کمیت‌ها، یکاها و اندازه‌گیری (فیزیک ۱)

کمیت‌ها، یکاها و اندازه‌گیری — خلاصهٔ فصل ۱ فیزیک ۱

فیزیک چه‌جور دانشی است؟

واژهٔ فیزیک از یونانی و به معنای شناخت طبیعت است؛ بنیادی‌ترین علم تجربی که زیربنای همهٔ مهندسی‌ها و فناوری‌هاست. مهم‌ترین ویژگی‌اش تجربی‌بودن است: هر قانونی باید با آزمایش تأیید شود، و مدل‌ها و نظریه‌ها با رسیدن شواهد تازه اصلاح یا حتی جایگزین می‌شوند. سیر تکامل مدل اتمی در یک قرن نمونهٔ روشن این بازنگری‌هاست؛ این تغییرپذیری ضعف فیزیک نیست، بلکه دقیقاً قوت آن است.

قانون در برابر اصل: «قانون» رابطه‌ای معتبر میان کمیت‌ها را در دامنهٔ وسیعی از پدیده‌ها توصیف می‌کند (قوانین نیوتن، بقای انرژی)، ولی «اصل» توصیفی محدودتر و کم‌دامنه‌تر است (اصل پاسکال که فقط به شاره‌های محبوس مربوط است). هرچه دامنهٔ کاربرد وسیع‌تر، به قانون نزدیک‌تر.

مدل‌سازی یعنی ساده و آرمانی‌کردن پدیده تا تحلیل‌پذیر شود. اصل طلایی‌اش این است: اثرهای جزئی را نادیده بگیر، نه اثرهای تعیین‌کننده. در پرتاب یک توپ، مقاومت هوا، چرخش توپ و تغییر وزن با ارتفاع را حذف می‌کنیم و جرم را در یک نقطه متمرکز می‌گیریم، ولی گرانش را هرگز حذف نمی‌کنیم.

کمیت نرده‌ای و برداری

هر چیزی که بتوان اندازه گرفت و با عدد و یکا بیان کرد، کمیت فیزیکی است؛ بیان کمیت بدون یکا بی‌معناست («طول ۵» غلط، «طول ۵ متر» درست). کمیت برداری را با پیکان روی نماد نشان می‌دهیم ($\vec{F}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\vec{v}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\vec{a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، و همان نماد بدون پیکان فقط اندازه است: $F=|\vec{F}|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مسافت نرده‌ای است ولی جابه‌جایی برداری؛ زمان نرده‌ای است ولی سرعت برداری.

برای جمع بردارها از روش سر-به-دم استفاده می‌کنیم: دم هر بردار را روی سر بردار قبلی می‌گذاریم و برایند، برداری است از دم اولی تا سر آخری. جمع بردارها با جمع سادهٔ اعداد یکی نیست، مگر وقتی بردارها هم‌جهت باشند. اگر کسی ۴۰ متر به شرق و بعد ۳۰ متر به شمال برود، مسافت طی‌شده $40+30=70$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر است اما اندازهٔ جابه‌جایی از فیثاغورس $\sqrt{40^2+30^2}=50$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر می‌شود. در حالت کلی و با زاویهٔ دلخواه، اندازهٔ برایند از قانون کسینوس‌ها به دست می‌آید.

دستگاه بین‌المللی یکاها

SI هفت کمیت پایه دارد و زبان مشترک اندازه‌گیری در سراسر دنیاست. نکتهٔ پرتکرار: کیلوگرم تنها یکای پایه‌ای است که خودش پیشوند دارد، پس یکاهای فرعی جرم را با افزودن پیشوند به گرم می‌سازیم — میلی‌گرم، نه میلی‌کیلوگرم.

یکاهای فرعی پرکاربرد همگی از یکاهای پایه ساخته می‌شوند: تندی $\text{m/s}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، شتاب $\text{m/s}^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نیرو $\text{N}=\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، فشار $\text{Pa}=\text{N/m}^2=\text{kg}/(\text{m}\cdot\text{s}^2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و انرژی $\text{J}=\text{N}\cdot\text{m}=\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

پیشوندها از بزرگ به کوچک چنین ترتیبی دارند: $G\,(10^9)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $M\,(10^6)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $k\,(10^3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یکا، $c\,(10^{-2})$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $m\,(10^{-3})$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\mu\,(10^{-6})$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $n\,(10^{-9})$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $p\,(10^{-12})$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $f\,(10^{-15})$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ در فهرست رسمی SI پیشوندهای دیگری هم از یوکتو $(10^{-24})$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تا یوتا $(10^{24})$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وجود دارد.

تعریف امروزی یکاهای پایه (فراتر از کتاب): متر دیگر از اندازه‌گیری سطح زمین به دست نمی‌آید، بلکه مسافتی است که نور در خلأ در $1/299792458$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ثانیه می‌پیماید. ثانیه به‌جای طول شبانه‌روز زمین — که خودش کمی نامنظم است — بر پایهٔ تعداد معینی گذار انرژی در اتم سزیم-۱۳۳ تعریف می‌شود. کیلوگرم هم تا ۲۰۱۹ به یک استوانهٔ واقعی پلاتین-ایریدیم در پاریس گره خورده بود و اکنون بر پایهٔ ثابت پلانک تعریف می‌شود. جهت این تحول روشن است: کمترین وابستگی به یک جسم خاص و بیشترین تکرارپذیری.

تبدیل یکاها و تحلیل ابعادی

روش استاندارد، ضرب کمیت در ضریب تبدیل است؛ کسری که مقدارش برابر ۱ است. مثلاً از $1\text{ m}=100\text{ cm}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هر دو کسر $\frac{1\text{ m}}{100\text{ cm}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\frac{100\text{ cm}}{1\text{ m}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر یک‌اند و هرکدام را که یکای ناخواسته را حذف کند انتخاب می‌کنیم:

میان‌بر پرکاربردش این است که برای رفتن از $\text{km/h}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $\text{m/s}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کافی است بر ۳٫۶ تقسیم کنیم. در تبدیل‌های ساده و تک‌مرحله‌ای می‌توان روش معادله‌ای را هم به کار برد؛ مثلاً چون $1\text{ ms}=1000\ \mu\text{s}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، داریم $100\ \mu\text{s}=0.1\text{ ms}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

برای یکاهای توان‌دار، خودِ ضریب تبدیل هم به همان توان می‌رسد:

در هر معادلهٔ فیزیکی یکاهای دو طرف باید یکسان باشند؛ این اصل سازگاری یکاها یا تحلیل ابعادی است. با آن هم می‌توان درستی یک فرمول را وارسی کرد و هم فرمول ناشناخته را حدس زد: اگر فرض کنیم دورهٔ تناوب آونگ به شکل $T=k\,L^am^bg^c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، مقایسهٔ ابعاد به $a=\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $b=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $c=-\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسد، یعنی $T=k\sqrt{L/g}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — و همین روش برای سرعت موج سطحی آب، $v=k\sqrt{gh}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، جواب می‌دهد. توجه کن که تحلیل ابعادی ضریب بی‌بعد $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را هرگز تعیین نمی‌کند.

نمادگذاری علمی و ارقام بامعنا

هر عدد را به شکل $a\times10^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌نویسیم که در آن $1\le|a|<10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ پس $10\times10^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نادرست و $1.0\times10^4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درست است. قاعدهٔ سریع: در عدد بزرگ ممیز را به چپ ببر و توان مثبت می‌شود، در عدد کوچک به راست ببر و توان منفی می‌شود. مثلاً $300000000\text{ m/s}=3.00\times10^8\text{ m/s}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $0.00000801\text{ m}=8.01\times10^{-6}\text{ m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

ارقام بامعنا چهار قاعده دارند: همهٔ ارقام غیرصفر بامعنا هستند؛ صفرهای میان ارقام غیرصفر بامعنا هستند ($408$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سه رقم)؛ صفرهای سمت چپ بامعنا نیستند ($0.000907$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سه رقم)؛ و صفرهای سمت راست بعد از ممیز بامعنا هستند ($2.30$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سه رقم).

در محاسبه دو قاعدهٔ متفاوت داریم که با هم قاطی می‌شوند: در ضرب و تقسیم جواب به تعداد کمترین رقم بامعنای اجزا گرد می‌شود ($7.12\times2.923\times3.1415=65.4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، ولی در جمع و تفریق ملاک تعداد رقم اعشار است نه تعداد ارقام بامعنا: $4.8+245.41=250.2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نه $250.21$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

دقت اندازه‌گیری

هیچ ابزاری بی‌نهایت دقیق نیست و گزارش خطا بخشی از صداقت علمی است. باید بین «کوچک‌ترین تقسیم‌بندی ابزار» و «خطای اندازه‌گیری» فرق گذاشت:

دلیل این تفاوت روشن است: در ابزار مدرّج چشم ما می‌تواند میان دو خط هم تخمین بزند، پس اطلاعاتی بیش از خودِ خط‌ها داریم اما نه به اندازهٔ یک تقسیم کامل. در ابزار دیجیتال، فراتر از آخرین رقم نمایش‌داده‌شده هیچ اطلاعاتی در دسترس نیست، پس کل یک واحد آن رقم را خطا می‌گیریم.

هر نتیجه باید به شکل «مقدار ± خطا» گزارش شود. با خط‌کش میلی‌متری و عدد خوانده‌شدهٔ $24.35\text{ cm}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، چون کوچک‌ترین تقسیم‌بندی $0.1\text{ cm}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، خطا $0.05\text{ cm}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود:

دو دقت لازم است. نخست هم‌مرتبگی رقم اعشاری: تعداد رقم‌های اعشار خطا باید دقیقاً با مقدار یکی باشد، پس نه $24.3\pm0.05$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درست است و نه $24.35\pm0.1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. دوم، اگر یکای خواسته‌شده فرق کند، باید خطا را هم تبدیل کرد؛ نوشتن $0.2435\pm0.05\text{ m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی ادعای خطای ۵ سانتی‌متری، در حالی که گزارش درست $L=0.2435\pm0.0005\text{ m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. در خواندن ابزارهای مدرّج، خطای اختلاف منظر هم رخ می‌دهد؛ یعنی وقتی چشم از زاویهٔ مایل به مقیاس نگاه کند عدد خوانده‌شده جابه‌جا می‌شود.

چگالی

چگالی خاصیت ماده است نه جسم: یک قطعه طلا با هر جرمی همان چگالی طلا را دارد. رابطهٔ پرکاربرد تبدیل یکا: $1\text{ g/cm}^3=1000\text{ kg/m}^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال: اسمیم با $\rho=22500\text{ kg/m}^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $V=23.0\text{ cm}^3=23.0\times10^{-6}\text{ m}^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جرمی برابر $m=0.518\text{ kg}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد.

حجم اجسام منظم را از فرمول‌های هندسی می‌گیریم (کره $\frac43\pi r^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، استوانه $\pi r^2h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، مخروط $\frac13\pi r^2h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، مکعب‌مستطیل $abc$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، و برای اشکال توخالی همیشه حجم بیرونی منهای حجم فضای خالی. حجم اجسام نامنظم را با روش جابه‌جایی حجم می‌یابیم: جسم را کاملاً در آبِ استوانهٔ مدرج فرو می‌بریم و اختلاف دو سطح، حجم جسم است؛ این روش فقط برای اجسامی کار می‌کند که در مایع حل نمی‌شوند و در آن شناور نمی‌مانند.

نمودارها: چون $m=\rho V$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رابطه‌ای خطی است، در نمودار جرم برحسب حجم شیب خط همان چگالی است و در نمودار حجم برحسب جرم شیب برابر $1/\rho$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. هرچه خط $m$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی-$V$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پرشیب‌تر باشد ماده چگال‌تر است. جامدها و مایع‌ها حجمشان به‌سختی تغییر می‌کند، ولی گازها به‌راحتی فشرده و منبسط می‌شوند، پس نمودارشان خط راست نیست و باید شیب لحظه‌ای را در نظر گرفت.

سه نکتهٔ محاسباتی پرکاربرد: برای مقایسهٔ دو جسم لازم نیست چگالی هرکدام جدا حساب شود، چون $\frac{\rho_2}{\rho_1}=\frac{m_2}{m_1}\times\frac{V_1}{V_2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای جسم میان‌تهی، حجم ظاهری تغییر نمی‌کند ولی جرم کم می‌شود، پس $\rho_{\text{ظاهری}}=\frac{m-\rho V'}{V}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که $V'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حجم حفره است و نتیجه همیشه از چگالی مادهٔ سازنده کمتر است. برای مخلوط، چگالی کل از $\frac{\sum m_i}{\sum V_i}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به دست می‌آید؛ اگر جرم‌ها و چگالی‌ها معلوم باشند مخرج را با $\sum \frac{m_i}{\rho_i}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌سازیم. فقط در حالت خاصِ برابری حجم‌ها چگالی مخلوط میانگین سادهٔ دو چگالی می‌شود، و این میان‌بر برای برابری جرم‌ها برقرار نیست.

مقایسهٔ چگالی، رفتار جسم در مایع را پیش‌بینی می‌کند: اگر $\rho_{\text{جسم}}>\rho_{\text{مایع}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ته‌نشین می‌شود، اگر برابر باشند معلق می‌ماند و اگر کمتر باشد شناور می‌شود. به همین دلیل مایع‌های مخلوط‌نشدنی لایه‌لایه می‌شوند و چگال‌تر همیشه پایین می‌نشیند.

مقیاس‌های بزرگ و مرتبهٔ بزرگی

در فاصله‌های نجومی، نوشتن اعداد با متر دست‌وپاگیر است، پس از یکای نجومی (فاصلهٔ زمین تا خورشید، $1.50\times10^{11}\text{ m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، سال نوری ($9.46\times10^{15}\text{ m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی مسافتی که نور در یک سال می‌پیماید) و پارسک ($3.086\times10^{16}\text{ m}\approx3.26$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سال نوری) استفاده می‌شود.

مرتبهٔ بزرگی یک عدد، نزدیک‌ترین توان ۱۰ به آن است. برای یافتنش عدد را به نمادگذاری علمی ببر و ضریبش را گرد کن: چون $10^{0.5}\approx3.16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، اگر ضریب از ۳٫۱۶ بزرگ‌تر باشد توان یک واحد اضافه می‌شود. با همین قاعده جرم زمین $6\times10^{24}\text{ kg}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در مرتبهٔ $10^{25}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و جرم الکترون $9.11\times10^{-31}\text{ kg}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در مرتبهٔ $10^{-30}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌نشیند. تخمین سه کاربرد دارد: وقتی دقت بالا لازم نیست، وقتی داده‌های مسئله خودشان تقریبی‌اند، و وقتی زمان کافی برای محاسبهٔ دقیق نداریم و فقط می‌خواهیم گزینه‌های پرت را حذف کنیم.