کاربرد مشتق (فصل 5 ریاضی 3) (علوم تجربی)

کاربرد مشتق — خلاصهٔ فصل ۵

یکنوایی تابع و ارتباط آن با مشتق

قضیهٔ اساسی: فرض کنیم $f$ در یک بازه مشتق‌پذیر باشد:

مثال: $f(x)=x^3-3x$؛ $f'(x)=3x^2-3=0 \Rightarrow x=\pm1$.

اکسترمم‌های نسبی و نقاط بحرانی

تابع $f$ در $c$ ماکزیمم نسبی دارد اگر همسایگی $I$ از $c$ باشد که $\forall x\in I: f(c)\ge f(x)$ (مشابه برای مینیمم با $\le$). نقطهٔ $c$ از دامنهٔ $f$ را نقطهٔ بحرانی می‌نامیم هرگاه:

قضیه: اگر $f$ در $c$ اکسترمم نسبی داشته باشد و $f'(c)$ موجود باشد، آنگاه $f'(c)=0$؛ یعنی هر نقطهٔ اکسترمم نسبی، نقطهٔ بحرانی است. توجه: عکس این قضیه درست نیست! مثال نقض: $f(x)=(x-1)^3$، $f'(1)=0$ اما $x=1$ اکسترمم نسبی نیست چون $f'(x)\ge0$ همه‌جا (تابع همواره صعودی است).

آزمون مشتق اول

فرض کنیم $c$ نقطهٔ بحرانی $f$ باشد که $f$ در $c$ پیوسته و در همسایگی محذوف $c$ مشتق‌پذیر است:

مثال: $g(x)=x^3-3x^2$؛ $g'(x)=3x(x-2)=0 \Rightarrow x=0,2$. جدول تغییرات نشان می‌دهد $x=0$ ماکزیمم نسبی ($g(0)=0$) و $x=2$ مینیمم نسبی ($g(2)=-4$) است.

اکسترمم‌های مطلق

نقطهٔ $(c,f(c))$ ماکزیمم مطلق است اگر $\forall x\in D_f: f(c)\ge f(x)$ (مشابه برای مینیمم مطلق). تفاوت با نسبی: اکسترمم نسبی در یک همسایگی (محلی) و مطلق در کل دامنه (سراسری) است. قضیهٔ وایرشتراس: اگر $f$ در بازهٔ بستهٔ $[a,b]$ پیوسته باشد، هم ماکزیمم مطلق و هم مینیمم مطلق دارد.

الگوریتم یافتن اکسترمم مطلق در $[a,b]$: ۱) نقاط بحرانی را بیاب؛ ۲) مقدار تابع را در نقاط بحرانی داخل $(a,b)$ و در $a$، $b$ محاسبه کن؛ ۳) بزرگ‌ترین = ماکزیمم مطلق، کوچک‌ترین = مینیمم مطلق.

مثال: $f(x)=2x^3+3x^2-12x$ در $[-1,3]$؛ $f'(x)=6(x+2)(x-1)$، نقطهٔ بحرانی داخل بازه فقط $x=1$. مقایسهٔ $f(-1)=13$، $f(1)=-7$، $f(3)=45$: ماکزیمم مطلق $45$ در $x=3$، مینیمم مطلق $-7$ در $x=1$.

آزمون مشتق دوم و نقطهٔ عطف (فراتر از کتاب)

اگر $f'(c)=0$ و $f''(c)$ موجود باشد: $f''(c)<0 \Rightarrow$ ماکزیمم نسبی؛ $f''(c)>0 \Rightarrow$ مینیمم نسبی؛ $f''(c)=0 \Rightarrow$ آزمون ناتوان است، از آزمون مشتق اول استفاده کن. نقطهٔ عطف: نقطه‌ای که $f''(c)=0$ (یا موجود نیست) و $f''$ در آن تغییر علامت دهد. $f''(x)>0$ یعنی نمودار محدب رو به بالاست؛ $f''(x)<0$ یعنی رو به پایین.

نکات کنکوری: برای یکنوایی کافی است علامت $f'$ را در هر بازه با یک نقطهٔ آزمایشی بررسی کنی؛ اگر $f'$ موجود نباشد اما تابع پیوسته باشد (مثل $|x|$ در $0$)، آن نقطه هم بحرانی است؛ تابع درجهٔ فرد بدون ضریب $x^2$ (مثل $x^3$، $x^5$) معمولاً هیچ اکسترمم نسبی ندارد؛ برای یافتن اکسترمم مطلق در $[a,b]$، مقدار تابع را در نقاط بحرانی و انتهاهای بازه مقایسه کن.

نمونهٔ حل تمرین (یافتن ضرایب از روی اکسترمم): برای $f(x)=x^3+bx^2+d$ با اکسترمم نسبی در نقطهٔ $(2,1)$: از $f(2)=1$ داریم $4b+d=-7$؛ از $f'(2)=0$ داریم $12+4b=0\Rightarrow b=-3$؛ جایگذاری می‌دهد $d=5$. تأیید: $f'(x)=3x(x-2)$ در $x=2$ از منفی به مثبت تغییر علامت می‌دهد، پس $x=2$ مینیمم نسبی است.

مثال یکنوایی تابع کسری: برای $g(x)=\frac{1}{x^2+1}$: $g'(x)=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}$؛ چون مخرج همیشه مثبت است، علامت $g'$ با علامت $-2x$ یکی است — $g$ در $(-\infty,0)$ صعودی و در $(0,+\infty)$ نزولی است، با ماکزیمم نسبی $g(0)=1$.

درس دوم: بهینه‌سازی

الگوریتم کلی

بهینه‌سازی یعنی یافتن مقدار بیشینه/کمینهٔ کمیتی وابسته به متغیر دیگر (ماکزیمم مساحت/حجم/سود، مینیمم هزینه/فاصله/زمان). مراحل: ۱) تعریف متغیر؛ ۲) نوشتن تابع هدف؛ ۳) تعیین دامنهٔ معتبر از قیود فیزیکی؛ ۴) مشتق‌گیری و یافتن نقاط بحرانی؛ ۵) جدول تغییرات یا آزمون مشتق؛ ۶) تفسیر فیزیکی پاسخ.

مثال ۱ — ماکزیمم مساحت مستطیل با محیط ثابت

با ابعاد $x$ و $l=7-x$ (از محیط $14$): $S(x)=x(7-x)=-x^2+7x$، $x\in[0,7]$. $S'(x)=-2x+7=0\Rightarrow x=3.5$. جدول تغییرات نشان می‌دهد ماکزیمم $12.25\,cm^2$ در $x=l=3.5$ (مربع) است.

اصل کلی: در بین همهٔ مستطیل‌های با محیط ثابت، مربع بیشترین مساحت را دارد.

مثال ۲ — ماکزیمم حجم جعبه

از ورق مربع به ضلع $30\,cm$، با برش گوشه‌ای به ضلع $x$: $V(x)=x(30-2x)^2=4x^3-120x^2+900x$، $x\in[0,15]$. $V'(x)=12(x-5)(x-15)=0$؛ نقطهٔ بحرانی داخلی $x=5$ می‌دهد $V_{\max}=2000\,cm^3$.

قاعدهٔ کلی: برای جعبهٔ بدون درپوش از ورق مربع به ضلع $a$، همیشه $x=\frac{a}{6}$ جواب بهینه است و $V_{\max}=\frac{2a^3}{27}$.

مثال ۳ — مینیمم هزینهٔ مخزن

مخزن با حجم ثابت $10\,m^3$، عرض $x$، طول $2x$: از قید حجم $h=\frac{5}{x^2}$، تابع هزینه $C(x)=200x^2+\frac{1800}{x}$. $C'(x)=400x-\frac{1800}{x^2}=0\Rightarrow x=\sqrt[3]{\frac92}\approx1.65\,m$، با هزینهٔ کمینهٔ حدود $1635$ هزار تومان.

مثال ۴ و ۵ — غلظت دارو و زمان بهینه

برای $C(t)=\frac{3t}{t^3+27}$، بیشینه در $t=\sqrt[3]{\frac{27}{2}}\approx2.38$ ساعت رخ می‌دهد. برای مسئلهٔ کلاسیک قایق/پیاده‌روی با $PD=\sqrt{x^2+9}$ و $t(x)=\frac{\sqrt{x^2+9}}{2}+\frac{8-x}{4}$، نقطهٔ بهینه $x=\sqrt3\approx1.73\,km$ با کمترین زمان $\approx3.23$ ساعت.

قوطی استوانه‌ای درباز — مینیمم مساحت

با حجم $1000\,cm^3$: $\pi r^2h=1000$، تابع هدف $S(r)=\pi r^2+\frac{2000}{r}$. $S'(r)=2\pi r-\frac{2000}{r^2}=0\Rightarrow r=\sqrt[3]{\frac{1000}{\pi}}\approx6.83\,cm$، که در آن $h=r$.

نتیجهٔ مهم: برای قوطی استوانه‌ای درباز با حداقل مساحت: ارتفاع = شعاع.

سرعت بهینهٔ قطار

$C(v)=\frac{800000}{v}+320v$؛ $C'(v)=0\Rightarrow v^2=2500\Rightarrow v=50\,km/h$، با هزینهٔ کمینهٔ $32000$ تومان بر کیلومتر.

نمونه‌های بیشتر حل تمرین

مزرعهٔ با حداقل هزینه: مساحت $10000\,m^2$ با ابعاد $x$ و $y=\frac{10000}{x}$؛ تابع هزینهٔ نرده $C(x)=4x+\frac{160000}{x}$؛ $C'(x)=0\Rightarrow x=200\,m$، $y=50\,m$، با هزینهٔ کمینهٔ $1600$ میلیون تومان.

مستطیل زیر سهمی: برای سهمی $y=12-x^2$ با رأس‌های $(\pm x,0)$ روی محور و دو رأس روی سهمی: $A(x)=2x(12-x^2)=24x-2x^3$؛ $A'(x)=24-6x^2=0\Rightarrow x=2$، $y=8$، مساحت بیشینه $A_{\max}=32$ با ابعاد $4\times8$.

ابعاد صفحهٔ کتاب: مساحت متن $32\,cm^2$ با حاشیهٔ بالا/پایین $2$ و کناری $1$: $(w-2)(h-4)=32$؛ تابع مساحت کل $S(w)=4w+\frac{32w}{w-2}$؛ $S'(w)=0\Rightarrow(w-2)^2=16\Rightarrow w=6\,cm$، $h=12\,cm$، مساحت کمینه $72\,cm^2$.

پنجرهٔ با بیشترین نوردهی: برای مستطیل با نیم‌دایره روی آن، محیط ثابت $4.5\,m$؛ با قید $2h+2r+\pi r=4.5$ و تابع مساحت $S(r)=\frac{9r}{2}-\left(2+\frac{\pi}{2}\right)r^2$؛ $S'(r)=0\Rightarrow r=\frac{9}{8+2\pi}\approx0.63\,m$ — نکتهٔ جالب اینکه در این مسئله نیز $h\approx r$ می‌شود.

دو عدد با تفاضل ثابت و کمینه حاصل‌ضرب: با $x$ و $y=x-10$: $P(x)=x^2-10x$؛ $P'(x)=2x-10=0\Rightarrow x=5$، $y=-5$؛ چون $P''(x)=2>0$ مینیمم است، با $P_{\min}=-25$.

محوطهٔ مثلثی کنار رودخانه: مثلث متساوی‌الساقین با قاعدهٔ $a$ روی رودخانه (بدون نرده) و دو ساق $s$ با $2s=100\Rightarrow s=50\,m$. با تعریف $u=a^2/4$، مساحت به‌توان‌دو $A^2=u(2500-u)$ در $u=1250$ بیشینه می‌شود، پس $a=50\sqrt2\,m$ و $A_{\max}=1250\,m^2$.

مسیر بهینهٔ ورود به پارک: برای مسیری با بخشی پیاده (سرعت $3$) و بخشی قطری داخل پارک به عرض $60\,m$ (سرعت $2$): $t(x)=\frac{200-x}{3}+\frac{\sqrt{x^2+3600}}{2}$؛ از $t'(x)=0$ به $5x^2=14400\Rightarrow x=24\sqrt5\approx53.7\,m$ می‌رسیم، با زمان بهینهٔ تقریبی $89$ ثانیه.

مینیمم فاصله از نقطه (فراتر از کتاب): نزدیک‌ترین نقطهٔ سهمی $y=x^2$ به نقطهٔ $(3,0)$: با $f(x)=(x-3)^2+x^4$، از $f'(x)=4x^3+2x-6=0$ فقط ریشهٔ حقیقی $x=1$ است، پس نقطه $(1,1)$ با فاصلهٔ $d=\sqrt5$.

اصول کلی بهینه‌سازی (فراتر از کتاب)

اصل ۱: در مسائل دو‌متغیره، از قید برای حذف یک متغیر استفاده کن. اصل ۲ (نامساوی AM-GM): $\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$ (تساوی وقتی $a=b$). اصل ۳: در بین مستطیل‌های با محیط ثابت، مربع بیشترین مساحت را دارد. اصل ۴: در بین اشکال بسته با محیط ثابت، دایره بیشترین مساحت را دارد.

نکات کنکوری: همیشه تابع هدف را تک‌متغیره بنویس؛ بازهٔ معتبر متغیر (محدودیت‌های فیزیکی) را حتماً پیدا کن؛ اگر $f''(c)>0$ مینیمم، اگر $f''(c)<0$ ماکزیمم — سریع‌ترین راه تأیید؛ در «هزینهٔ کل» با «هزینهٔ هر واحد» دقت کن که اشتباه نشوند؛ اگر از دو روش حرکتی (پیاده/سوار) استفاده می‌شود، زمان کل مجموع زمان‌هاست ($t=d/v$).

جمع‌بندی فرمول‌های کلیدی فصل