مثلث — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)

مثلث (ریاضی تیزهوشان هشتم)

مثلث ساده‌ترین چندضلعی و پایهٔ همهٔ هندسه است. این فصل رابطهٔ فیثاغورس، حالت‌های همنهشتی، ویژگی‌های عمودمنصف و نیمساز و مسئله‌هایی مثل «مرکز دایرهٔ گذرنده از سه نقطه» را در بر می‌گیرد.

رابطهٔ فیثاغورس

در مثلث قائم‌الزاویه با ضلع‌های قائم $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و وتر $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

عکس آن هم درست است: اگر در مثلثی $a^2+b^2=c^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، مثلث قائم‌الزاویه است. سه‌تایی‌های فیثاغورسی معروف: $(3,4,5)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $(5,12,13)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $(8,15,17)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(7,24,25)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اثبات با مساحت: مربعی به ضلع $a+b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به دو شیوه به چهار مثلث قائم‌الزاویهٔ همنهشت و بخش‌های دیگر تقسیم کن: یک بار دو مربع $a^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و دو مستطیل $ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و بار دیگر مربع $c^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. چون چهار مثلث در هر دو حالت یکسان‌اند، مساحت‌های باقی‌مانده برابرند. اثبات‌های دیگر (اقلیدس، گارفیلد و…) هم یا مساحت را به دو راه می‌شمارند یا از تشابه استفاده می‌کنند.

فرمول ساختن سه‌تایی: برای $m>n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی طبیعی، اعداد $m^2-n^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $2mn$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $m^2+n^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه یک سه‌تایی فیثاغورسی‌اند، چون

و ضرب هر سه‌تایی در عدد $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سه‌تایی دیگری می‌دهد.

کاربردها:

• جابه‌جایی ۴ کیلومتر شمال و ۶ کیلومتر شرق، فاصلهٔ مستقیم $\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}\approx7.2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌دهد.
• کوتاه‌ترین مسیر کفشدوزک روی دیوارهای اتاق مکعبی به یال ۱ از یک گوشه به گوشهٔ مقابل، با باز کردن دو وجه به مستطیل $1\times2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و وتر آن برابر $\sqrt5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه ۳.
• در مختصات، مربع طول هر ضلع $\Delta x^2+\Delta y^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ اگر مجموع دوتای آن‌ها برابر سومی شود، مثلث قائم‌الزاویه است.

همنهشتی مثلث‌ها

هشدار: «دو ضلع و زاویهٔ غیر بین» برای همنهشتی کافی نیست. مثال نقض: مثلث متساوی‌الساقین $ABC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و نقطهٔ $D$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی طوری که $BD\ne CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ در مثلث‌های $ABD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $ACD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضلع $AD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مشترک است، $AB=AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\hat B=\hat C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، ولی همنهشت نیستند.

قالب نوشتن اثبات: (۱) فرض و حکم را بنویس. (۲) دو مثلث مناسب را انتخاب کن. (۳) سه تساوی را با دلیل بنویس. (۴) حالت همنهشتی را نام ببر. (۵) از تناظر نتیجه بگیر.

نمونه‌ها:

• در مثلث متساوی‌الساقین، نیمسازهای دو زاویهٔ قاعده برابرند (ز‌ض‌ز) و میانه‌های وارد بر ساق‌ها هم برابرند (ض‌ز‌ض).
• در پنج‌ضلعی منتظم همهٔ قطرها مساوی‌اند، چون هر دو قطر دو مثلث همنهشت ض‌ز‌ض می‌سازند.
• اگر $BP=BQ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $CP=CQ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، از ض‌ض‌ض نتیجه می‌شود $BC\perp PQ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• وقتی لازم است بدانی همنهشتی کافی است یا نه، همیشه بپرس: زاویه دقیقاً بین آن دو ضلع است؟

همنهشتی مثلث‌های قائم‌الزاویه

سرباز برای اندازه‌گیری عرض رود، لبهٔ کلاهش را طوری تنظیم می‌کند که خط دید از آن به ساحل مقابل برسد، بعد بدون تغییر زاویه به سمت خشکی برمی‌گردد و می‌بیند لبه روی چه نقطه‌ای از زمین قرار می‌گیرد. دو مثلث قائم‌الزاویه با ز‌ض‌ز همنهشت‌اند و فاصلهٔ او تا آن نقطه برابر عرض رود است.

عمودمنصف و نیمساز

• هر نقطه روی عمودمنصف پاره‌خط از دو سر آن هم‌فاصله است، و برعکس هر نقطهٔ هم‌فاصله از دو سر روی عمودمنصف قرار دارد.
• هر نقطه روی نیمساز زاویه از دو ضلع آن هم‌فاصله است، و برعکس.
• مرکز دایره روی عمودمنصف هر وتر آن است. پس برای سه نقطهٔ ناهم‌خط $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، مرکز دایرهٔ گذرنده از آن‌ها محل برخورد عمودمنصف‌های $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. اگر سه نقطه هم‌خط باشند چنین دایره‌ای وجود ندارد. مکان درست آنتن سه روستا همین نقطه است.
• در مثلث قائم‌الزاویه میانهٔ وارد بر وتر نصف وتر است و مرکز دایرهٔ محیطی وسط وتر است. برعکس هم درست است: اگر میانهٔ وارد بر ضلعی نصف آن ضلع باشد، مثلث قائم‌الزاویه است.

نمونه‌های بیشتر از همنهشتی قائم‌الزاویه

• در مربع $ABCD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اگر $E$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $F$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد و $AE=FC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، دو مثلث قائم‌الزاویهٔ $ABE$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $CBF$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با حالت «وتر و ضلع قائمه» همنهشت می‌شوند، چون $AB=CB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و وترها برابرند؛ پس زاویه‌های متناظر هم برابرند.
• در مربع به ضلع ۱۶، اگر $E$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $AD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد و $F$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی امتداد $DC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی طوری که $EB\perp FB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، دو مثلث $ABE$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $CBF$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همنهشت‌اند. از $BE\times BF=400$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه می‌شود $BE=20$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و با فیثاغورس $AE=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و در نتیجه $CF=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• در متوازی‌الاضلاع $ABCD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطر $BD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بکش: دو مثلث $ABD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $CDB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با ض‌ض‌ض همنهشت‌اند و از آن نتیجه می‌شود زاویه‌های روبه‌رو برابرند.

تقسیم شکل به دو قسمت همنهشت

برای اینکه یک شکل را با یک برش به دو قسمت همنهشت تقسیم کنی، دوران $180^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حول مرکز شکل (یا بازتاب نسبت به محور تقارن) را امتحان کن. مثلث مختلف‌الاضلاع را نمی‌شود با یک برش از رأس به دو مثلث همنهشت تقسیم کرد، چون دو قسمت یک ضلع مشترک دارند و تناظرها به برابری ضلع‌های مثلث اصلی منجر می‌شود.

مسیر توپ و بازتاب

برای پیدا کردن بهترین نقطهٔ برخورد توپ به دیوار، نقطهٔ پایان را نسبت به دیوار قرینه کن و آن را به نقطهٔ شروع وصل کن؛ محل برخورد این پاره‌خط با دیوار نقطهٔ مطلوب است، چون زاویهٔ ورود با زاویهٔ خروج برابر می‌شود.

ایراد رایج در محاسبهٔ مساحت

در مسئلهٔ مثلثی با ضلع‌های ۲ و ۳ و ۴، ارتفاع باید بر همان ضلعی وارد شود که به‌عنوان قاعده در مساحت می‌آید. اگر ارتفاع بر ضلع ۳ وارد شده باشد، نباید در قاعدهٔ ۴ ضرب شود. همچنین پای ارتفاع در مثلث منفرجه بیرون ضلع می‌افتد و این اشکالی ندارد؛ جواب معادله فقط یک علامت منفی می‌گیرد.

دو نکتهٔ مفید دربارهٔ نیمساز و عمودمنصف

• اگر $X$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $Y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هر دو از $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم‌فاصله باشند، هر دو روی عمودمنصف $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی‌اند؛ پس خط $XY$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عمودمنصف $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. عکس آن لزوماً درست نیست: $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عمودمنصف $XY$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیست، مگر شرط دیگری داشته باشیم.
• برای دو دایره که در $X$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $Y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همدیگر را قطع می‌کنند، خط المرکزین $PQ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عمودمنصف $XY$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• در مثلث متساوی‌الساقین با زاویهٔ رأس $100^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، عمودمنصف‌های دو ساق قاعده را در دو نقطه قطع می‌کنند و زاویهٔ بین دو پاره‌خط حاصل در رأس $20^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود.

تفاضل دو مربع

هر عدد فرد $2k+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $(k+1)^2-k^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و هر مضرب ۴ به شکل $4k=(k+1)^2-(k-1)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تفاضل دو مربع است؛ ولی عددهای به شکل $4k+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هرگز تفاضل دو مربع نیستند.

اشتباه‌های رایج