کاربرد مشتق و بهینه‌سازی (ریاضی ۳)

درس اول: یکنوایی، نقاط بحرانی و اکسترمم‌ها

مشتق، زبانِ صعود و نزول

مشتق در هر نقطه شیب خط مماس است، و شیب مماس دقیقاً همان چیزی است که می‌گوید نمودار در آن نقطه بالا می‌رود یا پایین. همین پل ساده، کل این فصل را می‌سازد.

قضیهٔ آزمون یکنوایی: اگر $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در بازه‌ای مشتق‌پذیر باشد:

f'(x) > 0 \ \text{در بازه} \Longrightarrow f \ \text{در آن بازه اکیداً صعودی است}

f'(x) < 0 \ \text{در بازه} \Longrightarrow f \ \text{در آن بازه اکیداً نزولی است}

f'(x) = 0 \ \text{در بازه} \Longrightarrow f \ \text{در آن بازه ثابت است}

چند نمونهٔ پایه که نتیجه را ملموس می‌کنند:

تابع	مشتق	علامت مشتق	یکنوایی
$f(x) = 2x-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	همواره مثبت	در $\mathbb{R}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین اکیداً صعودی
$g(x) = -x+1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	همواره منفی	در $\mathbb{R}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین اکیداً نزولی
$h(x) = \sqrt{x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	در $(0,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مثبت	در $[0,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین اکیداً صعودی
$k(x) = x^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$2x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	در $(-\infty,0)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین منفی، در $(0,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مثبت	ابتدا نزولی، سپس صعودی

برعکسش هم می‌تواند سؤال شود: اگر نمودار در بازه‌ای بالا می‌رود، علامت $f'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در آن بازه مثبت است؛ جایی که نمودار افقی می‌شود، مشتق صفر است.

مثال محوری فصل: برای $f(x) = x^3 - 3x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم $f'(x) = 3x^2-3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و از $f'(x)=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نقاط $x=-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $x=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آیند:

بازه	$(-\infty,-1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$(-1,1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$(1,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$f'(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	+	$0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$-$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	+
$f(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	اکیداً صعودی	$f(-1)=2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	اکیداً نزولی	$f(1)=-2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	اکیداً صعودی

اکسترمم نسبی و نقطهٔ بحرانی

تابع $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در نقطه‌ای به طول $c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ماکزیمم نسبی دارد اگر همسایگی‌ای مانند $I \subseteq D_f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از $c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین وجود داشته باشد که برای هر $x \in I$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رابطهٔ $f(c) \geq f(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برقرار باشد؛ مینیمم نسبی همین تعریف با $f(c) \leq f(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. کلیدواژهٔ این تعریف «همسایگی» است: اکسترمم نسبی یعنی قهرمانِ محله، نه قهرمانِ کل شهر.

نقطهٔ $c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از دامنهٔ $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نقطهٔ بحرانی است هرگاه:

f'(c) = 0 \qquad \text{یا} \qquad f'(c) \ \text{موجود نباشد}

حالت دوم را دست‌کم نگیر: در $f(x)=|x|-2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تابع در $x=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مشتق ندارد، ولی همان‌جا مینیمم نسبی با مقدار $-2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رخ می‌دهد.

قضیهٔ ضرورت: اگر $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین اکسترمم نسبی داشته باشد و $f'(c)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین موجود باشد، آنگاه $f'(c)=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. به بیان دیگر، هر اکسترمم نسبی حتماً نقطهٔ بحرانی است.

اما عکس این قضیه نادرست است. در $f(x)=(x-1)^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم $f'(x)=3(x-1)^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $f'(1)=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، ولی چون $f'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در همه‌جا نامنفی است تابع پیوسته صعودی می‌ماند و $x=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نه ماکزیمم است نه مینیمم. همین ماجرا برای $x^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در صفر هم تکرار می‌شود. پس نقطهٔ بحرانی فقط یک مظنون است، نه یک جواب.

آزمون مشتق اول و جدول تغییرات

فرض کن $c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نقطهٔ بحرانی باشد، $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین پیوسته و در یک همسایگی محذوف $c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مشتق‌پذیر باشد. تصمیم نهایی را تغییر علامت مشتق می‌گیرد:

تغییر علامت $f'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	نتیجه
از + به $-$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (صعودی به نزولی)	$x=c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ماکزیمم نسبی است
از $-$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به + (نزولی به صعودی)	$x=c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مینیمم نسبی است
بدون تغییر علامت	در $c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین اکسترمم نسبی وجود ندارد

روش استاندارد همیشه یکسان است: مشتق را بگیر، ریشه‌های $f'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و نقاط بدون مشتق را پیدا کن، محور را با آن‌ها تکه‌تکه کن، در هر تکه یک عدد آزمایشی بگذار و علامت را بنویس، و در پایان از روی الگوی علامت‌ها ردیف یکنوایی را پر کن.

برای $g(x)=x^3-3x^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم $g'(x)=3x(x-2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس نقاط بحرانی $x=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $x=2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هستند. علامت مشتق از مثبت به منفی و دوباره به مثبت می‌رود، پس $x=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ماکزیمم نسبی با مقدار $0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $x=2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مینیمم نسبی با مقدار $-4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

اکسترمم مطلق

نقطهٔ $(c, f(c))$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ماکزیمم مطلق است اگر برای هر $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در دامنه $f(c) \geq f(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، و مینیمم مطلق اگر برای هر $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رابطهٔ $f(c) \leq f(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برقرار باشد. تفاوت با حالت نسبی فقط در قلمرو مقایسه است: نسبی در یک همسایگی، مطلق در کل دامنه.

قضیهٔ وایرشتراس: اگر $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی بازهٔ بستهٔ $[a,b]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین پیوسته باشد، حتماً هم ماکزیمم مطلق دارد و هم مینیمم مطلق. این تضمین به بسته بودن بازه و پیوستگی وابسته است:

نوع بازه	وجود اکسترمم مطلق برای تابع پیوسته
بستهٔ $[a,b]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	تضمین‌شده
بازِ $(a,b)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	تضمین نشده
نامتناهی $[a,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	تضمین نشده
کل $\mathbb{R}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	تضمین نشده

الگوریتم یافتن اکسترمم مطلق روی $[a,b]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: نقاط بحرانی را بیاب، مقدار تابع را در نقاط بحرانی داخل $(a,b)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و در دو سر $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حساب کن، و بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین عدد این فهرست را بردار. نیازی به رسم نمودار نیست.

برای $f(x)=2x^3+3x^2-12x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی $[-1,3]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: از $f'(x)=6(x+2)(x-1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نقاط بحرانی $x=-2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $x=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آید که فقط $x=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داخل بازه است. مقایسهٔ $f(-1)=13$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $f(1)=-7$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $f(3)=45$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نشان می‌دهد ماکزیمم مطلق $45$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $x=3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و مینیمم مطلق $-7$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $x=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. توجه کن که ماکزیمم مطلق اینجا در انتهای بازه افتاده، نه در نقطهٔ بحرانی.

آزمون مشتق دوم، تقعر و نقطهٔ عطف

اگر $f'(c)=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $f''(c)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین موجود باشد، گاهی بدون جدول تغییرات هم می‌شود تصمیم گرفت:

f''(c) < 0 \Rightarrow \text{ماکزیمم نسبی} \qquad f''(c) > 0 \Rightarrow \text{مینیمم نسبی}

اگر $f''(c)=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شد، این آزمون ناتوان است و باید به آزمون مشتق اول برگردی. مثلاً در $f(x)=x^3-3x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم $f''(x)=6x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس $f''(-1)=-6<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی ماکزیمم و $f''(1)=6>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی مینیمم.

علامت مشتق دوم، تقعر نمودار را هم می‌گوید: $f''>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی محدب رو به بالا و $f''<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی محدب رو به پایین. نقطه‌ای که در آن $f''$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین صفر شود (یا موجود نباشد) و تغییر علامت بدهد، نقطهٔ عطف است؛ مثلاً مبدأ برای $f(x)=x^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. دقت کن صفر شدن $f''$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به‌تنهایی کافی نیست؛ شرط اصلی تغییر علامت است.

توابع چندضابطه‌ای و تلهٔ مرز دامنه

در تابع چندضابطه‌ای، مشتق را در هر تکه جداگانه حساب کن، اما نقطهٔ مرزی را جدا بررسی کن: آنجا معمولاً مشتق وجود ندارد و نمی‌شود از علامت مشتق دو طرف نتیجه گرفت.

f(x) = \begin{cases} x^3 - 1 & x \geq 0 \\ (1+x)^2 & x < 0 \end{cases}

اینجا مشتق هر دو تکه در بخش‌هایی مثبت است، ولی چون $\lim_{x\to0^-}f(x)=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $f(0)=-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر نیست، تابع در صفر پیوسته نیست و نمی‌توان گفت روی بازه‌ای شامل صفر صعودی است. قاعدهٔ طلایی: پیش از حکم دادن دربارهٔ یکنوایی روی بازه‌ای که مرز دو ضابطه را در بر می‌گیرد، اول پیوستگی را در آن مرز چک کن.

اگر هر دو ضابطهٔ

y = \begin{cases} f(x) & x \geq a \\ g(x) & x < a \end{cases}

اکیداً صعودی باشند، تابع کلی روی $\mathbb{R}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین اکیداً صعودی است اگر و فقط اگر $\lim_{x\to a^-} g(x) \leq f(a)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ یعنی جهش رو به پایین یا تساوی مجاز است اما جهش رو به بالا یکنوایی اکید را می‌شکند. برای دو ضابطهٔ اکیداً نزولی همین شرط با نامساوی برعکس نوشته می‌شود.

تعیین برد تابع با کمک یکنوایی

اگر $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی $[a,b]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین پیوسته و اکیداً یکنوا باشد، برد آن دقیقاً بازهٔ بین دو مقدار انتهایی است: برای تابع صعودی $[f(a), f(b)]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و برای تابع نزولی $[f(b), f(a)]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مثلاً $f(x)=x+\sqrt{x-1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دامنهٔ $x \geq 1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد و چون $f'(x)=1+\frac{1}{2\sqrt{x-1}}>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، روی $[1,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین اکیداً صعودی است؛ پس برد آن $[1,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و روی دامنهٔ محدودتر $[1,5]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر $[f(1), f(5)] = [1,7]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود. این ترفند جای رسم نمودار و حل معادله را می‌گیرد.

یکنوایی توابع ترکیبی

اگر یکنوایی $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $g$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را بدانی، برای $f\circ g$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین لازم نیست دوباره مشتق بگیری؛ کافی است علامت‌ها را مثل قاعدهٔ علامت ضرب ترکیب کنی:

یکنوایی $g$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	یکنوایی $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	یکنوایی $f\circ g$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
صعودی	صعودی	صعودی
صعودی	نزولی	نزولی
نزولی	صعودی	نزولی
نزولی	نزولی	صعودی

مثلاً اگر $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین صعودی و $g$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نزولی باشد، هم $f\circ g$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و هم $g\circ f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نزولی‌اند، اما $(-f)\circ g$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین صعودی است چون $-f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خودش نزولی است. یک هشدار مهم: این قاعده فقط برای ترکیب درست است، نه برای حاصل‌ضرب $f\cdot g$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ در حاصل‌ضرب باید علامت خود توابع را هم در نظر گرفت.

نکات کنکوری درس اول

برای تعیین علامت $f'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در هر بازه، یک نقطهٔ آزمایشی کافی است.
نقاطی که $f'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در آن‌ها تعریف نشده ولی تابع تعریف شده است، بحرانی‌اند (مانند $|x|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در صفر).
توابع درجه‌فردی مانند $x^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $x^5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که مشتقشان تغییر علامت نمی‌دهد، اکسترمم نسبی ندارند.
اگر تابعی روی یک بازه تنها یک نقطهٔ بحرانی داشته باشد و آن ماکزیمم نسبی باشد، همان ماکزیمم مطلق هم هست.
در سؤال‌های «بزرگ‌ترین بازه‌ای که تابع در آن صعودی/نزولی است»، وضعیت خود نقاط بحرانی و سرهای بازه را هم بررسی کن.

درس دوم: بهینه‌سازی

الگوریتم کلی

بهینه‌سازی یعنی پیدا کردن بیشینه یا کمینهٔ کمیتی که به متغیر دیگری وابسته است: بیشینه کردن مساحت، حجم یا سود، و کمینه کردن هزینه، فاصله یا زمان. مسیر حل همیشه ثابت است:

۱. متغیر را تعریف کن و روی شکل بنویس.
۲. تابع هدف را بنویس؛ همان کمیتی که باید بهینه شود.
۳. قید مسئله (محیط ثابت، حجم ثابت، رابطهٔ هندسی) را بنویس و با آن تابع هدف را تک‌متغیره کن.
۴. دامنهٔ معتبر را از محدودیت‌های فیزیکی پیدا کن؛ طول و شعاع منفی نمی‌شوند.
۵. مشتق بگیر، نقاط بحرانی را بیاب و با جدول تغییرات یا آزمون مشتق دوم نوع اکسترمم را تأیید کن.
۶. جواب را تفسیر کن؛ پاسخ مسئله یک عدد با واحد است، نه فقط مقدار $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

الگوهای کلاسیک و نتیجه‌های ماندگارشان

مساحت بیشینه با محیط ثابت. با محیط $14$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ابعاد $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $7-x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، تابع هدف $S(x)=-x^2+7x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی $[0,7]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و از $S'(x)=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $x=3.5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسیم، یعنی مربع با مساحت $12.25$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. نتیجهٔ کلی‌اش را به خاطر بسپار: در میان همهٔ مستطیل‌های با محیط ثابت، مربع بیشترین مساحت را دارد (و در میان همهٔ شکل‌های بستهٔ با محیط ثابت، دایره).

حجم بیشینهٔ جعبه. از ورق مربعی به ضلع $30$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با برش گوشه‌های به ضلع $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: $V(x)=x(30-2x)^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی $[0,15]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و از $V'(x)=12(x-5)(x-15)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نقطهٔ بهینه $x=5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با حجم $2000$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آید. قاعدهٔ کلی: برای ورق مربعی به ضلع $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همیشه $x=\frac{a}{6}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بهینه است و $V_{\max}=\frac{2a^3}{27}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

کمینه کردن مصالح یا هزینه با حجم ثابت. برای مخزن درباز با حجم ثابت، از قید حجم ارتفاع را بر حسب ضلع قاعده بنویس تا تابع هزینه به شکل $C(x)=\alpha x^2 + \frac{\beta}{x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دربیاید؛ مشتق چنین تابعی همیشه به معادله‌ای درجه‌سه از نوع $x^3=\text{ثابت}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسد. در قوطی استوانه‌ای دربازِ با حجم ثابت، تابع هدف $S(r)=\pi r^2+\frac{2000}{r}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و نتیجهٔ زیبایش این است که ارتفاع با شعاع برابر می‌شود.

توابع کسری. در $C(t)=\frac{3t}{t^3+27}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (مدل غلظت دارو در خون)، چون مخرج همیشه مثبت است علامت $C'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط به صورت کسر بستگی دارد؛ همین نکته کار تعیین علامت را ساده می‌کند و نقطهٔ بیشینه $t=\sqrt[3]{\frac{27}{2}} \approx 2.38$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ساعت به دست می‌آید.

کمترین زمان با دو سرعت. وقتی بخشی از مسیر با سرعت $v_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و بخشی با $v_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین طی می‌شود، زمان کل مجموع $\frac{d}{v}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هاست. در مسئلهٔ کلاسیک قایق و ساحل با فاصلهٔ عمود $3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و مقصد $8$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کیلومتر آن‌طرف‌تر، تابع هدف $t(x)=\frac{\sqrt{x^2+9}}{2}+\frac{8-x}{4}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و نقطهٔ بهینه $x=\sqrt{3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود.

کمینهٔ فاصله. برای پیدا کردن نزدیک‌ترین نقطهٔ یک منحنی به نقطه‌ای ثابت، به‌جای $d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی $d^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کار کن تا رادیکال حذف شود؛ چون $d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نامنفی است، کمینهٔ $d^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان کمینهٔ $d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را می‌دهد. مثلاً نزدیک‌ترین نقطهٔ سهمی $y=x^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $(3,0)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از کمینه کردن $(x-3)^2+x^4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آید و $x=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با فاصلهٔ $\sqrt{5}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جواب است. اما اگر نقطهٔ متحرک روی یک خط راست باشد، اصلاً مشتق لازم نیست:

d_{\min} = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

تشخیص اینکه مسیر خط است یا منحنی، اولین تصمیم پیش از انتخاب روش است.

بهینه‌سازی هندسی: اجسام محاط در کره

گاهی قید مسئله به‌جای رابطه‌ای جبری، یک شرط هندسی است: جسمی داخل کره‌ای به شعاع $R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین محاط شده. همهٔ این شرط‌ها از یک ایده می‌آیند؛ رأس‌های جسم روی سطح کره‌اند، پس فاصله‌شان تا مرکز برابر $R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و یک مثلث قائم‌الزاویهٔ مناسب رابطه را می‌دهد:

جسم محاط در کره	رابطهٔ قید
استوانه با شعاع $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ارتفاع $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
مکعب با یال $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$2R = a\sqrt{3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
مخروط با شعاع $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ارتفاع $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$r^2 = h(2R-h)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مثلاً برای بیشترین حجم استوانه در کره‌ای به شعاع $12$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، با جای‌گذاری $r^2=144-\frac{h^2}{4}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $V(h)=\pi\left(144h-\frac{h^3}{4}\right)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسیم و از $V'(h)=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ارتفاع بهینه $h=8\sqrt{3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در می‌آید.

تلهٔ رایج: در رابطهٔ فیثاغورسی باید نصف ارتفاع استوانه را به کار ببری، نه کل آن؛ چون مرکز کره وسط محور استوانه است، نه روی یکی از دو قاعده.

اصول و نکات پایانی

در مسئله‌های دومتغیره، قید همیشه ابزار حذف یک متغیر است؛ بدون آن مشتق‌گیری بی‌معنا می‌شود.
نامساوی میانگین‌ها: برای اعداد مثبت $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و تساوی تنها وقتی $a=b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ بسیاری از مسائل «مجموع ثابت، حاصل‌ضرب بیشینه» را بدون مشتق حل می‌کند.
بازهٔ معتبر متغیر را جدی بگیر؛ نقطهٔ بحرانیِ بیرون از دامنه، جواب نیست.
در بیشتر مسائل کنکوری تنها یک نقطهٔ بحرانی در بازه وجود دارد و همان جواب بهینه است، اما تأییدش با آزمون مشتق دوم چند ثانیه بیشتر وقت نمی‌گیرد.
در مسائل مالی، «هزینهٔ کل» و «هزینهٔ هر واحد» دو تابع متفاوت‌اند؛ اشتباه گرفتنشان جواب را کاملاً عوض می‌کند.
در محوطه‌های کنار رودخانه یا دیوار، بشمار که واقعاً چند ضلع به نرده نیاز دارد.

جمع‌بندی فصل

مفهوم	حکم
آزمون یکنوایی	$f'>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین صعودی، $f'<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نزولی، $f'=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ثابت
نقطهٔ بحرانی	$f'(c)=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $f'(c)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین موجود نیست
آزمون مشتق اول	تغییر علامت $f'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
آزمون مشتق دوم	$f'(c)=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و علامت $f''(c)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
اکسترمم مطلق در $[a,b]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	مقایسهٔ مقادیر در نقاط بحرانی و دو سر بازه

\text{متغیر} \rightarrow \text{تابع هدف} \rightarrow \text{قید} \rightarrow \text{تک‌متغیره} \rightarrow f'(x)=0 \rightarrow \text{جدول تغییرات} \rightarrow \text{تفسیر}