احتمال شرطی و قضیهٔ بیز — خلاصهٔ فصل ۷
پدیدهٔ تصادفی، فضای نمونه و پیشامد
پدیدهٔ تصادفی پدیده‌ای است که نتیجه‌اش را پیش از انجام نمی‌توان با قطعیت پیش‌بینی کرد، مثل پرتاب سکه یا انداختن تاس. مجموعهٔ تمام نتایج ممکن، فضای نمونه است و با ادامهٔ فرمول را افقی ببین نشانش می‌دهیم: برای یک تاس ادامهٔ فرمول را افقی ببین و برای دو تاس ۳۶ زوج مرتب.
هر زیرمجموعه از ادامهٔ فرمول را افقی ببین یک پیشامد است: پیشامد ساده یک عضو دارد و پیشامد مرکب بیش از یکی. ادامهٔ فرمول را افقی ببین خودش پیشامد مطمئن است (احتمال ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و ادامهٔ فرمول را افقی ببین پیشامد محال (احتمال ادامهٔ فرمول را افقی ببین). روی فضای نمونهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عضوی، ادامهٔ فرمول را افقی ببین پیشامد می‌توان ساخت.
اعمال روی پیشامدها
اجتماع ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی «حداقل یکی»، اشتراک ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی «هر دو» و متمم ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی «ادامهٔ فرمول را افقی ببین رخ ندهد».
ادامهٔ فرمول را افقی ببینادامهٔ فرمول را افقی ببینقوانین دمورگان: ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
در فضای یکنواخت (همهٔ نتایج هم‌احتمال) ادامهٔ فرمول را افقی ببین، یعنی تعداد حالت‌های مطلوب بر تعداد کل حالت‌ها.
احتمال شرطی و قانون ضرب
«احتمال ادامهٔ فرمول را افقی ببین به شرط ادامهٔ فرمول را افقی ببین» یعنی احتمال ادامهٔ فرمول را افقی ببین با فرضِ اینکه ادامهٔ فرمول را افقی ببین رخ داده است:
ادامهٔ فرمول را افقی ببیننکتهٔ کلیدی: شرط، فضای نمونه را کوچک می‌کند؛ بعد از دانستنِ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دیگر ادامهٔ فرمول را افقی ببین میدانِ ما نیست، بلکه خودِ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.
قانون ضرب: ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و برای سه پیشامد ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
با جای‌گذاری یا بدون جای‌گذاری
مهم‌ترین جایی که قانون ضرب به کار می‌آید، انتخاب‌های پشت‌سرهم است:
| حالت | بعد از انتخاب اول | مستقل؟ |
|---|---|---|
| با جای‌گذاری | عنصر برمی‌گردد؛ شرایط دست‌نخورده | بله: ادامهٔ فرمول را افقی ببین |
| بدون جای‌گذاری | عنصر کنار می‌رود؛ تعداد و ترکیب عوض می‌شود | خیر: ادامهٔ فرمول را افقی ببین |
عبارت‌های «بدون برگرداندن» و «یکی‌یکی بیرون می‌آوریم» علامتِ قطعیِ ضربِ شرطی‌اند. مثال: کیسه‌ای با ۵ مهرهٔ آبی و ۳ زرد؛ احتمالِ آبی‌بودنِ دو مهرهٔ متوالی بدون جای‌گذاری ادامهٔ فرمول را افقی ببین است (صورت و مخرجِ کسرِ دوم هر دو کم شده‌اند)، ولی با جای‌گذاری ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
استقلال در برابر ناسازگاری
ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ادامهٔ فرمول را افقی ببین مستقل‌اند اگر ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ معادلاً ادامهٔ فرمول را افقی ببین، یعنی وقوع یکی هیچ خبری دربارهٔ دیگری به ما نمی‌دهد. برای استقلالِ کاملِ سه پیشامد، علاوه بر سه شرطِ دوبه‌دو، شرط ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم لازم است؛ سه شرطِ اول به‌تنهایی کافی نیست.
ناسازگار (ادامهٔ فرمول را افقی ببین) یعنی هم‌زمانی ناممکن است؛ مستقل یعنی هم‌زمانی ممکن ولی بی‌اثر. دو پیشامد با احتمال مثبت هرگز هم‌زمان ناسازگار و مستقل نیستند، چون ناسازگاری ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌دهد ولی ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.
افراز و قانون احتمال کل
ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی ادامهٔ فرمول را افقی ببین افراز می‌سازند اگر اجتماعشان ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، دوبه‌دو ناسازگار باشند و هیچ‌کدام تهی نباشند. آن‌گاه برای هر پیشامد ادامهٔ فرمول را افقی ببین:
ادامهٔ فرمول را افقی ببینیعنی ادامهٔ فرمول را افقی ببین میانگینِ وزن‌دارِ احتمال ادامهٔ فرمول را افقی ببین در سناریوهاست؛ وزن‌ها احتمالِ خودِ سناریوها. ساده‌ترین حالت، افرازِ دوتاییِ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ادامهٔ فرمول را افقی ببین است که در بیشتر مسائل کافی است. مسیر حل: سناریوها را بشناس، احتمال هرکدام و احتمالِ شرطیِ درونشان را بنویس و شاخه‌های مطلوب را جمع بزن.
قضیهٔ بیز (فراتر از کتاب)
احتمال کل می‌پرسد «اگر سناریو معلوم باشد، نتیجه چقدر محتمل است؟»؛ بیز برعکس می‌پرسد «نتیجه رخ داده، کدام سناریو مسبب بوده؟»:
ادامهٔ فرمول را افقی ببینصورتِ کسر احتمالِ مسیرِ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و مخرج همان احتمالِ کلِ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
مثال آزمایش تشخیصی: ادامهٔ فرمول را افقی ببین جمعیت بیمارند، آزمایش در بیماران ادامهٔ فرمول را افقی ببین مثبت و در سالم‌ها ادامهٔ فرمول را افقی ببین مثبتِ کاذب می‌دهد:
ادامهٔ فرمول را افقی ببینیعنی با آزمایشِ مثبت هم احتمالِ بیماری تنها حدود ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ علتش کم‌بودنِ شیوع در جمعیت است.
اشتباهات رایج: یکی‌گرفتنِ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ مستقل پنداشتنِ پیشامدهای ناسازگار؛ و به‌کاربردنِ قانون احتمال کل بدون بررسیِ افراز بودنِ سناریوها.