احتمال (فصل 7 ریاضی 3) (علوم تجربی)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

بر اساس قضیه بیز، ما $P(D|+)$ را می‌خواهیم. اطلاعات مسئله: $P(D)=0.04$، $P(D')=0.96$. همچنین $P(+|D)=0.90$ و $P(+|D')=0.05$ (مثبت کاذب). طبق فرمول بیز: $P(D|+) = \frac{P(D)P(+|D)}{P(D)P(+|D) + P(D')P(+|D')} = \frac{0.04 \times 0.90}{(0.04 \times 0.90) + (0.96 \times 0.05)} = \frac{0.036}{0.036 + 0.048} = \frac{0.036}{0.084} = \frac{36}{84} \approx 0.428$ که به $0.43$ نزدیک است. سایر گزینه‌ها با خطای محاسبه مخرج به دست می‌آیند. تلهٔ تستی: چون شیوعِ بیماری یا رویدادِ موردبررسی در جامعه کم است، تعدادِ مثبت‌های کاذب (از میانِ جمعیتِ بزرگِ سالم) در مقایسه با مثبت‌هایِ واقعی می‌تواند چشمگیر باشد؛ همین باعث می‌شود احتمالِ پسین («$0.43$») با حساسیتِ ظاهریِ آزمایش فاصلهٔ زیادی داشته باشد. فراموش‌کردنِ نقشِ شیوعِ پایین در مخرجِ فرمولِ بیز، خطایِ اصلیِ این‌گونه سؤالات است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

ابتدا احتمالِ سالم‌بودنِ کل (متممِ معیوب‌بودن) را با قانونِ احتمالِ کل می‌یابیم. احتمالِ سالم‌بودن در هر کارخانه: $P(H|F_1)=0.96$، $P(H|F_2)=0.98$، $P(H|F_3)=0.95$. $P(H) = (0.25 \times 0.96) + (0.35 \times 0.98) + (0.40 \times 0.95) = 0.24 + 0.343 + 0.38 = 0.963$. حالا با استفاده از قضیهٔ بیز: $P(F_2|H) = \dfrac{0.35\times0.98}{0.963}=\dfrac{0.343}{0.963} \approx 0.356$ که به $0.36$ گرد می‌شود. گزینهٔ «$0.24$» همان سهمِ اولیهٔ (بدونِ‌شرطِ) کارخانهٔ $F_2$ در کلِ تولید است. گزینهٔ «$0.30$» و «$0.45$» از خطایِ محاسباتی در مخرجِ کسر (یعنی $P(H)$) به دست می‌آیند. تلهٔ تستی: چون سؤال دربارهٔ قطعه‌ای است که *معیوب نیست* (نه معیوب است)، باید در فرمولِ بیز از نرخِ سلامت هر کارخانه ($1$ منهایِ نرخِ معیوبی) استفاده کرد، نه از خودِ نرخِ معیوبیِ داده‌شده در صورتِ سؤال؛ فراموش‌کردنِ این تبدیل به متمم و استفادهٔ مستقیم از نرخ‌هایِ معیوبی ($4\%,2\%,5\%$) خطایِ اصلیِ این تله است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

احتمالِ انتخابِ هر ظرف برابر $P(V_1)=P(V_2)=\dfrac12$ است. احتمالِ خروجِ دو مهرهٔ سفید از ظرفِ اول (۳ سفید، ۲ سیاه): $P(WW\mid V_1)=\dfrac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}}=\dfrac{3}{10}$. احتمالِ خروجِ دو مهرهٔ سفید از ظرفِ دوم (۴ سفید، ۴ سیاه): $P(WW\mid V_2)=\dfrac{\binom{4}{2}}{\binom{8}{2}}=\dfrac{6}{28}=\dfrac{3}{14}$. طبقِ قانونِ احتمالِ کل: $P(WW)=\dfrac12\times\dfrac{3}{10}+\dfrac12\times\dfrac{3}{14}=\dfrac{3}{20}+\dfrac{3}{28}=\dfrac{21}{140}+\dfrac{15}{140}=\dfrac{36}{140}=\dfrac{9}{35}$. طبقِ قضیهٔ بیز: $P(V_1\mid WW)=\dfrac{3/20}{9/35}=\dfrac{21/140}{36/140}=\dfrac{21}{36}=\dfrac{7}{12}$. گزینهٔ «$\dfrac{5}{12}$» متممِ همین احتمال است (سهمِ ظرفِ دوم در میانِ حالت‌هایِ دو-سفید). گزینهٔ «$\dfrac{3}{10}$» همان $P(WW\mid V_1)$ است، نه پاسخِ نهایی. گزینهٔ «$\dfrac{3}{14}$» همان $P(WW\mid V_2)$ است. تلهٔ تستی: چون ظرفِ اول (۵ مهره) کوچک‌تر از ظرفِ دوم (۸ مهره) است، شانسِ کشیدنِ دو مهرهٔ سفید از آن (۳ از ۵) نسبت به ظرفِ دوم (۴ از ۸) بیشتر است؛ همین باعث می‌شود پس از مشاهدهٔ «هر دو سفید»، سهمِ ظرفِ اول در پسین (۷/۱۲) از سهمِ برابرِ اولیه‌اش (۱/۲) هم بیشتر شود. فراموش‌کردنِ اعمالِ وزنِ صحیحِ $P(WW\mid V_i)$ برایِ هر ظرف و اکتفا به نسبتِ اولیهٔ ۵۰-۵۰، خطایِ اصلیِ این تله است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

فرض کنیم $A_1$ انتخاب سکه دو‌رو و $A_2$ انتخاب سکه سالم باشد. $P(A_1)=1/3$ و $P(A_2)=2/3$. پیشامد $B$: آمدن ۳ شیر متوالی. $P(B|A_1) = 1^3 = 1$. $P(B|A_2) = (1/2)^3 = 1/8$. احتمال کل آمدن ۳ شیر: $P(B) = (1/3 \times 1) + (2/3 \times 1/8) = 1/3 + 2/24 = 8/24 + 2/24 = 10/24 = 5/12$. احتمال اینکه سکه دو‌رو باشد (قضیه بیز): $P(A_1|B) = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} = \frac{1/3}{5/12} = \frac{4/12}{5/12} = 4/5 = 0.8$. «$0.80$» صحیح است. تلهٔ تستی: چون سکهٔ دورو با احتمالِ ۱ (نه ۱/۲) شیر می‌آورد، سهمِ آن در میانِ نتیجه‌هایِ «شیر» به‌طورِ نامتناسبی بزرگ‌تر از سهمِ اولیه‌اش در کلِ کیسه می‌شود؛ فراموش‌کردنِ این تفاوتِ نرخِ شرطی و اکتفا به نسبتِ اولیهٔ سکه‌ها، خطایِ اصلیِ راهی است که به پاسخِ «$0.80$» نمی‌رسد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

احتمال رخ دادن حداقل یکی از پیشامدها برابر است با متمم رخ ندادن هیچ‌کدام: $P(A \cup B \cup C) = 1 - P(A' \cap B' \cap C')$. چون پیشامدها کاملاً مستقل‌اند، متمم‌های آنها نیز مستقل‌اند. پس $P(A') = 1-p$. بنابراین $1 - (1-p)^3 = 19/27 \Rightarrow (1-p)^3 = 8/27$. با گرفتن ریشه سوم: $1-p = 2/3 \Rightarrow p = 1/3$. بقیه گزینه‌ها نتایج اشتباه در حل معادله درجه ۳ یا ریشه‌گیری نادرست هستند. تلهٔ تستی: در مسائلِ جبریِ احتمال (حل‌کردن برایِ یک مجهول از رویِ چند رابطهٔ داده‌شده)، باید دقت کرد کدام فرمول (قانونِ اجتماع، ضرب، یا احتمالِ شرطی) با داده‌هایِ سؤال تطبیق دارد؛ استفاده از فرمولِ نادرست، مستقیماً از پاسخِ «$1/3$» دور می‌اندازد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

احتمالات انتقال از $A$: دو سفید $P(W_2)=\frac{\binom{4}{2}}{\binom{7}{2}}=\frac{6}{21}$، یک سفید و یک سیاه $P(WB)=\frac{4 \times 3}{21}=\frac{12}{21}$، دو سیاه $P(B_2)=\frac{\binom{3}{2}}{21}=\frac{3}{21}$. احتمال سفید بودن مهره نهایی به شرط هر حالت (در ظرف $B$ حالا ۹ مهره داریم): $P(W|W_2)=\frac{4}{9}$، $P(W|WB)=\frac{3}{9}$، $P(W|B_2)=\frac{2}{9}$. احتمال کل سفید بودن: $P(W) = (\frac{6}{21} \times \frac{4}{9}) + (\frac{12}{21} \times \frac{3}{9}) + (\frac{3}{21} \times \frac{2}{9}) = \frac{24+36+6}{189} = \frac{66}{189} = \frac{22}{63}$. طبق قضیه بیز: $P(W_2|W) = \frac{24/189}{66/189} = \frac{24}{66} = \frac{4}{11}$. تلهٔ تستی: در نمونه‌گیریِ بدونِ جای‌گذاری یا انتقالِ بین ظرف‌ها، باید بعد از هر مرحله ترکیبِ به‌روزشده را به‌کار برد، نه ترکیبِ اولیه؛ فراموش‌کردنِ همین به‌روزرسانی، شایع‌ترین راه برایِ نرسیدن به پاسخِ درست («$\frac{4}{11}$») است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

فرمول اجتماع سه پیشامد: $P(A \cup B \cup C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C)$. چون $A$ و $C$ ناسازگارند $P(A \cap C)=0$ و نتیجتاً $P(A \cap B \cap C)=0$. چون $A$ و $B$ مستقل‌اند $P(A \cap B)=0.4 \times 0.5=0.2$. جایگذاری مقادیر: $0.4+0.5+0.3-0.2-0-0.1+0 = 1.2 - 0.3 = 0.9$. تلهٔ تستی: پیش از انتخابِ گزینه، باید هر رابطهٔ داده‌شده در صورتِ سؤال را با دقت در فرمولِ مناسب جای‌گذاری کرد؛ ترکیب‌کردنِ رابطه‌ها به روشِ نادرست (مثلاً جمع به‌جایِ ضرب، یا برعکس) رایج‌ترین راهی است که مانعِ رسیدن به پاسخِ «$0.9$» می‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

احتمالِ سالم‌بودنِ قطعات: $0.9$، $0.8$ و $0.75$. چون اتصال سری است، دستگاه فقط وقتی کار می‌کند که هر سه سالم باشند: $P(OK)=0.9\times0.8\times0.75=0.54$، پس $P(\text{خرابی})=1-0.54=0.46$. «دقیقاً یک قطعه خراب» سه زیرحالتِ ناسازگار دارد: فقط $X$ خراب: $0.1\times0.8\times0.75=0.06$؛ فقط $Y$ خراب: $0.9\times0.2\times0.75=0.135$؛ فقط $Z$ خراب: $0.9\times0.8\times0.25=0.18$. جمع: $0.06+0.135+0.18=0.375$. پس $P(\text{دقیقاً یک}\mid\text{خرابی})=\dfrac{0.375}{0.46}=\dfrac{75}{92}\approx0.8152$ که با گردکردن به دو رقمِ اعشار $0.82$ می‌شود. وارسیِ مستقل (شمارشِ متممِ درونِ فضایِ شرطی): در فضایِ «دستگاه خراب» با احتمالِ $0.46$، حالتِ «دقیقاً دو خراب» برابرِ $0.1\times0.2\times0.75+0.1\times0.8\times0.25+0.9\times0.2\times0.25=0.015+0.02+0.045=0.08$ و حالتِ «هر سه خراب» برابرِ $0.1\times0.2\times0.25=0.005$ است. مجموعِ سه دستهٔ خرابی: $0.375+0.08+0.005=0.46$ ✔ برابرِ $P(\text{خرابی})$؛ و $1-\dfrac{0.08+0.005}{0.46}=1-\dfrac{0.085}{0.46}\approx0.8152$ همان پاسخ است. ردِ گزینه‌ها: «$0.75$» فقط احتمالِ سالم‌بودنِ قطعهٔ $Z$ است و ربطی به احتمالِ شرطی ندارد. «$0.64$» از تقسیمِ نادرستِ $0.375$ بر $0.585$ (یعنی فراموش‌کردنِ اینکه مخرج باید $P(\text{خرابیِ دستگاه})$ باشد) می‌آید. «$0.58$» تقریباً $\dfrac{0.375}{0.645}$ است و از جمع‌زدنِ اشتباهِ زیرحالت‌ها در مخرج ناشی می‌شود. تلهٔ تستی: مخرجِ این احتمالِ شرطی $P(\text{خرابیِ دستگاه})=0.46$ است، نه $1$ و نه $P(OK)=0.54$؛ اگر کسی $0.375$ را مستقیم به‌عنوانِ پاسخ بردارد یا بر $0.54$ تقسیم کند، به هیچ‌کدام از گزینه‌ها نمی‌رسد و همین نشانهٔ خطاست.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

می‌دانیم $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. پس $0.88 = P(A) + P(B) - 0.12 \Rightarrow P(A) + P(B) = 1.00$. این مجموع ریشه‌ها (S) است. همچنین $P(A \cap B) = 0.12$ که چون مستقل‌اند برابر $P(A)P(B)$ است. پس حاصل‌ضرب ریشه‌ها (P) برابر $0.12$ است. معادله درجه دوم به فرم $x^2 - Sx + P = 0$ است، یعنی $x^2 - 1x + 0.12 = 0$. تلهٔ تستی: پیش از انتخابِ گزینه، باید هر رابطهٔ داده‌شده در صورتِ سؤال را با دقت در فرمولِ مناسب جای‌گذاری کرد؛ ترکیب‌کردنِ رابطه‌ها به روشِ نادرست (مثلاً جمع به‌جایِ ضرب، یا برعکس) رایج‌ترین راهی است که مانعِ رسیدن به پاسخِ «$x^2 - 1.00x + 0.12 = 0$» می‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

سیستم فقط زمانی از کار می‌افتد که هر دو سرور هم‌زمان خراب باشند: $P(\text{سیستم خراب})=0.2\times0.3=0.06$، پس $P(\text{سیستم کار می‌کند})=1-0.06=0.94$. صورتِ کسر: حالتی که $S_1$ خراب باشد *و* سیستم کار کند؛ این فقط وقتی رخ می‌دهد که $S_2$ سالم باشد: $0.2\times0.7=0.14$. پس $P(S_1\text{ خراب}\mid\text{کار می‌کند})=\dfrac{0.14}{0.94}=\dfrac{14}{94}=\dfrac{7}{47}$. وارسیِ مستقل با شمارشِ چهار حالتِ ممکن: (سالم،سالم)$=0.8\times0.7=0.56$، ($S_1$خراب،$S_2$سالم)$=0.14$، ($S_1$سالم،$S_2$خراب)$=0.8\times0.3=0.24$، (خراب،خراب)$=0.06$. جمعِ چهار حالت $=1$ ✔ و سه حالتِ نخست سیستم را روشن نگه می‌دارند: $0.56+0.14+0.24=0.94$ ✔. سهمِ حالتِ دوم از این $0.94$ همان $\dfrac{0.14}{0.94}=\dfrac{7}{47}$ است. ردِ گزینه‌ها: «$\frac{1}{4}$» تقریباً همان $P(S_1\text{ خراب})=0.2$ بدونِ شرط است و شرطِ «سیستم کار می‌کند» را نادیده می‌گیرد. «$\frac{2}{47}$» از قراردادنِ $P(S_1\text{خراب})\times P(S_2\text{خراب})=0.06$ در صورتِ کسر ($\frac{6}{94}=\frac{3}{47}$) و سپس ساده‌سازیِ اشتباه می‌آید. «$\frac{14}{47}$» یعنی کسی مخرج را $0.47$ گرفته (نصفِ $0.94$) و در واقع دو برابرِ پاسخِ درست است. تلهٔ تستی: صورتِ کسر نباید $P(S_1\text{خراب})\times P(S_2\text{خراب})$ باشد — آن احتمالِ خرابیِ *کلِ* سیستم است، درحالی‌که شرطِ سؤال دقیقاً برعکسِ آن (روشن‌بودنِ سیستم) است.