کار، انرژی و توان (فیزیک ۱ — تجربی)

چرا هل دادن یک دیوار با تمام توان، هرچقدر هم خسته‌کننده باشد، از دید فیزیک هیچ کاری نیست؟ و چرا وقتی از سرسره پایین می‌آییم انگار انرژی نه ساخته می‌شود و نه از بین می‌رود، فقط شکل عوض می‌کند؟ پاسخ در تعریف دقیق کار، انرژی و توان است و در قانونی که استثنا نمی‌شناسد: پایستگی انرژی.

۱. انرژی جنبشی

هر جسم متحرکی انرژی دارد؛ انرژی ناشی از حرکت را انرژی جنبشی می‌نامیم:

K = \frac{1}{2}mv^2

که در آن $K$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر حسب ژول $(J)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، جرم $m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر حسب کیلوگرم و تندی $v$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر حسب متر بر ثانیه است.

انرژی جنبشی کمیتی اسکالر است، همیشه مثبت یا صفر می‌ماند، به جهت حرکت بستگی ندارد (وارونه شدن جهت سرعت هیچ اثری روی $K$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ندارد) و با مربع تندی تغییر می‌کند. پس اگر تندی دو برابر شود $K$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین چهار برابر می‌شود، ولی اگر جرم دو برابر شود $K$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط دو برابر می‌شود.

برای تبدیل یکا هم یادت باشد $1\,km/h = \frac{1}{3.6}\,m/s$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، یعنی عدد بر حسب کیلومتر بر ساعت را بر $3.6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تقسیم می‌کنیم.

تکنیک درصد تغییرات

در خیلی از سؤال‌ها به‌جای مقدار مطلق، درصد تغییر خواسته می‌شود. راه ساده، نوشتن نسبت حالت دوم به اول است:

\text{درصد تغییر} = \left(\frac{X_2}{X_1}-1\right)\times100\%

چون $K\propto v^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، هر نسبت تغییر در تندی باید مجذور شود؛ رابطهٔ بین درصدها خطی نیست. مثلاً اگر تندی $20\%$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین زیاد شود، $\frac{K_2}{K_1}=(1.2)^2=1.44$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و انرژی جنبشی $44\%$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین افزایش می‌یابد، نه $20\%$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. برعکسش هم برقرار است: اگر $K$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $0.64$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر برسد، تندی به $\sqrt{0.64}=0.8$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر، یعنی $20\%$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کمتر، رسیده است.

الکترون‌ولت

بیان انرژی ذره‌های زیراتمی با ژول به عددهای بسیار کوچک می‌انجامد، برای همین یکای الکترون‌ولت به کار می‌رود:

1\text{ eV} = 1.6\times10^{-19}\text{ J}

برای رفتن از ژول به الکترون‌ولت تقسیم و برای برگشت ضرب می‌کنیم.

۲. کار انجام‌شده توسط نیرو

اگر نیروی ثابت $F$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم‌جهت با جابه‌جایی $d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد:

W = Fd

و اگر بین نیرو و جابه‌جایی زاویهٔ $\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، فقط مؤلفهٔ نیرو در راستای جابه‌جایی کار می‌کند:

W = (F\cos\theta)\,d = Fd\cos\theta

زاویهٔ $\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\cos\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	کار
$0°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	بیشینه و مثبت
$90°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	صفر
$180°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	بیشینهٔ منفی

نتیجهٔ مستقیم این جدول: نیروی وزن و نیروی عمودی سطح روی جسمی که افقی حرکت می‌کند کار صفر انجام می‌دهند، و نیروی اصطکاک روی جسم متحرک همیشه کار منفی می‌کند. کار کمیتی اسکالر است و می‌تواند مثبت، منفی یا صفر باشد.

سه شکل دیگر محاسبهٔ کار

۱. با مؤلفه‌های برداری: وقتی نیرو و جابه‌جایی با مؤلفه داده شده‌اند، بدون دانستن زاویه:

W = \vec F \cdot \vec d = F_x d_x + F_y d_y

این رابطه معادل $Fd\cos\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و اگر مثلاً حرکت کاملاً افقی باشد ( $d_y=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، جملهٔ دوم خودبه‌خود صفر می‌شود؛ همان نتیجهٔ $\cos90°=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

۲. نیروی متغیر — مساحت زیر نمودار: اگر نیرو در طول مسیر ثابت نباشد، $W=Fd$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دیگر مستقیماً جواب نمی‌دهد و کار برابر مساحت زیر نمودار $F$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، با احتساب علامت: مساحت بالای محور مثبت و زیر محور منفی. برای نمودار مثلثی که نیرو خطی از صفر تا $F_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در مکان $x_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسد، $W=\frac12F_0x_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

۳. کار کل چند نیرو: سه راه معادل دارد — جمع جبری کار تک‌تک نیروها ( $W_t=W_1+W_2+\cdots$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، کار نیروی برایند ( $W_t=F_{net}\,d\cos\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، یا قضیهٔ کار و انرژی جنبشی ( $W_t=\Delta K$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین). راه سوم وقتی طلایی است که نیروها نامعلوم‌اند ولی سرعت اول و آخر را می‌دانیم.

یک نکتهٔ ظریف: برای اجسام غیرنقطه‌ای (میله، تخته، جعبهٔ بزرگ) باید جابه‌جایی مرکز جرم را در فرمول کار گذاشت، نه جابه‌جایی لبه یا هر نقطهٔ دلخواه. مثلاً بلند کردن میله‌ای به طول $L$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا حالت قائم، مرکز جرم را فقط به اندازهٔ $L/2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بالا می‌برد.

۳. قضیهٔ کار ـ انرژی جنبشی

W_t = K_2 - K_1 = \Delta K

کار کل روی یک جسم برابر تغییر انرژی جنبشی آن است:

علامت $W_t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	نتیجه
$W_t > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$K$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین افزایش یافته، جسم تندتر شده
$W_t < 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$K$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کاهش یافته، جسم کندتر شده
$W_t = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	تندی جسم تغییر نکرده

این قضیه مستقیماً از قانون دوم نیوتون به دست می‌آید: با $F_{net}=ma$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و معادلهٔ $v_2^2=v_1^2+2ad$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم

F_{net}\,d = ma\,d = m\cdot\frac{v_2^2-v_1^2}{2} = \frac12mv_2^2-\frac12mv_1^2

و چون از خودِ قانون دوم می‌آید، برای هر مسیری، حتی مسیر خمیده، معتبر است. اگر جسم با سرعت ثابت حرکت کند، کار کل صفر است.

۴. انرژی پتانسیل

گرانشی

U = mgh

که $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ارتفاع از یک مبدأ دلخواه است. دقت کن که انرژی پتانسیل گرانشی ویژگی سامانهٔ جسم ـ زمین است، نه فقط جسم؛ چون هم به $m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و هم به $g$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بستگی دارد. رابطهٔ آن با کار وزن:

W_{\text{وزن}} = -\Delta U = -(U_2-U_1)

پس وقتی جسم پایین می‌رود $U$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کم و کار وزن مثبت می‌شود، و وقتی بالا می‌رود $U$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین زیاد و کار وزن منفی. کار نیروی وزن به مسیر بستگی ندارد و فقط تابع اختلاف ارتفاع است؛ به همین دلیل وزن یک نیروی پایستار است.

مبدأ انرژی پتانسیل را می‌توان هر جا خواستیم بگیریم: مقدارهای $U_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $U_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عوض می‌شوند اما اختلاف $\Delta U$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و در نتیجه پاسخ فیزیکی مسئله ثابت می‌ماند.

کشسانی (فنر)

فنر ایده‌آل با تغییر طول $\Delta x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از طول طبیعی، نیرویی بازگرداننده به بزرگی $F_{\text{فنر}}=k\,\Delta x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین وارد می‌کند ( $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ثابت فنر بر حسب $N/m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین). انرژی پتانسیل کشسانی هم درست مثل حالت گرانشی با کار نیروی فنر تعریف می‌شود:

\Delta U_e = -W_{\text{فنر}}, \qquad U_e = \frac12 k (\Delta x)^2

وقتی فنر از حالت آزاد کشیده یا فشرده می‌شود $U_e$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین زیاد و کار فنر منفی است؛ وقتی به طول طبیعی برمی‌گردد $U_e$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کم و کار فنر مثبت است. چون $U_e\propto(\Delta x)^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، کشیده یا فشرده بودن فرقی نمی‌کند و فقط اندازهٔ تغییر طول مهم است.

۵. پایستگی انرژی مکانیکی

انرژی مکانیکی جمع جنبشی و پتانسیل است:

E = K + U = \frac{1}{2}mv^2 + mgh

اگر نیروهای اتلافی (اصطکاک، مقاومت هوا) ناچیز باشند، این کمیت پایسته می‌ماند:

K_1 + U_1 = K_2 + U_2 \;\Rightarrow\; \frac{1}{2}v_1^2 + gh_1 = \frac{1}{2}v_2^2 + gh_2

توجه کن که جرم از دو طرف حذف می‌شود؛ یعنی پاسخ به جرم جسم بستگی ندارد. نتیجهٔ مهم این است که تندی جسم در یک ارتفاع معین مستقل از مسیر است و برای سقوط از ارتفاع $H$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا ارتفاع $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم $v=\sqrt{2g(H-h)}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

حالت	$K$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$U$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$E$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
جسم پایین می‌رود	افزایش	کاهش	ثابت
جسم بالا می‌رود	کاهش	افزایش	ثابت
پایین‌ترین نقطه	بیشینه	کمینه	ثابت
بالاترین نقطه	کمینه	بیشینه	ثابت

یک تله: در بالاترین نقطهٔ پرتاب مایل فقط مؤلفهٔ قائم سرعت صفر است، پس $K \neq 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

آونگ

اگر آونگی به طول $L$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را به اندازهٔ زاویهٔ $\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از راستای قائم منحرف کنیم، ارتفاع گلوله نسبت به پایین‌ترین نقطه چنین است:

h = L(1-\cos\theta)

مبدأ انرژی پتانسیل در آونگ همیشه پایین‌ترین نقطهٔ مسیر گرفته می‌شود و با پایستگی انرژی به $\frac12v^2+gL(1-\cos\theta)=\text{ثابت}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسیم. برای نمونه، آونگی به طول $1\,m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که از $\theta_0=60°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رها شود، در پایین‌ترین نقطه $h=1(1-0.5)=0.5\,m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین افت کرده و تندی‌اش $v=\sqrt{2gh}\approx3.1\,m/s$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

سامانهٔ وزنه ـ فنر و دستگاه‌های چندجسمی

وقتی گرانش و فنر هم‌زمان در کارند، هر دو انرژی پتانسیل باید در معادله بیایند:

K_1+U_1+U_{e1} = K_2+U_2+U_{e2}

مثلاً وزنه‌ای که از سرِ تماس با فنر قائم رها می‌شود، در بیشینهٔ فشردگی لحظه‌ای بی‌حرکت است و $mg\,\Delta x = \frac12k(\Delta x)^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌دهد. اگر اصطکاک هم باشد، انرژی مکانیکی دیگر پایسته نیست و باید جملهٔ تلف‌شده را اضافه کرد.

در دستگاه‌های چندجسمی که با نخ سبک و کشش‌ناپذیر به هم وصل‌اند، پایستگی را برای کل دستگاه می‌نویسیم:

\Delta K_{\text{کل}} + \Delta U_{\text{کل}} = 0

و نکتهٔ کلیدی این است که چنین اجسامی همیشه اندازهٔ سرعت برابر دارند.

۶. کار و انرژی درونی

انرژی درونی یک جسم مجموع انرژی ذرات سازندهٔ آن است و با گرم شدن جسم افزایش می‌یابد. وقتی نیروهای اتلافی کار می‌کنند:

W_f = E_2 - E_1

که $W_f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (منفی) کار نیروهای اتلافی است. هر چه از انرژی مکانیکی کم می‌شود، به همان اندازه به انرژی درونی اضافه می‌شود:

\Delta E_{\text{internal}} = E_1 - E_2

جمع همهٔ این‌ها همان قانون پایستگی انرژی است: انرژی کل یک سامانهٔ منزوی ثابت می‌ماند؛ انرژی نه خلق می‌شود و نه نابود، فقط از شکلی به شکل دیگر تبدیل می‌شود.

۷. توان و بازده

توان متوسط، آهنگ انجام کار است:

P_{av} = \frac{W}{\Delta t}, \qquad 1\text{ W} = 1\,\frac{\text{J}}{\text{s}}

یکاهای پرکاربرد: $1\text{ kW}=10^3\text{ W}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $1\text{ MW}=10^6\text{ W}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $1\text{ hp}=746\text{ W}\approx750\text{ W}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $1\text{ kWh}=3.6\times10^6\text{ J}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. حواست باشد کیلووات‌ساعت یکای انرژی است نه توان.

با جایگذاری $W=Fd$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به رابطهٔ پرکاربرد توان و تندی می‌رسیم:

P = \frac{Fd}{\Delta t} = Fv \qquad (\text{و برای نیروی زاویه‌دار } P = Fv\cos\theta)

کاربرد کلاسیکش مسئلهٔ خودرو است: اگر خودرویی با توان ثابت $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی سطح افقی برود و نیروی مقاومت $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، در تندی بیشینه شتاب صفر است و $P=f\,v_{\max}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. اگر هم تندی با شتاب ثابت تغییر کند، در محاسبهٔ $\bar P=F\bar v$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌توان سرعت متوسط را میانگین حسابی گرفت:

\bar v = \frac{v_0+v}{2} \quad (\text{فقط برای شتاب ثابت})

بازده نسبت انرژی مفید خروجی به انرژی ورودی است:

\eta = \frac{E_{\text{خروجی}}}{E_{\text{ورودی}}} \times 100\%

بازده همیشه کمتر از $100\%$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، چون بخشی از انرژی ورودی به گرما (انرژی درونی) تبدیل می‌شود. اگر چند سامانه پشت سر هم باشند، بازده کل حاصل‌ضرب بازده‌هاست: $\eta_{\text{کل}}=\eta_1\times\eta_2\times\cdots$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین — به همین دلیل زنجیرهٔ نیروگاه، خط انتقال و لامپ در مجموع بازدهی بسیار پایین دارد.

خلاصهٔ فرمول‌های کلیدی

رابطه	فرمول
انرژی جنبشی	$K = \dfrac{1}{2}mv^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
کار نیروی زاویه‌دار	$W = Fd\cos\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
کار با مؤلفه‌ها	$W = F_xd_x+F_yd_y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
کار نیروی متغیر	مساحت زیر نمودار $F$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
قضیهٔ کار ـ انرژی	$W_t = K_2-K_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
انرژی پتانسیل گرانشی	$U = mgh$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
کار وزن	$W_{\text{وزن}} = -\Delta U$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
انرژی پتانسیل کشسانی	$U_e = \dfrac12k(\Delta x)^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
پایستگی انرژی مکانیکی	$K_1+U_1 = K_2+U_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
ارتفاع آونگ	$h = L(1-\cos\theta)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
انرژی مکانیکی با اتلاف	$W_f = E_2-E_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
توان متوسط	$P_{av} = \dfrac{W}{\Delta t}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
توان و تندی	$P = Fv$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
بازده	$\eta = \dfrac{E_{\text{خروجی}}}{E_{\text{ورودی}}}\times100\%$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

ثابت‌هایی که باید حفظ باشی: $g = 9.8\text{ m/s}^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $1\text{ hp}=746\text{ W}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $1\text{ kWh}=3.6\times10^6\text{ J}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $1\text{ eV}=1.6\times10^{-19}\text{ J}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.