جریان الکتریکی و مدارها (فیزیک ۲ — تجربی)

جریان الکتریکی و مدارهای جریان مستقیم

چرا وقتی یک لامپِ ریسهٔ قدیمی می‌سوزد همهٔ چراغ‌ها خاموش می‌شوند، ولی سوختنِ یک چراغِ خودرو بقیه را خاموش نمی‌کند؟ پاسخ در نوعِ اتصال (سری در برابر موازی) است؛ و برای رسیدن به آن باید از خودِ تعریفِ جریان شروع کنیم.

جریان الکتریکی

جریانِ الکتریکی نتیجهٔ شارشِ خالصِ بار از یک سطحِ مقطعِ معین است:

\boxed{I = \frac{\Delta q}{\Delta t}} \qquad q = It

یکای جریان آمپر است ( $A = C/s$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین). جریانِ مستقیم (DC) جریانی است که نه جهتش با زمان عوض می‌شود و نه مقدارش؛ نمودارِ $I$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین آن خطی افقی است و در آن همیشه جریانِ لحظه‌ای با جریانِ متوسط برابر است. اگر جریان با زمان تغییر کند، جریانِ لحظه‌ای از $I = dq/dt$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آید؛ پس اگر $q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تابعی چندجمله‌ای از زمان باشد، با مشتق‌گیری جریانِ لحظه‌ای و با جای‌گذاریِ دو سرِ بازه در $\bar I = \Delta q/\Delta t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جریانِ متوسط را می‌یابیم.

جهتِ قراردادی جریان در بیرونِ باتری از قطبِ مثبت به منفی است، ولی جهتِ واقعیِ حرکتِ الکترون‌ها در فلز دقیقاً مخالفِ آن. تعدادِ الکترون‌های عبوری از یک سطحِ مقطع برابر است با $N = q/e = It/e$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

یک زنجیرهٔ ساده برای تعیینِ جهت‌ها وقتی رسانایی به باتری وصل است: میدانِ الکتریکیِ داخلِ رسانا از پایانهٔ مثبت به سمتِ منفی است؛ سرعتِ سوقِ الکترون‌ها چون بارشان منفی است خلافِ میدان است؛ و جریانِ قراردادی هم‌جهت با میدان و خلافِ سرعتِ سوق است. اینجا یک تلهٔ ظریف هست: میدانِ درونِ رسانای منزوی در تعادلِ الکتروستاتیک صفر است، اما همین‌که رسانا را به اختلافِ پتانسیل وصل کنیم و جریان برقرار شود دیگر در تعادل نیست و میدانِ درونش صفر نیست — همین میدان است که الکترون‌ها را می‌راند.

یکای آمپر-ساعت که روی باتری‌های قابلِ شارژ نوشته می‌شود، یکای بار است نه جریان: $1\,A.h = 3600\,C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

در نمودارِ $q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، شیبِ خطِ واصلِ دو نقطه جریانِ متوسط و شیبِ خطِ مماس جریانِ لحظه‌ای است؛ توجه کن که صفر بودنِ $q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به معنای صفر بودنِ جریان نیست — جریان فقط وقتی صفر است که مماس افقی باشد. در نمودارِ $I$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، مساحتِ زیرِ نمودار برابرِ بارِ عبوری است و بخش‌های زیرِ محورِ زمان با علامتِ منفی حساب می‌شوند؛ منفی‌شدنِ جریان یعنی عوض‌شدنِ جهتِ آن، نه صفر شدنِ اندازه‌اش.

مقاومت و قانون اُهم

\boxed{R = \frac{\Delta V}{I}} \qquad \text{یکا: اُهم } (\Omega = V/A)

برای رساناهای اُهمی در دمای ثابت $\Delta V = IR$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برقرار است، یعنی $R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مستقلِ از ولتاژ و نمودارِ $I$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $\Delta V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خطی راست از مبدأ است. قانونِ اُهم یک رابطهٔ تجربی است، نه قانونی بنیادی؛ هم موادِ اُهمی و هم غیراُهمی در طبیعت وجود دارند. دیود، ترمیستور و LDR نمونه‌های غیراُهمی‌اند و نمودارشان منحنی است. حتی برای یک رسانای غیراُهمی هم مقاومت در هر نقطه از شیبِ خطِ واصل از مبدأ تا آن نقطه به دست می‌آید، نه از شیبِ مماس.

به محورها دقت کن: روی نمودارِ $I$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شیب برابرِ $1/R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است (شیبِ بیشتر یعنی مقاومتِ کمتر)، اما روی نمودارِ $V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $I$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شیب مستقیماً برابرِ $R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

وسایلِ اندازه‌گیری: آمپرسنج سری بسته می‌شود و مقاومتِ داخلی‌اش باید ناچیز باشد ( $R_A \to 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) تا افتِ ولتاژِ اضافه نسازد؛ ولت‌سنج موازی با جزءِ موردنظر بسته می‌شود و مقاومتش باید بسیار زیاد باشد ( $R_V \to \infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین). اهم‌سنج مقاومت را مستقیم می‌سنجد، ولی حتماً باید قطعه را از مدار خارج کرد و نباید جریانی در آن باشد؛ پس مثلاً نمی‌توان مقاومتِ لامپِ روشن را با اهم‌سنج اندازه گرفت. ابزارِ غیرایده‌آل فقط خطای خواندن نمی‌سازد، بلکه مقاومتِ معادل و جریانِ واقعیِ مدار را هم تغییر می‌دهد (اثرِ بارگذاری).

مقاومت ویژه و اثر دما

\boxed{R = \rho \frac{L}{A}}

که $L$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین طولِ رسانا، $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سطحِ مقطع و $\rho$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مقاومتِ ویژه بر حسبِ $\Omega\cdot m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. شهودش ساده است: طولِ بیشتر یعنی برخوردِ بیشترِ الکترون‌ها و مقاومتِ بیشتر ( $R \propto L$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، و سطحِ مقطعِ بیشتر یعنی کانالِ بیشتر برای عبور و مقاومتِ کمتر ( $R \propto 1/A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین).

ماده	$\rho\ (\Omega \cdot m)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $20°C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	نوع
نقره	$1.6 \times 10^{-8}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	رسانا
مس	$1.7 \times 10^{-8}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	رسانا
آلومینیم	$2.8 \times 10^{-8}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	رسانا
نیکروم	$100 \times 10^{-8}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	رسانا
سیلیسیم	$640$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	نیم‌رسانا
شیشه	$10^{10}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین– $10^{14}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	عایق

به‌طور کلی رساناها $\rho$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کمتر از $10^{-6}\,\Omega\cdot m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارند، نارساناها بیش از $10^{10}\,\Omega\cdot m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و نیم‌رساناها بینِ این دو.

\boxed{\rho = \rho_0[1+\alpha(T-T_0)]} \qquad R = R_0[1+\alpha(T-T_0)]

که $\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ضریبِ دماییِ مقاومتِ ویژه بر حسبِ $°C^{-1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $T_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین معمولاً $20°C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. برای فلزات $\alpha > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: با افزایشِ دما ارتعاشِ اتم‌های شبکه بیشتر می‌شود، الکترون‌ها بیشتر برخورد می‌کنند و مقاومت بالا می‌رود (مس $3.9\times10^{-3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، آهن $5.0\times10^{-3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین). برای نیم‌رساناها و کربن $\alpha < 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: با افزایشِ دما الکترون‌های بیشتری به باندِ رسانش می‌روند و افزایشِ تعدادِ حاملِ بار بر اثرِ برخوردها غلبه می‌کند (کربن $-0.5\times10^{-3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، سیلیسیم $-75\times10^{-3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین).

در دمایی به نامِ دمای بحرانی $T_c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مقاومتِ برخی مواد ناگهان صفر می‌شود؛ به این پدیده ابررسانایی می‌گویند. نخستین کشف در ۱۹۱۱ روی جیوه بود ( $T_c = 4.2\,K$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)؛ قلع $3.7\,K$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ابررسانای دمابالای YBa₂Cu₃O₇ حدود $92\,K$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. کاربردهایش در MRI، شتاب‌دهنده‌های ذرات و قطارهای مگلو است.

برای مقایسهٔ دو رسانا:

\frac{R_2}{R_1} = \frac{\rho_2}{\rho_1}\times\frac{L_2}{L_1}\times\frac{A_1}{A_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}\times\frac{L_2}{L_1}\times\left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2

و اگر سیمی را بکشند یا فشرده کنند، چون حجم ثابت می‌ماند:

\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{L_2}{L_1}\right)^2 = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 = \left(\frac{D_1}{D_2}\right)^4

پس کشیدنِ یک سیم تا سه برابرِ طولش، مقاومتش را $9$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر می‌کند. در مقابل، اگر همان سیم را به $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قطعهٔ مساوی ببرند و روی هم بگذارند، طول $L/n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و سطحِ مقطع $nA$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود و مقاومت به $R/n^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسد.

مقاومت‌های خاص و ایمنی

ترمیستور: مقاومتی با $\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بسیار بزرگ و حساس به دما. نوعِ NTC (رایج‌تر) با افزایشِ دما مقاومتش کم می‌شود و نوعِ PTC برعکس. کاربرد: دماسنجِ الکتریکی، زنگِ خطرِ آتش، ترموستات.
LDR: با افزایشِ نور مقاومتش کم می‌شود؛ در تاریکی چند مگااهم و در نورِ آفتاب چند صد اهم. کاربرد: چراغِ خودکارِ خیابان، دزدگیر.
دیود: جریان را فقط در یک جهت عبور می‌دهد؛ در جهتِ موافق مقاومتش بسیار کم و در جهتِ مخالف بسیار زیاد است. LED با عبورِ جریان در جهتِ موافق نور تولید می‌کند و رنگِ نور به جنسِ نیم‌رسانا بستگی دارد. لامپِ رشته‌ای حدود ۵٪ انرژی را به نور تبدیل می‌کند و LED تا ۵۰٪ بازده دارد؛ همین دلیلِ اصلیِ جایگزینیِ آن است.
رئوستا: مقاومتِ متغیری از سیمِ نازکِ پرمقاومت (مثل نیکروم) پیچیده دورِ استوانه‌ای نارسانا، با یک لغزنده که طولِ مؤثرِ سیم را عوض می‌کند؛ سری بسته می‌شود و جریان را کنترل می‌کند. نکتهٔ کلیدی: اگر هر دو اتصال به دو سرِ ثابتِ کویل باشد، حرکتِ لغزنده هیچ اثری ندارد و رئوستا مثلِ مقاومتِ ثابت رفتار می‌کند؛ فقط وقتی یک سرِ اتصال از خودِ لغزنده باشد واقعاً متغیر عمل می‌کند. در آزمایشگاه همیشه ابتدای کار رئوستا را روی بیشترین مقاومت می‌گذارند تا جریانِ اولیه کمینه باشد.
پتانسیومتر: مقاومتِ متغیرِ دیگری از لایهٔ نازکِ گرافیت با یک عقربهٔ لغزنده و دو پایانهٔ ثابت؛ کاربردش در پیچ‌های تنظیمِ صدا و روشنایی است.
فیوز: سیمِ نازکی که با عبورِ جریانِ بیش از حد ذوب می‌شود و مدار را قطع می‌کند.
سیمِ ارت: سیمِ سومِ پریزهای سه‌شاخه که بدنهٔ فلزیِ وسیله را به زمین وصل می‌کند. اگر عایق‌بندی خراب شود و فاز به بدنه اتصالی پیدا کند، جریان از مسیرِ کم‌مقاومتِ ارت به زمین می‌رود و بدنه هم‌پتانسیلِ زمین می‌ماند؛ بدونِ ارت، بدنه به پتانسیلِ فاز می‌رسد و بدنِ فردی که آن را لمس کند خودش مسیرِ عبورِ جریان می‌شود.

نیروی محرکهٔ الکتریکی

نیروی محرکهٔ الکتریکی $\mathcal{E}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کاری است که منبع به ازای هر کولن بار انجام می‌دهد تا آن را از قطبِ منفی به مثبت، درونِ باتری، منتقل کند:

\boxed{\mathcal{E} = \frac{W}{q}} \qquad \text{یکا: ولت}

با وجودِ نامش، $\mathcal{E}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین اصلاً نیرو نیست؛ یک اختلافِ پتانسیل است. باتری مثلِ یک پمپِ آب عمل می‌کند: خودش بار تولید نمی‌کند، فقط انرژیِ لازم برای بالا بردنِ بارِ موجود از قطبِ منفی به مثبت را می‌دهد تا دوباره در مدار جاری شود.

باتریِ آرمانی مقاومتِ داخلی ندارد و ولتاژِ دو سرش همیشه $\mathcal{E}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. باتریِ واقعی مقاومتِ داخلیِ $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد:

\boxed{V_{ab} = \mathcal{E} - Ir} \qquad I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}

به $Ir$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین افتِ پتانسیل در مولد می‌گویند. با افزایشِ جریانِ مصرفی، ولتاژِ ترمینال کم می‌شود؛ و دقیقاً در دو حالت $V = \mathcal{E}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود: یا منبع آرمانی باشد ( $r=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، یا جریانی از آن نگذرد ( $I=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، مدارِ باز). به کمکِ همین رابطه، اگر در دو حالتِ متفاوت مقادیرِ ولت‌سنج و آمپرسنج داده شود، با حلِ دستگاهِ دو معادله‌ای هم‌زمان $\mathcal{E}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آید؛ یا با کلیدِ باز $\mathcal{E}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را می‌خوانیم و سپس $r = (\mathcal{E}-V)/I$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نمودارِ ولتاژِ منبع بر حسبِ جریان برای منبعِ واقعی خطی نزولی است که از $(0, \mathcal{E})$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شروع می‌شود و قدرمطلقِ شیبش برابرِ $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ برای منبعِ آرمانی خطی افقی. پس عرض از مبدأ نیروی محرکه و شیب مقاومتِ داخلی را می‌دهد.

اتصالِ یک نقطه از مدارِ سادهٔ تک‌حلقه به زمین هیچ اثری بر جریان ندارد؛ زمین فقط مرجعِ پتانسیلِ صفر است، نه مسیرِ جریانِ اضافه. در مدارِ تک‌حلقه با چند باتری:

\boxed{I = \frac{\Sigma\mathcal{E} - \Sigma\mathcal{E}'}{\Sigma r + R_{eq}}}

که $\Sigma\mathcal{E}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مجموعِ مولدهای هم‌جهت با جریان و $\Sigma\mathcal{E}'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مجموعِ مولدهای خلافِ جهت است؛ جهتِ جریان را مولدی تعیین می‌کند که نیروی محرکهٔ بزرگ‌تری دارد. مولدی که خلافِ جهتِ جریان بسته شده در حالِ شارژ شدن است و رابطه‌اش برعکس می‌شود: $V = \mathcal{E} + Ir$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

برای یافتنِ $V_A - V_B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در هر مداری، از $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین پیمایش کن: عبور از مقاومت در جهتِ جریان یعنی کاهشِ $IR$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، عبور خلافِ جهتِ جریان یعنی افزایشِ $IR$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و عبور از منبع فقط بر اساسِ قطبیت حساب می‌شود (از منفی به مثبت یعنی $+\mathcal{E}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و برعکس $-\mathcal{E}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، مستقل از جهتِ جریان. لازم نیست جهتِ جریان را از قبل با قطعیت بدانی؛ اگر فرضت اشتباه باشد، علامتِ جوابِ نهایی خودش آن را تصحیح می‌کند. هشدارِ مهم: فرمولِ سادهٔ $I = \mathcal{E}/(r+R)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط برای مدارِ تک‌حلقه معتبر است و در مدارهای چندشاخه نمی‌توان آن را روی یک شاخه اعمال کرد.

قوانین کیرشهف

قانونِ جریان‌ها (KCL): در هر گره، مجموعِ جریان‌های ورودی برابرِ مجموعِ جریان‌های خروجی است. این بیانِ پایستگیِ بار است.

قانونِ ولتاژها (KVL): در هر حلقهٔ بسته، مجموعِ جبریِ اختلافِ پتانسیل‌ها صفر است ( $\sum \Delta V = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین). این بیانِ پایستگیِ انرژی است و در واقع همان دستورالعملِ پیمایش، اعمال‌شده روی یک حلقهٔ بسته.

حالت	$\Delta V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
عبور از مقاومت در جهتِ جریان	$-IR$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
عبور از مقاومت خلافِ جهتِ جریان	$+IR$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
عبور از باتری از $-$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به +	$+\mathcal{E}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
عبور از باتری از + به $-$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$-\mathcal{E}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

در مدارِ تک‌حلقه، $\mathcal{E} - Ir - IR = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان $I = \mathcal{E}/(R+r)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را می‌دهد. در مدارهای چندحلقه، تعدادِ معادلاتِ مستقلِ لازم برابرِ تعدادِ مجهولات است: هر اتصالِ سه‌راهه یا بیشتر یک گره (KCL) و هر مسیرِ بستهٔ مستقل یک حلقه (KVL) می‌دهد.

توان و انرژی الکتریکی

\boxed{P = I\Delta V = I^2R = \frac{(\Delta V)^2}{R}} \qquad \text{یکا: وات}

اگر جریان ثابت باشد $P \propto R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و اگر ولتاژ ثابت باشد $P \propto 1/R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین — این دو را با هم اشتباه نگیر.

برای منبعِ واقعی، $P = \mathcal{E}I - rI^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که در آن $\mathcal{E}I$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین توانِ تولیدی و $rI^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین توانِ اتلافی در خودِ منبع است؛ توانِ خروجیِ منبع همیشه برابرِ توانِ مصرفیِ مقاومتِ خارجی ( $RI^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) است. این توان وقتی بیشینه می‌شود که $R = r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد (قضیهٔ انتقالِ توانِ بیشینه، پایهٔ طراحیِ آمپلی‌فایر و بلندگو). دو نتیجهٔ کاربردیِ دیگر: اگر دو مقاومتِ خارجیِ متفاوتِ $R_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $R_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین توانِ یکسانی از یک منبع بگیرند، آنگاه $r = \sqrt{R_1R_2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ و نمودارِ توانِ خروجی بر حسبِ جریان سهمی‌ای رو به پایین با قله در $I = \mathcal{E}/2r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

کمیت	فرمول	در $R=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	در $R\to\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
جریان $I$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\mathcal{E}/(r+R)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\mathcal{E}/r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
ولتاژِ ترمینال $V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\mathcal{E}R/(r+R)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\mathcal{E}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
افتِ داخلی $Ir$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\mathcal{E}r/(r+R)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\mathcal{E}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
توانِ خارجی $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$R\mathcal{E}^2/(r+R)^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، بیشینه در $R=r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

انرژیِ الکتریکی برابرِ $U = Pt = I^2Rt = (\Delta V)^2t/R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و یکای عملی‌اش کیلووات‌ساعت: $1\,kWh = 3.6\times10^6\,J$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. همین انرژی می‌تواند مستقیماً با گرماشناسی معادل شود؛ مثلاً برای کتریِ برقی $VIt = mc\Delta\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و برای ذوبِ یخ $VIt = mL_f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

توانِ اسمی توانی است که وسیله با اتصال به ولتاژِ اسمی‌اش مصرف می‌کند. اگر به ولتاژِ دیگری وصل شود و مقاومتش تقریباً ثابت بماند، $P_2/P_1 = (V_2/V_1)^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. هر مقاومتِ تجاری هم توانِ مجازِ حداکثری دارد که بیشینهٔ ولتاژِ قابلِ تحملش را تعیین می‌کند: $V_{max} = \sqrt{P_{max}R}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. در مجموعهٔ موازی همه ولتاژِ یکسان دارند، پس عضوی که کمترین ولتاژِ قابلِ تحمل را دارد سقفِ کل را تعیین می‌کند؛ در سری همه جریانِ یکسان دارند، پس مقاومتِ بزرگ‌تر زودتر آسیب می‌بیند.

ترکیب مقاومت‌ها

\boxed{R_{eq} = \sum R_i} \qquad \boxed{\frac{1}{R_{eq}} = \sum \frac{1}{R_i}}

در اتصالِ سری جریان در همهٔ اعضا یکسان است، ولتاژِ کل میانشان تقسیم می‌شود و مقاومتِ معادل از هر عضو بزرگ‌تر است:

\Delta V_i = \frac{R_i}{R_{eq}}\Delta V

در اتصالِ موازی ولتاژِ همهٔ اعضا یکسان است، جریان تقسیم می‌شود و مقاومتِ معادل از کوچک‌ترین عضو هم کوچک‌تر است. برای دو مقاومت $R_{eq} = R_1R_2/(R_1+R_2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و تقسیمِ جریان چنین است:

I_1 = \frac{R_2}{R_1+R_2}I \qquad I_2 = \frac{R_1}{R_1+R_2}I

یعنی جریانِ بیشتری از مقاومتِ کمتر می‌گذرد. دو میان‌برِ پرکاربرد: برای $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مقاومتِ مساویِ موازی $R_{eq} = R/n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و اگر یکی $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابرِ دیگری باشد $R_{eq} = R_{max}/(n+1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

در مدارِ تقسیمِ ولتاژ، $V_{out} = \frac{R_2}{R_1+R_2}\mathcal{E}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ کاربردش در تنظیمِ ولتاژِ مدارهای الکترونیکی و کنترلِ خودکارِ چراغ با LDR است.

وقتی مقاومت‌ها آشکارا سری یا موازی نیستند، از روشِ نقاطِ هم‌پتانسیل استفاده کن: از یک نقطه شروع کن و هر نقطه‌ای را که با سیمِ بدونِ مقاومت به آن وصل است هم‌نام بگذار؛ با عبور از هر مقاومت نام را عوض کن. در پایان شکلِ ساده‌شده معمولاً سری و موازیِ آشکاری دارد.

در اتصالِ کوتاه، اگر مقاومتی با سیمِ بدونِ مقاومت موازی شود، کلِ جریان از سیم می‌رود و آن مقاومت عملاً از مدار حذف می‌شود؛ باز و بسته کردنِ کلید هم دقیقاً یعنی ایجاد یا حذفِ یک مسیرِ اتصالِ کوتاه. اگر شبکه‌ای بیش از دو پایانه داشته باشد و فقط مقاومتِ معادلِ بینِ دو تای آن‌ها خواسته شود، هر شاخه‌ای که به پایانهٔ سومِ بی‌ربط ختم می‌شود و مسیرِ بازگشتی ندارد هیچ جریانی نمی‌برد و باید کاملاً حذف شود.

پلِ وتستون وقتی متعادل است که $R_1/R_2 = R_3/R_4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ در این حالت دو سرِ عنصرِ میانی هم‌پتانسیل‌اند و می‌توان آن را یا کاملاً برداشت یا با سیمی ساده جایگزین کرد. کاربردش اندازه‌گیریِ دقیقِ مقاومتِ مجهول است. حالتِ متفاوتی هم هست: اگر آمپرسنجِ ایده‌آل میانِ دو نقطهٔ میانیِ یک پل قرار گیرد، حتی اگر پل نامتعادل باشد آن دو نقطه هم‌پتانسیل می‌شوند و شبکه به دو بخشِ سادهٔ موازی تجزیه می‌شود — اما برخلافِ پلِ متعادل، اینجا آمپرسنج جریانِ غیرصفری حمل می‌کند که با KCL به دست می‌آید.

برای تحلیلِ کیفیِ تغییرِ یک رئوستا: افزایشِ $R_{eq}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جریانِ کل را کم می‌کند؛ ولت‌سنجِ موازیِ یک مقاومتِ ثابت را با $V = RI$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دنبال کن (کاهشِ $I$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی کاهشِ $V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، ولی ولت‌سنجِ موازیِ خودِ مولدِ واقعی را با $V = \mathcal{E}-Ir$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دنبال کن که رفتارش برعکس است. اگر مولد آرمانی باشد، ولت‌سنجِ دو سرش همیشه $\mathcal{E}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را نشان می‌دهد. و یادت باشد نورِ یک لامپ فقط به جریانِ عبوری از خودش بستگی دارد، نه به جریانِ کلِ مدار.

مدارهای شامل خازن (حالت پایا)

تحلیلِ مدارِ RC در حالتِ پایا با دو قاعده انجام می‌شود: خازنِ خالی در لحظهٔ اولِ اتصال مانندِ سیمِ بدونِ مقاومت عمل می‌کند، و خازنِ پُر پس از زمانی طولانی مانندِ مقاومتِ بی‌نهایت است، یعنی هیچ جریانی از شاخه‌اش نمی‌گذرد. پس مدار را با این فرض بازسازی کن، مسیرهای جریان را مشخص کن، جریان را حساب کن، و در پایان اختلافِ پتانسیلِ دو سرِ هر خازن را بیاب تا با $q = CV$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $U = \frac{1}{2}CV^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بار و انرژیِ ذخیره‌شده به دست آید.

نمونهٔ محاسباتی و تله‌های رایج

با $\mathcal{E} = 12\,V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $r = 2.0\,\Omega$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $R = 4.0\,\Omega$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: جریان $I = 12/(4.0+2.0) = 2.0\,A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ولتاژِ ترمینال $V_{ab} = 12 - (2.0)(2.0) = 8.0\,V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

اگر در مسئله نگفته «باتری آرمانی»، حتماً مقاومتِ داخلی را لحاظ کن.
مقاومتِ معادلِ موازی همیشه از کوچک‌ترین عضو کمتر است؛ افزودنِ هر مقاومتِ موازیِ تازه، مقاومتِ کلِ مدار را کم می‌کند.
لامپ‌های خانگی و خودرو معمولاً موازی بسته می‌شوند تا سوختنِ یکی بقیه را خاموش نکند — همان پاسخِ پرسشِ ابتدای فصل.