جبر و معادله — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)

جبر و معادله (ریاضی تیزهوشان هشتم)

جبر، زبان توصیف الگوها و حل مسئله‌های «ندانسته» است. در این فصل عبارت‌های جبری را ساده می‌کنی و چندجمله‌ای‌ها را در هم ضرب می‌کنی، مقدار عددی عبارت‌ها را بررسی می‌کنی، عبارت را به عامل‌ها تجزیه می‌کنی، از تجزیه برای اثبات مرکب بودن عدد و بخش‌پذیری استفاده می‌کنی، و معادله می‌نویسی و مسئله‌های کلامی را حل می‌کنی. اشتباه‌های رایج را هم می‌شناسی.

الگو و جملهٔ عمومی

یک نمونهٔ زیبا از الگو:

سطر $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییام با $n^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شروع می‌شود، سمت چپ $n+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جمله و سمت راست $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جمله دارد، و می‌شود با جبر ثابت کرد که این تساوی برای هر $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برقرار است. این همان تفاوت دیدن الگو و اثبات الگو است.

ده جملهٔ بعد در دنبالهٔ $2,4,8,\dots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: چند نفر جواب‌های متفاوتی می‌دهند و همگی درست‌اند، چون سه جمله چندین قانون را می‌پذیرد: دو برابر کردن ($2^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، افزایش‌های $2,4,6,\dots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و حتی «جمع سه جملهٔ قبل». از چند جملهٔ ابتدایی نمی‌شود جملهٔ بعد را با قطعیت گفت.

ضرب چندجمله‌ای‌ها

دو روش:

• توزیع: هر جملهٔ عبارت اول را در همهٔ جمله‌های دوم ضرب کن.
• ستونی: درست مثل ضرب دو عدد چندرقمی.

روش ستونی را می‌شود برای ضرب اعداد هم به کار برد: $154\times38=154\times30+154\times8=4620+1232=5852$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. حاصل‌ضرب $(10a+b)(10b+a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم برابر $101ab+10a^2+10b^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

ترفند عددی: مربع عددی که با ۵ تمام می‌شود، با دهگان $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

مثلاً $105^2=100\times10\times11+25=11025$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

چاپ شش‌رقمی: اگر عدد سه‌رقمی $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بنویسیم و بعد از آن $999-n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را کنارش بگذاریم، عدد شش‌رقمی $999(n+1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود و بر $999=27\times37$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بخش‌پذیر است. باید $999-n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه سه‌رقمی (با صفر ابتدایی) نوشته شود.

مقدار عددی و علامت

عبارت $n^2+n+41$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای $n=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تا $39$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه اول است، ولی برای $n=40$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مقدارش $1681=41^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مرکب است. یک الگو با چند مثال ثابت نمی‌شود؛ با یک مثال نقض رد می‌شود.

برای تعیین علامت یک عبارت، علامت متغیرها را بررسی کن. مثلاً اگر $a>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b,c<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، $(b-a)^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی منفی است، چون $b-a<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و توان فرد علامت را نگه می‌دارد.

بهینه‌سازی با جبر

• از بین مستطیل‌های هم‌محیط، مربع بیشترین مساحت را دارد. اگر محیط $4a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد و عرض $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، مساحت $b(2a-b)=a^2-(a-b)^2\le a^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• برای حصار کشاورز با ۶۰۰ متر سیم‌توری و سه ضلع، از $x+2y=600$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $S=\frac{x(600-x)}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه می‌شود که بیشینه مساحت وقتی است که $x=300$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y=150$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد.

نمونه‌های بیشتر از بسط

چند بسط که باید بتوانی بدون خطا انجام دهی:

در بسط‌های بلندتر، جمله‌های متشابه را مرتب کنار هم بنویس. بسط حاصل‌ضرب $(x^2+ax+1)(x+b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حداکثر چهار جمله دارد، چون درجهٔ حاصل ۳ است و هر توان $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط یک بار می‌تواند ظاهر شود.

عمل‌های ساختگی

گاهی مسئله دو عمل تازه تعریف می‌کند، مثلاً $a\perp b=a-\frac b2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $a\top b=\frac a2-b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. کافی است تعریف را مرحله‌به‌مرحله و از داخل پرانتز به بیرون اجرا کنی. بعضی نتیجه‌ها شگفت‌انگیز است: اگر $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قرینهٔ هم باشند، هر دو عمل مقدار یکسانی می‌دهند، و $a\top b=b\top a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط وقتی برقرار است که $a=b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد.

نقطهٔ گرهی در کاشی‌کاری

اگر چند چندضلعی منتظم با $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضلع دور یک رأس صفحه را بپوشانند، باید مجموع زاویه‌هایشان $360^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شود. با زاویهٔ داخلی $180-\frac{360}{a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی این شرط برای سه چندضلعی می‌شود

مثلاً $(3,7,42)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(5,5,10)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(4,6,12)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جواب‌اند، اما $(3,4,5)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جواب نیست. چنین مسئله‌هایی جبر را به هندسه وصل می‌کنند.

تجزیهٔ عبارت‌های جبری

سه روش اصلی:

1. فاکتورگیری: $ab+ac=a(b+c)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی
2. دسته‌بندی: $xz+xw-yz-yw=x(z+w)-y(z+w)=(x-y)(z+w)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی
3. اتحادها: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

مثال‌ها: $ab-a+b-1=(a+1)(b-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(a-18)^2+(18-a)=(a-18)(a-19)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. در این نوع تمرین‌ها دقت کن که $(18-a)=-(a-18)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

تجزیه کسر را ساده می‌کند: $\frac{42xy^3-35x^2y}{7xy}=6y^2-5x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

تجزیه جلوی استدلال غلط را می‌گیرد. اگر از $x=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شروع کنی و بعد دو طرف را بر $x-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تقسیم کنی، در واقع بر صفر تقسیم کرده‌ای و می‌توانی «ثابت کنی» هر چیزی را. هرگز دو طرف تساوی را بر عبارتی که ممکن است صفر شود تقسیم نکن؛ حالت صفر را جدا بررسی کن. مثلاً از $x(x+1)=x(x-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با انتقال جمله‌ها $2x=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به دست می‌آید، در حالی که تقسیم بر $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی این جواب را گم می‌کرد.

اثبات مرکب بودن

اگر عبارتی را بتوان به حاصل‌ضرب دو عدد بزرگ‌تر از ۱ نوشت، مرکب است:

• $1+2+\dots+97=\frac{97\times98}{2}=97\times49$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مرکب است.
• $97!+83$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بر ۸۳ بخش‌پذیر است و از ۸۳ بزرگ‌تر است.
• $n^2-1=(n-1)(n+1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای $n>2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مرکب است.
• مجموع پنج عدد متوالی برابر ۵ برابر عدد وسط است؛ پس هرگز اول نیست.
• $56m=65n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $\gcd(56,65)=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه می‌دهد $m=65k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $n=56k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $m+n=121k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مرکب است.

درست یا نادرست؟ هر مضرب ۴ تفاضل دو مربع است، چون $4k=(k+1)^2-(k-1)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ اما هر تفاضل دو مربع مضرب ۴ نیست، مثل $3^2-2^2=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مربع هر عدد فرد منهای یک بر ۸ بخش‌پذیر است، چون $(2k+1)^2-1=4k(k+1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $k(k+1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج است.

معادله

معادله مثل ترازو است: هر کاری در یک طرف بکنی، در طرف دیگر هم بکن.

• در مربع جادویی ۳×۳ با اعداد ۱ تا ۹، خانهٔ وسط همیشه ۵ است: جمع چهار خط گذرنده از مرکز برابر $4\times15=60$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ هر خانه یک بار و مرکز چهار بار شمرده می‌شود، پس $45+3\cdot\text{center}=60$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• رابطهٔ سلسیوس و فارنهایت از دو نقطهٔ $(0,32)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(100,212)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به دست می‌آید: $F=1.8\,C+32$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. در $-40$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هر دو مقیاس یک عدد را نشان می‌دهند.
• برای معادلهٔ $ab=10+a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌نویسیم $a(b-1)=10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و شمارنده‌های ۱۰ را بررسی می‌کنیم.

مسئله‌های کلامی

• درصد: تخفیفی که قیمت $5p$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به $3p$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برساند ۴۰٪ است.
• میانگین: اگر $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نفر میانگین $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داشته باشند و فرد ۶۱ ساله وارد شود و میانگین به $n+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برسد، از $n^2+61=(n+1)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه می‌شود $n=30$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• میانگین سرعت رفت‌وبرگشت: اگر مسافتی را با سرعت ۳۰ برویم و با سرعت ۹۰ برگردیم، میانگین سرعت ۶۰ نیست، چون زمان‌ها برابر نیستند:$$\text{average speed}=\frac{2d}{\frac d{30}+\frac d{90}}=45\ \text{km/h}$$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییدر حالت کلی این میانگین هماهنگ $\frac{2uv}{u+v}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• بیشینهٔ یک عدد با میانگین معلوم: اگر میانگین ۱۶ عدد متمایز ۱۶ باشد، مجموع ۲۵۶ است و بزرگ‌ترین عدد وقتی بیشینه می‌شود که ۱۵ عدد دیگر کوچک‌ترین ممکن ($1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تا $15$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) باشند.

دستگاه‌های ورودی و خروجی

بعضی مسئله‌ها زنجیرهٔ ماشین‌هایی می‌دهند که هر کدام ورودی را با قانونی ساده تغییر می‌دهد (مثل مجذور قرینه یا دو واحد بیشتر از نصف ورودی). خروجی هر ماشین ورودی ماشین بعدی است. راه حل: به‌جای عدد، یک متغیر مثل $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگذار، هر مرحله را به‌صورت عبارت جبری بنویس و نتیجه را ساده کن؛ برای پیدا کردن ورودی از روی خروجی، زنجیره را برعکس و با عمل‌های معکوس اجرا کن.

بررسی جواب‌ها

بعد از حل هر معادلهٔ کلامی، جواب را در متن مسئله بگذار، نه فقط در معادله. مثلاً ممکن است معادله دو جواب بدهد ولی یکی از آن‌ها (مثل ضلع منفی یا عدد غیرصحیح برای تعداد نفرات) در متن مسئله معنا نداشته باشد.

اشتباه‌های رایج