دایره — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)

دایره (ریاضی تیزهوشان هشتم)

قوس راه‌آهن، چرخ ماشین، گنبد و پرگار همه دایره‌اند. در این فصل رابطهٔ خط و دایره را اثبات می‌کنی، با زاویهٔ مرکزی و محاطی زاویه‌ها را حساب می‌کنی، از دایره برای ساختن‌های هندسی استفاده می‌کنی و مسئله‌های واقعی مثل شعاع پیچ جاده و دید سینما را مدل می‌کنی.

قوس راه‌آهن

جاده و راه‌آهن ناگهان تغییر جهت نمی‌دهند. مسیر منحنی معمولاً بخشی از یک دایره است که قسمت‌های مستقیم بر آن مماس‌اند. شعاع قوس راه‌آهن معمولاً بیش از ۶۰۰ متر و گاهی تا ۲۰۰۰ متر است. برای پیدا کردن مرکز یک قوس، دو وتر دلخواه از آن بکش و عمودمنصف‌هایشان را رسم کن؛ نقطهٔ برخورد مرکز و فاصله‌اش تا قوس شعاع است.

خط و دایره

مثلاً در دایره‌ای به شعاع ۱۳، فاصلهٔ وتری به طول ۲۴ از مرکز $\sqrt{13^2-12^2}=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ و از نقطه‌ای به فاصلهٔ ۱۷ از مرکز دایره‌ای به شعاع ۸، طول مماس $\sqrt{17^2-8^2}=15$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

رسم مماس از نقطهٔ بیرونی $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: وسط $OA$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را پیدا کن و دایره‌ای به قطر $OA$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بزن؛ این دایره دایرهٔ اصلی را در نقطهٔ $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطع می‌کند. چون زاویهٔ محاطی روبه‌رو به قطر $90^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، $AM\perp OM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $AM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مماس است. روش دیگر: مثلث متساوی‌الساقینی با ساق $OA$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و قاعدهٔ $OB=2r$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بساز؛ چون $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وسط قاعده است و میانه در مثلث متساوی‌الساقین بر قاعده عمود است، $AM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مماس می‌شود.

دو مماس از $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $OA$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عمودمنصف وتر تماس $MN$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، چون $AM=AN$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $OM=ON$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

زاویهٔ مرکزی و محاطی

• زاویهٔ مرکزی رأسش در مرکز است و اندازه‌اش برابر کمان روبه‌رو.
• زاویهٔ محاطی رأسش روی دایره است و اندازه‌اش نصف کمان روبه‌رو:$$\text{inscribed angle}=\frac12\,\text{arc}$$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

نتیجه‌ها:

1. زاویه‌های محاطی روبه‌رو به یک کمان برابرند.
2. زاویهٔ محاطی روبه‌رو به قطر برابر $90^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
3. در چهارضلعی محاطی زاویه‌های روبه‌رو مکمل‌اند.
4. زاویهٔ بین مماس و وتر نصف کمان بین آن‌هاست.
5. کمان‌های بین دو وتر موازی برابرند.

مثلاً برای کمان $100^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، زاویهٔ مرکزی $100^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و هر زاویهٔ محاطی روبه‌رو $50^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

نکتهٔ مهم: دو وتر $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از یک نقطه وقتی بر هم عمودند که $BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطر باشد. برای $AB=10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $AC=24$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در دایره‌ای به شعاع ۱۳، چون $10^2+24^2=676=(2\times13)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، این دو وتر عمودند.

نادرستی یک گزاره: «اگر کمان‌های بین دو وتر برابر باشند، آن دو وتر موازی‌اند» نادرست است، چون وترها ممکن است متقاطع باشند. گزارهٔ درست: اگر دو وتر یکدیگر را قطع نکنند و کمان‌های محصور بینشان برابر باشند، موازی‌اند.

مثلث قائم‌الزاویه و دایره: مکان هندسی رأس‌هایی که از دو نقطهٔ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با زاویهٔ $90^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دیده می‌شوند دایره‌ای به قطر $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. پس اگر میانهٔ وارد بر یک ضلع نصف آن ضلع باشد، مثلث قائم‌الزاویه است، و برعکس در مثلث قائم‌الزاویه میانهٔ وارد بر وتر نصف وتر است.

مکان هندسی و صندلی سینما

نقاطی که پاره‌خطی (مثل پردهٔ سینما) را با زاویهٔ ثابت $\theta$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌بینند، روی کمانی از یک دایره قرار دارند، چون زاویهٔ محاطی ثابت می‌ماند. صندلی‌های نزدیک و وسط، پرده را با زاویهٔ بسیار بزرگ می‌بینند (حدود $160^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و راحت نیستند؛ صندلی مناسب بین دو کمان مربوط به دو زاویهٔ دلخواه، مثلاً $40^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $60^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

کاربردها

جذر حاصل‌ضرب: اگر $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطر و $AB\perp CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، مثلث $ACD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قائم‌الزاویه است (زاویهٔ محاطی روبه‌رو به قطر) و $AM$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ارتفاع آن است:

پس برای ساختن $\sqrt{ab}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی محور، $CM=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $MD=b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگیر، دایره‌ای به قطر $CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بزن و در $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عمودی رسم کن؛ طول عمود تا دایره $\sqrt{ab}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

کف اقیانوس اطلس: اگر عرض اقیانوس حدود یک‌ششم محیط استوا باشد، کمان آن $60^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. اگر کف اقیانوس مسطح (وتر) بود، حداکثر عمقش از مرکز کمان تا وتر حدود

می‌شد. چون عمق واقعی فقط حدود ۸٫۶ کیلومتر است، کف اقیانوس مسطح نیست و با انحنای زمین ادامه پیدا می‌کند.

پیچ‌های خطرناک جاده: پیچی که شعاعش در طول مسیر کم شود راننده را غافلگیر می‌کند.

اشتباه‌های رایج