حد بی نهایت و حد در بی نهایت (فصل 3 ریاضی 3) (علوم تجربی)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$$a\neq0$$» درست است. $$f(x)-f(-x)=(ax^3+bx^2+cx+d)-(-ax^3+bx^2-cx+d)=2ax^3+2cx$$. پس $$g(x)=\dfrac{f(x)-f(-x)}{x}=2ax^2+2c$$. این عبارت نه به $$b$$ و نه به $$d$$ اصلاً بستگی ندارد (هر دو در تفاضلِ $$f(x)-f(-x)$$ کاملاً حذف می‌شوند). $$c$$ فقط جملهٔ ثابتِ $$g$$ را می‌سازد و روی زوج‌بودن یا درجهٔ آن اثری ندارد؛ تنها شرطِ لازم و کافی برای این‌که $$g$$ دقیقاً چندجمله‌ایِ زوجِ درجهٔ ۲ باشد، $$a\neq0$$ است. رد گزینه‌های دیگر: «$$a\neq0,c=0$$» شرطِ اضافیِ نادرستی روی $$c$$ می‌گذارد که اصلاً لازم نیست؛ «$$a=0$$» باعث می‌شود $$g(x)=2c$$ یک چندجمله‌ایِ ثابت (درجهٔ صفر، نه ۲) شود؛ «$$b=c=0$$» شرطِ کاملاً غیرضروری روی $$b$$ و $$c$$ تحمیل می‌کند. تلهٔ تستی: در این‌گونه سؤال‌ها باید دقیقاً بررسی کرد کدام ضرایب اصلاً در عبارتِ نهایی ظاهر می‌شوند؛ اضافه‌کردنِ شرط‌های اضافی و به‌ظاهر بی‌ضرر روی ضرایبی که اصلاً نقشی ندارند ($$b$$ اینجا)، رایج‌ترین تلهٔ طراحیِ این نوع سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$$-\dfrac{9}{2}$$» درست است. از $$f(1)=0$$ و $$f(-2)=0$$: دستگاهِ $$p+q=2$$ و $$-2p+q=20$$ حل می‌شود به $$p=-6,\,q=8$$، پس $$f(x)=x^3-3x^2-6x+8$$. چون $$1,-2$$ ریشه‌اند، $$f(x)=(x-1)(x+2)(x-r)$$؛ از جملهٔ ثابت: $$8=(-1)(2)(-r)=2r\Rightarrow r=4$$. پس $$f(x)=(x-1)(x+2)(x-4)$$. با ساده‌سازیِ $$(x-1)$$: $$\dfrac{f(x)}{x^2-1}=\dfrac{(x+2)(x-4)}{x+1}$$. در $$x=1$$: $$\dfrac{3\times(-3)}{2}=-\dfrac92$$. رد گزینه‌های دیگر: «$$\frac92$$» از افتادنِ علامتِ منفیِ $$(x-4)$$ در $$x=1$$ ناشی می‌شود؛ «$$-9$$» از فراموش‌کردنِ تقسیم بر $$(x+1)=2$$ پیش می‌آید؛ «$$-\frac32$$» از خطای محاسباتی در یافتنِ ریشهٔ سومِ $$r$$ ناشی می‌شود. تلهٔ تستی: پس از یافتنِ چندجمله‌ای از روی دو ریشهٔ دادهشده، باید ریشهٔ سومِ آن را هم از روی جملهٔ ثابت به دست آورد؛ فراموش‌کردنِ این گام یا اشتباه در علامتِ آن، رایج‌ترین خطای این خانواده از سؤالات است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$$2$$» درست است. از $$f(1)=0$$: $$2+a+b=0$$. چون $$x^2-1=(x-1)(x+1)$$ و $$f(1)=0$$، صورت و مخرج هر دو در $$x=1$$ صفرند؛ با فرمولِ $$\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{x^2-1}=\frac{f'(1)}{2}$$ (که همواره وقتی $$f(1)=0$$ برقرار است): $$f'(x)=6x^2+2ax+b$$، $$f'(1)=6+2a+b$$. شرطِ حد: $$\dfrac{6+2a+b}{2}=3\Rightarrow2a+b=0\Rightarrow b=-2a$$. با جایگذاری در $$2+a+b=0$$: $$2+a-2a=0\Rightarrow a=2$$. رد گزینه‌های دیگر: «$$-2$$» از خطای علامت در حلِ دستگاه پیش می‌آید؛ «$$4$$» و «$$-4$$» از اشتباه در فرمولِ $$f'(1)$$ یا محاسبهٔ ضرایب ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: رابطهٔ $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{x-a}=f'(a)$$ فقط وقتی $$f(a)=0$$ باشد معتبر است — همیشه پیش از استفاده از این میان‌بر، بررسی کنید که شرطِ صفرشدنِ صورت واقعاً برقرار است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$$\dfrac34$$» درست است. ابتدا $$f(x)$$ را ساده می‌کنیم: $$\dfrac{x^3-1}{x^2-1}=\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}$$ برای $$x\neq1$$، و $$f(1)=\dfrac{3}{2}$$. حدِ خواسته دقیقاً تعریفِ مشتق است: $$L=\lim_{x\to1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)$$. با تقسیم: $$\dfrac{x^2+x+1}{x+1}=x+\dfrac{1}{x+1}$$، پس $$f'(x)=1-\dfrac{1}{(x+1)^2}$$ و $$f'(1)=1-\dfrac14=\dfrac34$$. رد گزینه‌های دیگر: «$$-\frac34$$» از افتادنِ علامتِ منفیِ مشتقِ $$\frac{1}{x+1}$$ ناشی می‌شود؛ «$$\frac14$$» از جایگذاریِ اشتباه در فرمولِ مشتق پیش می‌آید؛ «$$\frac32$$» با اشتباه‌گرفتنِ $$f(1)$$ با $$f'(1)$$ به دست می‌آید. تلهٔ تستی: حدِ $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ همیشه برابرِ $$f'(a)$$ است؛ اشتباهِ رایج، محاسبهٔ $$f(a)$$ به‌جایِ $$f'(a)$$ یا خطای علامت در مشتقِ عبارتِ $$\frac{1}{x+1}$$ (که مشتقش $$-\frac{1}{(x+1)^2}$$ است، نه $$+\frac{1}{(x+1)^2}$$) است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$$12$$» درست است. برای وجودِ حدِ متناهی در $$\lim_{x\to2}\frac{P(x)}{x-2}$$، باید $$P(2)=0$$: $$8-4a+2b-8=0\Rightarrow b=2a$$. از رابطهٔ عمومیِ $$\lim_{x\to2}\frac{P(x)}{x-2}=P'(2)$$ (معتبر چون $$P(2)=0$$): $$P'(x)=3x^2-2ax+b$$، $$P'(2)=12-4a+b=4\Rightarrow b=4a-8$$. از دو رابطه: $$2a=4a-8\Rightarrow a=4,\,b=8$$. پس $$a+b=12$$. رد گزینه‌های دیگر: «$$8$$» فقط مقدارِ $$b$$ است، نه مجموعِ $$a+b$$؛ «$$-12$$» از خطای علامت در حلِ دستگاه پیش می‌آید؛ «$$10$$» از اشتباه در محاسبهٔ $$P'(2)$$ ناشی می‌شود. تلهٔ تستی: دو شرط (صفرشدنِ صورت در $$x=2$$، و مقدارِ خودِ حد) باید هر دو هم‌زمان به‌کار روند تا هر دو مجهول $$a,b$$ به‌طورِ کامل تعیین شوند؛ توقف پس از یافتنِ فقط یکی از این دو رابطه، پاسخِ ناقص می‌دهد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$$1$$» درست است. با ساده‌سازی هر جزء: $$\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2$$ و $$\dfrac{x^3-8}{x^2-4}=\dfrac{x^2+2x+4}{x+2}$$. تفاضل آن‌ها یک کسر واحد می‌دهد: $$f(x)=\dfrac{(x+2)^2-(x^2+2x+4)}{x+2}=\dfrac{2x}{x+2}$$. در $$x=2$$: $$\dfrac{4}{4}=1$$. رد گزینه‌های دیگر: «$$0$$» و «$$4$$» از اشتباه در باز کردن پرانتز $$(x+2)^2$$ ناشی می‌شوند؛ «$$2$$» از فراموش‌کردنِ ساده‌سازیِ نهاییِ $$\frac{2x}{x+2}$$ و جایگذاریِ مستقیمِ ناقص پیش می‌آید. تلهٔ تستی: قبل از تفریقِ دو کسر باید هر دو جزء را کاملاً ساده کرد و مخرجِ مشترک گرفت؛ تفریقِ زودهنگام (بدونِ ساده‌سازی) گزینه‌های غلط را می‌سازد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$2$» درست است. با ضرب در مزدوج: $\sqrt{1+ax}-\sqrt{1-x}=\dfrac{(a+1)x}{\sqrt{1+ax}+\sqrt{1-x}}$، پس کسر به $\dfrac{a+1}{2}$ میل می‌کند. با برابرقراردادن با $\frac{3}{2}$: $a+1=3\Rightarrow a=2$. رد گزینه‌های دیگر: از فراموش‌کردنِ جمعِ ضرایبِ $a$ و $1$ (به‌جایِ تفریق) یا خطای محاسباتی در حلِ معادلهٔ خطی پیش می‌آیند. تلهٔ تستی: در $\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+ax}-\sqrt{1-bx}}{x}=\frac{a+b}{2}$، صورتِ داخلِ رادیکال‌ها با علامتِ متفاوت (یکی $+$ یکی $-$) باعثِ **جمع**شدنِ $a$ و $b$ می‌شود، نه تفریق؛ خلط‌کردنِ این با حالتِ هم‌علامت (که تفریق می‌دهد) رایج‌ترین خطاست.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$$1$$» درست است. با ضرب در مزدوج: $$\sqrt{1+3x}-\sqrt{1+x}=\dfrac{2x}{\sqrt{1+3x}+\sqrt{1+x}}$$. پس کسر برابر $$\dfrac{2}{\sqrt{1+3x}+\sqrt{1+x}}$$ است که در $$x\to0$$ به $$\dfrac{2}{1+1}=1$$ می‌رسد. رد گزینه‌های دیگر: «$$\frac32$$» با اشتباه‌گرفتنِ ضرایبِ $$3$$ و $$1$$ زیرِ رادیکال (به‌جای تفاضلِ آن‌ها که $$2$$ است) به دست می‌آید؛ «$$2$$» و «$$\frac12$$» از خطای محاسباتی در مخرجِ نهایی ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در حدِ $$\frac{\sqrt{1+ax}-\sqrt{1+bx}}{x}$$ پاسخِ نهایی $$\frac{a-b}{2}$$ است، نه $$\frac{a+b}{2}$$ یا خودِ $$a,b$$؛ فراموش‌کردنِ عملِ تفریق در صورت، رایج‌ترین اشتباه است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$$1$$» درست است. با ضرب در مزدوج: $$\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}=\dfrac{2x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}$$. پس کسر برابر $$\dfrac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}$$ است که در $$x\to0$$ به $$\dfrac{2}{1+1}=1$$ می‌رسد. رد گزینه‌های دیگر: «$$2$$» از جاگذاریِ مستقیمِ $$x=0$$ در صورتِ اصلی (که خودش $$\frac00$$ می‌دهد) بدونِ ساده‌سازی ناشی می‌شود؛ «$$0$$» و «$$\frac12$$» از خطا در مخرجِ نهایی به دست می‌آیند. تلهٔ تستی: در حدِ $$\frac{\sqrt{1+ax}-\sqrt{1-bx}}{x}$$ پاسخِ نهایی $$\frac{a+b}{2}$$ است (چون تفاضلِ $$(1+ax)-(1-bx)=(a+b)x$$)؛ اینجا $$a=b=1$$ پس پاسخ $$\frac{2}{2}=1$$.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از توسعهٔ رادیکال مکعبی یا ترفند مزدوج مکعب استفاده می‌کنیم. به‌طور کلی برای $$u,v>0$$:$$\sqrt[3]{u}-\sqrt[3]{v}=\dfrac{u-v}{u^{2/3}+u^{1/3}v^{1/3}+v^{2/3}}.$$اینجا $$u=1+x,\;v=1-x$$، پس:$$\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}=\dfrac{(1+x)-(1-x)}{(1+x)^{2/3}+(1+x)^{1/3}(1-x)^{1/3}+(1-x)^{2/3}}=\dfrac{2x}{A(x)},$$که $$A(x)=(1+x)^{2/3}+(1-x^2)^{1/3}+(1-x)^{2/3}.$$پس:$$\dfrac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}=\dfrac{2x}{x\,A(x)}=\dfrac{2}{A(x)}.$$اکنون حد:$$\lim_{x\to0}A(x)=(1)^{2/3}+(1)^{1/3}+(1)^{2/3}=1+1+1=3.$$بنابراین:$$\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}=\dfrac{2}{3}.$$«$$\dfrac{2}{3}$$» صحیح است. تلهٔ تستی: برای رادیکالِ درجهٔ سه از اتحادِ $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ استفاده می‌شود، نه روشِ ضرب‌درمزدوجِ معمولِ رادیکالِ درجهٔ دو؛ به‌کاربردنِ روشِ اشتباه یا فراموش‌کردنِ یکی از سه جملهٔ اتحاد، خطای رایجِ این نوع سؤال است.