مشتق و قواعد مشتق‌گیری (ریاضی ۳)

مشتق — خلاصهٔ فصل ۴

شیب خط: نقطهٔ شروع

برای خطی که از دو نقطهٔ $(x_1,y_1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $(x_2,y_2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌گذرد، شیب یعنی نسبت تغییر ارتفاع به تغییر افق:

m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}

قرارداد علامت: شیب مثبت یعنی خط از چپ به راست بالا می‌رود، شیب منفی یعنی پایین می‌آید، شیب صفر یعنی خط افقی است، و خط قائم اصلاً شیب ندارد (تعریف‌نشده، چون $\Delta x = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود). پس خط $y=2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شیب صفر دارد ولی خط $x=3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شیب ندارد — این دو را با هم اشتباه نگیرید.

از خط قاطع تا خط مماس

تعریف قدیمی «خطی که فقط یک نقطهٔ مشترک با منحنی دارد» ناقص است؛ مثلاً خط $y=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر $y=x^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در مبدأ مماس است در حالی که همان‌جا منحنی را قطع هم می‌کند. تعریف درست این است: خط مماس، حدِ خط‌های قاطع است.

یعنی یک نقطه را ثابت نگه می‌داریم و نقطهٔ دوم را روی منحنی به آن نزدیک می‌کنیم؛ شیب خط قاطع به عددی میل می‌کند و همان عدد، شیب خط مماس است. برای $f(x)=-x^2+10x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و نقطهٔ ثابت $A(2,16)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، شیب خط قاطع روی بازه‌های $[2,\,2.1]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $[2,\,2.01]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $[2,\,2.001]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به‌ترتیب $5.9$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $5.99$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $5.999$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود — یعنی وقتی $\Delta x \to 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شیب به $6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نزدیک می‌شود.

تعریف مشتق در یک نقطه

دو صورت معادل دارد؛ با جایگذاری $x = a+h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از یکی به دیگری می‌رسیم:

\boxed{f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}} \qquad \boxed{f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}}

شرط لازم این است که این حد موجود و متناهی باشد. تفسیر هندسی: $f'(a)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان شیب خط مماس بر نمودار $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در نقطهٔ $(a,f(a))$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

مثال: برای $f(x)=x^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $a=3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با روش دوم: $\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مشتق به زبان آهنگ تغییر

همان مفهوم را می‌شود با «نرخ تغییر» هم گفت؛ فقط زاویهٔ دید فرق می‌کند:

آهنگ متوسط تغییر روی بازهٔ $[x_1,x_2]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است — دقیقاً همان شیب خط قاطع.
آهنگ لحظه‌ای تغییر در نقطهٔ $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر $f'(a)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است — همان شیب خط مماس.

پس سه عبارتِ «شیب خط مماس»، «آهنگ لحظه‌ای تغییر» و $f'(a)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یک چیزند.

کاربرد فیزیکی: اگر $s(t)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تابع مکان باشد، آهنگ متوسط تغییر مکان روی $[t_1,t_2]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان سرعت متوسط و $s'(a)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان سرعت لحظه‌ای است. برای $s(t)=t^2-4t+3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سرعت متوسط روی $[1,4]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر $1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است ولی $s'(1)=-2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ این تناقض نیست — علامت منفی یعنی در آن لحظه متحرک در جهت منفی محور می‌رود، در حالی که جابه‌جایی کل بازه مثبت بوده.

معادلهٔ خط مماس

y - f(a) = f'(a)(x-a)

مثال: برای $f(x)=-x^2+10x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $A(2,16)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم $f'(2)=6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس مماس $y=6x+4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

مماس مشترک دو منحنی

دو منحنی $y=f(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $y=g(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در نقطه‌ای به طول $x_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مماس مشترک دارند اگر و فقط اگر هر دو شرط با هم برقرار باشند:

$f(x_0)=g(x_0)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین — از یک نقطه بگذرند؛
$f'(x_0)=g'(x_0)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین — شیب مماسشان در آن نقطه یکی باشد.

فراموش‌کردن شرط اول، تلهٔ رایج این نوع سؤال است.

مشتق تابع وارون

اگر $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $A(a,b)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مشتق‌پذیر باشد و $f'(a) \neq 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، آنگاه:

\boxed{(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}}

دلیلش ساده است: نمودار $f^{-1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بازتاب نمودار $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نسبت به خط $y=x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و با جابه‌جایی $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، شیب هر خط معکوس می‌شود. مثلاً اگر $f(2)=7$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $f'(2)=5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، آنگاه $(f^{-1})'(7)=\frac{1}{5}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مشتق‌پذیری و پیوستگی

مشتق راست و چپ چنین تعریف می‌شوند:

f'_+(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \qquad f'_-(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

$f'(a)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین موجود است اگر و فقط اگر $f'_+(a)=f'_-(a)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و هر دو متناهی باشند.

قضیه: مشتق‌پذیری در $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین پیوستگی در $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را نتیجه می‌دهد. نتیجهٔ کاربردی‌اش این است: اگر تابعی در نقطه‌ای ناپیوسته باشد، حتماً آنجا مشتق‌پذیر نیست. اما عکس قضیه درست نیست — پیوستگی به‌تنهایی مشتق‌پذیری را تضمین نمی‌کند.

چهار حالت عدم مشتق‌پذیری

ناپیوستگی: مثل تابعی که $f(x)=x^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برای $x\neq2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $f(2)=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد.
نقطهٔ گوشه‌ای: تابع پیوسته است اما $f'_+(a) \neq f'_-(a)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و هر دو متناهی‌اند. مثال: $f(x)=|x^2-1|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $x=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که $f'_+(1)=2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $f'_-(1)=-2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ دو نیم‌مماس با شیب متفاوت داریم و خط مماس یکتا وجود ندارد.
مماس قائم: تابع پیوسته است اما $f'_+(a)=f'_-(a)=\pm\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. مثال: $f(x)=\sqrt[3]{x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $x=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ شیب مماس بی‌نهایت است و مشتق که باید عددی متناهی باشد وجود ندارد.
یک‌طرفهٔ نامتناهی: یکی از مشتق‌های راست یا چپ متناهی و دیگری نامتناهی باشد.

تابع مشتق

\boxed{f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}

دامنهٔ $f'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همیشه زیرمجموعه‌ای از دامنهٔ $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، نه لزوماً برابر آن؛ هر نقطه‌ای که تابع در آن مشتق‌پذیر نباشد از دامنهٔ $f'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حذف می‌شود. مثلاً برای $f(x)=x^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم $f'(x)=2x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با دامنهٔ $\mathbb{R}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و برای $f(x)=\frac{1}{x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با دامنهٔ $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

خواندن نمودار $f'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از روی نمودار $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: هرجا مماسِ $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رو به بالاست $f'>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ هرجا رو به پایین است $f'<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ هرجا مماس افقی است $f'=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و نمودار $f'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین محور $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را قطع می‌کند؛ در نقطهٔ گوشه‌ای یا مماس قائم، $f'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تعریف‌نشده است؛ و اگر $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خطی با شیب ثابت $m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، $f'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یک خط افقی به ارتفاع $m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

جدول فرمول‌های مشتق

تابع $f(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	مشتق $f'(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	شرط
$c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ثابت
$x^n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$nx^{n-1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$n \in \mathbb{Z}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\sqrt{x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$x>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\sqrt{ax+b}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\dfrac{a}{2\sqrt{ax+b}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$ax+b>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\sqrt[3]{x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$x\neq0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\sin x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\cos x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	—
$\cos x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$-\sin x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	—
$\tan x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\dfrac{1}{\cos^2 x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\cos x \neq 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$e^x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$e^x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	—
$\ln x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\dfrac{1}{x}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$x>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

توابع مثلثاتی، نمایی و لگاریتمی در برنامهٔ درسی دوازدهم تجربی نیستند، ولی گاهی به‌عنوان دانش تکمیلی در کنکور سر و کله‌شان پیدا می‌شود.

قوانین مشتق‌گیری

اگر $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $g$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مشتق‌پذیر باشند:

(kf)'(x) = k\,f'(x) \qquad (f \pm g)'(x) = f'(x) \pm g'(x)

\boxed{(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)}

\boxed{\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}} \quad (g(x) \neq 0)

کمک‌حافظهٔ قانون تقسیم: «صورت را اول مشتق بگیر و در مخرج بزن، منهای صورت ضرب‌در مشتق مخرج، تقسیم بر مخرج به توان ۲». ترتیب صورت اینجا مهم است؛ برخلاف قانون ضرب، جابه‌جا کردن دو جمله جواب را عوض می‌کند.

قاعدهٔ زنجیری

\boxed{(f \circ g)'(x) = g'(x) \cdot f'(g(x))}

یا با $u=g(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به شکل $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مثال: برای $h(x)=(x^2+3x+1)^7$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $g(x)=x^2+3x+1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $f(u)=u^7$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم $h'(x)=(2x+3)\cdot7(x^2+3x+1)^6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. برای $f(x)=\sqrt{3x^2+1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم $f'(x)=\dfrac{6x}{2\sqrt{3x^2+1}}=\dfrac{3x}{\sqrt{3x^2+1}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نکات کنکوری

حدِ تعریف مشتق همیشه از نوع $\frac{0}{0}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ پس در روش دوم حتماً $(x-a)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فاکتور مشترک صورت و مخرج خواهد بود و باید ساده شود. شیب خط مماس دقیقاً همان مشتق تابع در آن نقطه است. در سؤال‌های ترکیبی، اول مشخص کنید کدام قاعده لایهٔ بیرونی است و بعد به‌سمت داخل بروید.

خلاصه‌ی درسنامه