توان و جذر — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)

توان و جذر (ریاضی تیزهوشان هشتم)

توان یعنی ضرب تکراری و جذر یعنی عمل برعکس آن؛ اما این دو ابزار قدرتمندی برای مقایسهٔ عددهای غول‌پیکر و نمایش عددهایی هستند که روی محور اعداد «جا ندارند». در این فصل قاعده‌های توان را برای نوشتن عبارت به‌صورت یک عدد توان‌دار به کار می‌بری، معادله‌های توانی حل می‌کنی، عددهای رادیکالی را با پرگار روی محور می‌سازی و رادیکال‌ها را مقایسه می‌کنی.

قاعده‌های توان

اشتباه رایج: $a^{m^n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $a^{(m^n)}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و با $(a^m)^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فرق دارد: $2^{3^2}=2^9=512$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ولی $(2^3)^2=2^6=64$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

ترفند اصلی: برای ساده کردن و مقایسه، همهٔ عددها را به عامل‌های اول تجزیه کن: $4=2^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $8=2^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $24=2^3\cdot3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $27=3^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $18=2\cdot3^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثلاً

معادلهٔ توانی

برای حل معادله‌هایی مثل $3^4=3\times3^x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پایه‌ها را یکی کن و نماها را برابر بگذار: $4=1+x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر پایه‌ها متفاوت باشند، هر دو طرف را به عامل‌های اول ببر. مثلاً در $4^3=2^3\times2^x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $2^6=2^{3+x}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر معادله دو مجهول $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داشته باشد، $a^b=2^8\cdot3^4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را در نظر بگیر؛ چون $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید هم ۸ و هم ۴ را بشمارد، $b\in\{1,2,4\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و برای هر $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مقدار $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی معلوم می‌شود.

مقایسهٔ نماها: برای $n^{200}<5^{300}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هر دو طرف را به‌صورت توان صدم بنویس: $(n^2)^{100}<(5^3)^{100}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و پس $n^2<125$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و بزرگ‌ترین $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر ۱۱ است.

پرانتز در برج توان

عدد $2^{3^{4^5}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را می‌شود به پنج شکل پرانتزگذاری کرد و پنج مقدار متفاوت می‌دهد، مثل $2^{(3^{(4^5)})}=2^{3^{1024}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $((2^3)^4)^5=2^{60}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(2^3)^{(4^5)}=2^{3072}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. بدون پرانتز، قرارداد این است که توان‌ها از بالا به پایین حساب شوند.

عددهای غول‌پیکر

$4^{4^4}=4^{256}\approx1.34\times10^{154}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عددی با بیش از ۱۵۰ رقم است، و $4^{4^{4^4}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به قدری بزرگ می‌شود که نوشتن رقم‌هایش حتی روی کل سطح زمین ممکن نیست. برج توان‌ها آنقدر سریع رشد می‌کند که عددهای معمول (میلیارد، شمار ذره‌های جهان) در برابرش ناچیزند.

مربع‌های تودرتو: اگر هر مربع را با وصل کردن وسط ضلع‌های روبه‌رو به ۴ مربع تقسیم کنیم، بعد از ۶ مرحله $4^6=4096$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مربع کوچک داریم.

نمایش رادیکال روی محور

با قضیهٔ فیثاغورس و پرگار می‌شود $\sqrt a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را روی محور ساخت. وتر مثلث قائم‌الزاویه با ضلع‌های $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $\sqrt{x^2+y^2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و آن را با پرگار روی محور می‌بریم. دو راه برای ساختن $\sqrt7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

• از $4^2=(\sqrt7)^2+3^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: مثلث قائم‌الزاویه با وتر ۴ و یک ضلع قائم ۳ بساز؛ ضلع قائم دیگر $\sqrt7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• از $(\sqrt7)^2=(\sqrt3)^2+2^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: اول $\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بساز و بعد مثلثی با ضلع‌های $\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و ۲ بساز.

عددهایی مثل $\frac{\sqrt2}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (وسط پاره‌خط صفر تا $\sqrt2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، $\sqrt2+\sqrt5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (دو طول پشت هم) و $7-3\sqrt2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (کم کردن طول) هم به همین ترتیب ساخته می‌شوند. اگر دایره‌ای به مرکز ۱ و شعاع $\sqrt2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بزنیم، محور را در $1+\sqrt2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $1-\sqrt2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطع می‌کند.

مقایسهٔ مجموع‌های رادیکالی

برای مقایسهٔ دو مجموع رادیکالی، هر دو را به توان دو برسان. مثلاً

پس $\sqrt5+\sqrt{12}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بزرگ‌تر است. به همین ترتیب $(\sqrt{11}+\sqrt{12})^2=23+2\sqrt{132}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از $(\sqrt{10}+\sqrt{13})^2=23+2\sqrt{130}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بزرگ‌تر است.

دو نمونهٔ جالب: ضرب دو عدد مزدوج $\left(\frac{\sqrt5+1}{2}\right)^{200}\left(\frac{\sqrt5-1}{2}\right)^{200}=\left(\frac{5-1}{4}\right)^{200}=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، و $33333^3-27\times11111^3=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، چون $33333=3\times11111$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اشتباه‌های رایج