توابع متناوب و معادلات مثلثاتی (ریاضی ۳)

مثلثات — خلاصهٔ فصل ۲

توابع متناوب

تابع $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متناوب است هرگاه عدد حقیقی مثبتی مانند $T$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وجود داشته باشد که برای هر $x\in D_f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $x\pm T\in D_f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $f(x\pm T)=f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. کوچک‌ترین چنین $T$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییی را دورهٔ تناوب می‌نامیم. چون $\sin(x\pm 2k\pi)=\sin x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\cos(x\pm 2k\pi)=\cos x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (برای $k\in\mathbb{Z}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، دورهٔ تناوب هر دو برابر $2\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. دقت کن که $4\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم خاصیت تناوب را دارد، اما چون کوچک‌ترین نیست دورهٔ تناوب شمرده نمی‌شود.

نقاط کلیدی نمودارهای پایه

در حالت کلیِ $y=a\sin bx+c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y=a\cos bx+c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همین $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییها فقط بر $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تقسیم می‌شوند؛ ولی اگر $a<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد جای بیشینه و کمینه نسبت به این جدول برعکس می‌شود.

تابع $y=a\sin bx+c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y=a\cos bx+c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

ضریب $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $T$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بی‌تأثیر است ولی دامنهٔ نوسان را می‌سازد؛ ضریب $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $T$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تأثیرگذار است ولی بیشینه/کمینه را تغییر نمی‌دهد؛ ضریب $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط انتقال عمودی می‌دهد. علامت ضرایب هم شکل نمودار را تعیین می‌کند: $y=a\sin bx$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وقتی $ab>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد شبیه $\sin x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و وقتی $ab<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد شبیه $-\sin x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، اما در $y=a\cos bx$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چون $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است علامت $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هیچ اثری ندارد و فقط علامت $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعیین می‌کند نمودار شبیه $\cos x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد یا $-\cos x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مثال: $y=3\sin(2x)-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $T=\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $M_{\max}=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $M_{\min}=-5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

یافتن ضابطه از روی نمودار: ۱) $M_{\max}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $M_{\min}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را از نمودار بخوان؛ ۲) $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $|a|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را محاسبه کن؛ ۳) $T$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بخوان و $|b|=\frac{2\pi}{T}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگیر؛ ۴) علامت $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را از جهت شروع نمودار تعیین کن. برای خواندن $T$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مستقیم از روی شکل هم سه فاصلهٔ کلیدی را به‌خاطر بسپار: فاصلهٔ دو قله (یا دو درهٔ) متوالی برابر $T$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، فاصلهٔ هر قله تا نزدیک‌ترین دره برابر $\frac{T}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و فاصلهٔ محل برخورد با محور $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییها تا نزدیک‌ترین قله یا دره برابر $\frac{T}{4}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

نکتهٔ تکمیلی: اگر $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دورهٔ $T_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دورهٔ $T_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داشته باشد، دورهٔ $f+g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $\text{lcm}(T_1,T_2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. اگر نسبت $T_1/T_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی گویا نباشد، مجموع اصلاً متناوب نیست (مثال: $\sin x + \sin(\sqrt2\,x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).

تابع تانژانت

تفسیر هندسی: محور تانژانت خط عمودیِ مماس بر دایرهٔ مثلثاتی در نقطهٔ $A(1,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. اگر امتداد شعاعِ متناظر با زاویهٔ $\theta$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی این محور را در $C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطع کند، آنگاه $\tan\theta=AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ همین تصویر نشان می‌دهد چرا برد تانژانت کل $\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و چرا در $x=k\pi+\frac{\pi}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعریف نمی‌شود.

دورهٔ تناوب: $T_{\tan}=\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زیرا $\tan(x+\pi)=\dfrac{-\sin x}{-\cos x}=\tan x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نکتهٔ کنکوری مهم: تابع $\tan$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در هر بازه‌ای که در آن تعریف شده — یعنی هر بازهٔ $\left(k\pi-\frac{\pi}{2},\,k\pi+\frac{\pi}{2}\right)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — اکیداً صعودی است و از $-\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تا $+\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تغییر می‌کند، اما در کل دامنه صعودی نیست (چون دامنه‌اش یک بازه نیست). آسیمتوت‌های عمودی نمودار $y=\tan x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هستند و نمودار در $x=k\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از صفر می‌گذرد.

جدول علائم در ربع‌های مختلف:

مقایسهٔ $\sin\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\tan\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: اگر $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، آنگاه $\tan\alpha>\sin\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ اگر $\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، هر دو منفی‌اند اما $|\tan\alpha|>|\sin\alpha|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $\tan\alpha<\sin\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مثال تمرین یافتن ضابطه: با $\max=9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\min=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $T=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $c=\frac{9+3}{2}=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $|a|=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $|b|=\frac{2\pi}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ یک جواب ممکن: $y=3\sin\left(\frac{2\pi}{3}x\right)+6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

فرمول‌های زاویهٔ دو برابر

فرمول‌های مشتق‌شده (مهم برای کنکور):

کاربرد نمونه — محاسبهٔ زاویهٔ نصف: از $\cos30°=1-2\sin^2 15°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $\sin^2 15°=\frac{2-\sqrt3}{4}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $\sin 15°=\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ سپس از $\sin30°=2\sin15°\cos15°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مقدار $\cos15°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به دست می‌آید.

فراتر از کتاب — فرمول جمع زوایا:

فراتر از کتاب — حاصل‌ضرب به مجموع و مجموع به حاصل‌ضرب:

معادلات مثلثاتی پایه

($k \in \mathbb{Z}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در همهٔ حالت‌ها)

ریشهٔ این سه فرمول روی دایرهٔ مثلثاتی است: دو نقطه با سینوس برابر در زاویه‌های $\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\pi-\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قرار دارند، دو نقطه با کسینوس برابر در $\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $-\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و تانژانت چون دورهٔ $\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد و در هر دوره یک‌به‌یک است تنها یک خانوادهٔ جواب می‌سازد.

مثال: $\sin 3x=\sin\frac{\pi}{4}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌دهد $3x=2k\pi+\frac{\pi}{4}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $3x=2k\pi+\frac{3\pi}{4}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $x=\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{12}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $x=\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{4}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

معادلهٔ درجهٔ دوم مثلثاتی: $2\cos^2x-9\cos x-5=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با تغییر متغیر $t=\cos x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ($-1\le t\le1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) می‌دهد $t=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (رد، چون $|\cos x|\le1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) یا $t=-\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $\cos x=\cos\frac{2\pi}{3} \Rightarrow x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

معادلهٔ ترکیبی با اتحاد $\sin^2+\cos^2=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $\cos2x-3\sin x+1=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ با $\cos2x=1-2\sin^2x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $2\sin^2x+3\sin x-2=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسیم، پس $\sin x=\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (چون $\sin x=-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ناممکن است). قاعدهٔ کلی همین است: اتحاد را طوری انتخاب کن که کل معادله فقط برحسب یک تابع نوشته شود.

معادلهٔ فاکتورگیری‌شده: اگر معادله به شکل حاصل‌ضرب برابر صفر باشد، هر عامل را جدا صفر می‌گذاریم؛ مثلاً در $(2\cos x-1)(2\sin x+3)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عامل دوم $\sin x=-\frac32$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌دهد که رد می‌شود و تنها خانوادهٔ جواب $x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

معادلهٔ آمیخته (یک طرف $\sin$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، طرف دیگر $\cos$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی): اول باید دو طرف را هم‌نوع کرد، یا با تبدیل مکملِ $\cos\theta=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یا با بردن علامت منفی داخل کمان از راه $-\cos u=\cos(\pi-u)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\sin(-u)=-\sin u$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

شمارش جواب‌ها در یک بازه: هر خانوادهٔ جواب به شکل $x=Ak+B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک دنبالهٔ حسابی با قدر نسبت $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. از $k=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شروع کن، با گام‌های $+A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جلو و $-A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عقب برو و هر بار بررسی کن جواب داخل بازه هست یا نه، تا هر دو سر از بازه بیرون بزند. این روش مطمئن‌تر از جای‌گذاری تصادفی است و نه جوابی جا می‌ماند نه جواب اضافه شمرده می‌شود.

نکات کنکوری: فاز $\varphi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $y=a\sin(bx+\varphi)+c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دوره و دامنه را تغییر نمی‌دهد، فقط نمودار را افقی جابه‌جا می‌کند؛ اگر $b<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد با $\sin(-x)=-\sin x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌توان آن را به $b>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تبدیل کرد؛ دورهٔ تناوب $|a\sin bx+c|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نصف دورهٔ $a\sin bx$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است (وقتی تابع در هر دوره یک‌بار علامت عوض کند)؛ و $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی میانگین بیشینه و کمینه است — سریع‌ترین راه یافتن آن از نمودار.