Q: اگر $f(x)=2x^4-3x^2+7$ باشد، کدام گزینه درست است؟

تابع چندجملهای درجهٔ ۴ است و دامنهٔ آن $\mathbb{R}$ است. — بالاترین توانِ $x$ برابر $4$ و صحیح نامنفی است، پس تابع چندجملهای درجهٔ ۴ است؛ دامنهٔ هر تابعِ چندجملهای بدونِ استثنا $\mathbb{R}$ است. سایر گزینهها درجه یا دامنه را نادرست بیان کردهاند. تلهٔ تستی: توابعِ چندجملهای هرگز دامنهشان محدود نمیشود؛ نباید حضورِ توانهای زوج را با نیازِ به دامنهٔ محدود (مثلِ رادیکال) اشتباه گرفت.

Q: اگر $\Delta=0$ برای یک تابع درجهٔ دوم برقرار باشد، کدام نتیجه درست است؟

تابع یک ریشهٔ حقیقی مضاعف دارد. — وقتی $\Delta=b^2-4ac=0$ باشد، دو ریشهٔ معادلهٔ درجهٔ دوم با هم برابر میشوند و به یک ریشهٔ حقیقیِ مضاعف تبدیل میگردند؛ این ریشه برابر $x=-\dfrac{b}{2a}$ است. «دو ریشهٔ متمایز» مربوط به $\Delta>0$ است؛ «هیچ ریشهای» مربوط به $\Delta<0$ است؛ خطیبودنِ تابع هیچ ربطی به علامتِ $\Delta$ ندارد. تلهٔ تستی: $\Delta=0$ یعنی نمودارِ سهمی دقیقاً بر محورِ $x$ها مماس میشود (رأس روی محور $x$ قرار میگیرد)، نه اینکه اصلاً محور را قطع نکند.

Q: دامنهٔ تابع $f(x)=\sqrt{x-3}$ کدام است؟

$[3,+\infty)$ — برایِ تعریفِ رادیکال باید $x-3\ge0$ باشد، پس دامنه $[3,+\infty)$ است. سایر گزینهها جهتِ نامساوی یا مرزِ آن را اشتباه گرفتهاند. تلهٔ تستی: علامتِ داخلِ رادیکال باید نامنفی باشد (شاملِ صفر)، نه فقط مثبتِ اکید؛ نقطهٔ $x=3$ باید در دامنه بماند.

Q: کدام گزینه **همهٔ** بازههای فهرستشدهای را نام میبرد که تابعِ $f(x)=x^2$ روی هر یک از آنها (بهتنهایی) یکبهیک است؟

هر دو بازهٔ $(-\infty,0]$ و $[0,+\infty)$ (هرکدام بهتنهایی) — رأسِ سهمیِ $f(x)=x^2$ در $x=0$ است. روی $(-\infty,0]$ تابع اکیداً نزولی و روی $[0,+\infty)$ اکیداً صعودی است؛ پس روی هر یک از این دو بازه بهتنهایی یکبهیک است. چون سؤال *همهٔ* بازههای مناسب را میخواهد، پاسخِ کامل «هر دو بازه» است. وارسیِ مستقل: روی $(-\infty,0]$ اگر $x_1 x_2^2$ (چون هر دو نامثبتاند و قدرمطلقِ $x_1$ بزرگتر است) — پس مقادیر متمایزند. روی $[0,+\infty)$ اگر $0\le x_1<x_2$ آنگاه $x_1^2<x_2^2$ — باز هم متمایز. ردِ سایر گزینهها: $\mathbb{R}$ نادرست است چون $f(-1)=f(1)=1$. «فقط $(-\infty,0]$» و «فقط $[0,+\infty)$» هرکدام درستاند اما ناقصاند و واژهٔ «فقط» ادعای انحصاریای میکند که برقرار نیست. تلهٔ تستی: توجه کنید که *اجتماعِ* این دو بازه ($\mathbb{R}$) یکبهیکی را از بین میبرد؛ گزینهٔ درست به «هرکدام بهتنهایی» اشاره دارد نه به اجتماعشان.

Q: اگر $f(x)=x-2$ و $g(x)=x^2+1$، آنگاه $(g\circ f)(x)$ کدام است؟

$x^2-4x+5$ — $(g\circ f)(x)=g(x-2)=(x-2)^2+1=x^2-4x+4+1=x^2-4x+5$. سایر گزینهها از گسترشِ نادرستِ $(x-2)^2$ یا فراموشکردنِ عددِ ثابت ناشی میشوند. تلهٔ تستی: $(x-2)^2$ باید کامل به $x^2-4x+4$ گسترده شود، نه بهاشتباه به $x^2-2x+4$ یا مشابه.

Q: اگر $f(x)=\sqrt{x-1}$ و $g(x)=x^2+2$، آنگاه دامنهٔ $f\circ g$ کدام است؟

$\mathbb{R}$ — دامنهٔ $f\circ g$ برابر $\{x\in D_g \mid g(x)\in D_f\}$ است. چون $D_g=\mathbb{R}$ و شرط $g(x)\in D_f=[1,+\infty)$ یعنی $x^2+2\ge1$ که برای همهٔ $x$ برقرار است (چون $x^2+2\ge2$)، دامنه کل $\mathbb{R}$ است. سایر گزینهها یعنی «$[-1,+\infty)$»، «$[1,+\infty)$» و «$(-\infty,1]$» هر سه دامنه را ناقص میگیرند و شرط «برای همهٔ $x$ برقرار است» را نادیده میگیرند. تلهٔ تستی: چون ضابطهٔ نهایی $\sqrt{x^2+1}$ شبیه رادیکالهای محدودکننده بهنظر میرسد، دانشآموز اشتباهاً دامنه را محدود میکند؛ باید حتماً شرط $g(x)\in D_f$ را مستقیماً بررسی کرد، نه فقط ظاهر ضابطهٔ نهایی را.

Q: اگر $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ و $g(x)=x+2$، آنگاه دامنهٔ $f\circ g$ کدام است؟

$\mathbb{R}\setminus\{0\}$ — چون $(f\circ g)(x)=\dfrac{1}{(x+2)-2}=\dfrac1x$، باید $x\neq0$ باشد؛ پس دامنه $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ است. گزینهٔ «$\mathbb{R}\setminus\{2\}$» و «$\mathbb{R}\setminus\{-2\}$» محدودیتِ دامنهٔ $f$ یا $g$ را بهجای دامنهٔ واقعیِ ترکیب اعمال میکنند؛ «$\mathbb{R}$» اصلاً محدودیت مخرج را نادیده میگیرد. تلهٔ تستی: محدودیتِ $x\neq2$ مربوط به ضابطهٔ اصلیِ $f$ است، نه ترکیب؛ باید همیشه ضابطهٔ نهاییِ ترکیب را ساده و سپس محدودیتش را جداگانه بررسی کرد.

Question 1

اگر $f(x)=2x^4-3x^2+7$ باشد، کدام گزینه درست است؟

Accepted Answer

تابع چندجمله‌ای درجهٔ ۴ است و دامنهٔ آن $\mathbb{R}$ است. — بالاترین توانِ $x$ برابر $4$ و صحیح نامنفی است، پس تابع چندجمله‌ای درجهٔ ۴ است؛ دامنهٔ هر تابعِ چندجمله‌ای بدونِ استثنا $\mathbb{R}$ است. سایر گزینه‌ها درجه یا دامنه را نادرست بیان کرده‌اند. تلهٔ تستی: توابعِ چندجمله‌ای هرگز دامنه‌شان محدود نمی‌شود؛ نباید حضورِ توان‌های زوج را با نیازِ به دامنهٔ محدود (مثلِ رادیکال) اشتباه گرفت.

Question 2

کدام تابع چندجمله‌ای نیست؟

Accepted Answer

$h(x)=x^{1/2}+4$ — در $h(x)=x^{1/2}+4$ توانِ $x$ برابرِ $\frac12$ است که نه صحیح است و نه نامنفیِ صحیح، پس چندجمله‌ای نیست؛ سایر گزینه‌ها همگی توان‌های صحیح نامنفی دارند. تلهٔ تستی: توانِ کسری یا منفی، صرف‌نظر از سادگیِ ظاهریِ ضابطه، بلافاصله تابع را از ردهٔ چندجمله‌ای خارج می‌کند.

Question 3

رأس سهمی $f(x)=x^2-6x+5$ کدام است؟

Accepted Answer

$(3,-4)$ — با تکمیل مربع $f(x)=(x-3)^2-4$، رأس در $(3,-4)$ است. سایر گزینه‌ها یا مختصات را جابجا کرده‌اند یا از فرمولِ نادرست استفاده کرده‌اند. تلهٔ تستی: رأس $(h,k)$ از $h=-\frac{b}{2a}$ و $k=f(h)$ به دست می‌آید؛ نباید ضرایبِ $b$ و $c$ را مستقیماً به‌عنوانِ مختصاتِ رأس در نظر گرفت.

Question 4

معادلهٔ $x^2-2x+5=0$ چند ریشهٔ حقیقی دارد؟

Accepted Answer

هیچ ریشهٔ حقیقی — $\Delta=(-2)^2-4(1)(5)=4-20=-16<0$، پس معادله هیچ ریشهٔ حقیقی‌ای ندارد. تلهٔ تستی: علامتِ منفیِ ممیز مستقیماً یعنی نمودارِ سهمی محورِ $x$ها را قطع نمی‌کند؛ نباید آن را با «یک ریشهٔ مضاعف» ($\Delta=0$) اشتباه گرفت.

Question 5

اگر $\Delta=0$ برای یک تابع درجهٔ دوم برقرار باشد، کدام نتیجه درست است؟

Accepted Answer

تابع یک ریشهٔ حقیقی مضاعف دارد. — وقتی $\Delta=b^2-4ac=0$ باشد، دو ریشهٔ معادلهٔ درجهٔ دوم با هم برابر می‌شوند و به یک ریشهٔ حقیقیِ مضاعف تبدیل می‌گردند؛ این ریشه برابر $x=-\dfrac{b}{2a}$ است. «دو ریشهٔ متمایز» مربوط به $\Delta>0$ است؛ «هیچ ریشه‌ای» مربوط به $\Delta<0$ است؛ خطی‌بودنِ تابع هیچ ربطی به علامتِ $\Delta$ ندارد. تلهٔ تستی: $\Delta=0$ یعنی نمودارِ سهمی دقیقاً بر محورِ $x$ها مماس می‌شود (رأس روی محور $x$ قرار می‌گیرد)، نه اینکه اصلاً محور را قطع نکند.

Question 6

دامنهٔ تابع $f(x)=\sqrt{x-3}$ کدام است؟

Accepted Answer

$[3,+\infty)$ — برایِ تعریفِ رادیکال باید $x-3\ge0$ باشد، پس دامنه $[3,+\infty)$ است. سایر گزینه‌ها جهتِ نامساوی یا مرزِ آن را اشتباه گرفته‌اند. تلهٔ تستی: علامتِ داخلِ رادیکال باید نامنفی باشد (شاملِ صفر)، نه فقط مثبتِ اکید؛ نقطهٔ $x=3$ باید در دامنه بماند.

Question 7

کدام گزینه **همهٔ** بازه‌های فهرست‌شده‌ای را نام می‌برد که تابعِ $f(x)=x^2$ روی هر یک از آن‌ها (به‌تنهایی) یک‌به‌یک است؟

Accepted Answer

هر دو بازهٔ $(-\infty,0]$ و $[0,+\infty)$ (هرکدام به‌تنهایی) — رأسِ سهمیِ $f(x)=x^2$ در $x=0$ است. روی $(-\infty,0]$ تابع اکیداً نزولی و روی $[0,+\infty)$ اکیداً صعودی است؛ پس روی هر یک از این دو بازه به‌تنهایی یک‌به‌یک است. چون سؤال *همهٔ* بازه‌های مناسب را می‌خواهد، پاسخِ کامل «هر دو بازه» است.
وارسیِ مستقل: روی $(-\infty,0]$ اگر $x_1<x_2\le0$ آنگاه $x_1^2>x_2^2$ (چون هر دو نامثبت‌اند و قدرمطلقِ $x_1$ بزرگ‌تر است) — پس مقادیر متمایزند. روی $[0,+\infty)$ اگر $0\le x_1<x_2$ آنگاه $x_1^2<x_2^2$ — باز هم متمایز.
ردِ سایر گزینه‌ها: $\mathbb{R}$ نادرست است چون $f(-1)=f(1)=1$. «فقط $(-\infty,0]$» و «فقط $[0,+\infty)$» هرکدام درست‌اند اما ناقص‌اند و واژهٔ «فقط» ادعای انحصاری‌ای می‌کند که برقرار نیست. تلهٔ تستی: توجه کنید که *اجتماعِ* این دو بازه ($\mathbb{R}$) یک‌به‌یکی را از بین می‌برد؛ گزینهٔ درست به «هرکدام به‌تنهایی» اشاره دارد نه به اجتماعشان.

Question 8

اگر $f(x)=x-2$ و $g(x)=x^2+1$، آنگاه $(g\circ f)(x)$ کدام است؟

Accepted Answer

$x^2-4x+5$ — $(g\circ f)(x)=g(x-2)=(x-2)^2+1=x^2-4x+4+1=x^2-4x+5$. سایر گزینه‌ها از گسترشِ نادرستِ $(x-2)^2$ یا فراموش‌کردنِ عددِ ثابت ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: $(x-2)^2$ باید کامل به $x^2-4x+4$ گسترده شود، نه به‌اشتباه به $x^2-2x+4$ یا مشابه.

Question 9

اگر $f(x)=\sqrt{x-1}$ و $g(x)=x^2+2$، آنگاه دامنهٔ $f\circ g$ کدام است؟

Accepted Answer

$\mathbb{R}$ — دامنهٔ $f\circ g$ برابر $\{x\in D_g \mid g(x)\in D_f\}$ است. چون $D_g=\mathbb{R}$ و شرط $g(x)\in D_f=[1,+\infty)$ یعنی $x^2+2\ge1$ که برای همهٔ $x$ برقرار است (چون $x^2+2\ge2$)، دامنه کل $\mathbb{R}$ است. سایر گزینه‌ها یعنی «$[-1,+\infty)$»، «$[1,+\infty)$» و «$(-\infty,1]$» هر سه دامنه را ناقص می‌گیرند و شرط «برای همهٔ $x$ برقرار است» را نادیده می‌گیرند. تلهٔ تستی: چون ضابطهٔ نهایی $\sqrt{x^2+1}$ شبیه رادیکال‌های محدودکننده به‌نظر می‌رسد، دانش‌آموز اشتباهاً دامنه را محدود می‌کند؛ باید حتماً شرط $g(x)\in D_f$ را مستقیماً بررسی کرد، نه فقط ظاهر ضابطهٔ نهایی را.

Question 10

اگر $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ و $g(x)=x+2$، آنگاه دامنهٔ $f\circ g$ کدام است؟

Accepted Answer

$\mathbb{R}\setminus\{0\}$ — چون $(f\circ g)(x)=\dfrac{1}{(x+2)-2}=\dfrac1x$، باید $x
eq0$ باشد؛ پس دامنه $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ است. گزینهٔ «$\mathbb{R}\setminus\{2\}$» و «$\mathbb{R}\setminus\{-2\}$» محدودیتِ دامنهٔ $f$ یا $g$ را به‌جای دامنهٔ واقعیِ ترکیب اعمال می‌کنند؛ «$\mathbb{R}$» اصلاً محدودیت مخرج را نادیده می‌گیرد. تلهٔ تستی: محدودیتِ $x
eq2$ مربوط به ضابطهٔ اصلیِ $f$ است، نه ترکیب؛ باید همیشه ضابطهٔ نهاییِ ترکیب را ساده و سپس محدودیتش را جداگانه بررسی کرد.

ضابطه	تبدیل
$y=f(x)+c$ / $-c$	انتقال بالا/پایین به اندازهٔ $c$
$y=f(x-c)$ / $f(x+c)$	انتقال راست/چپ به اندازهٔ $c$
$y=kf(x)$	کشش عمودی با ضریب $k$
$y=f(kx)$	کشش افقی با ضریب $\frac{1}{k}$
$y=-f(x)$	قرینه نسبت به محور $x$
$y=f(-x)$	قرینه نسبت به محور $y$
$y=	f(x)

تابع $f(x)$	دامنه	$f^{-1}(x)$	دامنهٔ وارون
$ax+b$	$\mathbb{R}$	$\dfrac{x-b}{a}$	$\mathbb{R}$
$x^3$	$\mathbb{R}$	$\sqrt[3]{x}$	$\mathbb{R}$
$\sqrt{x}$	$[0,+\infty)$	$x^2$	$[0,+\infty)$
$x^2$	$[0,+\infty)$	$\sqrt{x}$	$[0,+\infty)$

مفهوم	تعریف/فرمول	شرط مهم
تابع چند جمله‌ای	$f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$	$a_n\neq0$ ، توان صحیح نامنفی
تابع اکیداً صعودی	$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$	روی بازهٔ $A$
ترکیب توابع	$(g\circ f)(x)=g(f(x))$	$R_f\cap D_g\neq\emptyset$
دامنهٔ مرکب	$D_{g\circ f}=\{x\in D_f\mid f(x)\in D_g\}$	محاسبه از تعریف
تابع وارون	$f(a)=b \Leftrightarrow f^{-1}(b)=a$	$f$ باید یک‌به‌یک باشد
وارون ترکیب	$(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$	هر دو وارون‌پذیر

تابع (فصل 1 ریاضی 3) (علوم تجربی)

خلاصه‌ی درسنامه

تابع — خلاصهٔ فصل ۱

توابع چند جمله‌ای

تابع درجهٔ دوم (سهمی)

تابع درجهٔ سوم (مکعبی)

توابع صعودی و نزولی

ترکیب توابع

تبدیل نمودار توابع

تابع وارون

جدول خلاصهٔ کل فصل

نمونه تست

مباحث مرتبط

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

نوع	شرط
صعودی	$f(x_1)\le f(x_2)$
نزولی	$f(x_1)\ge f(x_2)$
اکیداً صعودی	$f(x_1)<f(x_2)$
اکیداً نزولی	$f(x_1)>f(x_2)$