میانگین اعداد 48, 52, 50, 47, 53 را با روش حدس و فاصله حساب کنید و نشان دهید مجموع فاصلهها از میانگین صفر است.

حدس را h=50 میگیریم. فاصلهٔ هر عدد از حدس: -2, 2, 0, -3, 3 که مجموعشان صفر است. پس: x=50+0/5=50 چون میانگین همان ۵۰ است، فاصلهها از میانگین هم همان فاصلهها از حدساند و مجموعشان صفر است. در حالت کلی (xi- x)= xi-n x=0.

در یک دانشگاه برای رشتهٔ معماری ۵۰۰ خانم متقاضی و ۱۰۰ نفر پذیرفتهشده بوده است؛ ۲۰۰ آقا با ۲۰ پذیرفتهشده. برای مهندسی ۴۰۰ خانم با ۳۶۰ پذیرفتهشده و ۱۰۰۰ آقا با ۸۰۰ پذیرفتهشده. نرخ پذیرش را در هر رشته و در مجموع مقایسه کنید و تناقض ظاهری را توضیح دهید.

نرخهای هر رشته: - معماری: خانمها 100/500=20% و آقایان 20/200=10% - مهندسی: خانمها 360/400=90% و آقایان 800/1000=80% در هر دو رشته نرخ پذیرش خانمها بیشتر است. اما در مجموع: خانمها 460/900≈51% و آقایان 820/1200≈68% که برای آقایان بیشتر است. دلیل: بیشتر خانمها برای رشتهٔ معماری با نرخ پذیرش پایین درخواست دادهاند و بیشتر آقایان برای مهندسی با نرخ پذیرش بالا. ترکیب (وزن) متقاضیان در زیرگروهها متفاوت است. به این پدیده پارادوکس سیمپسون میگویند.

یک سکهٔ سالم را ده بار انداختهایم و هر ده بار «پشت» آمده است. احتمال «رو» آمدن در پرتاب یازدهم چقدر است و چرا؟

احتمال رو آمدن در پرتاب یازدهم همچنان 12 است. هر پرتاب سکه مستقل از پرتابهای قبلی است و سکه حافظه ندارد؛ نتیجهٔ ده پرتاب قبلی در پرتاب یازدهم اثری ندارد. این فکر که «حالا نوبت رو است و شانس باید جبران شود» مغالطهٔ قمارباز نام دارد. با پرتابهای بسیار زیاد، نسبت رو و پشت به 12 نزدیک میشود، ولی نه به این دلیل که سکه خطاهای قبلی را جبران میکند، بلکه چون تعداد پرتابها آنقدر زیاد میشود که ده پشت اول اثر ناچیزی دارد.

میانگین سه دادهٔ ۶، ۸ و ۱۰ را بیاب.

۸ — «۸» درست است، چون جمع دادهها ۲۴ و تعدادشان ۳ است؛ میانگین 24÷ 3=8. «۱۰» از جمع فراوانیها یا حالتها بهجای وزنکردن بهدست میآید. «۶» مخرج فضای نمونه را نادرست میگیرد. «۱۶» رویداد مکمل را نادیده میگیرد. تلهٔ تستی: فقط بزرگترین داده را برمیگزینی. گزینهٔ درست «۸» است.

سه نمره با فاصلهٔ برابر ۳ از عدد میانی ۱۰ داریم؛ میانگین چیست؟

۱۰ — «۱۰» درست است، چون جمع دادهها ۳۰ و تعدادشان ۳ است؛ میانگین 30÷ 3=10. «۱۳» از جمع فراوانیها یا حالتها بهجای وزنکردن بهدست میآید. «۷» مخرج فضای نمونه را نادرست میگیرد. «۲۰» رویداد مکمل را نادیده میگیرد. تلهٔ تستی: فقط بزرگترین داده را برمیگزینی. گزینهٔ درست «۱۰» است.

اگر دادهها [۸, ۱۲, ۱۶] باشند، مقدار متوسط حسابی کدام است؟

۱۲ — «۱۲» درست است، چون جمع دادهها ۳۶ و تعدادشان ۳ است؛ میانگین 36÷ 3=12. «۱۶» از جمع فراوانیها یا حالتها بهجای وزنکردن بهدست میآید. «۸» مخرج فضای نمونه را نادرست میگیرد. «۲۴» رویداد مکمل را نادیده میگیرد. تلهٔ تستی: فقط بزرگترین داده را برمیگزینی. گزینهٔ درست «۱۲» است.

مجموع 9+14+19 را بر ۳ تقسیم کن؛ میانگین؟

۱۴ — «۱۴» درست است، چون جمع دادهها ۴۲ و تعدادشان ۳ است؛ میانگین 42÷ 3=14. «۱۹» از جمع فراوانیها یا حالتها بهجای وزنکردن بهدست میآید. «۹» مخرج فضای نمونه را نادرست میگیرد. «۲۸» رویداد مکمل را نادیده میگیرد. تلهٔ تستی: فقط بزرگترین داده را برمیگزینی. گزینهٔ درست «۱۴» است.

در مجموعهٔ متقارن ۱۰، ۱۶، ۲۲، میانگین را پیدا کن.

۱۶ — «۱۶» درست است، چون جمع دادهها ۴۸ و تعدادشان ۳ است؛ میانگین 48÷ 3=16. «۲۲» از جمع فراوانیها یا حالتها بهجای وزنکردن بهدست میآید. «۱۰» مخرج فضای نمونه را نادرست میگیرد. «۳۲» رویداد مکمل را نادیده میگیرد. تلهٔ تستی: فقط بزرگترین داده را برمیگزینی. گزینهٔ درست «۱۶» است.

آمار و احتمال — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)

آمار و احتمال (ریاضی تیزهوشان هشتم)

آمار به تو کمک می‌کند حجم زیادی از داده را خلاصه کنی و گول عددها را نخوری؛ احتمال هم «شانس» را با عدد می‌سنجد. در این فصل میانگین را به دو روش حساب می‌کنی، می‌فهمی میانگین کجا گمراه‌کننده است، احتمال را برای تاس، سکه، مهره و رمز می‌شماری و حالت‌ها را با جدول و اصل ضرب می‌شماری.

میانگین با روش حدس (روش غزاله)

برای میانگین چند عدد، یک حدس $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نزدیک وسط داده‌ها بزن، فاصلهٔ هر عدد را از حدس بنویس و میانگین این فاصله‌ها را به حدس اضافه کن:

\bar x=h+\frac{\sum (x_i-h)}{n}

مثلاً میانگین $1750,1755,1760,1766$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با حدس ۱۷۵۰: فاصله‌ها $0,5,10,16$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و مجموعشان ۳۱ است، پس $\bar x=1750+\frac{31}{4}=1757.75$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. این روش با عددهای کوچک کار می‌کند و جواب همان است که از جمع مستقیم به دست می‌آید. نتیجهٔ مهم: مجموع فاصله‌های داده‌ها از خودِ میانگین همیشه صفر است؛ برای میانگین ۱۵ در داده‌های $12,16,17$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فاصله‌ها $-3,1,2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هستند.

میانگین و جمع کل: اگر میانگین پنج عدد ۱۲ باشد، مجموعشان ۶۰ است؛ این برای پیدا کردن عدد گم‌شده کافی است. اگر به هر عدد $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین اضافه کنیم، میانگین هم $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین واحد بالا می‌رود، و اگر هر عدد را در $c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ضرب کنیم، میانگین هم $c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر می‌شود.

برای میانگین ۸۰ در پنج آزمون: اگر چهار نمرهٔ $85,80,65,95$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مجموع ۳۲۵ دارند، باید مجموع کل ۴۰۰ شود و نمرهٔ پنجم دست‌کم ۷۵ است.

دسته‌بندی داده‌ها

وقتی داده‌ها زیادند، آن‌ها را در بازه‌هایی (دسته‌ها) می‌شماریم. برای ۵ دسته با پهنای مساوی، دامنهٔ داده‌ها را بر ۵ تقسیم کن. برای میانگین هر داده را با مرکز دسته‌اش جایگزین کن:

\bar x\approx\frac{\sum f_i c_i}{\sum f_i}

که $f_i$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فراوانی و $c_i$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مرکز دسته است. این روش تقریبی است، چون فقط می‌دانیم هر داده داخل بازه است و بهترین حدس وسط بازه است. خطای میانگین دسته‌ای حداکثر نصف پهنای دسته است؛ با دسته‌های بیشتر (پهنای کمتر) خطا کمتر می‌شود. در نمودار نمرات یک آزمون با ۷۴ دانش‌آموز، میانگین واقعی $10.81$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و میانگین دسته‌ای $10.70$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بود، یعنی اختلاف حدود ۰٫۱.

کجا میانگین گمراه می‌کند؟

داده‌های پرت: در شرکتی که ده نفر میانگین درآمد ۲٫۹ میلیون دارند و مدیرعامل ۲۰ میلیون دارد، میانگین ۹ نفر دیگر فقط ۱ میلیون است. وقتی داده‌ای بسیار دور از بقیه باشد، میانه (وسطی‌ترین مقدار) گویاتر است.
مقایسهٔ گروه‌های ناهمگون: مقایسهٔ نرخ مرگ ۹ در هزار برای نیروی دریایی با ۱۶ در هزار برای یک شهر منصفانه نیست، چون سربازان جوان و سالم‌اند و شهر کودک و سالمند و بیمار هم دارد. باید گروه‌های هم‌سن و هم‌وضع را مقایسه کرد.
پارادوکس سیمپسون: در یک دانشگاه، در هر دو رشتهٔ معماری و مهندسی نرخ پذیرش خانم‌ها بیشتر از آقایان است (۲۰٪ در برابر ۱۰٪ و ۹۰٪ در برابر ۸۰٪)، ولی در مجموع نرخ پذیرش خانم‌ها ۵۱٪ و آقایان ۶۸٪ می‌شود، چون خانم‌ها بیشتر برای رشتهٔ سخت‌تر (با نرخ پذیرش پایین) درخواست داده‌اند. درصد کل را بدون توجه به ترکیب زیرگروه‌ها تفسیر نکن.

تخمین بزرگی عددها

تعداد افرادی که در راهپیمایی بزرگی شرکت می‌کنند (مثلاً حدود ۲۰ میلیون نفر در اربعین ۱۳۹۳) از شمردن مستقیم به دست نمی‌آید. با شمارش نمونه و ضرب برآورد می‌شود: تعداد افراد در یک متر مربع ضرب در مساحت کل مسیر، یا تعداد عبورکنندگان از یک نقطه در دقیقه ضرب در تعداد دقیقه‌ها. نتیجه یک برآورد است و باید گفت «حدود».

احتمال

$P(A)=\frac{\text{favorable}}{\text{all}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برای نتیجه‌های هم‌شانس؛ همیشه $0\le P\le1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $P(\text{not }A)=1-P(A)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. نمونه‌ها:

سه رنگ مهره با احتمال‌های $\frac23$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\frac17$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\frac16$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: جمعشان $\frac{41}{42}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، پس با احتمال $\frac1{42}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رنگ دیگری هم هست.
ساختن مثلث با چوب‌های ۷ و ۲ و ۴ غیرممکن است، چون $2+4<7$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ احتمالش صفر است.
رمز شش‌رقمی به شکل $\overline{abcabc}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر $1001\cdot\overline{abc}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و $1001=7\times11\times13$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ پس همیشه بر ۷ بخش‌پذیر است و باقی‌ماندهٔ آن همیشه صفر می‌شود.
مجموع احتمال سه پیشامد هم‌پوشان (بزرگ‌تر از ۱۵، فرد، اول) می‌تواند بیش از ۱ شود؛ اما احتمال هیچ پیشامدی بیشتر از ۱ نیست. پس نمی‌شود با جمع احتمال‌ها پیشامدی با احتمال بیشتر از ۱ ساخت.

شمردن حالت‌ها: اصل ضرب

اگر کاری در دو مرحلهٔ مستقل انجام شود و مرحلهٔ اول $m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و دوم $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین راه داشته باشد، تعداد کل راه‌ها $m\times n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

تاس شش‌وجهی و چهاروجهی: $6\times4=24$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حالت.
دو تاس: ۳۶ حالت؛ حداقل یک ۶ در ۱۱ حالت و مجموع اول در ۱۵ حالت رخ می‌دهد، یعنی $\frac{11}{36}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\frac5{12}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
عددهای چهاررقمی که همهٔ رقم‌هایشان فرد باشد: $5^4=625$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
رمز با هفت رنگ رنگین‌کمان: $7!=5040$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ترتیب، و رمز چهاررنگی با رنگ‌های متفاوت $7\times6\times5\times4=840$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
سه بار پرتاب تاس، حداقل یک ۶: $1-\left(\frac56\right)^3=\frac{91}{216}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
بی‌ترتیب: انتخاب ۲ برش از ۶ برش $\binom62=15$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حالت دارد.

یک بازی که عادلانه نیست

در بازی «حلقهٔ شانس»، چهار پاره‌خط موازی را دو به دو به هم وصل می‌کنیم. چهار نقطه را به سه روش می‌توان به دو جفت تقسیم کرد. اگر نفر دوم دقیقاً همان تقسیم نفر اول را انتخاب کند، دو حلقه‌ی جدا ساخته می‌شود و در غیر این صورت یک حلقهٔ بزرگ. پس احتمال برد نفر اول $\frac13$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و نفر دوم $\frac23$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و بازی عادلانه نیست. قبل از قبول کردن هر بازی شانسی، حالت‌های ممکن را بشمار.

مغالطهٔ قمارباز

بعد از ده بار «پشت» آمدن سکه، احتمال «پشت» در پرتاب یازدهم هنوز $\frac12$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ سکه حافظه ندارد و پرتاب‌ها مستقل‌اند. این فکر که «شانس باید جبران شود» اشتباهی ذهنی است.

اشتباه‌های رایج

اشتباه	درست
میانگین همیشه نمایندهٔ خوب داده‌هاست.	با داده‌های پرت گمراه‌کننده است.
درصد کل را بدون نگاه به زیرگروه‌ها تفسیر کنیم.	ممکن است پارادوکس سیمپسون رخ دهد.
بعد از چند «پشت»، «رو» محتمل‌تر است.	هر پرتاب مستقل است.
مرکز دسته همان مقدار دقیق داده‌هاست.	فقط یک تقریب است.

آمار و احتمال — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)

خلاصه‌ی درسنامه