی‌شود؛ این را با ریشهٔ فردِ عددِ منفی (که کاملاً تعریف‌شده و منفی است) اشتباه نگیرید.

7. دامنهٔ عبارت x−2x2−9\dfrac{\sqrt{x-2}}{x^2-9} کدام است؟

  • x≥2x\ge2 و x≠9x\ne9
  • x>2x>2 و x≠±3x\ne\pm3
  • x≥2x\ge2 و x≠±3x\ne\pm3
  • x≥2x\ge2

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«x≥2x\ge2 و x≠±3x\ne\pm3» درست است. گام‌به‌گام: برای تعریف باید هم‌زمان x−2≥0x-2\ge0 (شرطِ رادیکالِ زوج) یعنی x≥2x\ge2، و x2−9≠0x^2-9\ne0 (شرطِ مخرج) یعنی x≠3x\ne3 و x≠−3x\ne-3 برقرار باشد. وارسیِ مستقل (بررسیِ مرزها): در x=2x=2 داریم 04−9=0−5=0\dfrac{\sqrt0}{4-9}=\dfrac{0}{-5}=0 که کاملاً تعریف‌شده است، پس x=2x=2 باید در دامنه بماند؛ در x=3x=3 مخرج صفر می‌شود ✓. ردِ گزینه‌ها: «x≥2x\ge2» به‌تنهایی شرطِ مخرج را نادیده می‌گیرد و x=3x=3 را مجاز می‌شمارد؛ «x≥2x\ge2 و x≠9x\ne9» نقطهٔ اشتباهی را حذف می‌کند (ریشه‌های مخرج ±3\pm3 است نه 99)؛ «x>2x>2 و x≠±3x\ne\pm3» به‌اشتباه x=2x=2 را هم کنار می‌گذارد، در حالی که آنجا مخرج برابرِ −5-5 و ناصفر است. تلهٔ تستی: شرطِ رادیکالِ زوج و شرطِ مخرج دو شرطِ مستقل‌اند که باید جداگانه نوشته و سپس با هم ترکیب شوند؛ مرزِ بازهٔ رادیکال (x=2x=2) فقط وقتی حذف می‌شود که خودش مخرج را صفر کند — اینجا نمی‌کند.

8. کدام گزینه نادرست است؟

  • (ar)s=ars(a^r)^s=a^{rs}
  • (ab)r=arbr\left(\dfrac ab\right)^r=\dfrac{a^r}{b^r}
  • aras=ar+sa^ra^s=a^{r+s}
  • (a+b)r=ar+br(a+b)^r=a^r+b^r

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«(a+b)r=ar+br(a+b)^r=a^r+b^r» درست است. سه قانون اول از قوانین توان‌های گویا هستند. اما در حالت کلی (a+b)r(a+b)^r برابر ar+bra^r+b^r نیست. سایرِ گزینه‌ها از نادیده‌گرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریف‌نشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|) را با محاسبات ساده‌انگارانه اشتباه نگیرید.

9. اگر a=53a=\sqrt[3]{5} و b=74b=\sqrt[4]{7}، کدام رابطه درست است؟

  • a>ba>b
  • a<ba<b
  • قابل مقایسه نیستند
  • a=ba=b

پاسخنامه‌ی تحلیلی

با مخرج مشترک گرفتن توان‌ها: a=5412=62512a=\sqrt[12]{5^4}=\sqrt[12]{625} و b=7312=34312b=\sqrt[12]{7^3}=\sqrt[12]{343}. چون 625>343625>343، پس «a>ba>b». سایرِ گزینه‌ها از جهتِ نادرستِ نامساوی یا محاسبهٔ نادرستِ اندیسِ ریشهٔ مشترک ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در مقایسهٔ توان‌های گویا، جهتِ نامساوی به بازهٔ پایه بستگی دارد؛ برایِ پایهٔ بزرگ‌تر از 11 هم‌سو با توان و برایِ پایهٔ بینِ صفر و 11 برعکسِ توان است — همیشه هر دو عبارت را با یک اندیسِ ریشهٔ مشترک بازنویسی کنید تا مقایسه مستقیم شود.

10. کدام گزینه بهترین تقریب برای 253\sqrt[3]{25} است؟

  • 2.502.50
  • 2.922.92
  • 3.083.08
  • 2.122.12

پاسخنامه‌ی تحلیلی

می‌دانیم 2.93=24.389<252.9^3=24.389<25 و 2.923≈24.897<252.92^3\approx24.897<25 و به 2525 نزدیک است، پس تقریب مناسب «2.922.92» است. سایرِ گزینه‌ها از نادیده‌گرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریف‌نشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|) را با محاسبات ساده‌انگارانه اشتباه نگیرید.

مباحث مرتبط

مجموعه، الگو و دنباله(فصل 1 ریاضی 1) (علوم تجربی)مثلثات (فصل 2 ریاضی 1) (علوم تجربی)معادله ها و نامعادله ها (فصل 4 ریاضی 1) (علوم تجربی)تابع (فصل 5 ریاضی 1) (علوم تجربی)شمارش، بدون شمردن (فصل 6 ریاضی 1) (علوم تجربی)آمار و احتمال (فصل 7 ریاضی 1) (علوم تجربی)هندسه تحلیلی و جبر (فصل 1 ریاضی 2) (علوم تجربی)هندسه (فصل 2 ریاضی 2) (علوم تجربی)تابع (فصل 3 ریاضی 2)(علوم تجربی)مثلثات (فصل 4 ریاضی 2) (علوم تجربی)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان