توابع چندجمله‌ای و تابع وارون (ریاضی ۳)

تابع — خلاصهٔ فصل ۱

توابع چند جمله‌ای

هر تابع به صورت $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که در آن $a_i$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییها حقیقی، $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عدد صحیح نامنفی و $a_n\neq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، تابع چند جمله‌ای از درجهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نامیده می‌شود. تابع ثابت ($f(x)=b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، خطی ($f(x)=ax+b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $a\neq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، درجهٔ دوم ($ax^2+bx+c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $a\neq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و درجهٔ سوم ($ax^3+bx^2+cx+d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $a\neq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) همه از این خانواده‌اند. دامنهٔ همهٔ توابع چند جمله‌ای $\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. نکتهٔ کنکوری: توابعی مثل $\sqrt{x}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\frac{1}{x}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $x^{1/2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چند جمله‌ای نیستند چون توان $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید عدد صحیح نامنفی باشد.

تابع درجهٔ دوم (سهمی)

فرم کانونی (تکمیل مربع): $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a} = a(x-h)^2+k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که در آن $h=-\frac{b}{2a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $k=c-\frac{b^2}{4a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ رأس سهمی نقطهٔ $(h,k)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و محور تقارن خط $x=h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. اگر $a>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سهمی رو به بالاست (کمینه در $x=h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ اگر $a<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رو به پایین (بیشینه در $x=h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). با $\Delta=b^2-4ac$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $\Delta>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دو ریشهٔ متمایز، $\Delta=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک ریشهٔ مضاعف $x=-\frac{b}{2a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\Delta<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بدون ریشهٔ حقیقی.

مثال: $f(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ رأس $(3,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و محور تقارن $x=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، و همین تابع در $(-\infty,3]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اکیداً نزولی و در $[3,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اکیداً صعودی است.

تابع درجهٔ سوم (مکعبی)

دامنه و برد هر دو $\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هستند. تابع $f(x)=x^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اکیداً صعودی روی کل $\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و نمودارش نقطهٔ عطف در مبدأ دارد. مثال: نمودار $y=(x-1)^3-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همان نمودار $y=x^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است که یک واحد به راست و یک واحد به پایین منتقل شده و نقطهٔ عطفش به $(1,-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رفته است.

توابع صعودی و نزولی

فرض $A\subseteq D_f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x_1,x_2\in A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $x_1<x_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

قضیه: هر تابع اکیداً یکنوا، یکنواست؛ اما عکس آن لزوماً درست نیست (مثال نقض: تابع ثابت هم صعودی و هم نزولی است اما نه اکیداً). $f(x)=|x|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $(-\infty,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اکیداً نزولی و در $[0,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اکیداً صعودی است، ولی در کل $\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نه صعودی و نه نزولی.

تلهٔ مهم: «صعودی بودن روی هر تکه» با «صعودی بودن روی اجتماع تکه‌ها» یکی نیست. تابع دوبخشیِ $f(x)=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای $x<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $f(x)=x-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای $x\ge0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در هر دو بازهٔ $(-\infty,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(0,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اکیداً صعودی است، اما روی $\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نه: کافی است $x_1=-0.1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x_2=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را مقایسه کنی.

قضیهٔ بسیار مهم: هر تابع اکیداً یکنوا روی یک بازه، یک‌به‌یک است روی آن بازه. (اثبات: اگر $f(x_1)=f(x_2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اکیداً صعودی، نه $x_1<x_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ممکن است نه $x_1>x_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $x_1=x_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.) عکس این قضیه لزوماً درست نیست — تابع می‌تواند یک‌به‌یک باشد بدون یکنوا بودن.

یکنوایی توابع مثلثاتی: $\sin x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $\left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صعودی و در $\left[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نزولی است؛ $\cos x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $[0,\pi]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نزولی و در $[\pi,2\pi]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صعودی است و همین الگو با دورهٔ $2\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تکرار می‌شود. همچنین اگر $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $[a,b]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صعودی باشد، بزرگ‌ترین مقدارش $f(b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و کوچک‌ترین مقدارش $f(a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

ترکیب توابع

برای اینکه $g\circ f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اصلاً تعریف شود، برد $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و دامنهٔ $g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید اشتراک ناتهی داشته باشند. همچنین همیشه $D_{g\circ f}\subseteq D_f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

قانون طلایی: دامنهٔ تابع مرکب را همیشه از تعریف محاسبه کن، نه از ضابطهٔ نهایی — ممکن است سادگی ضابطه دامنهٔ واقعی را پنهان کند.

مثال: $f(x)=\sqrt{x-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $g(x)=2x^2-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای $g\circ f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $D_f=[1,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(g\circ f)(x)=2(x-1)-1=2x-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با دامنهٔ $[1,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — با اینکه ضابطهٔ نهایی $2x-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعریف‌شده است. برای $f\circ g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: باید $2x^2-1\ge1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، پس $D_{f\circ g}=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

تلهٔ نقطهٔ حذف‌شده: اگر تابع بیرونی یک نقطه را از دامنه‌اش کم داشته باشد، باید دید تابع درونی در کدام $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً همان مقدار را می‌سازد و آن $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را هم از دامنهٔ ترکیب حذف کرد. برای $f(x)=\sqrt{x-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $g(x)=\frac{1}{x-3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید $\sqrt{x-1}\neq3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، یعنی $x\neq10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ پس $D_{g\circ f}=[1,+\infty)-\{10\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

خواص ترکیب (فراتر از کتاب): شرکت‌پذیری $(h\circ g)\circ f = h\circ(g\circ f)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ عموماً $g\circ f \neq f\circ g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ اگر $I(x)=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی آنگاه $f\circ I = I\circ f = f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ برد $g\circ f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زیرمجموعه‌ای از برد $g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

یکنوایی ترکیب (فراتر از کتاب): اگر $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هر دو روی بازهٔ موردنظر اکیداً یکنوا باشند، یکنواییِ $g\circ f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درست مثل ضرب علامت به دست می‌آید: صعودی با صعودی و نزولی با نزولی نتیجهٔ صعودی می‌دهد، اما ترکیب یک صعودی و یک نزولی نزولی است. مثلاً با $f(x)=x^3+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (صعودی) و $g(x)=-2x+5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (نزولی)، هم $g\circ f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و هم $f\circ g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اکیداً نزولی‌اند. اگر دامنه به چند تکه بشکند، هر تکه را باید جدا بررسی کرد.

ترکیب با دامنهٔ گسسته: اگر $f=\{(0,-1),(5,2),(3,5),(-2,4)\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $g=\{(7,8),(5,3),(9,8),(11,4)\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، برای محاسبهٔ $(g\circ f)(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید $f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عضو دامنهٔ $g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد؛ فقط برای $x=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $f(3)=5\in D_g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $g(5)=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $g\circ f=\{(3,3)\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — بقیهٔ مقادیر تعریف‌نشده‌اند.

تبدیل نمودار توابع

در $y=kf(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عرض هر نقطه در $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضرب می‌شود و طول ثابت می‌ماند: $k>1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی انبساط عمودی و $0<k<1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی انقباض عمودی می‌دهد؛ چون فقط عرض‌ها تغییر می‌کنند، ریشه‌های $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $kf$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یکسان‌اند. در $y=f(kx)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی طول هر نقطه در $\frac{1}{k}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضرب می‌شود و عرض ثابت می‌ماند: $k>1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی انقباض افقی و $0<k<1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی انبساط افقی می‌دهد؛ اینجا برد تغییر نمی‌کند ولی دامنه می‌تواند عوض شود. مثال: $y=\sin(2x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی انقباض افقی با ضریب $\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد و دورهٔ تناوب جدیدش $\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، در حالی‌که $y=\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی انبساط افقی با ضریب $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و دورهٔ $4\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد.

تابع وارون

تابع $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک‌به‌یک است اگر $x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (آزمون خط افقی: هیچ خط افقی نمودار را در بیش از یک نقطه قطع نکند). اگر $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک‌به‌یک باشد:

روش یافتن ضابطهٔ وارون: ۱) $y=f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بنویس؛ ۲) $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را برحسب $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بیاب؛ ۳) $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را جابجا کن.

مثال: $f(x)=\sqrt{x+3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $D_f=[-3,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $R_f=[0,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ از $y^2=x+3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه می‌شود $f^{-1}(x)=x^2-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $D_{f^{-1}}=[0,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

ارتباط هندسی: نمودار $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $f^{-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نسبت به خط $y=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قرینه‌اند، چون جابجایی $(a,b)\to(b,a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی معادل این قرینگی است.

معیار تشخیص وارون بودن دو تابع: $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وارون یکدیگرند اگر و تنها اگر هر دو ترکیب برابر تابع همانی شوند. برای $f(x)=2x+6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $g(x)=\frac{x-6}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $(f\circ g)(x)=2\cdot\frac{x-6}{2}+6=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(g\circ f)(x)=\frac{(2x+6)-6}{2}=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس وارون یکدیگرند. توجه کن که بررسی فقط یکی از دو ترکیب کافی نیست.

محدود کردن دامنه برای یافتن وارون: برای $h(x)=x^2-2x+2=(x-1)^2+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (رأس $(1,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، با محدود کردن به $[1,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $h^{-1}(x)=\sqrt{x-1}+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ با محدود کردن به $(-\infty,1]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $h^{-1}(x)=-\sqrt{x-1}+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. در هر دو حالت دامنهٔ وارون $[1,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

خواص وارون (فراتر از کتاب): $(f^{-1})^{-1}=f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ اگر $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اکیداً صعودی باشد $f^{-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیز اکیداً صعودی است (مشابه برای نزولی)؛ $(g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (ترتیب معکوس می‌شود). توابع متناوب مانند $\sin$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\cos$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی کل دامنه‌شان وارون ندارند، اما با محدودسازی دامنه می‌توان تعریف کرد: $\sin^{-1}:[-1,1]\to\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\cos^{-1}:[-1,1]\to[0,\pi]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نکتهٔ کنکوری: برای $f(x)=ax^2+bx+c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، بازهٔ یک‌به‌یک‌شدن باید شامل یا سمت راست یا سمت چپ رأس $x=-\frac{b}{2a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد. اگر $f(a)=b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی آنگاه $f^{-1}(b)=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — ساده‌ترین روش محاسبهٔ مقادیر وارون. نقاط روی خط $y=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (مانند $(a,a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) در $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $f^{-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مشترک‌اند.

جدول وارون توابع مهم:

مثال کاربردی (تبدیل دما): $f(x)=\frac{9}{5}x+32$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (سانتیگراد به فارنهایت)؛ وارونش $f^{-1}(x)=\frac{5(x-32)}{9}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دمای فارنهایت را به سانتیگراد برمی‌گرداند.

جدول خلاصهٔ کل فصل