هندسه تحلیلی و جبر (فصل 1 ریاضی 2) (علوم تجربی)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

محور تقارن $x=-\frac{p}{2}=3$ است؛ پس $p=-6$. دو ریشه مثبت یعنی $S=-p=6>0$، $P=q>0$، و $\Delta=36-4q>0\Rightarrow q<9$. بنابراین $0<q<9$. تلهٔ تستی: بسیاری فقط شرطِ حاصل‌ضربِ مثبت ($q>0$) را چک می‌کنند و شرطِ دلتا ($q<9$) را که تضمین‌کنندهٔ اصلِ وجودِ دو ریشهٔ حقیقی است فراموش می‌کنند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چون صفرها $1$ و $5$ هستند، $f(x)=a(x-1)(x-5)$. از $f(0)=10$ داریم $5a=10\Rightarrow a=2$. پس $f(3)=2(3-1)(3-5)=2(2)(-2)=-8$. گزینه‌های دیگر از اشتباه در علامتِ $(x-5)$ یا در ضربِ نهایی به‌دست می‌آیند. تلهٔ تستی: در فرمِ ضرب‌شدهٔ $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$، علامتِ منفیِ داخلِ پرانتزها (وقتی $x$ کوچک‌تر از ریشه‌هاست) رایج‌ترین منشأِ خطایِ علامتی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

کمترین فاصله از یک خط همان فاصله عمودی است. خط را به صورت $2x-y+1=0$ می‌نویسیم. فاصله $P$ از خط: $\frac{|2(1)-2+1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt5}$. تلهٔ تستی: کمترین فاصلهٔ یک نقطه تا نقاطِ روی یک خط، همیشه برابرِ فاصلهٔ عمودی (فرمولِ فاصلهٔ نقطه از خط) است؛ محاسبهٔ فاصله تا یک نقطهٔ دلخواهِ دیگر روی خط اشتباهِ رایج است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$2$» درست است. اگر ریشه‌ها دو عددِ متوالیِ $n$ و $n+1$ باشند، حاصل‌ضرب $m=n(n+1)$ و مجموع $m+1=2n+1$، پس $m=2n$. با برابرقراردادن: $n(n+1)=2n\Rightarrow n^2-n=0\Rightarrow n=0$ یا $n=1$. بنابراین $m=0$ یا $m=2$. مجموعِ این دو مقدار: $0+2=2$. گزینه‌های دیگر از درنظرنگرفتنِ هر دو مقدارِ $n$ یا از اشتباه در رابطهٔ مجموع/حاصل‌ضربِ ریشه‌ها ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: این معادله دو مقدارِ مجازِ $m$ دارد ($0$ و $2$)، نه یکی؛ نادیده‌گرفتنِ یکی از دو حالتِ $n=0$ یا $n=1$ رایج‌ترین اشتباه است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$\frac{1}{5}$» درست است. با پارامترگذاری $D$ روی $BC$ به صورت $D(5-2t,4+2t)$ و محاسبهٔ مساحت مثلث $ABD$ با دترمینان، مساحت برابر $|12t|/2=6|t|$ می‌شود. قرار دادن این مساحت برابر نصف مساحت $ABC$ (که $6$ است) $|t|=0.5$ را می‌دهد. $t=0.5$ به نقطهٔ میانی و شیب $1$ می‌انجامد، $t=-0.5$ به شیب $\frac{1}{5}$ می‌انجامد. حاصلضرب این دو شیب $\frac{1}{5}$ است. تلهٔ تستی: نقطهٔ $D$ با مساحتِ نصف در دو طرفِ نقطهٔ وسطِ $BC$ وجود دارد (دو مقدارِ $t$)؛ درنظرنگرفتنِ هر دو حالت و گزارشِ فقط یک شیب، رایج‌ترین اشتباه است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$-6$» درست است. حاصل‌ضربِ ریشه‌ها $P=m^{2}-1=3$، پس $m^{2}=4$ و $m=2$ یا $m=-2$. دلتای معادله $\Delta=4(m-1)^{2}-4(m^{2}-1)=4(m^{2}-2m+1-m^{2}+1)=8(1-m)$ است و برای داشتنِ دو ریشهٔ حقیقی باید $\Delta>0$ یعنی $m<1$؛ پس فقط $m=-2$ پذیرفتنی است. با $m=-2$ مجموعِ ریشه‌ها $S=2(m-1)=2(-3)=-6$ می‌شود. وارسیِ مستقل: با $m=-2$ معادله $x^{2}+6x+3=0$ است؛ ریشه‌هایش $-3\pm\sqrt6$ هستند که حقیقی‌اند، حاصل‌ضربشان $9-6=3$ ✓ و مجموعشان $-6$ ✓. ردِ سایر گزینه‌ها: «$6$» با پذیرفتنِ $m=2$ به‌دست می‌آید، اما با $m=2$ معادله $x^{2}-2x+3=0$ می‌شود که $\Delta=-8<0$ دارد و اصلاً ریشهٔ حقیقی ندارد. «$2$» و «$-2$» از خلطِ $S=2(m-1)$ با خودِ $m$ (یا با $m-1$) می‌آیند. تلهٔ تستی: شرطِ «دو ریشهٔ حقیقی» در صورتِ سؤال یک **فیلتر** است، نه توضیحِ اضافه؛ حلِ $m^{2}=4$ دو مقدار می‌دهد ولی فقط یکی از آن‌ها از فیلترِ $\Delta>0$ رد می‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$4$» درست است. ابتدا توجه کنید که $L_3$ بر دو خطِ موازی **عمود** است، چون $3\times4+4\times(-3)=0$؛ پس $AB$ همان فاصلهٔ دو خطِ موازی است. روشِ کوتاه: ضرایبِ دو خط را یکسان می‌کنیم — هر دو به‌شکلِ $3x+4y+c$ هستند با $c_1=-12$ و $c_2=8$. فاصله $=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\frac{|-12-8|}{5}=\frac{20}{5}=4$. وارسیِ مستقل (حلِ دستگاه): از $3x+4y=12$ و $4x-3y=-5$ نقطهٔ $A(\frac{16}{25},\frac{63}{25})$ و از $3x+4y=-8$ و $4x-3y=-5$ نقطهٔ $B(-\frac{44}{25},-\frac{17}{25})$ به‌دست می‌آید. پس $AB=\sqrt{(\frac{60}{25})^{2}+(\frac{80}{25})^{2}}=\frac{1}{25}\sqrt{3600+6400}=\frac{100}{25}=4$ ✓. ردِ سایر گزینه‌ها: «$5$» از خواندنِ $\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ به‌عنوانِ خودِ پاسخ (به‌جایِ مخرج) می‌آید. «$2$» از نصف‌کردنِ فاصله (خلط با فاصلهٔ هر خط تا خطِ میانی) و «$3$» از استفاده از $|c_1|-|c_2|=12-8$ تقسیم بر $\sqrt{...}$ با خطای حسابی حاصل می‌شود. تلهٔ تستی: چون $L_3$ بر دو خطِ موازی **عمود** است ($3\times4+4\times(-3)=0$)، لازم نیست دستگاه حل شود: $AB$ خودش فاصلهٔ دو خطِ موازی است. اما پیش از استفاده از فرمولِ $\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ باید ضرایبِ دو خط یکسان شوند؛ کاربردِ فرمول روی $2x+3y$ و $4x+6y$ بدونِ یکسان‌سازی، جوابِ دوبرابر می‌دهد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه «$3$» درست است زیرا از رابطه $\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}$ و روابط $S=\alpha+\beta=k+1$ و $P=\alpha\beta=k-1$، معادله $\frac{(k+1)^2-2(k-1)}{k-1}=6$ به $k^2-6k+9=0$ می‌انجامد که تنها ریشه آن $k=3$ است. سایر گزینه‌ها از جایگذاری نادرست در روابط یا محاسبه اشتباه دلتا حاصل می‌شوند. تلهٔ تستی: معادلهٔ $k^{2}-6k+9=0$ ریشهٔ **مضاعف** دارد ($k=3$)؛ دیدنِ درجهٔ دو و فرضِ «حتماً دو جواب» و گشتن دنبالِ گزینه‌ای با دو مقدار، اشتباهِ رایج است. ضمناً باید $P=k-1\ne0$ باشد وگرنه $\frac{\alpha}{\beta}$ تعریف نمی‌شود؛ $k=1$ (گزینهٔ ۴) دقیقاً به همین دلیل رد می‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«صفر» درست است. برای اینکه هر دو ریشهٔ $f(x)=x^{2}-(m+1)x+(m^{2}-2m+2)$ حقیقی، متمایز و بزرگ‌تر از $1$ باشند، هر سه شرط زیر هم‌زمان لازم است: ۱) $\Delta>0$: $\Delta=(m+1)^{2}-4(m^{2}-2m+2)=-3m^{2}+10m-7>0\Rightarrow 3m^{2}-10m+7<0\Rightarrow (3m-7)(m-1)<0\Rightarrow 1<m<\frac{7}{3}$. ۲) $f(1)>0$: $f(1)=1-(m+1)+m^{2}-2m+2=m^{2}-3m+2=(m-1)(m-2)>0\Rightarrow m<1$ یا $m>2$. ۳) رأس سمتِ راستِ $1$: $\frac{m+1}{2}>1\Rightarrow m>1$. اشتراکِ سه شرط $2<m<\frac{7}{3}$ است و چون $\frac{7}{3}\approx2.33$، هیچ عددِ صحیحی در این بازه نیست؛ پس پاسخ **صفر** است. وارسیِ مستقل: تنها عددِ صحیحی که در شرطِ $\Delta>0$ صدق می‌کند $m=2$ است. با $m=2$ معادله $x^{2}-3x+2=0$ می‌شود که ریشه‌هایش $1$ و $2$ است؛ ریشهٔ $1$ **بزرگ‌تر از ۱ نیست** (مساویِ آن است)، پس $m=2$ هم رد می‌شود و شمارش صفر می‌ماند. ردِ سایر گزینه‌ها: «یک» حاصلِ بسنده‌کردن به شرطِ $\Delta>0$ و پذیرفتنِ $m=2$ بدونِ چکِ $f(1)>0$ است. «دو» از گرفتنِ $\Delta\ge0$ (که $m=1$ و $m=\frac{7}{3}$ را هم وارد می‌کند) و شمردنِ $m=1,2$ می‌آید؛ ولی $m=1$ ریشهٔ مضاعف می‌دهد نه دو ریشهٔ متمایز. «سه» از حل‌کردنِ نامساویِ $3m^{2}-10m+7<0$ با علامتِ برعکس و گرفتنِ بازهٔ بیرونی ناشی می‌شود. تلهٔ تستی: شرطِ «هر دو ریشه بزرگ‌تر از $k$» سه‌قسمتی است ($\Delta>0$، $a\cdot f(k)>0$، $\frac{-b}{2a}>k$) و مرزِ آن **اکید** است؛ اگر $f(1)=0$ شود یعنی خودِ $1$ ریشه است و شرط نقض می‌شود، نه برقرار.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$-4$» درست است. رأس سهمی $(-\frac{b}{2}, -\frac{b^{2}}{4}+2)$ است. با جایگذاری در فاصله از خط و مساوی قرار دادن با $2\sqrt{5}$، معادله $|b^{2}+4b-12|=40$ به دست می‌آید که ریشه‌های آن $-2\pm2\sqrt{14}$ است. مجموع این دو مقدار $-4$ می‌شود. سایر گزینه‌ها حاصل محاسبات ناقص هستند. تلهٔ تستی: قدرمطلقِ $|b^{2}+4b-12|=40$ دو معادله می‌دهد، ولی حالتِ $b^{2}+4b-12=-40$ یعنی $b^{2}+4b+28=0$ دلتای منفی دارد و **جوابِ حقیقی ندارد**؛ پس فقط ریشه‌هایِ $b^{2}+4b-52=0$ می‌مانند که مجموعشان از ویت مستقیماً $-4$ است. کسی که هر دو حالت را «حساب‌شده» فرض کند و مجموعِ چهار ریشه را بگیرد به $-8$ می‌رسد.