Q: دامنهٔ مشتق تابع $$f(x)=\dfrac{1}{x}$$ کدام است؟

همهٔ اعداد حقیقی بهجز $$0$$ — چون خود تابع در $$x=0$$ تعریف نیست، مشتق هم در آنجا تعریف نمیشود. پس دامنهٔ مشتق $$\mathbb{R}\setminus\{0\}$$ است. تلهٔ تستی: تلهٔ رایج، خلطِ دامنهٔ خودِ تابع با دامنهٔ مشتقِ آن است؛ در نقاطی که مخرجِ فرمولِ مشتق صفر میشود، مشتق موجود نیست، حتی اگر تابعِ اصلی در آن نقطه تعریفشده باشد.

Q: اگر $$f(x)=x^2$$ و $$g(x)=x^3$$ باشند، مشتق $$f(x)g(x)$$ کدام است؟

$$5x^4$$ — قاعدهٔ ضرب میگوید $$ (fg)'=f'g+fg'$$. بنابراین $$ (x^2\cdot x^3)'=2x\cdot x^3+x^2\cdot 3x^2=5x^4$$. تلهٔ تستی: تلهٔ رایج در قاعدهٔ ضرب، محاسبهٔ فقط یکی از دو جملهٔ $f'g+fg'$ (فراموشکردنِ جملهٔ دوم) است؛ هر دو جمله باید جداگانه محاسبه و سپس با هم جمع شوند.

Q: اگر $$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$$ و $$x\neq 1$$ باشد، مشتق تابعِ سادهشدهٔ آن کدام است؟

$$1$$ — برای $x\neq1$: $\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$. تابعِ سادهشده $x+1$ است و مشتق آن (تابعِ خطی با ضریب $1$) برابر «$1$» است. «$x+1$» خودِ تابعِ سادهشده است، نه مشتق آن. «$2x$» و «$x-1$» با قاعدهٔ مشتق تابع خطی $ax+b\to a$ ناسازگارند. تلهٔ تستی: تلهٔ اصلی اینجاست که دانشآموز بعد از سادهسازیِ درستِ کسر به $x+1$، فراموش میکند یک قدم دیگر — یعنی مشتقگیری از همان تابعِ سادهشده — را انجام دهد و $x+1$ را بهعنوان پاسخ نهایی انتخاب میکند.

Q: کدام جمله نادرست است؟

پیوستگی ⇒ مشتقپذیری — عکس قضیه درست نیست. تابع میتواند پیوسته باشد اما مشتقپذیر نباشد، مثل $$|x|$$ در صفر. تلهٔ تستی: تلهٔ رایج، اشتباهگرفتنِ جهتِ قضیه است؛ مشتقپذیری همیشه پیوستگی را نتیجه میدهد، اما عکسِ آن — یعنی پیوستگی همیشه مشتقپذیری را نتیجه دهد — نادرست است (نقضِ کلاسیک: $|x|$ در $x=0$).

Question 1

مقدار $$\displaystyle \lim_{h	o 0}\frac{(2+h)^2-4}{h}$$ کدام است؟

Accepted Answer

$$4$$ — با باز کردن توان: $(2+h)^2-4=4+4h+h^2-4=4h+h^2$. کسر برابر $\frac{4h+h^2}{h}=4+h$ می‌شود و با $h	o0$ حاصل «$4$» است؛ این دقیقاً برابر $f'(2)$ برای $f(x)=x^2$ است چون $f'(x)=2x$ و $f'(2)=4$.

«$2$» و «$8$» با فرمول مشتق $2x$ ناسازگارند و از اشتباه در ضرب حاصل می‌شوند. «$6$» از اشتباه در باز کردن توان $(2+h)^2$ (مثلاً فراموشی جملهٔ $4h$) به دست می‌آید.

تلهٔ تستی: این حد دقیقاً تعریف مشتق $f'(2)$ برای $f(x)=x^2$ است؛ لازم نیست $(2+h)^2$ را کامل باز کرد و به‌اشتباه یکی از جملات حدواسط را به‌جای پاسخ نهایی گرفت — پس از ساده‌سازی و حذف $h$ از مخرج، فقط باید حد نهایی را در $h=0$ محاسبه کرد.

Question 2

معادلهٔ خط مماس بر نمودار $$y=x^2+3$$ در $$x=-2$$ کدام است؟

Accepted Answer

$$y=-4x-1$$ — داریم $$f(-2)=7$$ و $$f'(x)=2x$$، پس $$f'(-2)=-4$$. معادلهٔ مماس: $$y-7=-4(x+2)$$ و در نتیجه $$y=-4x-1$$.

تلهٔ تستی: تلهٔ رایج، اشتباه در سادهٔ‌سازیِ معادلهٔ نقطه‑شیبِ $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ پس از بازکردنِ پرانتز است؛ محاسبه را در دو گامِ جدا (باز کردنِ پرانتز، سپس جمعِ عرض) انجام دهید.

Question 3

اگر $$f(x)=x^2$$ باشد، معادلهٔ خط مماس در $$x=1$$ کدام است؟

Accepted Answer

$$y=2x-1$$ — در $$x=1$$ داریم $$f(1)=1$$ و $$f'(x)=2x$$، پس $$f'(1)=2$$. لذا خط مماس $$y-1=2(x-1)$$ و یعنی $$y=2x-1$$ است.

تلهٔ تستی: تلهٔ رایج، اشتباه در سادهٔ‌سازیِ معادلهٔ نقطه‑شیبِ $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ پس از بازکردنِ پرانتز است؛ محاسبه را در دو گامِ جدا (باز کردنِ پرانتز، سپس جمعِ عرض) انجام دهید.

Question 4

دامنهٔ مشتق تابع $$f(x)=\dfrac{1}{x}$$ کدام است؟

Accepted Answer

همهٔ اعداد حقیقی به‌جز $$0$$ — چون خود تابع در $$x=0$$ تعریف نیست، مشتق هم در آنجا تعریف نمی‌شود. پس دامنهٔ مشتق $$\mathbb{R}\setminus\{0\}$$ است.

تلهٔ تستی: تلهٔ رایج، خلطِ دامنهٔ خودِ تابع با دامنهٔ مشتقِ آن است؛ در نقاطی که مخرجِ فرمولِ مشتق صفر می‌شود، مشتق موجود نیست، حتی اگر تابعِ اصلی در آن نقطه تعریف‌شده باشد.

Question 5

اگر $$f(x)=x^2$$ و $$g(x)=x^3$$ باشند، مشتق $$f(x)g(x)$$ کدام است؟

Accepted Answer

$$5x^4$$ — قاعدهٔ ضرب می‌گوید $$ (fg)'=f'g+fg'$$. بنابراین $$ (x^2\cdot x^3)'=2x\cdot x^3+x^2\cdot 3x^2=5x^4$$.

تلهٔ تستی: تلهٔ رایج در قاعدهٔ ضرب، محاسبهٔ فقط یکی از دو جملهٔ $f'g+fg'$ (فراموش‌کردنِ جملهٔ دوم) است؛ هر دو جمله باید جداگانه محاسبه و سپس با هم جمع شوند.

Question 6

اگر $$f(x)=x^2$$ و $$g(x)=x^3$$ باشند، مشتق $$\dfrac{f(x)}{g(x)}$$ کدام است؟

Accepted Answer

$$-\dfrac{1}{x^2}$$ — داریم $\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{x^2}{x^3}=x^{-1}=\dfrac{1}{x}$ برای $x
eq0$. با قاعدهٔ توان، مشتق $x^{-1}$ برابر $-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}$ است؛ پس گزینهٔ «$-\dfrac{1}{x^2}$» درست است.

«$\dfrac{1}{x}$» مقدار خودِ تابعِ ساده‌شده است، نه مشتق آن — نباید با پاسخ اشتباه گرفته شود. «$-\dfrac{1}{x}$» و «$\dfrac{1}{x^2}$» از اشتباه در علامت یا توان در قاعدهٔ $\frac{d}{dx}x^{-1}=-x^{-2}$ حاصل می‌شوند.

تلهٔ تستی: پس از ساده‌سازی $\frac{f(x)}{g(x)}$ به $\frac{1}{x}$، تلهٔ رایج این است که همان $\frac{1}{x}$ (خودِ تابع) به‌جای مشتق آن انتخاب شود؛ سؤال مشتق را خواسته، نه مقدار تابع را.

Question 7

اگر $$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$$ و $$x
eq 1$$ باشد، مشتق تابعِ ساده‌شدهٔ آن کدام است؟

Accepted Answer

$$1$$ — برای $x
eq1$: $\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$. تابعِ ساده‌شده $x+1$ است و مشتق آن (تابعِ خطی با ضریب $1$) برابر «$1$» است.

«$x+1$» خودِ تابعِ ساده‌شده است، نه مشتق آن. «$2x$» و «$x-1$» با قاعدهٔ مشتق تابع خطی $ax+b	o a$ ناسازگارند.

تلهٔ تستی: تلهٔ اصلی این‌جاست که دانش‌آموز بعد از ساده‌سازیِ درستِ کسر به $x+1$، فراموش می‌کند یک قدم دیگر — یعنی مشتق‌گیری از همان تابعِ ساده‌شده — را انجام دهد و $x+1$ را به‌عنوان پاسخ نهایی انتخاب می‌کند.

Question 8

اگر $$f(x)=x^2+3$$ باشد، خط مماس در $$x=-2$$ از کدام نقطه می‌گذرد؟

Accepted Answer

$$(-2,7)$$ — مقدار تابع در $$x=-2$$ برابر $$4+3=7$$ است. پس نقطهٔ تماس $$(-2,7)$$ است.

تلهٔ تستی: تلهٔ رایج، انتخابِ گزینه‌ای است که طولش درست ولی عرضش مقدارِ اشتباهی است (مثلاً $4$ به‌جایِ $7$)؛ نقطهٔ تماس همیشه $(a,f(a))$ است، پس باید عددِ $3$ی ثابتِ تابع هم در $f(-2)$ جمع شود.

Question 9

کدام جمله نادرست است؟

Accepted Answer

پیوستگی ⇒ مشتق‌پذیری — عکس قضیه درست نیست. تابع می‌تواند پیوسته باشد اما مشتق‌پذیر نباشد، مثل $$|x|$$ در صفر.

تلهٔ تستی: تلهٔ رایج، اشتباه‌گرفتنِ جهتِ قضیه است؛ مشتق‌پذیری همیشه پیوستگی را نتیجه می‌دهد، اما عکسِ آن — یعنی پیوستگی همیشه مشتق‌پذیری را نتیجه دهد — نادرست است (نقضِ کلاسیک: $|x|$ در $x=0$).

Question 10

اگر $$f'(a)=m$$ باشد، معادلهٔ خط مماس بر $$f$$ در $$x=a$$ کدام است؟

Accepted Answer

$$y-f(a)=m(x-a)$$ — فرمول استاندارد خط مماس برابر $$y-f(a)=f'(a)(x-a)$$ است. با $$f'(a)=m$$ همان گزینهٔ 1 به‌دست می‌آید.

تلهٔ تستی: تلهٔ رایج، اشتباه در سادهٔ‌سازیِ معادلهٔ نقطه‑شیبِ $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ پس از بازکردنِ پرانتز است؛ محاسبه را در دو گامِ جدا (باز کردنِ پرانتز، سپس جمعِ عرض) انجام دهید.

تابع $f(x)$	مشتق $f'(x)$	شرط
$c$	$0$	$c$ ثابت
$x^n$	$nx^{n-1}$	$n \in \mathbb{Z}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$x>0$
$\sqrt{ax+b}$	$\dfrac{a}{2\sqrt{ax+b}}$	$ax+b>0$
$\sqrt[3]{x}$	$\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$	$x\neq0$
$\sin x$	$\cos x$	—
$\cos x$	$-\sin x$	—
$\tan x$	$\dfrac{1}{\cos^2 x}$	$\cos x \neq 0$
$e^x$	$e^x$	—
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$x>0$

مشتق (فصل 4 ریاضی 3) (علوم تجربی)

خلاصه‌ی درسنامه

مشتق — خلاصهٔ فصل ۴

شیب خط و ایدهٔ خط مماس

تعریف مشتق در یک نقطه

مشتق‌پذیری و پیوستگی

تابع مشتق

فرمول‌های مشتق

قوانین مشتق‌گیری

قاعدهٔ زنجیری (مشتق تابع مرکب)

نمونه تست

مباحث مرتبط

ادامه‌ی این مبحث رو ببین