چندضلعی‌ها — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)

چندضلعی‌ها (ریاضی تیزهوشان هشتم)

از کاشی‌کاری مسجد و حمام تا قاب پنجره، همه‌جا چندضلعی و تقارن هست. این فصل ابزارهای استدلال هندسی را دقیق‌تر می‌کند: تقارن، توازی و تعامد، ویژگی‌های چهارضلعی‌ها، مجموع زاویه‌های داخلی و خارجی، و کاشی‌کاری.

یک درس از گفتگوی ابتدای فصل

دانشمندان ایرانی و مسلمان فقط ناقل دانش یونان به اروپا نبوده‌اند. مثلاً کاشی‌کاری نامتناوب که چند دهه پیش در غرب کشف شد، سال‌ها پیش در بنایی در اصفهان به کار رفته است. هندسهٔ کاشی‌کاری بخشی از میراث ماست.

بازی مثلث

شش نقطه داریم و دو نفر نوبتی دو نقطه را با پاره‌خط به هم وصل می‌کنند؛ هر کس اول مثلثی با سه ضلع هم‌رنگ خودش بسازد می‌بازد. چون با شش نقطه و دو رنگ همیشه مثلث تک‌رنگ ساخته می‌شود، بازی مساوی نمی‌شود. رایانه این بازی (Sim) را حل کرده و نفر دوم می‌تواند همیشه ببرد، ولی راهبرد ساده‌ای برای انسان ندارد؛ بهتر است پاره‌خط‌های «امن» را برای آخر نگه داری.

تقارن

• محور تقارن: خطی که شکل را به دو نیمهٔ آینه‌ای تقسیم کند.
• مرکز تقارن: نقطه‌ای که دوران $180^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شکل حولش آن را بر خودش منطبق کند.
• $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییضلعی منتظم $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی محور تقارن دارد و اگر $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج باشد مرکز تقارن هم دارد.
• در چندضلعی محدب هر پاره‌خط بین دو نقطه درون شکل می‌ماند؛ مقعر دست‌کم یک زاویهٔ بیشتر از $180^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد.

رأس‌های هشت‌ضلعی منتظم: با رأس‌هایش می‌شود دو مربع $ACEG$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $BDFH$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ساخت، اما مثلث متساوی‌الاضلاع نه، چون ۸ بر ۳ بخش‌پذیر نیست.

مثلث سخت است، بقیه نه: سه ضلع مثلث، شکل آن را کاملاً معین می‌کنند، پس مثلث «سفت» است. ولی با ضلع‌های ثابت، چندضلعی‌های چهار ضلع به بالا را می‌شود با تغییر زاویه‌ها خم کرد؛ به همین دلیل می‌شود هشت‌ضلعی مقعری با ضلع‌های برابر ساخت که با هشت‌ضلعی منتظم همنهشت نیست.

نمونه‌های تقارن:

• شکلی با محور تقارن ولی بدون مرکز: مثلث متساوی‌الساقین، بادبادک و ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین.
• از چهارخانه‌ای‌ها، خط $I$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دو محور و مربع $O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چهار محور و $T$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک محور دارد؛ $L$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی محور ندارد.
• گسترده‌های مکعب ۱۱ شکل غیرهمنهشت‌اند.

توازی: خط موازی و مورب

وقتی مورب دو خط را قطع کند، هشت زاویه می‌سازد. اگر دو خط موازی باشند:

عکس قضیه: اگر یکی از این رابطه‌ها برقرار باشد، دو خط موازی‌اند. برای اثبات موازی بودن از عکس و برای محاسبهٔ زاویه از خود قضیه استفاده می‌کنیم.

نکته: اگر دو ضلع یک زاویه با دو ضلع زاویهٔ دیگر موازی باشند، آن دو زاویه یا مساوی یا مکمل‌اند، نه همیشه مساوی.

چهارضلعی با دو مکملی: اگر در چهارضلعی $\hat A+\hat B=180^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\hat A+\hat D=180^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، $AD\parallel BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $AB\parallel DC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ پس متوازی‌الاضلاع است.

بیلیارد و دو دیوار عمود: بازتاب نسبت به دو دیوارهٔ عمود بر هم معادل دوران $180^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ بنابراین مسیر نهایی توپ موازی مسیر اولیه، با جهت وارونه، می‌شود.

شش‌ضلعی از دو مثلث: اگر دو مثلث متساوی‌الاضلاع با ضلع‌های $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی طوری روی هم قرار بگیرند که ضلع‌هایشان دو به دو موازی باشد، شش‌ضلعی مشترک زاویه‌های $120^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد و محیطش $a+b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

چهارضلعی‌ها

• هر چهارضلعی با قطرهای عمود لزوماً لوزی نیست؛ بادبادک هم همین خاصیت را دارد.
• اگر یک قطر محور تقارن چهارضلعی باشد، قطرها بر هم عمودند، چون بازتاب هر نقطه نسبت به خط، پاره‌خط واصل را بر آن خط عمود می‌کند.
• تعداد محورهای تقارن یک چهارضلعی فقط می‌تواند ۰، ۱، ۲ یا ۴ باشد؛ ۳ ممکن نیست.
• متوازی‌الاضلاعی که محور تقارن داشته باشد، یا مستطیل است یا لوزی.

شکل‌های ساخته‌شده از چهارضلعی‌ها

• اگر مثلثی را با یکی از ضلع‌هایش به آینه بچسبانیم و تصویر آن با خود مثلث یک مربع بسازد، مثلث ناچار قائم‌الزاویهٔ متساوی‌الساقین است و ضلع چسبیده به آینه وتر آن است.
• چهارضلعی غیر از مربع با قطرهای مساوی و عمود هم وجود دارد، به شرط آنکه قطرها یکدیگر را نصف نکنند.
• چهارضلعی با دو ضلع موازی، دو ضلع مساوی و دو جفت زاویهٔ مساوی که متوازی‌الاضلاع نباشد، همان ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین است.

مجموع زاویه‌ها

• مجموع زاویه‌های داخلی مثلث $180^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• هر $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییضلعی را می‌شود به $n-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثلث تقسیم کرد، پس مجموع زاویه‌های داخلی آن$$(n-2)\times180^\circ$$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییاست، حتی برای چندضلعی مقعر.
• مجموع زاویه‌های خارجی هر چندضلعی محدب $360^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• هر زاویهٔ داخلی چندضلعی منتظم برابر $\frac{(n-2)\times180}{n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

آزمایش کاغذی و اثبات: تا کردن سه رأس مثلث روی پای ارتفاع نشان می‌دهد سه زاویه روی یک خط راست جمع می‌شوند، ولی این فقط یک آزمایش است نه اثبات. اثبات درست از خطی موازی با یک ضلع و زاویه‌های متبادل می‌آید. استدلال با زاویهٔ خارجی هم اگر خودش از قضیهٔ مجموع زاویه‌ها گرفته شده باشد، دوری است.

مثلث‌بندی و نگهبانی موزه: هر چندضلعی ساده با $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رأس به $n-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثلث تقسیم می‌شود. برای دیدن تمام نقاط یک موزهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییضلعی، $\lfloor n/3\rfloor$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نگهبان کافی است؛ دلیلش این است که رأس‌های مثلث‌بندی را با سه رنگ طوری رنگ می‌کنیم که هر مثلث هر سه رنگ را داشته باشد، و کم‌تعدادترین رنگ حداکثر $\lfloor n/3\rfloor$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رأس دارد.

دو کران جالب: در چندضلعی محدب حداکثر ۳ زاویهٔ حاده می‌شود، چون هر زاویهٔ حاده یک زاویهٔ خارجی بیشتر از $90^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد و مجموع خارجی‌ها $360^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. در $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییضلعی مقعر حداکثر $n-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زاویهٔ بیشتر از $180^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وجود دارد.

کاشی‌کاری

کاشی‌کاری یعنی پوشاندن صفحه با چندضلعی‌ها بدون هم‌پوشانی و بدون شکاف. در کاشی‌کاری تک‌وجهی همهٔ کاشی‌ها همنهشت‌اند. شرط اصلی این است که مجموع زاویه‌های اطراف هر رأس $360^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد.

• از چندضلعی‌های منتظم فقط مثلث ($60^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، مربع ($90^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و شش‌ضلعی ($120^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) به تنهایی صفحه را می‌پوشانند، چون فقط برای این‌ها ۳۶۰ بر زاویه بخش‌پذیر است. زاویهٔ پنج‌ضلعی منتظم $108^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و ۳۶۰ بر ۱۰۸ بخش‌پذیر نیست.
• هر مثلثی صفحه را کاشی می‌کند: دو مثلث همنهشت متوازی‌الاضلاع می‌سازند و آن را در دو جهت جابه‌جا می‌کنیم. هر چهارضلعی (حتی مقعر) هم با چهار نسخه دور یک رأس صفحه را می‌پوشاند، چون مجموع زاویه‌هایش $360^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• ترکیب مربع، شش‌ضلعی منتظم و دوازده‌ضلعی منتظم روی هم $90+120+150=360$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درجه می‌شود و یک کاشی‌کاری می‌دهد.
• رینهارت ثابت کرد که شش‌ضلعی‌های محدب در سه دسته صفحه را تک‌وجهی کاشی می‌کنند و برای $n>6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هیچ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییضلعی محدبی این کار را نمی‌کند؛ ولی چندضلعی‌های مقعر این محدودیت را ندارند.

اشتباه‌های رایج