Q: پارهخطی به طول $6$ را حول پارهخطی عمود بر آن که از یکی از دو سرِ آن میگذرد دوران میدهیم. حاصل دوران چیست؟

دیسک به شعاع $6$ — پارهخط بر محور عمود است و یک سرش روی محور قرار دارد. با دوران، سرِ روی محور ثابت میماند و هر نقطهٔ دیگرِ پارهخط دایرهای به شعاعِ فاصلهاش از محور میزند؛ چون این فاصلهها همهٔ مقادیرِ $[0,6]$ را میپیمایند، جاروبشده یک **ناحیهٔ دایرهایِ پُر (دیسک)** به شعاعِ $6$ است. **وارسیِ مستقل:** محور را محورِ $y$ و پارهخط را $\{(t,0)\mid 0\le t\le6\}$ بگیر. دورانِ این مجموعه حولِ محورِ $y$ برابر است با $\{(x,z,0)\mid x^2+z^2\le36\}$ — یعنی یک صفحهٔ تخت (ضخامتِ صفر) به شعاعِ $6$، که همان دیسک است. **ردِ گزینههای دیگر:** «کره به شعاع $6$» جسمِ سهبعدی است و از دورانِ یک نیمصفحهٔ دایرهای میآید نه یک پارهخط. «دایره به شعاع $3$» هم شعاعش نصفِ طولِ واقعی است و هم فقط یک منحنیِ توخالی است. «مخروط به شعاع $6$ و ارتفاع $6$» وقتی حاصل میشود که پارهخط با محور زاویهای غیرِ $90^\circ$ بسازد؛ در اینجا پارهخط دقیقاً بر محور عمود است، پس هیچ ارتفاعی ساخته نمیشود. تلهٔ تستی: «دیسک» ناحیهٔ پُرِ دایره است و «دایره» فقط محیطِ آن؛ چون هر نقطهٔ پارهخط (نه فقط سرِ آزادش) میچرخد، نتیجه پُر است نه توخالی.

Q: نیمدایرهای به شعاع $5$ حول شعاعی که بر قطر عمود است دوران میکند. حجم جسم حاصل چیست؟

$\frac{250\pi}{3}$ — نیمصفحهٔ دایرهای را چنین بگذار: $\{(x,y)\mid x^2+y^2\le25,\ y\ge0\}$؛ قطرش روی محورِ $x$ و شعاعِ عمود بر قطر روی محورِ $y$ (از $(0,0)$ تا $(0,5)$) است. با دوران حولِ همین شعاع (محورِ $y$)، در هر ارتفاعِ $y\in[0,5]$ بازهٔ افقیِ ناحیه $[-\sqrt{25-y^2},\,\sqrt{25-y^2}]$ است، پس مقطعِ دورانی دایرهای به شعاعِ $\sqrt{25-y^2}$ میشود. مجموعهٔ این مقطعها دقیقاً **نیمکرهٔ بالاییِ** شعاعِ $5$ است، نه کرهٔ کامل: $V=\frac23\pi R^3=\frac23\pi(125)=\frac{250\pi}{3}$ **وارسیِ مستقل (انتگرالِ مقطعها):** $V=\int_0^5\pi(25-y^2)\,dy=\pi\left[25y-\frac{y^3}{3}\right]_0^5=\pi\left(125-\frac{125}{3}\right)=\frac{250\pi}{3}$ ✓ **ردِ گزینههای دیگر:** $\frac{500\pi}{3}$ حجمِ کرهٔ کاملِ شعاعِ $5$ است و فقط از دورانِ نیمدایره حولِ **خودِ قطر** بهدست میآید، نه حولِ شعاعِ عمود بر آن. $\frac{125\pi}{3}$ یکچهارمِ حجمِ کره است و با هیچ جسمِ حاصل از این دوران متناظر نیست. $\frac{200\pi}{3}$ از هیچ ترکیبِ درستی از $\frac{2}{3}\pi R^3$ با $R=5$ درنمیآید. پس پاسخِ درست «$\frac{250\pi}{3}$» است. تلهٔ تستی: محورِ دوران را با دقت ببین — دوران حولِ **قطر** کرهٔ کامل میدهد، اما دوران حولِ **شعاعِ عمود بر قطر** (که خودش محورِ تقارنِ نیمصفحه است) دو نیمهٔ ناحیه را روی هم میاندازد و فقط نیمکره میسازد.

Q: اگر مثلث قائمالزاویهای حول وتر خود دوران کند، کدام توصیف درستتر است؟

دو مخروط که در یک دایرهی مشترک به هم میرسند — مثلثِ قائمالزاویه حولِ وترش، دو مخروطِ همشعاع میسازد که در یک قاعدهٔ دایرهایِ مشترک (محلِ پایِ ارتفاعِ وارد بر وتر) به هم میرسند: «دو مخروط که در یک دایرهی مشترک به هم میرسند». تلهٔ تستی: این را با دورانِ حولِ یکی از اضلاعِ قائمه (که فقط یک مخروطِ ساده میسازد) اشتباه نگیر.

Q: ذوزنقهٔ قائمالزاویهای حول ضلع قائم خود دوران میکند. جسم حاصل در حالت معمول چیست؟

ناقص مخروط — دورانِ ذوزنقهٔ قائمالزاویه حولِ ضلعِ قائم (که همان ارتفاعِ آن است)، جسمی با دو شعاعِ متفاوت (برابرِ دو قاعدهٔ ذوزنقه) میسازد که دقیقاً تعریفِ «ناقص مخروط» است. تلهٔ تستی: این ساختار فقط وقتی ناقصِمخروطِ سادهٔ دورادور میدهد که محورِ دوران، ضلعِ قائم (نه یکی از قاعدهها) باشد.

Q: در بیضیای با $e=\frac45$ و $b=3$، مقدار $a$ کدام است؟

$5$ — از $e=\frac45$ و $b=3$: چون $b^2=a^2(1-e^2)$، داریم $a^2=\frac{b^2}{1-e^2}=\frac{9}{1-16/25}=\frac{9}{9/25}=25\Rightarrow a=$ «$5$». تلهٔ تستی: وقتی $b$ (نه $2b$) و $e$ داده شدهاند، باید از رابطهٔ $a^2=\frac{b^2}{1-e^2}$ استفاده کرد، نه مستقیماً $a=\frac{b}{e}$ نوشت (که فرمولِ اشتباهی رایج است).

Q: دایرههای $x^2+y^2-2x+4y=0$ و $x^2+y^2+2x-4y=0$ چه وضعی دارند؟

مماس بیرونی — مرکز و شعاعِ هر دایره: $(1,-2)$، $r_1=\sqrt5$ و $(-1,2)$، $r_2=\sqrt5$. فاصلهٔ مراکز $d=\sqrt{(1+1)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5=r_1+r_2$، پس دو دایره «مماس بیرونی»اند. تلهٔ تستی: وقتی هر دو دایره از فرمِ گستردهٔ $x^2+y^2+\dots$ داده شده باشند، اول باید با تکمیلِ مربع مرکز و شعاعِ هرکدام را استخراج کنی، سپس مقایسه را انجام دهی.

Q: برای دایرهی $x^2+y^2-4x-4y+7=0$ و خط $6x+4y=0$، وضعیت خط و دایره چیست؟

بدون اشتراک — با تکمیلِ مربع: $(x-2)^2+(y-2)^2=4+4-7=1$، مرکز $(2,2)$، $r=1$. فاصله تا خطِ $6x+4y=0$ (یا $3x+2y=0$): $d=\frac{|6+4|}{\sqrt{13}}=\frac{10}{\sqrt{13}}\approx2.77>1$، پس «بدون اشتراک». تلهٔ تستی: سادهکردنِ ضرایبِ خط ($6x+4y=0\to3x+2y=0$) پیش از محاسبهٔ فاصله، اعداد را کوچکتر و محاسبه را سادهتر میکند.

Q: مربعی به ضلع $3$ در فاصلهی $2$ از محوری موازی یکی از اضلاعش قرار دارد و حول آن محور دوران میکند. حجم جسم حاصل چیست؟

$63\pi$ — مربعِ $3\times3$ در فاصلهٔ $2$ از محور، با دوران، استوانهٔ توخالی میسازد با $R=2+3=5$ و $r=2$ و ارتفاعِ $3$: $V=\pi(R^2-r^2)h=\pi(25-4)(3)=$ «$63\pi$». تلهٔ تستی: ارتفاعِ این استوانهٔ توخالی برابرِ خودِ ضلعِ مربع ($3$) است، نه فاصلهٔ آن از محور ($2$)؛ این دو کمیت نقشِ متفاوتی دارند.

Question 1

پاره‌خطی به طول $6$ را حول پاره‌خطی عمود بر آن که از یکی از دو سرِ آن می‌گذرد دوران می‌دهیم. حاصل دوران چیست؟

Accepted Answer

دیسک به شعاع $6$ — پاره‌خط بر محور عمود است و یک سرش روی محور قرار دارد. با دوران، سرِ روی محور ثابت می‌ماند و هر نقطهٔ دیگرِ پاره‌خط دایره‌ای به شعاعِ فاصله‌اش از محور می‌زند؛ چون این فاصله‌ها همهٔ مقادیرِ $[0,6]$ را می‌پیمایند، جاروب‌شده یک **ناحیهٔ دایره‌ایِ پُر (دیسک)** به شعاعِ $6$ است.

**وارسیِ مستقل:** محور را محورِ $y$ و پاره‌خط را $\{(t,0)\mid 0\le t\le6\}$ بگیر. دورانِ این مجموعه حولِ محورِ $y$ برابر است با $\{(x,z,0)\mid x^2+z^2\le36\}$ — یعنی یک صفحهٔ تخت (ضخامتِ صفر) به شعاعِ $6$، که همان دیسک است.

**ردِ گزینه‌های دیگر:** «کره به شعاع $6$» جسمِ سه‌بعدی است و از دورانِ یک نیم‌صفحهٔ دایره‌ای می‌آید نه یک پاره‌خط. «دایره به شعاع $3$» هم شعاعش نصفِ طولِ واقعی است و هم فقط یک منحنیِ توخالی است. «مخروط به شعاع $6$ و ارتفاع $6$» وقتی حاصل می‌شود که پاره‌خط با محور زاویه‌ای غیرِ $90^\circ$ بسازد؛ در این‌جا پاره‌خط دقیقاً بر محور عمود است، پس هیچ ارتفاعی ساخته نمی‌شود.

تلهٔ تستی: «دیسک» ناحیهٔ پُرِ دایره است و «دایره» فقط محیطِ آن؛ چون هر نقطهٔ پاره‌خط (نه فقط سرِ آزادش) می‌چرخد، نتیجه پُر است نه توخالی.

Question 2

نیم‌دایره‌ای به شعاع $5$ حول شعاعی که بر قطر عمود است دوران می‌کند. حجم جسم حاصل چیست؟

Accepted Answer

$\frac{250\pi}{3}$ — نیم‌صفحهٔ دایره‌ای را چنین بگذار: $\{(x,y)\mid x^2+y^2\le25,\ y\ge0\}$؛ قطرش روی محورِ $x$ و شعاعِ عمود بر قطر روی محورِ $y$ (از $(0,0)$ تا $(0,5)$) است. با دوران حولِ همین شعاع (محورِ $y$)، در هر ارتفاعِ $y\in[0,5]$ بازهٔ افقیِ ناحیه $[-\sqrt{25-y^2},\,\sqrt{25-y^2}]$ است، پس مقطعِ دورانی دایره‌ای به شعاعِ $\sqrt{25-y^2}$ می‌شود. مجموعهٔ این مقطع‌ها دقیقاً **نیم‌کرهٔ بالاییِ** شعاعِ $5$ است، نه کرهٔ کامل:

$V=\frac23\pi R^3=\frac23\pi(125)=\frac{250\pi}{3}$

**وارسیِ مستقل (انتگرالِ مقطع‌ها):** $V=\int_0^5\pi(25-y^2)\,dy=\pi\left[25y-\frac{y^3}{3}\right]_0^5=\pi\left(125-\frac{125}{3}\right)=\frac{250\pi}{3}$ ✓

**ردِ گزینه‌های دیگر:** $\frac{500\pi}{3}$ حجمِ کرهٔ کاملِ شعاعِ $5$ است و فقط از دورانِ نیم‌دایره حولِ **خودِ قطر** به‌دست می‌آید، نه حولِ شعاعِ عمود بر آن. $\frac{125\pi}{3}$ یک‌چهارمِ حجمِ کره است و با هیچ جسمِ حاصل از این دوران متناظر نیست. $\frac{200\pi}{3}$ از هیچ ترکیبِ درستی از $\frac{2}{3}\pi R^3$ با $R=5$ درنمی‌آید.

پس پاسخِ درست «$\frac{250\pi}{3}$» است.

تلهٔ تستی: محورِ دوران را با دقت ببین — دوران حولِ **قطر** کرهٔ کامل می‌دهد، اما دوران حولِ **شعاعِ عمود بر قطر** (که خودش محورِ تقارنِ نیم‌صفحه است) دو نیمهٔ ناحیه را روی هم می‌اندازد و فقط نیم‌کره می‌سازد.

Question 3

اگر مثلث قائم‌الزاویه‌ای حول وتر خود دوران کند، کدام توصیف درست‌تر است؟

Accepted Answer

دو مخروط که در یک دایره‌ی مشترک به هم می‌رسند — مثلثِ قائم‌الزاویه حولِ وترش، دو مخروطِ هم‌شعاع می‌سازد که در یک قاعدهٔ دایره‌ایِ مشترک (محلِ پایِ ارتفاعِ وارد بر وتر) به هم می‌رسند: «دو مخروط که در یک دایره‌ی مشترک به هم می‌رسند». تلهٔ تستی: این را با دورانِ حولِ یکی از اضلاعِ قائمه (که فقط یک مخروطِ ساده می‌سازد) اشتباه نگیر.

Question 4

ذوزنقهٔ قائم‌الزاویه‌ای حول ضلع قائم خود دوران می‌کند. جسم حاصل در حالت معمول چیست؟

Accepted Answer

ناقص مخروط — دورانِ ذوزنقهٔ قائم‌الزاویه حولِ ضلعِ قائم (که همان ارتفاعِ آن است)، جسمی با دو شعاعِ متفاوت (برابرِ دو قاعدهٔ ذوزنقه) می‌سازد که دقیقاً تعریفِ «ناقص مخروط» است. تلهٔ تستی: این ساختار فقط وقتی ناقصِ‌مخروطِ سادهٔ دورادور می‌دهد که محورِ دوران، ضلعِ قائم (نه یکی از قاعده‌ها) باشد.

Question 5

در بیضی‌ای با $e=\frac45$ و $b=3$، مقدار $a$ کدام است؟

Accepted Answer

$5$ — از $e=\frac45$ و $b=3$: چون $b^2=a^2(1-e^2)$، داریم $a^2=\frac{b^2}{1-e^2}=\frac{9}{1-16/25}=\frac{9}{9/25}=25\Rightarrow a=$ «$5$». تلهٔ تستی: وقتی $b$ (نه $2b$) و $e$ داده شده‌اند، باید از رابطهٔ $a^2=\frac{b^2}{1-e^2}$ استفاده کرد، نه مستقیماً $a=\frac{b}{e}$ نوشت (که فرمولِ اشتباهی رایج است).

Question 6

برای دایره‌ی $x^2+y^2-2x-3=0$ و خط $x+y=3$، وضعیت نسبی خط و دایره چیست؟

Accepted Answer

قاطع — مرکز و شعاعِ دایره: $(1,0)$ و $r=2$ (از $x^2+y^2-2x-3=0\Rightarrow(x-1)^2+y^2=4$). فاصلهٔ مرکز از خطِ $x+y-3=0$: $d=\frac{|1+0-3|}{\sqrt2}=\sqrt2\approx1.41<2=r$. چون $d<r$، خط دایره را در دو نقطه قطع می‌کند، یعنی «قاطع» است. تلهٔ تستی: پیش از مقایسه با شعاع، خطِ داده‌شده را حتماً به فرمِ $ax+by+c=0$ ببر تا فرمولِ فاصلهٔ نقطه از خط درست اعمال شود.

Question 7

دایره‌های $x^2+y^2-2x+4y=0$ و $x^2+y^2+2x-4y=0$ چه وضعی دارند؟

Accepted Answer

مماس بیرونی — مرکز و شعاعِ هر دایره: $(1,-2)$، $r_1=\sqrt5$ و $(-1,2)$، $r_2=\sqrt5$. فاصلهٔ مراکز $d=\sqrt{(1+1)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5=r_1+r_2$، پس دو دایره «مماس بیرونی»اند. تلهٔ تستی: وقتی هر دو دایره از فرمِ گستردهٔ $x^2+y^2+\dots$ داده شده باشند، اول باید با تکمیلِ مربع مرکز و شعاعِ هرکدام را استخراج کنی، سپس مقایسه را انجام دهی.

Question 8

برای دایره‌ی $x^2+y^2-4x-4y+7=0$ و خط $6x+4y=0$، وضعیت خط و دایره چیست؟

Accepted Answer

بدون اشتراک — با تکمیلِ مربع: $(x-2)^2+(y-2)^2=4+4-7=1$، مرکز $(2,2)$، $r=1$. فاصله تا خطِ $6x+4y=0$ (یا $3x+2y=0$): $d=\frac{|6+4|}{\sqrt{13}}=\frac{10}{\sqrt{13}}\approx2.77>1$، پس «بدون اشتراک». تلهٔ تستی: ساده‌کردنِ ضرایبِ خط ($6x+4y=0	o3x+2y=0$) پیش از محاسبهٔ فاصله، اعداد را کوچک‌تر و محاسبه را ساده‌تر می‌کند.

Question 9

دو دایره‌ی $x^2+y^2+6x+8y=0$ و $x^2+y^2-4x+6y+12=0$ چه وضعی دارند؟

Accepted Answer

متقاطع — مرکز و شعاعِ هر دایره: $(-3,-4)$، $r_1=5$ و $(2,-3)$، $r_2=1$. $d=\sqrt{(-3-2)^2+(-4+3)^2}=\sqrt{26}\approx5.1$. چون $|r_1-r_2|=4<5.1<6=r_1+r_2$، دو دایره «متقاطع»اند. تلهٔ تستی: قبل از مقایسه، حتماً $r_1$ و $r_2$ را با تکمیلِ مربع (نه با حدس از رویِ ضرایب) به‌دست بیاور.

Question 10

مربعی به ضلع $3$ در فاصله‌ی $2$ از محوری موازی یکی از اضلاعش قرار دارد و حول آن محور دوران می‌کند. حجم جسم حاصل چیست؟

Accepted Answer

$63\pi$ — مربعِ $3\times3$ در فاصلهٔ $2$ از محور، با دوران، استوانهٔ توخالی می‌سازد با $R=2+3=5$ و $r=2$ و ارتفاعِ $3$: $V=\pi(R^2-r^2)h=\pi(25-4)(3)=$ «$63\pi$». تلهٔ تستی: ارتفاعِ این استوانهٔ توخالی برابرِ خودِ ضلعِ مربع ($3$) است، نه فاصلهٔ آن از محور ($2$)؛ این دو کمیت نقشِ متفاوتی دارند.

اصطلاح	تعریف	نماد
کانون	دو نقطهٔ ثابت	$F$ ، $F'$
قطر بزرگ	از کانون‌ها می‌گذرد	$2a$
قطر کوچک	عمود بر قطر بزرگ از مرکز	$2b$
فاصلهٔ کانونی	$FF'$	$2c$
خروج از مرکز	$e=c/a$	$e\in(0,1)$

کمیت	فرمول
رابطهٔ بیضی	$a^2=b^2+c^2$ ، $e=c/a\in(0,1)$ ، $MF+MF'=2a$
معادلهٔ استاندارد دایره	$(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2$
معادلهٔ گستردهٔ دایره	$x^2+y^2+ax+by+c=0$
فاصلهٔ نقطه از خط	$\dfrac{
مماس در $(x_0,y_0)$ بر $x^2+y^2=r^2$	$x_0x+y_0y=r^2$
شرط مماس بیرونی/درونی	$d=r+r'$ / $d=

هندسه (فصل 6 ریاضی 3) (علوم تجربی)

خلاصه‌ی درسنامه

هندسه — خلاصهٔ فصل ۶

تفکر تجسمی

دوران حول محور

برش اجسام هندسی

بیضی (Ellipse)

درس دوم: دایره

معادلهٔ استاندارد و وضعیت نقطه

معادلهٔ گسترده

اوضاع نسبی خط و دایره

اوضاع نسبی دو دایره

مطالب تکمیلی (فراتر از کتاب)

جمع‌بندی فرمول‌های کلیدی

نمونه تست

مباحث مرتبط

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

شکل اولیه	محور دوران	جسم حاصل
مستطیل	طول یا عرض	استوانه
پاره‌خط	پاره‌خط عمود بر آن	دیسک
مثلث قائم‌الزاویه	یکی از اضلاع قائمه	مخروط
دایره	قطر	کره
نیم‌دایره	شعاع عمود بر قطر	کره
ذوزنقه	یکی از اضلاع موازی	ناقص مخروط
لوزی	قطر بزرگ	دو مخروط چسبیده