کودکی روی تابی نشسته که با دو طناب به یک شاخه بسته شده است و هر طناب با راستای قائم زاویهٔ θ میسازد. کشش هر طناب را بر حسب وزن W بنویسید و توضیح دهید چرا با بزرگتر شدن زاویه کشش بیشتر میشود.

مؤلفهٔ قائم کشش هر طناب T θ است. دو طناب باید با وزن در تعادل باشند: 2T θ=W ⇐ T=W/(2 θ) وقتی زاویهٔ θ بزرگتر میشود، θ کوچکتر میشود و در نتیجه T بیشتر میشود. برای زاویههای نزدیک 90^° مقدار θ نزدیک صفر است و کشش بسیار زیاد میشود؛ پس طنابهای عمودیتر ایمنترند.

بردار و مختصات — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)

Q: ربات از نقطهٔ (1,1) شروع میکند و دستورهای (2,3) و (-4,0) و (0,-6) را اجرا میکند. نقطهٔ پایانی و اندازهٔ جابهجایی کل را بیابید.

بردارها را مؤلفهبهمؤلفه جمع میکنیم: (2-4+0, 3+0-6)=(-2, -3) نقطهٔ پایان برابر نقطهٔ شروع بهعلاوهٔ بردار است: (1,1)+(-2,-3)=(-1, -2) اندازهٔ جابهجایی کل: √(-2)^2+(-3)^2=√13≈3.6

Q: نشان دهید مسیر مستقیم بین دو نقطه کوتاهتر از مسیر پلهای (یک پارهخط افقی و بعد یک پارهخط عمودی) است.

فرض کنید طول پارهخط افقی a و طول پارهخط عمودی b باشد (هر دو مثبت). مسیر مستقیم وتر مثلث قائمالزاویه است و طولش √a^2+b^2 و مسیر پلهای a+b است. مربع هر دو طرف را مقایسه میکنیم: a^2+b^2 0 است. چون هر دو طرف مثبتاند، میتوان جذر گرفت و √a^2+b^2<a+b را نتیجه گرفت. این همان نامساوی مثلث است.

Q: ربات دستورهای جابهجایی (1, 2) و سپس (3, 4) را اجرا میکند؛ بردار کل؟

(4, 6) — «(4, 6)» درست است، چون جمع مؤلفهها برابر (1+3، 2+4)=(4, 6) میشود. «(4, -2)» از جمعکردنِ مؤلفهها با علامت نادرست بهدست میآید. «(-2, 6)» فقط یکی از دو مؤلفه را درست نگه میدارد. «(5, 6)» با جابهجایی دادهها سازگار نیست. تلهٔ تستی: مختصات افقی و عمودی را ضرب یا تفریق میکنی. گزینهٔ درست «(4, 6)» است.

Q: جمع مؤلفهبهمؤلفهٔ (2,3)+(4,5) را پیدا کن.

(6, 8) — «(6, 8)» درست است، چون جمع مؤلفهها برابر (2+4، 3+5)=(6, 8) میشود. «(6, -2)» از جمعکردنِ مؤلفهها با علامت نادرست بهدست میآید. «(-2, 8)» فقط یکی از دو مؤلفه را درست نگه میدارد. «(7, 8)» با جابهجایی دادهها سازگار نیست. تلهٔ تستی: مختصات افقی و عمودی را ضرب یا تفریق میکنی. گزینهٔ درست «(6, 8)» است.

Q: قایق ۳ واحد شرق و ۴ شمال میرود، سپس ۵ شرق و ۶ شمال؛ جابهجایی نهایی؟

(8, 10) — «(8, 10)» درست است، چون جمع مؤلفهها برابر (3+5، 4+6)=(8, 10) میشود. «(8, -2)» از جمعکردنِ مؤلفهها با علامت نادرست بهدست میآید. «(-2, 10)» فقط یکی از دو مؤلفه را درست نگه میدارد. «(9, 10)» با جابهجایی دادهها سازگار نیست. تلهٔ تستی: مختصات افقی و عمودی را ضرب یا تفریق میکنی. گزینهٔ درست «(8, 10)» است.

Q: در محاسبهٔ (4,5)+(6,7)، بردار برآیند چیست؟

(10, 12) — «(10, 12)» درست است، چون جمع مؤلفهها برابر (4+6، 5+7)=(10, 12) میشود. «(10, -2)» از جمعکردنِ مؤلفهها با علامت نادرست بهدست میآید. «(-2, 12)» فقط یکی از دو مؤلفه را درست نگه میدارد. «(11, 12)» با جابهجایی دادهها سازگار نیست. تلهٔ تستی: مختصات افقی و عمودی را ضرب یا تفریق میکنی. گزینهٔ درست «(10, 12)» است.

Q: دو نیروی همجهت با مؤلفههای (5, 6) و (7, 8) برآیندشان چه برداری است؟

(12, 14) — «(12, 14)» درست است، چون جمع مؤلفهها برابر (5+7، 6+8)=(12, 14) میشود. «(12, -2)» از جمعکردنِ مؤلفهها با علامت نادرست بهدست میآید. «(-2, 14)» فقط یکی از دو مؤلفه را درست نگه میدارد. «(13, 14)» با جابهجایی دادهها سازگار نیست. تلهٔ تستی: مختصات افقی و عمودی را ضرب یا تفریق میکنی. گزینهٔ درست «(12, 14)» است.

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

بردار و مختصات (ریاضی تیزهوشان هشتم)

بردار یعنی «جابه‌جایی با اندازه و جهت». هر جا نیرو، سرعت یا مسیر هست، بردار هست: ربات، قایق در رودخانه، طناب تاب و حتی شکستن تخم‌مرغ. در این فصل دستورهای ربات را به بردار تبدیل می‌کنی، بردارها را جمع می‌کنی، نیرو را به مؤلفه‌ها تجزیه می‌کنی و مسئلهٔ غواص در رودخانه را با جمع بردارها حل می‌کنی.

بازی نخ و قلم

سه نفر هر کدام یک نخ به کمرشان بسته‌اند و سر دیگر هر سه نخ به یک قلم گره خورده است. هر نفر روی یک رأس مثلث متساوی‌الاضلاع می‌ایستد و باید قلم را بدون دست زدن به درون بطری وسط مثلث ببرد. ریاضی بازی: برآیند سه نیرو، یعنی جمع سه بردار، باید قلم را به مرکز ببرد. چون زاویهٔ بین نخ‌ها $120^\circ$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، اگر هر سه نفر یکسان بکشند برآیند صفر می‌شود؛ پس باید اندازهٔ نیروها هماهنگ شود.

مسیر مستقیم و مسیر پله‌ای

دستور ربات $(100E)(48N)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی اول ۱۰۰ واحد شرق و بعد ۴۸ واحد شمال. اگر موتورها هم‌زمان کار کنند، ربات مورب حرکت می‌کند و دستور را می‌شود یک‌جا نوشت:

(100,\,48),\qquad \text{length}=\sqrt{100^2+48^2}\approx110.9

یعنی حدود ۱۱ درصد کوتاه‌تر از مسیر پله‌ای ۱۴۸ واحدی. دلیل کلی: وتر مثلث قائم‌الزاویه از مجموع دو ضلع کمتر است، چون

a^2+b^2<a^2+2ab+b^2\ \Rightarrow\ \sqrt{a^2+b^2}<a+b\qquad (a,b>0)

نماد برداری

به‌جای $E$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $N$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود از $\mathbf i$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (یک واحد شرق) و $\mathbf j$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (یک واحد شمال) استفاده کرد؛ پس $3\mathbf i-\mathbf j$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی سه واحد شرق و یک واحد جنوب هم‌زمان. دستور $(3,-1)(2,7)(-5,-4)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را با جمع مؤلفه‌ها ساده می‌کنیم:

(3+2-5,\ -1+7-4)=(0,\,2)

یعنی ربات در پایان ۲ واحد بالاتر از نقطهٔ شروع است.

قاعده‌های جمع بردارها:

(a,b)+(c,d)=(a+c,\,b+d),\qquad k(a,b)=(ka,kb),\qquad -(a,b)=(-a,-b)

اندازهٔ بردار $(a,b)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر $\sqrt{a^2+b^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ مثلاً اندازهٔ $(5,12)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر ۱۳ است، نه ۱۷. و نقطهٔ پایان = نقطهٔ شروع + بردار.

نیرو هم بردار است

نیرو اندازه و جهت دارد و مثل جابه‌جایی با جمع بردارها ترکیب می‌شود: $\vec F=\vec F_1+\vec F_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. هر نیرو را می‌شود به دو مؤلفهٔ افقی و عمودی تجزیه کرد؛ اگر نیرو با افق زاویهٔ $\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بسازد:

F_x=F\cos\theta,\qquad F_y=F\sin\theta

تاب کودک: دو طناب تاب باید با وزن کودک در تعادل باشند. اگر هر طناب با راستای قائم زاویهٔ $\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بسازد:

2T\cos\theta=W\ \Rightarrow\ T=\frac{W}{2\cos\theta}

وقتی طناب‌ها تقریباً عمودی‌اند، هر طناب حدود نصف وزن را تحمل می‌کند؛ اما هرچه زاویه بزرگ‌تر شود، کشش هر طناب بیشتر می‌شود و برای زاویه‌های نزدیک $90^\circ$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بی‌نهایت میل می‌کند. به همین دلیل طنابی که بازوهای گسترده را تحمل نکند، پاره می‌شود، حتی اگر وزن ثابت باشد.

کشتی بادبانی: حتی با باد مخالف، ناخدا با زاویه دادن به بادبان نیروی باد را به دو مؤلفه تجزیه می‌کند: یکی عمود بر بادبان و یکی موازی آن. شکل پهلوی کشتی از حرکت جانبی جلوگیری می‌کند و فقط مؤلفهٔ رو به جلو اثر می‌کند. با مسیر زیگزاگ (تاک کردن) کشتی به مقصد می‌رسد.

غواص و رودخانه

اگر آب راکد باشد، غواص برای رسیدن به نقطهٔ روبه‌رو مستقیم شنا می‌کند. اگر رودخانه جریان داشته باشد، جریان غواص را با بردار $\vec b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌برد و حرکت واقعی او مجموع دو بردار است:

\vec v_{\text{total}}=\vec a+\vec b

برای رسیدن به نقطهٔ مقابل باید مقداری بالادست شروع کند؛ جابه‌جایی جریان در مدت عبور برابر $b\,t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است که $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین زمان عبور از عرض رود است. اگر جریان یکنواخت نباشد (وسط رود تندتر از کنار)، باید میانگین جریان در طول مسیر را حساب کرد، و اگر توان غواص در طول مسیر کم شود، زمان عبور بیشتر و نقطهٔ شروع بالاتر لازم است.

درس مدل‌سازی: این مدل فرض‌های ساده دارد (جریان ساده، قدرت ثابت، بدون گرداب و باد)؛ پیش از استفادهٔ واقعی باید با داده‌های واقعی سنجیده شود.

ریاضیات تخم‌مرغ

یک تخم‌مرغ را بین سر و ته با قاشق بزن: نمی‌شکند؛ از کناره بزن: راحت‌تر می‌شکند. توضیح بر پایهٔ تجزیهٔ نیرو: پوستهٔ سر و ته ضخیم‌تر و بسیار خمیده است و ضربه به‌صورت مؤلفهٔ مماس در امتداد پوسته پخش می‌شود و قطعه‌های پوسته مثل طاق به هم فشرده می‌شوند. در کناره پوسته کم‌خم‌تر و نازک‌تر است و مؤلفهٔ عمود بر پوسته بزرگ می‌شود و قطعه‌ها را از هم جدا می‌کند. اگر نیرو با مماس زاویهٔ $\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بسازد، مؤلفهٔ مماس $F\cos\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و مؤلفهٔ عمود $F\sin\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

اشتباه‌های رایج

اشتباه	درست
$(3,4)+(1,2)=(3,8)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	جمع مؤلفه‌به‌مؤلفه: $(4,6)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
اندازهٔ $(3,4)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر ۷ است.	$\sqrt{3^2+4^2}=5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
مسیر پله‌ای و مورب هم‌طول‌اند.	مورب کوتاه‌تر است.
هرچه زاویهٔ دو طناب بیشتر باشد، کشش کمتر است.	کشش بیشتر می‌شود.

سؤال تستی

۵ تست با پاسخنامه‌ی تحلیلی — برای دیدن بزن

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

چرا گزینه‌ی درست، درست است
چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. ربات دستورهای جابه‌جایی $(1, 2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و سپس $(3, 4)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را اجرا می‌کند؛ بردار کل؟

$(-2, 6)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$(5, 6)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$(4, 6)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$(4, -2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

« $(4, 6)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است، چون جمع مؤلفه‌ها برابر $(1+3، 2+4)=<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mn>4</mn><mo separator="true">,</mo><mn>6</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(4, 6)</annotation></semantics></math>(4,6)ادامهٔ فرمول را افقی ببین<button type="button" class="math-expand" data-math-expand aria-label="بزرگ‌نمایی فرمول">بزرگ‌نمایی</button>$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود. « $(4, -2)$ » از جمع‌کردنِ مؤلفه‌ها با علامت نادرست به‌دست می‌آید. « $(-2, 6)$ » فقط یکی از دو مؤلفه را درست نگه می‌دارد. « $(5, 6)$ » با جابه‌جایی داده‌ها سازگار نیست. تلهٔ تستی: مختصات افقی و عمودی را ضرب یا تفریق می‌کنی. گزینهٔ درست « $(4, 6)$ » است.

2. جمع مؤلفه‌به‌مؤلفهٔ $(2,3)+(4,5)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را پیدا کن.

$(6, -2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$(-2, 8)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$(7, 8)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$(6, 8)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

« $(6, 8)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است، چون جمع مؤلفه‌ها برابر $(2+4، 3+5)=<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mn>6</mn><mo separator="true">,</mo><mn>8</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(6, 8)</annotation></semantics></math>(6,8)ادامهٔ فرمول را افقی ببین<button type="button" class="math-expand" data-math-expand aria-label="بزرگ‌نمایی فرمول">بزرگ‌نمایی</button>$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود. « $(6, -2)$ » از جمع‌کردنِ مؤلفه‌ها با علامت نادرست به‌دست می‌آید. « $(-2, 8)$ » فقط یکی از دو مؤلفه را درست نگه می‌دارد. « $(7, 8)$ » با جابه‌جایی داده‌ها سازگار نیست. تلهٔ تستی: مختصات افقی و عمودی را ضرب یا تفریق می‌کنی. گزینهٔ درست « $(6, 8)$ » است.

3. قایق ۳ واحد شرق و ۴ شمال می‌رود، سپس ۵ شرق و ۶ شمال؛ جابه‌جایی نهایی؟

$(9, 10)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$(8, 10)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$(8, -2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$(-2, 10)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

« $(8, 10)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است، چون جمع مؤلفه‌ها برابر $(3+5، 4+6)=<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mn>8</mn><mo separator="true">,</mo><mn>10</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(8, 10)</annotation></semantics></math>(8,10)ادامهٔ فرمول را افقی ببین<button type="button" class="math-expand" data-math-expand aria-label="بزرگ‌نمایی فرمول">بزرگ‌نمایی</button>$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود. « $(8, -2)$ » از جمع‌کردنِ مؤلفه‌ها با علامت نادرست به‌دست می‌آید. « $(-2, 10)$ » فقط یکی از دو مؤلفه را درست نگه می‌دارد. « $(9, 10)$ » با جابه‌جایی داده‌ها سازگار نیست. تلهٔ تستی: مختصات افقی و عمودی را ضرب یا تفریق می‌کنی. گزینهٔ درست « $(8, 10)$ » است.

4. در محاسبهٔ $(4,5)+(6,7)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، بردار برآیند چیست؟

$(10, -2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$(-2, 12)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$(11, 12)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$(10, 12)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

« $(10, 12)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است، چون جمع مؤلفه‌ها برابر $(4+6، 5+7)=<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mn>10</mn><mo separator="true">,</mo><mn>12</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(10, 12)</annotation></semantics></math>(10,12)ادامهٔ فرمول را افقی ببین<button type="button" class="math-expand" data-math-expand aria-label="بزرگ‌نمایی فرمول">بزرگ‌نمایی</button>$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود. « $(10, -2)$ » از جمع‌کردنِ مؤلفه‌ها با علامت نادرست به‌دست می‌آید. « $(-2, 12)$ » فقط یکی از دو مؤلفه را درست نگه می‌دارد. « $(11, 12)$ » با جابه‌جایی داده‌ها سازگار نیست. تلهٔ تستی: مختصات افقی و عمودی را ضرب یا تفریق می‌کنی. گزینهٔ درست « $(10, 12)$ » است.

5. دو نیروی هم‌جهت با مؤلفه‌های $(5, 6)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $(7, 8)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برآیندشان چه برداری است؟

$(13, 14)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$(12, 14)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$(12, -2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$(-2, 14)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

« $(12, 14)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است، چون جمع مؤلفه‌ها برابر $(5+7، 6+8)=<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mn>12</mn><mo separator="true">,</mo><mn>14</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(12, 14)</annotation></semantics></math>(12,14)ادامهٔ فرمول را افقی ببین<button type="button" class="math-expand" data-math-expand aria-label="بزرگ‌نمایی فرمول">بزرگ‌نمایی</button>$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود. « $(12, -2)$ » از جمع‌کردنِ مؤلفه‌ها با علامت نادرست به‌دست می‌آید. « $(-2, 14)$ » فقط یکی از دو مؤلفه را درست نگه می‌دارد. « $(13, 14)$ » با جابه‌جایی داده‌ها سازگار نیست. تلهٔ تستی: مختصات افقی و عمودی را ضرب یا تفریق می‌کنی. گزینهٔ درست « $(12, 14)$ » است.

نمونه سؤال تشریحی

۳ سؤال امتحانی با پاسخ نمونه — برای دیدن بزن

۱. ربات از نقطهٔ $(1,1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شروع می‌کند و دستورهای $(2,3)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $(-4,0)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $(0,-6)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را اجرا می‌کند. نقطهٔ پایانی و اندازهٔ جابه‌جایی کل را بیابید.

پاسخ نمونه

بردارها را مؤلفه‌به‌مؤلفه جمع می‌کنیم:

(2-4+0,\ 3+0-6)=(-2,\,-3)

نقطهٔ پایان برابر نقطهٔ شروع به‌علاوهٔ بردار است:

(1,1)+(-2,-3)=(-1,\,-2)

اندازهٔ جابه‌جایی کل:

\sqrt{(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{13}\approx3.6

۲. نشان دهید مسیر مستقیم بین دو نقطه کوتاه‌تر از مسیر پله‌ای (یک پاره‌خط افقی و بعد یک پاره‌خط عمودی) است.

پاسخ نمونه

فرض کنید طول پاره‌خط افقی $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و طول پاره‌خط عمودی $b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد (هر دو مثبت). مسیر مستقیم وتر مثلث قائم‌الزاویه است و طولش $\sqrt{a^2+b^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و مسیر پله‌ای $a+b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

مربع هر دو طرف را مقایسه می‌کنیم:

a^2+b^2<a^2+2ab+b^2

چون $ab>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. چون هر دو طرف مثبت‌اند، می‌توان جذر گرفت و $\sqrt{a^2+b^2}<a+b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را نتیجه گرفت. این همان نامساوی مثلث است.

۳. کودکی روی تابی نشسته که با دو طناب به یک شاخه بسته شده است و هر طناب با راستای قائم زاویهٔ $\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌سازد. کشش هر طناب را بر حسب وزن $W$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بنویسید و توضیح دهید چرا با بزرگ‌تر شدن زاویه کشش بیشتر می‌شود.

پاسخ نمونه

مؤلفهٔ قائم کشش هر طناب $T\cos\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. دو طناب باید با وزن در تعادل باشند:

2T\cos\theta=W\ \Rightarrow\ T=\frac{W}{2\cos\theta}

وقتی زاویهٔ $\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بزرگ‌تر می‌شود، $\cos\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کوچک‌تر می‌شود و در نتیجه $T$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بیشتر می‌شود. برای زاویه‌های نزدیک $90^\circ$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مقدار $\cos\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نزدیک صفر است و کشش بسیار زیاد می‌شود؛ پس طناب‌های عمودی‌تر ایمن‌ترند.

مباحث مرتبط

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان