پرش به محتوای اصلی

مثلثات (فصل 2 ریاضی 3) (علوم تجربی)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

مثلثات — خلاصهٔ فصل ۲

توابع متناوب

تابع ff متناوب است هرگاه عدد حقیقی مثبتی مانند TT وجود داشته باشد که برای هر x∈Dfx\in D_f: x±T∈Dfx\pm T\in D_f و f(x±T)=f(x)f(x\pm T)=f(x). کوچک‌ترین چنین TT را دورهٔ تناوب می‌نامیم. دورهٔ تناوب sin⁡\sin و cos⁡\cos برابر 2π2\pi است.

تابع y=asin⁡bx+cy=a\sin bx+c و y=acos⁡bx+cy=a\cos bx+c

T=2π∣b∣Mmax⁡=∣a∣+cMmin⁡=−∣a∣+c\boxed{T = \frac{2\pi}{|b|}} \qquad \boxed{M_{\max}=|a|+c} \qquad \boxed{M_{\min}=-|a|+c}
c=Mmax⁡+Mmin⁡2∣a∣=Mmax⁡−Mmin⁡2\boxed{c = \frac{M_{\max}+M_{\min}}{2}} \qquad \boxed{|a| = \frac{M_{\max}-M_{\min}}{2}}

ضریب aa روی TT بی‌تأثیر است ولی دامنهٔ نوسان را می‌سازد؛ ضریب bb روی TT تأثیرگذار است ولی ماکزیمم/مینیمم را تغییر نمی‌دهد؛ ضریب cc فقط انتقال عمودی می‌دهد.

مثال: y=3sin⁡(2x)−2y=3\sin(2x)-2: T=πT=\pi، Mmax⁡=1M_{\max}=1، Mmin⁡=−5M_{\min}=-5.

یافتن ضابطه از روی نمودار: ۱) Mmax⁡M_{\max} و Mmin⁡M_{\min} را از نمودار بخوان؛ ۲) cc و ∣a∣|a| را محاسبه کن؛ ۳) TT را بخوان و ∣b∣=2πT|b|=\frac{2\pi}{T} بگیر؛ ۴) علامت aa و bb را از جهت شروع نمودار تعیین کن.

نکتهٔ تکمیلی: اگر ff دورهٔ T1T_1 و gg دورهٔ T2T_2 داشته باشد، دورهٔ f+gf+g برابر lcm(T1,T2)\text{lcm}(T_1,T_2) است؛ اگر نسبت T1/T2T_1/T_2 گویا نباشد، مجموع اصلاً متناوب نیست (مثال: sin⁡x+sin⁡(2 x)\sin x + \sin(\sqrt2\,x)).

تابع تانژانت

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x,Dtan⁡={x∈R∣x≠kπ+π2},Rtan⁡=R\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \qquad D_{\tan} = \left\{x\in\mathbb{R} \mid x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}\right\}, \qquad R_{\tan}=\mathbb{R}

دورهٔ تناوب: Ttan⁡=πT_{\tan}=\pi زیرا tan⁡(x+π)=−sin⁡x−cos⁡x=tan⁡x\tan(x+\pi)=\dfrac{-\sin x}{-\cos x}=\tan x.

نکتهٔ کنکوری مهم: تابع tan⁡\tan در هر بازه‌ای که در آن تعریف شده اکیداً صعودی است، اما در کل دامنه صعودی نیست (چون دامنه‌اش یک بازه نیست) — این یک سؤال کلاسیک کنکور است. آسیمتوت‌های عمودی نمودار y=tan⁡xy=\tan x در x=π2+kπx=\frac{\pi}{2}+k\pi هستند و در هر دوره از (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) عبور می‌کند.

جدول علائم در ربع‌های مختلف:

ربع sin⁡\sin cos⁡\cos tan⁡\tan
اول ++ ++ ++
دوم ++ −- −-
سوم −- −- ++
چهارم −- ++ −-

مقایسهٔ sin⁡α\sin\alpha و tan⁡α\tan\alpha: اگر 0<α<π20<\alpha<\frac{\pi}{2}، آنگاه tan⁡α>sin⁡α\tan\alpha>\sin\alpha؛ اگر 3π2<α<2π\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi، هر دو منفی‌اند اما ∣tan⁡α∣>∣sin⁡α∣|\tan\alpha|>|\sin\alpha|، پس tan⁡α<sin⁡α\tan\alpha<\sin\alpha.

مثال تمرین یافتن ضابطه: با max⁡=9\max=9، min⁡=3\min=3، T=3T=3: c=9+32=6c=\frac{9+3}{2}=6، ∣a∣=3|a|=3، ∣b∣=2π3|b|=\frac{2\pi}{3}؛ یک جواب ممکن: y=3sin⁡(2π3x)+6y=3\sin\left(\frac{2\pi}{3}x\right)+6.

فرمول‌های زاویهٔ دو برابر

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\boxed{\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha}
cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\boxed{\cos 2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha-1 = 1-2\sin^2\alpha}

فرمول‌های مشتق‌شده (مهم برای کنکور):

sin⁡2α=1−cos⁡2α2,cos⁡2α=1+cos⁡2α2,tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\sin^2\alpha = \frac{1-\cos2\alpha}{2}, \qquad \cos^2\alpha = \frac{1+\cos2\alpha}{2}, \qquad \tan2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}

فراتر از کتاب — فرمول جمع زوایا:

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β,cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta, \qquad \cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

فراتر از کتاب — حاصل‌ضرب به مجموع و مجموع به حاصل‌ضرب:

2sin⁡αcos⁡β=sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β),2cos⁡αcos⁡β=cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta), \qquad 2\cos\alpha\cos\beta = \cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)
sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2,cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\sin\alpha+\sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}, \qquad \cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}

معادلات مثلثاتی پایه

sin⁡x=sin⁡α⇒{x=2kπ+αx=(2k+1)π−αcos⁡x=cos⁡α⇒x=2kπ±αtan⁡x=tan⁡α⇒x=kπ+α\sin x = \sin\alpha \Rightarrow \begin{cases} x = 2k\pi+\alpha \\ x = (2k+1)\pi-\alpha \end{cases} \qquad \cos x = \cos\alpha \Rightarrow x = 2k\pi\pm\alpha \qquad \tan x = \tan\alpha \Rightarrow x = k\pi+\alpha

(k∈Zk \in \mathbb{Z} در همهٔ حالت‌ها)

مثال: sin⁡3x=sin⁡π4\sin 3x=\sin\frac{\pi}{4} می‌دهد 3x=2kπ+π43x=2k\pi+\frac{\pi}{4} یا 3x=2kπ+3π43x=2k\pi+\frac{3\pi}{4}، پس x=2kπ3+π12x=\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{12} یا x=2kπ3+π4x=\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{4}.

معادلهٔ درجهٔ دوم مثلثاتی: 2cos⁡2x−9cos⁡x−5=02\cos^2x-9\cos x-5=0 با تغییر متغیر t=cos⁡xt=\cos x (−1≤t≤1-1\le t\le1) می‌دهد t=5t=5 (رد، چون ∣cos⁡x∣≤1|\cos x|\le1) یا t=−12t=-\frac12، پس cos⁡x=cos⁡2π3⇒x=2kπ±2π3\cos x=\cos\frac{2\pi}{3} \Rightarrow x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3}.

معادلهٔ ترکیبی با اتحاد sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2+\cos^2=1: cos⁡2x−3sin⁡x+1=0\cos2x-3\sin x+1=0؛ با cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos2x=1-2\sin^2x به 2sin⁡2x+3sin⁡x−2=02\sin^2x+3\sin x-2=0 می‌رسیم، پس sin⁡x=12\sin x=\frac12 (چون sin⁡x=−2\sin x=-2 ناممکن است).

نکات کنکوری: فاز φ\varphi در y=asin⁡(bx+φ)+cy=a\sin(bx+\varphi)+c دوره و دامنه را تغییر نمی‌دهد، فقط نمودار را افقی جابه‌جا می‌کند؛ اگر b<0b<0 باشد با sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin x می‌توان آن را به b>0b>0 تبدیل کرد؛ cc میانگین ماکزیمم و مینیمم است — سریع‌ترین راه یافتن آن از نمودار.

نمونه تست

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. تابع ff روی R\mathbb{R} به‌صورت f(x)=sin⁡(ax)+cos⁡(bx)f(x)=\sin(ax)+\cos(bx) تعریف شده است. می‌دانیم ff متناوب است و دوره تناوب آن T=πT=\pi است. اگر a>0a>0 و b>0b>0 و نسبت ab\dfrac{a}{b} ساده‌شده برابر 23\dfrac{2}{3} باشد، کدام گزاره در مورد (a,b)(a,b) می‌تواند درست باشد؟

  • a=4,  b=6a=4,\;b=6
  • a=2,  b=3a=2,\;b=3
  • a=6,  b=9a=6,\;b=9
  • a=23,  b=1a=\dfrac{2}{3},\;b=1

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چون نسبتِ ab=23\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{3} (ساده‌شده) است، (a,b)(a,b) باید مضربی از (2,3)(2,3) باشد. برایِ هرکدام از گزینه‌ها، دورهٔ f(x)=sin⁡(ax)+cos⁡(bx)f(x)=\sin(ax)+\cos(bx) را می‌یابیم: دورهٔ sin⁡(ax)\sin(ax) برابرِ 2πa\dfrac{2\pi}{a} و دورهٔ cos⁡(bx)\cos(bx) برابرِ 2πb\dfrac{2\pi}{b} است؛ کوچک‌ترین مضربِ مشترکِ این دو باید برابرِ T=πT=\pi باشد. با (a,b)=(4,6)(a,b)=(4,6): دوره‌ها π2\dfrac{\pi}{2} و π3\dfrac{\pi}{3} هستند و کوچک‌ترین مضربِ مشترکِ آن‌ها دقیقاً π\pi است؛ این مقدار با شرطِ داده‌شده مطابقت دارد، پس گزینهٔ «a=4,  b=6a=4,\;b=6» درست است. سایر گزینه‌ها با این شرط ناسازگارند: با (2,3)(2,3) دوره‌ها π\pi و 2π3\frac{2\pi}{3} می‌شوند که کوچک‌ترین مضربِ مشترک‌شان 2π2\pi است (نه π\pi)؛ با (6,9)(6,9) دوره 2π3\frac{2\pi}{3} به دست می‌آید؛ با (23,1)\left(\frac{2}{3},1\right) دوره 6π6\pi می‌شود. تلهٔ تستی: نسبتِ سادهٔ ab=23\frac{a}{b}=\frac{2}{3} به‌تنهایی (a,b)(a,b) را تعیین نمی‌کند؛ باید حتماً شرطِ دورهٔ تناوب (T=πT=\pi) را هم برایِ هر گزینه جداگانه بررسی کرد، نه فقط بسندگی به برقراریِ نسبت.

2. تابع f(x)=2sin⁡ ⁣(3x4)−1f(x)=2\sin\!\left(\dfrac{3x}{4}\right)-1 است. اگر g(x)=∣f(x)∣g(x)=|f(x)| باشد، دوره تناوب gg کدام است؟

  • 4π3\dfrac{4\pi}{3}
  • 2π3\dfrac{2\pi}{3}
  • 16π3\dfrac{16\pi}{3}
  • 8π3\dfrac{8\pi}{3}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

دامنهٔ نوسانِ f(x)=2sin⁡ ⁣(3x4)−1f(x)=2\sin\!\left(\frac{3x}{4}\right)-1 برابرِ [−3,1][-3,1] است، یعنی هم مقدارِ مثبت و هم منفی می‌گیرد (بر خلافِ حالتی که همیشه هم‌علامت باشد). اما چون این تابع نسبت به محورِ افقی **متقارن نیست** (به‌خاطرِ شیفتِ عمودیِ −1-1، قله و درهٔ آن هم‌شکل نیستند)، برخلافِ حالتِ ∣sin⁡(kx)∣|\sin(kx)| سادهٔ بدونِ شیفت، قدرمطلق دورهٔ آن را **نصف نمی‌کند**؛ دورهٔ g=∣f∣g=|f| همان دورهٔ خودِ ff، یعنی 2π3/4=8π3\dfrac{2\pi}{3/4}=\dfrac{8\pi}{3}، باقی می‌ماند. بنابراین گزینهٔ «8π3\dfrac{8\pi}{3}» درست است. سایر گزینه‌ها (به‌ویژه 4π3\dfrac{4\pi}{3} که با فرضِ نادرستِ نصف‌شدنِ دوره به دست می‌آید) این تفاوتِ کلیدی را نادیده می‌گیرند. تلهٔ تستی: قاعدهٔ «قدرمطلق دوره را نصف می‌کند» فقط برایِ sin⁡(kx)\sin(kx) یا cos⁡(kx)\cos(kx)ی **خالص** (بدونِ جمله‌ی عددیِ شیفت‌دهنده) درست است؛ وقتی تابع شیفتِ عمودی دارد و دو طرفِ نمودار حولِ صفر قرینه نیستند (مثلِ اینجا)، این قاعده اصلاً برقرار نیست و دوره تغییر نمی‌کند.

3. تابع f(x)=asin⁡(bx)+cf(x)=a\sin(bx)+c دوره تناوب π3\dfrac{\pi}{3} دارد و ماکزیمم آن 55 و مینیمم آن −1-1 است. اگر b>0b>0 باشد، کدام ضابطه می‌تواند برای ff صحیح باشد؟

  • f(x)=3sin⁡(6x)+2f(x)=3\sin(6x)+2
  • f(x)=3sin⁡(3x)+2f(x)=3\sin(3x)+2
  • f(x)=2sin⁡(6x)+2f(x)=2\sin(6x)+2
  • f(x)=3sin⁡(6x)−1f(x)=3\sin(6x)-1

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از بیشینه و کمینهٔ داده‌شده: c=5+(−1)2=2c=\dfrac{5+(-1)}{2}=2 و ∣a∣=5−(−1)2=3|a|=\dfrac{5-(-1)}{2}=3، و از دورهٔ تناوبِ T=π3T=\dfrac{\pi}{3}: b=2ππ/3=6b=\dfrac{2\pi}{\pi/3}=6. با a=3>0a=3>0 و b=6>0b=6>0 (طبقِ فرضِ سؤال)، ضابطهٔ f(x)=3sin⁡(6x)+2f(x)=3\sin(6x)+2 دقیقاً بیشینه و کمینه و دورهٔ خواسته‌شده را می‌دهد؛ بنابراین همین گزینه («f(x)=3sin⁡(6x)+2f(x)=3\sin(6x)+2») می‌تواند درست باشد. سایر گزینه‌ها در cc، ∣a∣|a| یا bb با شرایطِ سؤال سازگار نیستند. تلهٔ تستی: چون سؤال «کدام گزینه می‌تواند درست باشد» می‌پرسد (نه «ضابطهٔ دقیقِ ff چیست»)، کافی است یک گزینه با cc، ∣a∣|a| و bbی درست پیدا شود؛ لازم نیست فازِ خاصی هم تعیین شود، چون سؤال چنین قیدی نگذاشته است.

4. تابع f(x)=sin⁡(3x)+cos⁡(5x)f(x)=\sin(3x)+\cos(5x) است. کمترین T>0T>0 که برای همه xx داریم f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x) کدام است؟

  • 2π3\dfrac{2\pi}{3}
  • π\pi
  • 10π3\dfrac{10\pi}{3}
  • 2π2\pi

پاسخنامه‌ی تحلیلی

دورهٔ sin⁡(3x)\sin(3x) برابرِ 2π3\dfrac{2\pi}{3} و دورهٔ cos⁡(5x)\cos(5x) برابرِ 2π5\dfrac{2\pi}{5} است. کوچک‌ترین مضربِ مشترکِ این دو دوره TT است به‌طوری‌که T=m⋅2π3=n⋅2π5T=m\cdot\dfrac{2\pi}{3}=n\cdot\dfrac{2\pi}{5}؛ با m=3,n=5m=3,n=5 به T=2πT=2\pi می‌رسیم که کوچک‌ترین مقدارِ ممکن است (می‌توان با جای‌گذاریِ مستقیم f(x+π)=−f(x)≠f(x)f(x+\pi)=-f(x)\neq f(x) نشان داد که π\pi خودش دوره نیست). بنابراین گزینهٔ «2π2\pi» درست است. سایر گزینه‌ها («2π3\frac{2\pi}{3}»، «π\pi»، «10π3\frac{10\pi}{3}») یا فقط دورهٔ یکی از دو جمله‌اند یا کوچک‌ترین مضربِ مشترک را نادرست محاسبه کرده‌اند. تلهٔ تستی: صرفِ محاسبهٔ کوچک‌ترین مضربِ مشترکِ دو کسر، تضمین نمی‌کند آن مقدار واقعاً دوره است؛ همیشه باید با جای‌گذاریِ مستقیم (f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)؟) درستیِ آن را تأیید کرد، به‌ویژه وقتی دو تابع (اینجا sin⁡\sin و cos⁡\cos) نوعِ متفاوت دارند.

5. تابع f(x)=sin⁡x+sin⁡(2x)f(x)=\sin x+\sin(2x) است. کوچک‌ترین دوره تناوب ff کدام است؟

  • π2\dfrac{\pi}{2}
  • π\pi
  • 2π2\pi
  • 4π4\pi

پاسخنامه‌ی تحلیلی

دورهٔ هر جمله را جداگانه می‌یابیم: دورهٔ sin⁡(x)\sin{\left(x \right)} برابرِ 2π2 \pi، دورهٔ sin⁡(2x)\sin{\left(2 x \right)} برابرِ π\pi. کوچک‌ترین مضربِ مشترکِ این دوره‌ها، دورهٔ تناوبِ کلِ تابع را می‌دهد که برابرِ «2π2\pi» است؛ بنابراین همین گزینه درست است. سایر گزینه‌ها («π\pi»، «4π4\pi»، «π2\dfrac{\pi}{2}») با این محاسبه سازگار نیستند. تلهٔ تستی: بعد از یافتنِ دورهٔ هر جمله به‌طورِ جداگانه، باید کوچک‌ترین مضربِ مشترکِ آن‌ها محاسبه شود، نه فقط دورهٔ یکی از اجزا؛ اگر ضریبِ xx در یکی از جمله‌ها شاملِ π\pi یا عددی گنگ باشد، این نسبت ممکن است گنگ شود و تابع اصلاً متناوب نباشد.

6. تابع f(x)=sin⁡x+cos⁡ ⁣(x2)f(x)=\sin x+\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right) است. دوره تناوب این تابع کدام است؟

  • 2π2\pi
  • π\pi
  • 8π8\pi
  • 4π4\pi

پاسخنامه‌ی تحلیلی

دورهٔ هر جمله را جداگانه می‌یابیم: دورهٔ cos⁡(x2)\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} برابرِ 4π4 \pi، دورهٔ sin⁡(x)\sin{\left(x \right)} برابرِ 2π2 \pi. کوچک‌ترین مضربِ مشترکِ این دوره‌ها، دورهٔ تناوبِ کلِ تابع را می‌دهد که برابرِ «4π4\pi» است؛ بنابراین همین گزینه درست است. سایر گزینه‌ها («2π2\pi»، «π\pi»، «8π8\pi») با این محاسبه سازگار نیستند. تلهٔ تستی: بعد از یافتنِ دورهٔ هر جمله به‌طورِ جداگانه، باید کوچک‌ترین مضربِ مشترکِ آن‌ها محاسبه شود، نه فقط دورهٔ یکی از اجزا؛ اگر ضریبِ xx در یکی از جمله‌ها شاملِ π\pi یا عددی گنگ باشد، این نسبت ممکن است گنگ شود و تابع اصلاً متناوب نباشد.

7. فرض کنید f(x)=cos⁡(2x)+cos⁡(2 x)f(x)=\cos(2x)+\cos(\sqrt{2}\,x). کدام‌یک در مورد دوره تناوب ff درست است؟

  • تابع متناوب نیست
  • دوره تناوب آن π\pi است
  • دوره تناوب آن 2π2\pi است
  • دوره تناوب آن 4π4\pi است

پاسخنامه‌ی تحلیلی

دورهٔ cos⁡(2x)\cos(2x) برابرِ π\pi و دورهٔ cos⁡(2 x)\cos(\sqrt2\,x) برابرِ 2π2=2 π\dfrac{2\pi}{\sqrt2}=\sqrt2\,\pi است. نسبتِ این دو دوره برابرِ π2 π=12\dfrac{\pi}{\sqrt2\,\pi}=\dfrac{1}{\sqrt2} است که عددی گنگ (غیرگویا) است؛ پس مجموعِ این دو تابع متناوب نیست و گزینهٔ «تابع متناوب نیست» درست است. سایر گزینه‌ها («دوره تناوب آن π\pi است»، «2π2\pi»، «4π4\pi») همگی فرض می‌کنند تابع متناوب است و یک عددِ معین به‌عنوانِ دوره پیشنهاد می‌دهند، درحالی‌که چنین عددی اصلاً وجود ندارد. تلهٔ تستی: وجودِ 2\sqrt2 در ضریبِ آرگومانِ یکی از دو جمله (نه در خودِ عددِ دوره) دقیقاً همان چیزی است که نسبتِ دو دوره را گنگ می‌کند؛ نباید فقط به دیدنِ «دو تابعِ کسینوسی» بسنده کرد و فرض کرد حتماً متناوب‌اند.

8. تابع f(x)=asin⁡(bx)+cf(x)=a\sin(bx)+c چنین است که Mmax⁡=5M_{\max}=5 و Mmin⁡=−3M_{\min}=-3 و دوره تناوب آن π2\dfrac{\pi}{2} است. اگر b>0b>0، مقدار ∣a∣+∣c∣+b|a|+|c|+b کدام است؟

  • 88
  • 1010
  • 77
  • 99

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از Mmax⁡=5M_{\max}=5 و Mmin⁡=−3M_{\min}=-3: c=Mmax⁡+Mmin⁡2=5+(−3)2=1c=\dfrac{M_{\max}+M_{\min}}{2}=\dfrac{5+(-3)}{2}=1 و ∣a∣=Mmax⁡−Mmin⁡2=5−(−3)2=4|a|=\dfrac{M_{\max}-M_{\min}}{2}=\dfrac{5-(-3)}{2}=4. از دورهٔ تناوبِ T=π2T=\dfrac{\pi}{2}: b=2πT=2ππ/2=4b=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{\pi/2}=4. بنابراین ∣a∣+∣c∣+b=4+1+4=9|a|+|c|+b=4+1+4=9 و گزینهٔ «99» درست است. سایر گزینه‌ها («88»، «1010»، «77») از محاسبهٔ نادرستِ یکی از سه مقدارِ ∣a∣|a|، ∣c∣|c| یا bb ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: رایج‌ترین اشتباه، جابه‌جاکردنِ فرمولِ cc و ∣a∣|a| (یعنی نوشتنِ c=Mmax⁡−Mmin⁡2c=\frac{M_{\max}-M_{\min}}{2} به‌جایِ میانگین) یا محاسبهٔ نادرستِ b=2πTb=\frac{2\pi}{T} (فراموش‌کردنِ معکوس‌کردنِ کسر) است.

9. تابع f(x)=12sin⁡(4x)−32f(x)=\dfrac{1}{2}\sin(4x)-\dfrac{3}{2} است. اگر g(x)=∣f(x)∣g(x)=|f(x)| باشد، کدام عبارت در مورد دوره تناوب gg درست است؟

  • Tg=π2T_g=\dfrac{\pi}{2}
  • Tg=π4T_g=\dfrac{\pi}{4}
  • Tg=πT_g=\pi
  • Tg=π3T_g=\dfrac{\pi}{3}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

دامنهٔ نوسانِ f(x)=12sin⁡(4x)−32f(x)=\frac{1}{2}\sin(4x)-\frac{3}{2} برابرِ [−2,−1]\left[-2,-1\right] است، یعنی همواره **منفی** است (هرگز به صفر یا مثبت نمی‌رسد، جز در نقاطِ مجزا). پس g(x)=∣f(x)∣=−f(x)g(x)=|f(x)|=-f(x) و دورهٔ آن دقیقاً برابرِ دورهٔ خودِ ff، یعنی 2π4=π2\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}، است. بنابراین گزینهٔ «Tg=π2T_g=\dfrac{\pi}{2}» درست است. سایر گزینه‌ها (از جمله π4\dfrac{\pi}{4} که با فرضِ نادرستِ نصف‌شدنِ دوره به دست می‌آید) این نکته را نادیده می‌گیرند. تلهٔ تستی: وقتی عبارتِ داخلِ قدرمطلق همیشه هم‌علامت (اینجا همیشه منفی) بماند، قدرمطلق فقط علامت را یک‌بار برایِ همیشه معکوس می‌کند و هیچ اثری روی دوره ندارد؛ آن را نباید با حالتِ ∣sin⁡(kx)∣|\sin(kx)|ی خالص (که هر نیم‌دوره علامت عوض می‌کند) اشتباه گرفت.

10. تابع f(x)=sin⁡(2x+φ)f(x)=\sin\big(2x+\varphi\big) (با φ\varphi ثابت حقیقی) است. کدام گزینه به‌درستی بیان می‌کند فاز φ\varphi چه اثری روی ویژگی‌های تابع دارد؟

  • فقط جای نمودار را افقی جابه‌جا می‌کند و دوره و دامنه نوسان را تغییر نمی‌دهد
  • دوره تناوب را نصف و دامنه را دو برابر می‌کند
  • دامنه را نصف و میانگین را تغییر می‌دهد
  • دوره و میانگین را تغییر می‌دهد ولی دامنه ثابت می‌ماند

پاسخنامه‌ی تحلیلی

در تابعِ f(x)=sin⁡(2x+φ)f(x)=\sin(2x+\varphi)، پارامترِ φ\varphi (فاز) فقط باعثِ جابه‌جاییِ افقیِ نمودار می‌شود؛ دورهٔ تناوب (که فقط به ضریبِ xx یعنی 22 بستگی دارد) و دامنهٔ نوسان (که به ضریبِ کلِ sin⁡\sin بستگی دارد) هیچ‌کدام تغییر نمی‌کنند. بنابراین گزینهٔ «فقط جای نمودار را افقی جابه‌جا می‌کند و دوره و دامنه نوسان را تغییر نمی‌دهد» درست است. سایر گزینه‌ها ادعا می‌کنند فاز روی دوره یا دامنه اثر می‌گذارد که نادرست است. تلهٔ تستی: در برخی چاپ‌های کتاب این نکته مستقیماً مطرح نشده، اما در کنکور به‌طورِ رایج پرسیده می‌شود؛ نباید فاز را با ضریبِ bb (که واقعاً دوره را تغییر می‌دهد) اشتباه گرفت.

مباحث مرتبط

تابع (فصل 1 ریاضی 3) (علوم تجربی)حد بی نهایت و حد در بی نهایت (فصل 3 ریاضی 3) (علوم تجربی)مشتق (فصل 4 ریاضی 3) (علوم تجربی)کاربرد مشتق (فصل 5 ریاضی 3) (علوم تجربی)هندسه (فصل 6 ریاضی 3) (علوم تجربی)احتمال (فصل 7 ریاضی 3) (علوم تجربی)مجموعه، الگو و دنباله(فصل 1 ریاضی 1) (علوم تجربی)مثلثات (فصل 2 ریاضی 1) (علوم تجربی)توان های گویا و عبارت های جبری (فصل 3 ریاضی 1) (علوم تجربی)معادله ها و نامعادله ها (فصل 4 ریاضی 1) (علوم تجربی)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان