عددهای اول — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)

عددهای اول (ریاضی تیزهوشان هشتم)

عددهای اول «اتم‌های» عددهای طبیعی‌اند و هنوز مسئله‌های حل‌نشدهٔ زیادی دربارهٔ آن‌ها هست؛ مثلاً حدس گلدباخ که در نامه‌ای به اویلر مطرح شد: هر عدد زوج بزرگ‌تر از ۲ مجموع دو عدد اول است. در این فصل مفهوم نسبت به هم اول بودن را دقیق می‌کنی، با غربال اراتستن اول‌ها را تعیین می‌کنی، چند واقعیت مهم را با استدلال ثابت می‌کنی و «ماشین کانوی» را می‌بینی.

یک درس از گفتگوی ابتدای فصل

سواد ریاضی مهم‌تر است یا هنر تدریس؟ پاسخ این است که هر دو، و بسته به شاگردان فرق می‌کند. برای دانش‌آموزان نخبه باید مسئله‌هایی با عمق بیشتر داد. عددهای اول جای خوبی برای تمرین چنین مسئله‌هایی‌اند، چون هر سؤال ساده دربارهٔ آن‌ها می‌تواند به یک مسئلهٔ باز برسد.

مرور تعریف‌ها

• عدد اول: عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ با دقیقاً دو شمارندهٔ ۱ و خودش.
• نسبت به هم اول: دو عدد که ب.م.م آن‌ها ۱ است؛ لازم نیست خودشان اول باشند ($8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $15$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).
• تجزیه: هر عدد بزرگ‌تر از ۱ به یک شکل یکتا حاصل‌ضرب اول‌هاست.

دو عدد متوالی همیشه نسبت به هم اول‌اند: هر شمارندهٔ مشترک $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $n+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تفاضل آن‌ها یعنی ۱ را هم می‌شمارد.

شمردن عددهای هم‌اول: تعداد عددهای کوچک‌تر از ۳۰ که نسبت به ۳۰ اول‌اند ۸ تاست؛ کافی است عددهایی را بشماری که نه زوج‌اند، نه مضرب ۳ و نه مضرب ۵. اگر $p$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عددی اول باشد:

• تعداد عددهای کوچک‌تر از $p$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و نسبت به $p$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اول برابر $p-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• تعداد عددهای کوچک‌تر از $p^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و نسبت به $p^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اول برابر $p^2-p$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، چون فقط مضرب‌های $p$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مشکل دارند.

چرا بررسی تا جذر کافی است؟

اگر $n=ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $1<a\le b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، آنگاه $a^2\le ab=n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و در نتیجه $a\le\sqrt n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس هر عدد مرکب $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شمارندهٔ اولی کوچک‌تر یا مساوی $\sqrt n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد. برای بررسی اول بودن ۱۰۱ کافی است ۲ و ۳ و ۵ و ۷ را امتحان کنی، چون $\sqrt{101}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کمی بیشتر از ۱۰ است. در غربال اراتستن هم، مضرب‌های اول‌های کوچک‌تر از جذر را حذف می‌کنیم و هر عددی که زنده بماند اول است.

بیشترین تعداد عددهای دورقمی پشت سر هم که هیچ‌کدام اول نیستند ۷ است: $90,91,\dots,96$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. عدد $2021$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اول نیست، چون $2021=43\times47$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

جدول نینا: چه زمانی عدد فرد مرکب است؟

جدول $T(i,j)=2ij+i+j$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را برای $i,j\ge1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در نظر بگیر. نینا ادعا می‌کند: اگر $m$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در جدول ظاهر شود، $2m+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اول نیست؛ و اگر ظاهر نشود، $2m+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اول است. دلیلش یک تجزیهٔ زیبا است:

یعنی $2m+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مرکب است اگر و فقط اگر حاصل‌ضرب دو عدد فرد بزرگ‌تر از ۱ باشد. مثلاً $m=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در جدول است و $2m+1=9=3\times3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مرکب است، ولی $m=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در جدول نیست و $11$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اول است.

بین n و 2n همیشه اول هست

دنبالهٔ $2,3,5,7,13,23,43,83,163,317,631$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بنویس که هر عضو آن از دو برابر عضو قبلی کوچک‌تر است. اگر $n<631$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، $p$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را کوچک‌ترین عضو دنباله بگیر که از $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بزرگ‌تر است. عضو قبلی $q\le n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و $p<2q\le2n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ پس $p$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اولی بین $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $2n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. اینکه برای هر $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چنین اولی هست، قضیهٔ برتران–چبیشف است و اثباتش سخت‌تر است.

ردیف مضرب‌ها

اگر برای هر عدد اول یک ردیف از مضرب‌هایش بنویسی، هر عدد مرکب برای اولین بار در ردیفِ کوچک‌ترین شمارندهٔ اولش ظاهر می‌شود. مثلاً $91=7\times13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اولین بار در ردیف ۷ است و هر عدد مرکب کمتر از ۳۰۰ حتماً تا ردیف ۱۷ دیده می‌شود، چون کوچک‌ترین عامل اولش از $\sqrt{300}<17.4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بیشتر نیست.

ماشین کانوی

جان کانوی ریاضی‌دان در ۱۹۸۷ ماشینی ساخت که فقط با ده کسر، عددهای اول را تولید می‌کند. قانونش این است: با عدد ۱۰ شروع کن و در هر مرحله عدد فعلی را از چپ به راست در کسرها ضرب کن تا اولین‌بار حاصل طبیعی شود؛ آن عدد را نگه دار و دوباره از ابتدای فهرست شروع کن. هر وقت حاصل توانی از ۱۰ باشد، توان یکی از اول‌هاست و این توان‌ها دقیقاً به ترتیب اول‌ها ظاهر می‌شوند: $10^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $10^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $10^5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $10^7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $10^{11}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و… این ماشین در واقع یک برنامهٔ رایانه‌ای فشرده است که بخش‌پذیری را با ضرب و تقسیم انجام می‌دهد.

اشتباه‌های رایج