پرش به محتوای اصلی

عددهای صحیح و گویا — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

عددهای صحیح و گویا (ریاضی تیزهوشان هشتم)

این فصل دو بخش دارد: اول عددهای صحیح را عمیق‌تر مرور می‌کنی (جمع‌های بلند، الگوها، مربع جادویی) و بعد وارد دنیای عددهای گویا یا همان کسرها می‌شوی: ساده‌سازی، جمع‌های تلسکوپی، و مسئله‌های واقعی مالیات و ارث.

یک درس از گفتگوی ابتدای فصل

وقتی دانش‌آموزی مسئله را به شیوهٔ خودش حل می‌کند و راه‌حلش درست است، همان راه برای او بهترین است. اگر غلط باشد، باید با کمک خودش اشتباه را پیدا کند. راه‌حل خودت را بنویس و بعد با راه دیگران مقایسه کن؛ مقایسهٔ راه‌ها درک تو را عمیق‌تر می‌کند.

مرور عددهای صحیح

  • تفریق یعنی جمع با قرینه: a−b=a+(−b)a-b=a+(-b)ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • تقسیم یعنی ضرب در معکوس: a÷b=a×1ba\div b=a\times\frac1bادامهٔ فرمول را افقی ببین برای b≠0b\ne0ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • ترتیب عمل: پرانتز، توان، ضرب و تقسیم از چپ، جمع و تفریق از چپ.

«روش خلیل» همین است: تفریق را به جمع قرینه و تقسیم را به ضرب در معکوس تبدیل کن؛ جلوی اشتباه علامت در جمع‌های بلند را می‌گیرد.

گذاشتن علامت: در 1□2□3□4□51\square2\square3\square4\square5ادامهٔ فرمول را افقی ببین اگر دو جا جمع و دو جا ضرب بگذاریم، همهٔ حالت‌ها را بنویس. نتیجه می‌شود حاصل‌های ۱۵، ۱۹، ۲۵، ۲۷، ۳۰ و ۶۳؛ پس عددی مثل ۲۹ ساخته نمی‌شود.

فرمول‌های جمع

جمع عددهای فرد متوالی: 1+3+5+⋯+(2n−1)=n21+3+5+\dots+(2n-1)=n^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین. دلیل با شکل: مربع n×nn\times nادامهٔ فرمول را افقی ببین را به زاویه‌های L‌شکل تقسیم کن؛ اولی ۱ نقطه، دومی ۳ نقطه و nnادامهٔ فرمول را افقی ببینام 2n−12n-1ادامهٔ فرمول را افقی ببین نقطه دارد.

جمع عددهای متوالی (روش نجمه): جمع را یک بار صعودی و یک بار نزولی زیر هم بنویس؛ جمع هر ستون n+1n+1ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود و در کل دو برابر جواب n(n+1)n(n+1)ادامهٔ فرمول را افقی ببین است:

1+2+⋯+n=n(n+1)21+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

جمع دنبالهٔ حسابی: تعداد جمله‌ها ضرب در میانگین جملهٔ اول و آخر. مثلاً 2+4+⋯+862+4+\dots+86ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارای ۴۳ جمله است و جمعش 43×882=1892\frac{43\times88}{2}=1892ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود.

جمع مربع‌ها (روش نوشین): با سه نسخه از مثلث عددی مربع‌ها که در هر خانه جمعشان 2n+12n+1ادامهٔ فرمول را افقی ببین شود، به دست می‌آید:

12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)61^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

جمع اعداد مثلثی و چهاروجهی: جمع nnادامهٔ فرمول را افقی ببین عدد مثلثی اول (که برابر تعداد مکعب‌های یک nnادامهٔ فرمول را افقی ببین-پله است) می‌شود

1+3+6+⋯=n(n+1)(n+2)61+3+6+\dots=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

و جمع عددهای چهاروجهی برابر n(n+1)(n+2)(n+3)24\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. همهٔ این‌ها در مثلث خیام–پاسکال دیده می‌شوند: قطر اول همه ۱، قطر دوم عددهای طبیعی، قطر سوم اعداد مثلثی و قطر چهارم اعداد چهاروجهی است، و جمع چند عدد اول هر قطر برابر عدد قطر بعدی است.

مربع جادویی

در مربع جادویی n×nn\times nادامهٔ فرمول را افقی ببین با عددهای ۱ تا n2n^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین، جمع هر سطر برابر است با

n(n2+1)2\frac{n(n^2+1)}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

برای 3×33\times3ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر ۱۵، برای 4×44\times4ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر ۳۴ و برای 5×55\times5ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر ۶۵. استدلال سادهٔ ۱۵ این است که جمع کل ۱ تا ۹ برابر ۴۵ است و باید بین سه سطر مساوی تقسیم شود. برای ساختن مربع فرد، از خانهٔ وسط سطر بالا شروع کن، به بالا و چپ برو و در برخورد، عدد را زیر عدد قبلی بگذار.

عدد گویا

عدد گویا عددی است که بتوان آن را به شکل ab\frac abادامهٔ فرمول را افقی ببین با aaادامهٔ فرمول را افقی ببین و bbادامهٔ فرمول را افقی ببین صحیح و b≠0b\ne0ادامهٔ فرمول را افقی ببین نوشت. هر عدد صحیح گویاست و a−b=−ab\frac{a}{-b}=-\frac abادامهٔ فرمول را افقی ببین.

ab+cd=ad+bcbd,ab×cd=acbd,ab÷cd=ab×dc\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd},\qquad \frac ab\times\frac cd=\frac{ac}{bd},\qquad \frac ab\div\frac cd=\frac ab\times\frac dcادامهٔ فرمول را افقی ببین

در تقسیم کسرها فقط کسر دوم وارونه می‌شود. بین هر دو عدد گویا بی‌نهایت عدد گویای دیگر هست؛ مثلاً 9k319\frac{k}{31}ادامهٔ فرمول را افقی ببین برای k=1,…,30k=1,\dots,30ادامهٔ فرمول را افقی ببین، سی عدد گویا بین ۹ و ۱۰ هستند.

نقطه‌های روی محور: اگر فاصلهٔ AAادامهٔ فرمول را افقی ببین تا BBادامهٔ فرمول را افقی ببین به ۵ قسمت مساوی تقسیم شود، نقطهٔ اول برابر A+B−A5A+\frac{B-A}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

چرا معکوس صفر وجود ندارد؟

معکوس aaادامهٔ فرمول را افقی ببین عددی است که ضربش در aaادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر ۱ شود. اما هر عددی را در صفر ضرب کنی صفر می‌شود و ۱ نمی‌شود؛ پس معکوس صفر وجود ندارد. «12÷012\div0ادامهٔ فرمول را افقی ببین» هم یعنی ۱۲ سیب را بین صفر سبد تقسیم کنیم که معنا ندارد. از دید دیگر، 1a\frac1aادامهٔ فرمول را افقی ببین با کوچک‌ترشدن ∣a∣\lvert a\rvertادامهٔ فرمول را افقی ببین بی‌نهایت بزرگ می‌شود و عدد مشخصی نیست.

ساده‌سازی کسرها

فقط عامل‌های مشترک ضرب ساده می‌شوند، نه جمله‌های جمع. در 52+21891+218\frac{52+218}{91+218}ادامهٔ فرمول را افقی ببین نمی‌شود ۲۱۸ را حذف کرد، ولی در 52×21891×218\frac{52\times218}{91\times218}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود.

جمع تلسکوپی

کلید همهٔ این جمع‌ها این تساوی است:

1k(k+d)=1d(1k−1k+d)\frac{1}{k(k+d)}=\frac1d\left(\frac1k-\frac1{k+d}\right)ادامهٔ فرمول را افقی ببین

وقتی جمله‌ها را باز کنی، بیشتر جمله‌ها همدیگر را حذف می‌کنند و فقط اول و آخر می‌مانند. مثلاً:

11×2+12×3+⋯+17×8=1−18=78\frac1{1\times2}+\frac1{2\times3}+\dots+\frac1{7\times8}=1-\frac18=\frac78ادامهٔ فرمول را افقی ببین

و برای فاصلهٔ ۳ بین عامل‌ها، ضریب 13\frac13ادامهٔ فرمول را افقی ببین جلوی پرانتز می‌آید.

حاصل‌ضرب تلسکوپی: در 54×65×76×⋯×mn\frac54\times\frac65\times\frac76\times\dots\times\frac mnادامهٔ فرمول را افقی ببین هر صورت با مخرج بعدی ساده می‌شود و فقط صورت آخر و مخرج اول می‌ماند.

کسر مصری

هر کسر را می‌توان مجموع کسرهای واحد متفاوت نوشت. روش حریصانه: بزرگ‌ترین کسر واحد کوچک‌تر یا مساوی کسر را بردار و همین کار را روی باقی‌مانده تکرار کن؛ مثلاً 56=12+13\frac56=\frac12+\frac13ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 712=12+112\frac7{12}=\frac12+\frac1{12}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

ساخت و فهم عبارت‌های کسری

  • افزودن به مخرج: اگر به مخرج 1015\frac{10}{15}ادامهٔ فرمول را افقی ببین عدد ۶ اضافه شود (15→2115\to21ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، برای ثابت ماندن مقدار باید صورت هم متناسب شود: 10+x21=1015\frac{10+x}{21}=\frac{10}{15}ادامهٔ فرمول را افقی ببین نتیجه می‌دهد x=4x=4ادامهٔ فرمول را افقی ببین. قاعده: صورت و مخرج را در یک عدد ضرب کن، نه اینکه عددی جمع کنی.
  • معادلهٔ کسری: برای حل x12=x+63\frac{x}{12}=\frac{x+6}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین ضرب ضربدری کن: 3x=12x+723x=12x+72ادامهٔ فرمول را افقی ببین و نتیجه x=−8x=-8ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • مخرج مشترک: در 1x+52x+74x+68x\frac1x+\frac5{2x}+\frac7{4x}+\frac6{8x}ادامهٔ فرمول را افقی ببین با مخرج مشترک 8x8xادامهٔ فرمول را افقی ببین همهٔ صورت‌ها جمع می‌شوند: 8+20+14+68x=6x\frac{8+20+14+6}{8x}=\frac6xادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • تقریب کسرها: برای برآورد جمع چند کسر، هر کسر را به نزدیک‌ترین کسر ساده گرد کن؛ مثلاً 10231024\frac{1023}{1024}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 513511\frac{513}{511}ادامهٔ فرمول را افقی ببین هر دو نزدیک ۱ هستند.

تقسیم عادلانه

در تقسیم یک سیب بین دو نفر، اگر یک نفر ببرد و دیگری انتخاب کند، نفر اول مجبور است دو تکه را مساوی ببرد. همین ایده برای nnادامهٔ فرمول را افقی ببین نفر هم به‌صورت مرحله‌ای تعمیم می‌یابد.

مالیات پلکانی

در مالیات پلکانی، نرخ بالاتر فقط روی بخشی از مبلغ اعمال می‌شود که از آستانه بیشتر است. اگر حقوق تا ۱٬۱۵۰٬۰۰۰ تومان معاف و تا ۸٬۰۵۰٬۰۰۰ تومان ۱۰٪ و بالاتر از آن ۲۰٪ باشد، برای حقوق ۱۰٬۰۰۰٬۰۰۰ تومان مالیات برابر است با

0.10×(8,050,000−1,150,000)+0.20×(10,000,000−8,050,000)=1,080,0000.10\times(8{,}050{,}000-1{,}150{,}000)+0.20\times(10{,}000{,}000-8{,}050{,}000)=1{,}080{,}000ادامهٔ فرمول را افقی ببین

ارث

مسئلهٔ ارث، کسرها را در یک ماجرای واقعی به کار می‌برد: ابتدا بدهی‌ها پرداخت می‌شود، بعد حداکثر یک‌سوم اموال را می‌شود وصیت کرد و از دو سوم باقی‌مانده، همسران روی هم یک‌هشتم و پدر و مادر هرکدام یک‌ششم می‌برند. بقیه بین فرزندان تقسیم می‌شود و سهم هر پسر دو برابر هر دختر است. هر مرحله یک ضرب کسری است و باید کسرها را دقیق و پشت سر هم اعمال کنی.

اشتباه‌های رایج

اشتباه درست
ab+cd=a+cb+d\frac ab+\frac cd=\frac{a+c}{b+d}ادامهٔ فرمول را افقی ببین ad+bcbd\frac{ad+bc}{bd}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
a+ba+c=bc\frac{a+b}{a+c}=\frac bcادامهٔ فرمول را افقی ببین جمله‌ها را نمی‌شود ساده کرد.
10=0\frac10=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین تعریف نشده است.
1+2+⋯+n=n221+2+\dots+n=\frac{n^2}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
در تقسیم کسرها هر دو را وارونه می‌کنیم. فقط کسر دوم را.
معکوس 35\frac35ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر −35-\frac35ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. معکوس 53\frac53ادامهٔ فرمول را افقی ببین و قرینه −35-\frac35ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

سؤال تستی

۵ تست با پاسخنامه‌ی تحلیلی — برای دیدن بزن

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. حاصل 10+3−7−210+3-7-2ادامهٔ فرمول را افقی ببین چیست؟

  • ۶
  • ۸
  • ۴
  • ۲

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«۴» درست است، چون 10+3=1310+3=13ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 13−7−2=413-7-2=4ادامهٔ فرمول را افقی ببین. «۲» از علامت تفریق را با جمع اشتباه می‌گیری به‌دست می‌آید. «۶» علامت یا مخرج مشترک را نادرست به‌کار می‌برد. «۸» با پاسخ مسئله سازگار نیست. تلهٔ تستی: علامت تفریق را با جمع اشتباه می‌گیری. گزینهٔ درست «۴» است.

2. حاصل 3×4÷2×83\times 4\div 2\times 8ادامهٔ فرمول را افقی ببین با حرکت از چپ به راست چیست؟

  • ۴۸
  • ۱۲
  • ۶
  • ۹۶

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«۴۸» درست است، چون 3×4=123\times 4=12ادامهٔ فرمول را افقی ببین، سپس 12÷2=612\div 2=6ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 6×8=486\times 8=48ادامهٔ فرمول را افقی ببین. «۱۲» از ضرب و تقسیم را بدون رعایت ترتیب چپ به راست گروه‌بندی می‌کنی به‌دست می‌آید. «۶» علامت یا مخرج مشترک را نادرست به‌کار می‌برد. «۹۶» با پاسخ مسئله سازگار نیست. تلهٔ تستی: ضرب و تقسیم را بدون رعایت ترتیب چپ به راست گروه‌بندی می‌کنی. گزینهٔ درست «۴۸» است.

3. قرینهٔ عدد −۹ چیست؟

  • ۰
  • ۱۸
  • ۹
  • -۹

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«۹» درست است، چون قرینهٔ جمعی عددی است که جمع دو عدد را صفر کند. «-۹» از قرینه را با قدرمطلق یا خود عدد اشتباه می‌گیری به‌دست می‌آید. «۰» علامت یا مخرج مشترک را نادرست به‌کار می‌برد. «۱۸» با پاسخ مسئله سازگار نیست. تلهٔ تستی: قرینه را با قدرمطلق یا خود عدد اشتباه می‌گیری. گزینهٔ درست «۹» است.

4. معکوسِ 5/75/7ادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • 5/75/7ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • −7/5-7/5ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1/51/5ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 7/57/5ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«7/57/5ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است، چون با جابه‌جایی صورت و مخرج، حاصل‌ضرب دو کسر ۱ می‌شود. «5/75/7ادامهٔ فرمول را افقی ببین» از قرینهٔ کسر را به‌جای معکوسش می‌گیری به‌دست می‌آید. «−7/5-7/5ادامهٔ فرمول را افقی ببین» علامت یا مخرج مشترک را نادرست به‌کار می‌برد. «1/51/5ادامهٔ فرمول را افقی ببین» با پاسخ مسئله سازگار نیست. تلهٔ تستی: قرینهٔ کسر را به‌جای معکوسش می‌گیری. گزینهٔ درست «7/57/5ادامهٔ فرمول را افقی ببین» است.

5. حاصل 1/3+1/61/3+1/6ادامهٔ فرمول را افقی ببین چیست؟

  • 2/92/9ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1/91/9ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2/32/3ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1/21/2ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«1/21/2ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است، چون 1/3=2/61/3=2/6ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 2/6+1/6=3/6=1/22/6+1/6=3/6=1/2ادامهٔ فرمول را افقی ببین. «2/92/9ادامهٔ فرمول را افقی ببین» از صورت‌ها و مخرج‌ها را جداگانه جمع می‌کنی به‌دست می‌آید. «1/91/9ادامهٔ فرمول را افقی ببین» علامت یا مخرج مشترک را نادرست به‌کار می‌برد. «2/32/3ادامهٔ فرمول را افقی ببین» با پاسخ مسئله سازگار نیست. تلهٔ تستی: صورت‌ها و مخرج‌ها را جداگانه جمع می‌کنی. گزینهٔ درست «1/21/2ادامهٔ فرمول را افقی ببین» است.

نمونه سؤال تشریحی

۳ سؤال امتحانی با پاسخ نمونه — برای دیدن بزن

۱. حاصل 1+2+3+⋯+1171+2+3+\dots+117ادامهٔ فرمول را افقی ببین را با روش نجمه (دو بار نوشتن جمع، یک بار برعکس) به دست آورید و فرمول کلی را بنویسید.

پاسخ نمونه

جمع را یک بار از کوچک به بزرگ و یک بار از بزرگ به کوچک زیر هم می‌نویسیم و ستون‌به‌ستون جمع می‌کنیم. هر ستون برابر 1+117=1181+117=118ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود و ۱۱۷ ستون داریم؛ پس دو برابر جمع برابر 117×118117\times118ادامهٔ فرمول را افقی ببین است:

1+2+⋯+117=117×1182=69031+2+\dots+117=\frac{117\times118}{2}=6903ادامهٔ فرمول را افقی ببین

در حالت کلی:

1+2+⋯+n=n(n+1)21+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

۲. حاصل 11×2+12×3+13×4+⋯+119×20\frac1{1\times2}+\frac1{2\times3}+\frac1{3\times4}+\dots+\frac1{19\times20}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را با شکستن هر کسر محاسبه کنید.

پاسخ نمونه

هر جمله را به تفاضل دو کسر تبدیل می‌کنیم:

1k(k+1)=1k−1k+1\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

بنابراین جمع برابر است با:

(1−12)+(12−13)+⋯+(119−120)\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\dots+\left(\frac1{19}-\frac1{20}\right)ادامهٔ فرمول را افقی ببین

همهٔ جمله‌های میانی همدیگر را حذف می‌کنند و فقط اولی و آخری می‌مانند:

1−120=19201-\frac1{20}=\frac{19}{20}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

۳. چرا برای عدد صفر معکوس وجود ندارد؟ دو دلیل بنویسید.

پاسخ نمونه

دلیل اول: معکوس عدد aaادامهٔ فرمول را افقی ببین عددی مثل xxادامهٔ فرمول را افقی ببین است که a×x=1a\times x=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد. برای a=0a=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم 0×x=00\times x=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین به ازای هر xxادامهٔ فرمول را افقی ببین، و این هیچ‌وقت ۱ نمی‌شود؛ پس چنین عددی وجود ندارد.

دلیل دوم: وقتی aaادامهٔ فرمول را افقی ببین کوچک و کوچک‌تر می‌شود، مقدار 1a\frac1aادامهٔ فرمول را افقی ببین بزرگ و بزرگ‌تر می‌شود (مثلاً 10.001=1000\frac1{0.001}=1000ادامهٔ فرمول را افقی ببین). اگر aaادامهٔ فرمول را افقی ببین مثبت باشد بی‌نهایت بزرگ مثبت و اگر منفی باشد بی‌نهایت بزرگ منفی می‌شود؛ پس به هیچ عدد مشخصی نزدیک نمی‌شود.

مباحث مرتبط

عددهای اول — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)چندضلعی‌ها — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)جبر و معادله — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)بردار و مختصات — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)مثلث — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)توان و جذر — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)آمار و احتمال — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)دایره — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)عددهای صحیح و گویا (ریاضی هشتم)عددهای اول و تجزیه (ریاضی هشتم)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان