دایره، بیضی و تفکر تجسمی (ریاضی ۳)

درس اول: تفکر تجسمی، دوران و بیضی

تفکر تجسمی

تفکر تجسمی یعنی استفاده از تصویرسازی ذهنی به‌جای زبان کلامی برای حل مسئله. پنج موقعیتی که این توانایی را تقویت می‌کنند: دوران جسم در فضا، ترسیم گستردهٔ اجسام هندسی، ترسیم نماهای مختلف یک جسم، دوران یک شکل حول محور، و تجسم برش اجسام. کل فصل ۶ در واقع تمرینِ همین مهارت است، منتها با زبان دقیقِ هندسه.

دوران حول محور

وقتی یک شکل دوبعدی حول یک محور دوران کامل ($360°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) کند، جسمی سه‌بعدی می‌سازد. این جدول هستهٔ اصلی بخش است:

تلهٔ مهم: دوران مثلث قائم‌الزاویه حول وتر با دوران حول ضلع قائمه یکی نیست؛ اولی دو مخروطِ چسبیده می‌سازد و دومی یک مخروط ساده. همین تمایز، پرتکرارترین نکتهٔ این بخش است.

نکتهٔ دوم به فاصلهٔ شکل از محور برمی‌گردد: اگر شکلِ دوران‌کننده محور را لمس نکند، جسم حاصل توخالی است و مقطع موازی قاعده‌اش به‌جای دایره، یک حلقه (آنولوس) می‌شود؛ مساحت این حلقه برابر $\pi(R_{\text{خارجی}}^2-R_{\text{داخلی}}^2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

حجم‌های لازم برای این اجسام: مخروط $V=\frac13\pi r^2h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، استوانه $V=\pi r^2h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، کره $V=\frac43\pi r^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و مخروط ناقص با شعاع‌های $r_1,r_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و ارتفاع $h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $V=\frac{\pi h}{3}\left(r_1^2+r_1r_2+r_2^2\right)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

برش اجسام هندسی

شکل حاصل از برخورد یک صفحه با یک جسم هندسی، سطح مقطع نام دارد. نوع مقطع فقط به جسم بستگی ندارد؛ به زاویه و محل صفحهٔ برش هم وابسته است:

سطح مقطع کره همیشه دایره است و بیشترین مساحتش وقتی به دست می‌آید که صفحه از مرکز بگذرد (دایرهٔ بزرگ): $S_{\max}=\pi R^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مثال: مستطیل $3\times4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را حول ضلع $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بچرخانید: استوانه‌ای با $r=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $h=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌سازد. مقطع موازی قاعده دایره‌ای با مساحت $\pi r^2=9\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و بزرگ‌ترین مقطع عمود بر قاعده، مستطیلی است که از محور می‌گذرد: $2r\times h=24$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

سطح مخروطی و مقاطع مخروطی

اگر دو خط $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $l$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در نقطهٔ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متقاطع باشند و $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را حول $l$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دوران دهیم، سطحی دوناپه ساخته می‌شود که در آن $l$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی محور، $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مولد و $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رأس نام دارد. برش این سطح با صفحه‌های مختلف، چهار منحنی معروف را می‌دهد: دایره (برش عمود بر محور)، بیضی (برش مایلی که فقط یک ناپه را قطع می‌کند)، سهمی (برش موازی با یک مولد) و هذلولی (برشی که هر دو ناپه را قطع کند). این چهار منحنی را روی هم مقاطع مخروطی می‌نامند.

بیضی

تعریف: بیضی مجموعهٔ نقاطی از صفحه است که مجموع فواصلشان از دو نقطهٔ ثابت (کانون‌ها) مقداری ثابت باشد: $MF+MF'=2a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

چرا مقدار ثابت دقیقاً $2a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؟ نقطهٔ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (یک سر قطر بزرگ) روی بیضی است، پس $AF+AF'=2AF+2c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ برای سر دیگر یعنی $A'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم به همین شکل $2A'F'+2c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به دست می‌آید. برابری این دو نشان می‌دهد $AF=A'F'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و در نتیجه مجموع فواصل برابر با طول کل قطر بزرگ یعنی $AA'=2a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود.

رابطهٔ کلیدی سه کمیت: نقطهٔ $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (سر قطر کوچک) روی عمودمنصف $FF'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، پس $BF=BF'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و از تعریف بیضی $2BF=2a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $BF=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. حالا قضیهٔ فیثاغورس در مثلث قائم‌الزاویهٔ $BOF$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

همیشه $a>b>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $a>c>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ اگر جایی $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بزرگ‌تر درآمد، یعنی نقش دو قطر را جابه‌جا گرفته‌اید.

خروج از مرکز ($e=c/a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) میزان کشیدگی بیضی را می‌سنجد: هرچه $e$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به صفر نزدیک‌تر باشد بیضی گردتر است، $e=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی دقیقاً دایره (دو کانون روی هم می‌افتند و $c=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، و $e$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نزدیک به ۱ یعنی بیضیِ بسیار کشیده. مقدار $e\ge1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اصلاً بیضی نیست.

معادلهٔ بیضی با مرکز مبدأ:

در بیضی افقی قطر بزرگ روی محور $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و کانون‌ها $F(\pm c,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هستند؛ در بیضی قائم جای محورها عوض می‌شود. نوع بیضی را همیشه از جهت قطر بزرگ (یا از راستای خط‌المرکزین) تشخیص دهید. اگر مرکز بیضی به نقطهٔ $(h,k)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی منتقل شود، معادله فقط جابه‌جا می‌شود: $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مثال: با $a=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $c^2=25-9=16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $c=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و فاصلهٔ کانونی $2c=8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

سهمی (تکمیلی): مجموعهٔ نقاطی که از یک نقطهٔ ثابت (کانون) و یک خط ثابت (خط هادی) فاصلهٔ مساوی دارند. ویژگی کانونی‌اش این است که پرتوهای موازی محور، پس از بازتاب همه در کانون جمع می‌شوند — پایهٔ کار آنتن ماهواره، چراغ خودرو و تلسکوپ.

کاربردها: بیضی در مدار سیارات (قانون اول کپلر: هر سیاره روی مسیری بیضوی حرکت می‌کند که خورشید در یکی از کانون‌های آن است)، سهمی در آینه‌های سهموی، و هذلولی در ناوبری و رادار.

درس دوم: دایره

معادلهٔ استاندارد و وضعیت نقطه

برای دایره‌ای به مرکز $O(\alpha,\beta)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و شعاع $r$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

برای تعیین وضعیت نقطهٔ $M(x_0,y_0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کافی است مختصاتش را در سمت چپ بگذارید: برابری با $r^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی روی دایره، کوچک‌تر یعنی داخل و بزرگ‌تر یعنی خارج دایره.

مثال: دایره‌ای به مرکز $(2,-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که از $(1,-3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌گذرد، شعاعش $r=\sqrt{1+4}=\sqrt5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، پس معادله‌اش $(x-2)^2+(y+1)^2=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود.

معادلهٔ گسترده

این معادله دایره است اگر و فقط اگر $a^2+b^2>4c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. در این صورت:

راه تبدیل به فرم استاندارد، تکمیل مربع است. شرط مقدماتی هم این است که ضریب $x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با هم برابر و ناصفر باشند، وگرنه اصلاً معادلهٔ دایره نیست.

مثال: $x^2+y^2-6x+2y+6=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را با تکمیل مربع به $(x-3)^2+(y+1)^2=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسانیم: مرکز $(3,-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، شعاع $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اوضاع نسبی خط و دایره

همه‌چیز به مقایسهٔ یک عدد با شعاع برمی‌گردد: فاصلهٔ مرکز از خط، که آن را $OH$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌نامیم.

و فاصلهٔ نقطه از خط:

مثال: دایرهٔ $x^2+y^2-2x-3=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مرکز $(1,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و شعاع $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد؛ فاصلهٔ مرکز از خط $x+y-3=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2<2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، پس خط دایره را قطع می‌کند.

اگر خطی وتری از دایره ببُرد، رابطهٔ طلایی‌اش قضیهٔ فیثاغورس است: نصف وتر $=\sqrt{r^2-d^2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، که در آن $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فاصلهٔ مرکز از خط است.

اوضاع نسبی دو دایره

با دو دایرهٔ $C(O,r)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $C'(O',r')$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که $r>r'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و فاصلهٔ مراکز $d=OO'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

مثال: دایره‌ای به مرکز $(-3,-4)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $r=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و دایره‌ای به مرکز $(2,-3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $r'=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: فاصلهٔ مراکز $\sqrt{26}\approx5.1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و چون $4<5.1<6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، دو دایره متقاطع‌اند.

دو دایرهٔ هم‌مرکز را هم از روی معادلهٔ گسترده می‌شناسید: ضریب‌های $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یکسان‌اند و فقط $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فرق می‌کند.

چند ابزار تکمیلی

مماس در نقطهٔ روی دایره: برای $x^2+y^2=r^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و نقطهٔ $M(x_0,y_0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی آن:

و برای دایرهٔ کلی: $(x_0-h)(x-h)+(y_0-k)(y-k)=r^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. منطقش ساده است: مماس بر شعاعِ همان نقطه عمود است، پس شیب مماس وارونِ قرینهٔ شیب شعاع می‌شود.

توان نقطه نسبت به دایره: برای $P(a,b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x^2+y^2+cx+dy+e=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، مقدار $a^2+b^2+ca+db+e$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را توان $P$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌نامند: مثبت یعنی بیرون، منفی یعنی داخل، صفر یعنی روی دایره.

وتر مشترک دو دایرهٔ متقاطع: کافی است دو معادله را از هم کم کنید؛ حاصل، معادلهٔ خطِ وتر مشترک است.

نکتهٔ سریع: اگر دو سر یک قطر داده شده باشد، مرکز نقطهٔ وسط آن دو و شعاع نصف فاصله‌شان است.

جمع‌بندی فرمول‌های کلیدی