هندسهٔ تحلیلی و حل معادله‌ها (ریاضی ۲)

درس اول: هندسه تحلیلی

معادلهٔ خط و شیب

یک خط را در صفحهٔ مختصات به سه شکل می‌نویسیم:

y = mx + h \qquad ax + by + c = 0 \qquad \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

در شکلِ اول $m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شیب و $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عرض از مبدأ است؛ شکلِ دوم صورتِ کلی است و شکلِ سوم (دوبُری) مستقیماً طول از مبدأ $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و عرض از مبدأ $b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را نشان می‌دهد، به شرطِ اینکه هیچ‌کدام صفر نباشند.

شیبِ خطِ گذرا از دو نقطه:

m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \quad (x_A \neq x_B)

شیب معنای هندسیِ روشنی دارد: تانژانتِ زاویه‌ای که خط با جهتِ مثبتِ محورِ $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌سازد، یعنی $m = \tan\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. هرچه $|m|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بزرگ‌تر باشد خط تندتر است و علامتِ آن جهتِ صعود یا نزولِ خط را می‌گوید. از شکلِ کلی هم می‌توان شیب را مستقیم خواند: خطِ $ax + by + c = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شیبِ $m = -\frac{a}{b}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد (اگر $b \neq 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین).

معادلهٔ خط از یک نقطه با شیبِ معلوم: $y - y_0 = m(x - x_0)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مثلاً خطِ گذرا از $A(0,7)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $B(3,1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شیبِ $m = \frac{1-7}{3-0} = -2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد و معادله‌اش $y = -2x + 7$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود.

موازی و عمود

رابطهٔ شیب‌ها	وضعیت دو خط
$m_1 = m_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	موازی (اگر بر هم منطبق نباشند)
$m_1 \cdot m_2 = -1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	عمود
هیچ‌کدام	متقاطعِ غیرعمود

مثال ملموس با خطِ $y = 2x + 1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: خطِ $y = 2x - 3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین موازیِ آن است (شیبِ یکسان، فقط عرض از مبدأ متفاوت) و خطِ $y = -\frac{1}{2}x + 4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر آن عمود است، چون $2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

دو تذکرِ مهم: رابطهٔ $m_1 m_2 = -1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط وقتی معنا دارد که هیچ‌یک از دو خط موازیِ محورها نباشد؛ در حالت‌های خاص، خطِ قائم $x = c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر هر خطِ افقی $y = k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عمود است و دو خطِ قائم با هم موازی‌اند. همچنین خطِ عمود بر $ax + by + c = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که از نقطهٔ $(x_0, y_0)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌گذرد معادلهٔ $bx - ay + (ay_0 - bx_0) = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد.

فاصله و نقطهٔ وسط

d(A,B) = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

این فرمول چیزی جز قضیهٔ فیثاغورس نیست: مثلثِ قائم‌الزاویه‌ای بساز که ساق‌هایش $|x_B - x_A|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $|y_B - y_A|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و وترش $AB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد. در حالت‌های خاص، فاصلهٔ دو نقطه روی یک خطِ افقی برابرِ $|x_B - x_A|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، روی یک خطِ قائم برابرِ $|y_B - y_A|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و فاصلهٔ نقطهٔ $P(x,y)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از مبدأ برابرِ $\sqrt{x^2 + y^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

نقطهٔ وسطِ پاره‌خط:

M = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\; \frac{y_A + y_B}{2}\right)

حالتِ کلی‌ترش تقسیمِ پاره‌خط به نسبتِ $k = \frac{AP}{PB}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است:

P = \left(\frac{x_A + k x_B}{1+k},\; \frac{y_A + k y_B}{1+k}\right)

که با $k = 1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دقیقاً به فرمولِ نقطهٔ وسط برمی‌گردد.

فاصلهٔ نقطه از خط

\boxed{d(P, L) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}}

برای $P(x_0, y_0)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و خطِ $L: ax + by + c = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. نکتهٔ عملی این است که هیچ‌وقت لازم نیست پای عمود و محلِ تقاطع را جداگانه حساب کنی؛ همین فرمول کافی است. برای نمونه، فاصلهٔ $A(7,5)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از خطِ $4x + 3y - 18 = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر است با:

d = \frac{|28 + 15 - 18|}{\sqrt{16+9}} = \frac{25}{5} = 5

از همین‌جا فاصلهٔ دو خطِ موازیِ $ax + by + c_1 = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $ax + by + c_2 = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم به‌دست می‌آید:

d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

چند رابطهٔ پرکاربرد

مرکز ثقلِ مثلث با رأس‌های $A(x_1,y_1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $B(x_2,y_2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $C(x_3,y_3)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین میانگینِ مختصاتِ رأس‌هاست و هر میانه را به نسبتِ $2:1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از رأس تقسیم می‌کند:

G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\; \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)

مساحتِ مثلث از روی مختصاتِ رأس‌ها:

S = \frac{1}{2}\big|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\big|

اگر این عبارت صفر شود، یعنی سه نقطه هم‌خط‌اند — همین تبدیلِ ساده یکی از سریع‌ترین راه‌های بررسیِ هم‌خطی است.

دو نکتهٔ پرتکرارِ دیگر: مرکزِ دایره‌ای که $AB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قطرِ آن است وسطِ $AB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و شعاعش $\frac{|AB|}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ و برای تشخیصِ قائمه بودنِ زاویهٔ $C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌توان یا $|AC|^2 + |BC|^2 = |AB|^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را بررسی کرد یا $m_{AC} \cdot m_{BC} = -1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را.

مکان‌های هندسیِ آشنا:

شرط روی نقطهٔ $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	مکان هندسی
$d(P,A) = r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	دایره به مرکزِ $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و شعاعِ $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$d(P,A) = d(P,B)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	عمودمنصفِ $AB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$d(P,L_1) = d(P,L_2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	نیمسازِ زاویهٔ دو خط
$d(P,A) + d(P,B) = 2a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	بیضی با کانون‌های $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

درس دوم: معادله و تابع درجهٔ دوم

تغییر متغیر

خیلی از معادله‌های به‌ظاهر سخت، با یک جایگذاری به معادلهٔ درجهٔ دو تبدیل می‌شوند. اگر معادله شکلِ $a\big(f(x)\big)^2 + b f(x) + c = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داشته باشد، با $u = f(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $au^2 + bu + c = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسیم، آن را حل می‌کنیم و بعد به متغیرِ اصلی برمی‌گردیم.

شکل معادله	تغییر متغیر
$ax^4 + bx^2 + c = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$u = x^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$ax^6 + bx^3 + c = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$u = x^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$a\sin^2 x + b\sin x + c = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$u = \sin x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

برای نمونه در $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $u = x^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسیم به $(u-1)(u-9) = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس $u = 1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $u = 9$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و در نتیجه $x = \pm 1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $x = \pm 3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. فراموش نکن که مرحلهٔ بازگشت به $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حتماً باید انجام شود؛ متوقف شدن روی $u$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یکی از رایج‌ترین اشتباه‌های این بخش است.

مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها

برای $ax^2 + bx + c = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با ریشه‌های $\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\beta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

S = \alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \qquad P = \alpha\beta = \frac{c}{a}

اثباتش مستقیم است: با جایگذاریِ $\alpha = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\beta = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، رادیکال‌ها در جمع حذف می‌شوند و در ضرب به $\frac{b^2 - \Delta}{4a^2} = \frac{c}{a}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسیم. برعکسش هم کار می‌کند: اگر $S$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را بدانی، معادله‌ای که این دو ریشه را دارد $x^2 - Sx + P = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

با همین دو کمیت می‌توان بدونِ حلِ معادله دربارهٔ علامتِ ریشه‌ها نظر داد:

شرط	نتیجه
$\Delta > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	دو ریشهٔ حقیقیِ متمایز
$\Delta = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	یک ریشهٔ مضاعف
$\Delta < 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	بدونِ ریشهٔ حقیقی
$\Delta > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $P > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $S > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	هر دو ریشه مثبت
$\Delta > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $P > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $S < 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	هر دو ریشه منفی
$\Delta > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $P < 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	ریشه‌ها علامتِ مخالف دارند
$P = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	یکی از ریشه‌ها صفر است

دو میان‌بُرِ مفید: اگر $a + b + c = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد $x = 1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یکی از ریشه‌هاست و اگر $a - b + c = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد $x = -1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

رأس، بیشینه و کمینه

برای $f(x) = ax^2 + bx + c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

x_{\text{رأس}} = -\frac{b}{2a}, \qquad y_{\text{رأس}} = \frac{4ac - b^2}{4a}

اگر $a > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سهمی رو به بالاست و رأس کمینه است؛ اگر $a < 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سهمی رو به پایین است و رأس بیشینه. همین یک خط، کلِ مسئله‌های «بیشترین ارتفاع» و «کمترین هزینه» را حل می‌کند. فرمِ تکمیلِ مربع همان اطلاعات را یک‌جا نشان می‌دهد:

f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}

محورِ تقارنِ سهمی خطِ قائمِ $x = -\frac{b}{2a}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و همیشه از وسطِ دو صفرِ تابع می‌گذرد.

مثال: برای $h(t) = 100t - 5t^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (ارتفاعِ یک پرتابه)، چون $a = -5 < 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رأس بیشینه است: $t = -\frac{100}{-10} = 10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ثانیه و $h(10) = 500$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین متر. برخورد به زمین هم از $h(t) = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آید: $5t(20-t) = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، یعنی $t = 20$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ثانیه.

صفرها، علامت تابع و نابرابری

صفرهای $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان ریشه‌های معادلهٔ $ax^2 + bx + c = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هستند، پس تعدادشان را $\Delta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تعیین می‌کند: $\Delta > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دو تقاطع با محورِ $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $\Delta = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یک نقطهٔ تماس و $\Delta < 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بدونِ تقاطع. ترکیبِ علامتِ $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و علامتِ $\Delta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نتیجهٔ مهمی می‌دهد: اگر $\Delta < 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $a > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، نمودار کاملاً بالای محورِ $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، یعنی

ax^2 + bx + c > 0 \quad \text{برای هر } x \in \mathbb{R}

و به‌همین‌ترتیب اگر $\Delta < 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $a < 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد تابع همه‌جا منفی است. برای حلِ نابرابریِ $ax^2 + bx + c > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $a > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: اگر $\Delta > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ریشه‌ها $x_1 < x_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشند جواب $x < x_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $x > x_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است (بیرونِ ریشه‌ها)، اگر $\Delta = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جواب همهٔ $\mathbb{R}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به‌جز خودِ ریشه است، و اگر $\Delta < 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جواب کلِ $\mathbb{R}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

برای خواندنِ سریعِ نمودار هم این نشانه‌ها کافی‌اند: دهانهٔ رو به بالا یعنی $a > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ برخوردِ نمودار با محورِ $y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در بالای مبدأ یعنی $c > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ دو صفرِ مثبت یعنی $\Delta > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $S > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $P > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ و یک صفرِ مثبت و یک صفرِ منفی یعنی $P < 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

تعمیم (فراتر از کتاب): در معادلهٔ درجهٔ $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نیز مجموعِ ریشه‌ها $-\frac{a_{n-1}}{a_n}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و حاصل‌ضربشان $(-1)^n \frac{a_0}{a_n}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. ضمناً هر معادلهٔ درجهٔ $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دقیقاً $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ریشهٔ مختلط دارد و ریشه‌های مختلطِ معادله‌های با ضرایبِ حقیقی همیشه دوبه‌دو مزدوج‌اند.

درس سوم: معادلات گویا و رادیکالی

معادلات گویا

معادلهٔ گویا معادله‌ای است که مجهول در مخرجِ کسر ظاهر شود. روشِ حل: مخرج‌ها را تجزیه کن، ک.م.م آن‌ها را بگیر، دو طرف را در ک.م.م ضرب کن، معادلهٔ حاصل را حل کن و در پایان هر جوابی که یکی از مخرج‌ها را صفر می‌کند حذف کن. این مرحلهٔ آخر اختیاری نیست؛ ضرب کردنِ دو طرف در عبارتی که ممکن است صفر شود، جوابِ غیرمجاز وارد می‌کند.

مثال: در $\frac{2}{x} + \frac{x}{x-1} = \frac{2}{x(x-1)}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ضرب در $x(x-1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌دهد $2(x-1) + x^2 = 2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، یعنی $x^2 + 2x - 4 = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $x = -1 \pm \sqrt{5}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. هیچ‌کدام برابرِ $0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نیستند، پس هر دو قابلِ قبول‌اند.

مسائل نرخ و کار

اصلِ کار ساده است: اگر کسی کاری را در $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ساعت تمام کند، در هر ساعت $\frac{1}{t}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از آن را انجام می‌دهد و نرخ‌ها با هم جمع می‌شوند.

مثال: دو ماشینِ چمن‌زنی با هم پارکی را در ۱۲ ساعت تمام می‌کنند و نرخِ یکی دو برابرِ دیگری است. اگر کندتر در $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ساعت کار را تمام کند، نرخِ آن $\frac{1}{x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و نرخِ تندتر $\frac{2}{x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است:

\frac{1}{x} + \frac{2}{x} = \frac{1}{12} \implies x = 36

پس کندتر ۳۶ ساعت و تندتر ۱۸ ساعت وقت می‌برد. مسائلِ مسافت و سرعت هم با همین منطق ساخته می‌شوند، با $t = \frac{d}{v}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و برای رفت‌وبرگشت $\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2} = T$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

معادلات رادیکالی

در این معادله‌ها مجهول زیرِ رادیکال است. ترتیبِ کار: اول دامنه را مشخص کن (برای $\sqrt{f(x)}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باید $f(x) \geq 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد؛ برای رادیکالِ فرد مثلِ $\sqrt[3]{f(x)}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هیچ محدودیتی نیست)، رادیکال را در یک طرف تنها کن، دو طرف را به توان برسان، معادله را حل کن و در آخر جواب‌ها را در معادلهٔ اصلی امتحان کن.

هشدارِ اصلیِ این بخش: به توان رساندنِ دو طرف می‌تواند جوابِ اضافی (خارجی) بسازد. مثلاً در $\sqrt{A} = B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین علاوه بر دامنه، شرطِ $B \geq 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم لازم است، چون رادیکالِ اصلی هیچ‌وقت منفی نمی‌شود.

مثال: $\sqrt{2x-3} = x-3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با شرطِ $x \geq \frac{3}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. مجذور می‌کنیم: $2x - 3 = x^2 - 6x + 9$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، یعنی $x^2 - 8x + 12 = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $x = 2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $x = 6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. اما $x = 2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سمتِ راست را منفی می‌کند ( $\sqrt{1} = -1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نادرست است) و رد می‌شود؛ فقط $x = 6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قابلِ قبول است.

اگر دو رادیکال داشته باشیم، یکی را جدا می‌کنیم، مجذور می‌گیریم، ساده می‌کنیم و دوباره تکرار می‌کنیم. برای $\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = \sqrt{4x-1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، مجذورِ اول به $2\sqrt{x^2-1} = 2x-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و مجذورِ دوم به $4x = 5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، یعنی $x = \frac{5}{4}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسد که باید بررسی شود. یک تستِ سریع هم به‌یاد داشته باش: $\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط وقتی جواب دارد که $f(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $g(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هر دو صفر باشند.