حد بی‌نهایت و مجانب‌ها (ریاضی ۳)

درس اول: حد بی‌نهایت

پیش‌نیاز: قضیهٔ باقیمانده و قضیهٔ فاکتور

پیش از سراغ رفتن به حد، باید بتوانی چندجمله‌ای‌ها را سریع تجزیه کنی. رابطهٔ تقسیم می‌گوید $f(x) = (x-a)Q(x) + R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ با گذاشتن $x = a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همهٔ سمت راست جز $R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صفر می‌شود، پس باقیماندهٔ تقسیم $f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بر $(x-a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $f(a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

نتیجهٔ مستقیم آن، قضیهٔ فاکتور است:

یعنی ریشه بودن $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و فاکتور بودن $(x-a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دو روی یک سکه‌اند. مثلاً در $f(x) = 3x^2 - 5x - 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $f(2) = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $(x-2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فاکتور است و $f(x) = (x-2)(3x+1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

برای پیدا کردن ریشهٔ یک چندجمله‌ای با ضرایب صحیح، اول مقسوم‌علیه‌های جملهٔ ثابت را امتحان کن.

رفع ابهام $\frac{0}{0}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

اگر در $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم $f(a)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و هم $g(a)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، طبق قضیهٔ فاکتور هر دو بر $(x-a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بخش‌پذیرند. همین عامل مشترک را حذف کن و دوباره جای‌گذاری کن:

مثلاً $\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x^2+x-2} = \lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{2}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اگر رادیکال در کار باشد، عامل مشترک با ضرب در مزدوج بیرون می‌آید:

و برای رادیکال مکعبی، اتحاد $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همان نقش مزدوج را بازی می‌کند. یادت باشد $\frac{0}{0}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک حالت مبهم است، نه پاسخ؛ تا وقتی ساده‌اش نکرده‌ای، نمی‌توانی دربارهٔ وجود یا مقدار حد حرفی بزنی.

همسایگی

هر بازهٔ باز $(a,b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که $x_0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را در خود داشته باشد، یک همسایگی $x_0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ مثلاً $(0,4)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(2,5)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هر دو همسایگی عدد $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هستند. اگر خود $x_0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را از آن برداریم، همسایگی محذوف به دست می‌آید: $(a,b)\setminus\{x_0\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. دو حالت یک‌طرفه هم داریم: همسایگی راست یعنی $(x_0,\, x_0+r)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و همسایگی چپ یعنی $(x_0-r,\, x_0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای $r>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. چون این بازه‌ها بازند، هیچ‌کدام خود $x_0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را شامل نمی‌شوند — و دقیقاً به همین دلیل است که در تعریف حد، مقدار تابع در خود نقطه اهمیتی ندارد.

تعریف حد بی‌نهایت

رفتار $\frac{1}{x^2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را نزدیک صفر ببین: با $x = 0.1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مقدار $100$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، با $x = 0.01$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مقدار $10^4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و با $x = 0.0001$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مقدار $10^8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود. هرچه به صفر نزدیک‌تر شویم، خروجی از هر عدد دلخواهی بزرگ‌تر می‌شود. این رفتار را چنین می‌نویسیم:

تعریف: $\lim_{x\to a} f(x) = +\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی می‌توان $f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را از هر عدد مثبت دلخواه بزرگ‌تر کرد، به شرطی که $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به قدر کافی به $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نزدیک انتخاب شود. برای $-\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم همین جمله با «کوچک‌تر از هر عدد منفی دلخواه» تکرار می‌شود. همین تعریف‌ها برای حدهای یک‌طرفهٔ $x\to a^+$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x\to a^-$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم نوشته می‌شوند.

تذکر مهمی که هر سال تست می‌شود: $+\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $-\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عدد حقیقی نیستند. نوشتن $\lim f(x) = +\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در واقع یعنی حد وجود ندارد، و ما فقط داریم نحوهٔ واگرا شدن تابع را توصیف می‌کنیم. پس حتی اگر حد چپ و راست هر دو $+\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشند، باز هم نمی‌گوییم حد موجود است.

نمونهٔ پایه‌ای $f(x) = \frac{1}{x-2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است: وقتی $x \to 2^+$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مخرج به $0^+$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رود و کسر به $+\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ وقتی $x \to 2^-$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مخرج به $0^-$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رود و کسر به $-\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قضیهٔ محاسبهٔ حد به فرم $\frac{L\neq 0}{0}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

فرض کن $\lim_{x\to a} f(x) = L \neq 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\lim_{x\to a} g(x) = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. آنگاه علامت حاصل فقط به دو چیز بستگی دارد: علامت $L$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و علامت مخرج در همسایگی محذوف $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قانون سریع: هم‌علامت بودن صورت و مخرج یعنی $+\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و مخالف بودنشان یعنی $-\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. حواست باشد این قضیه فقط برای فرم $\frac{L\neq0}{0}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ فرم‌های $\frac{0}{0}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\infty-\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $0\cdot\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ابهام‌های جداگانه‌ای‌اند و با ترفند خودشان حل می‌شوند.

یک مثال گویا: در $\lim_{x\to\frac12}\frac{[x]-3}{|2x-1|}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صورت برابر $0-3=-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و مخرج به خاطر قدرمطلق همیشه نامنفی است و به $0^+$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی میل می‌کند. پس حاصل $-\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود — و چون علامت مخرج در تمام همسایگی ثابت است، حد چپ و راست یکی است و نیازی به بررسی جداگانه نیست.

مجانب عمودی

خط $x=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مجانب عمودی نمودار $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است اگر دست‌کم یکی از حدهای یک‌طرفهٔ $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $+\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $-\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شود. برای تابع گویای $\frac{P(x)}{Q(x)}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، مجانب‌های عمودی همان ریشه‌های $Q$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هستند که در $P$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ریشه نیستند.

نکتهٔ حساس: اگر عددی هم‌زمان ریشهٔ صورت و مخرج باشد، اول باید ساده کنی. در $f(x)=\frac{x-2}{x^2-4}=\frac{1}{x+2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط $x=-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مجانب عمودی است و $x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صرفاً نقطه‌ای است که تابع در آن تعریف نشده. تابع $\tan x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم بی‌نهایت مجانب عمودی در $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد.

چند نکتهٔ کاربردی برای تعیین علامت دو طرف مجانب:

• اگر توان عامل مخرج زوج باشد (مانند $(x-a)^{2n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، حد از چپ و راست هم‌علامت است.
• اگر توان فرد باشد (مانند $(x-a)^{2n+1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، حد چپ و راست مخالف‌علامت‌اند و حد دوطرفه وجود ندارد.
• جزء صحیح $[x]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کنار اعداد صحیح ناپیوسته است: از چپِ عدد صحیح $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مقدارش $n-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و از راست $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• $|x|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در صفر مجانب عمودی ندارد، اما $\frac{1}{|x|}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد.

درس دوم: حد در بی‌نهایت

تعریف و قضایای پایه

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=L$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی می‌توان $f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به هر اندازه که بخواهیم به $L$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نزدیک کرد، به شرطی که $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به قدر کافی بزرگ باشد؛ برای $x\to-\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم همین با «به قدر کافی کوچک و منفی» بیان می‌شود. پایه‌ای‌ترین حد این درس:

قضایای جبری حد هم سر جای خودشان‌اند: اگر $\lim f = l$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\lim g = m$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، حد جمع و تفریق برابر $l \pm m$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، حد ضرب برابر $l\cdot m$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و حد تقسیم برابر $\frac{l}{m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است (به شرط $m \neq 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). همهٔ این‌ها برای $x\to-\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم برقرارند.

توابع گویا در بی‌نهایت

روش استاندارد: صورت و مخرج را بر بزرگ‌ترین توان مخرج تقسیم کن تا همهٔ جمله‌های اضافی به صفر میل کنند. مثلاً با تقسیم بر $x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

از همین‌جا قانون سریعی بیرون می‌آید که بیشتر تست‌ها با آن در چند ثانیه حل می‌شوند:

در حالت تساوی درجه‌ها فقط ضرایب بزرگ‌ترین توان اهمیت دارند و بقیهٔ جمله‌ها هیچ اثری بر جواب ندارند. در حالت $n>m$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم علامت نهایی را باید با قواعد بخش بعد تعیین کرد.

حد نامتناهی در بی‌نهایت

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی می‌توان $f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را از هر عدد مثبت دلخواه بزرگ‌تر کرد، مشروط بر آنکه $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به قدر کافی بزرگ باشد. برای تک‌جمله‌ای $ax^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همه‌چیز به زوج یا فرد بودن $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و علامت $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برمی‌گردد:

برای چندجمله‌ای هم تنها جملهٔ با بزرگ‌ترین توان تعیین‌کننده است:

دلیلش یک فاکتورگیری ساده است: $a_nx^n + \ldots + a_0 = x^n\left(a_n + \frac{a_{n-1}}{x} + \ldots + \frac{a_0}{x^n}\right)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و در بی‌نهایت، پرانتز به $a_n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسد. مثلاً $\lim_{x\to-\infty}(-2x^3+4x^2-5x-9) = \lim_{x\to-\infty}(-2x^3) = +\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، چون توان فرد و ضریب منفی است.

مجانب افقی و مایل

خط $y=L$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مجانب افقی است اگر $\lim_{x\to+\infty}f(x)=L$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $\lim_{x\to-\infty}f(x)=L$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد. هر تابع حداکثر دو مجانب افقی دارد (یکی در هر بی‌نهایت)؛ مثلاً $\arctan x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دو مجانب $y=\frac{\pi}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y=-\frac{\pi}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد. برخلاف مجانب عمودی، نمودار می‌تواند مجانب افقی را قطع کند — مجانب فقط رفتار نهایی را توصیف می‌کند، نه یک دیوار عبورناپذیر.

اگر درجهٔ صورت دقیقاً یکی بیشتر از مخرج باشد، به‌جای مجانب افقی یک مجانب مایل $y=mx+b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم، با شرط $\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(mx+b)]=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ معادله‌اش را با تقسیم بلند پیدا می‌کنی. برای $f(x)=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خط $y=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مجانب مایل است.

فرم‌های مبهم دیگر

• $\infty-\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با رادیکال: ضرب در مزدوج گره را باز می‌کند؛ $\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}) = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و به همین شکل $\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+x}-x)=\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• $0\cdot\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: با تغییر متغیر $t=\frac{1}{x}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مسئله به حدی آشنا تبدیل می‌شود؛ $\lim_{x\to+\infty}x\sin\frac{1}{x} = \lim_{t\to0^+}\frac{\sin t}{t} = 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• علامت رادیکال در منفی بی‌نهایت: وقتی $x\to-\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، رابطهٔ $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برقرار است. نادیده گرفتن این نکته، رایج‌ترین خطای علامتی این فصل است.
• توابع کراندار تقسیم بر بی‌نهایت: $\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، چون صورت میان $-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌ماند و مخرج بی‌کران بزرگ می‌شود.
• همین ابزارها برای دنباله‌ها هم کار می‌کنند؛ حد $\frac{n^2+3n}{2n^2-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وقتی $n\to+\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

جدول جامع انواع حد