01_الکتریسیته ساکن (علوم تجربی)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$\frac{8}{5}$» درست است چون خازن به دو خازن سری با ظرفیت‌های $C_1 = \kappa_1 \varepsilon_0 \frac{A}{d/2} = 2\varepsilon_0 A/d$ و $C_2 = \kappa_2 \varepsilon_0 \frac{A}{d/2} = 8\varepsilon_0 A/d$ تبدیل می‌شود. ظرفیت کل $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{16}{10} \varepsilon_0 A/d = \frac{8}{5} C_0$ است. با ثابت بودن $V$، $Q \propto C$ پس $\frac{Q_{final}}{Q_{initial}} = \frac{8}{5}$. سایر گزینه‌ها حاصل محاسبات غلط سری یا موازی گرفتن هستند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$0.5$» درست است چون با دوبرابر شدن فاصله، ظرفیت نصف می‌شود ($C = \varepsilon_0 A / d$). با متصل بودن باتری، $\Delta V$ ثابت می‌ماند و انرژی $U = \frac{1}{2}C(\Delta V)^2$ است، بنابراین $U$ نیز نصف می‌شود. سایر گزینه‌ها نادرستند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

برایِ صفرشدنِ نیرویِ خالص بر $q_1$، دو نیرویِ واردشده باید هم‌اندازه و در خلافِ جهتِ هم باشند. چون $q_1$ بینِ دو بارِ دیگر است و به $q_2$ (منفی) جذب و از $q_3$ (مثبت) دفع می‌شود، این شرط برقرار می‌شود: $k\frac{|q_2|q_1}{r_2^2}=k\frac{q_3q_1}{r_3^2}\Rightarrow\frac{1}{r_2^2}=\frac{4}{r_3^2}$ با جذرگرفتن: $\frac{r_2}{r_3}=\frac{1}{2}$. گزینهٔ «$\frac{1}{\sqrt2}$» را رد می‌کنیم چون از جذرنگرفتن به‌اندازهٔ کافی (یک‌بار به‌جایِ کاملِ نسبت) ناشی می‌شود. گزینهٔ «$1$» را رد می‌کنیم چون فرضِ برابریِ دو بار را دارد. گزینهٔ «$\frac14$» را رد می‌کنیم چون نسبتِ خودِ بارها ($1{:}4$) را به‌جایِ نسبتِ فاصله‌ها گزارش کرده. تلهٔ تستی: در رابطهٔ $\frac{q_2}{r_2^2}=\frac{q_3}{r_3^2}$، نسبتِ فاصله‌ها با **جذرِ** نسبتِ بارها برابر است، نه با خودِ آن.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

باتری به خازن متصل است، بنابراین اختلاف پتانسیل $V=12\,\text{V}$ ثابت می‌ماند. ظرفیت خازن با دی‌الکتریک: $C = \kappa \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 5 \times \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 0.01}{0.002} = 2.2125 \times 10^{-10}\,\text{F}$ ظرفیت بدون دی‌الکتریک: $C_0 = \frac{C}{\kappa} = 4.425 \times 10^{-11}\,\text{F}$ بار اولیه و نهایی خازن: $Q = CV = 2.2125 \times 10^{-10} \times 12 = 2.655 \times 10^{-9}\,\text{C}$ $Q_0 = C_0V = 4.425 \times 10^{-11} \times 12 = 5.31 \times 10^{-10}\,\text{C}$ تغییر بار خازن: $\Delta Q = Q_0 - Q = -2.124 \times 10^{-9}\,\text{C}$ (بار کم می‌شود) انرژی جذب‌شده توسط باتری از رابطه‌ی $W_{bat} = -\Delta Q \cdot V$ به‌دست می‌آید. علامت منفی به این دلیل است که بار از خازن به باتری بازمی‌گردد (باتری کار مثبت دریافت می‌کند). $W_{bat} = -(-2.124 \times 10^{-9}) \times 12 = 2.5488 \times 10^{-8}\,\text{J}$ این مقدار تقریباً برابر $2.55 \times 10^{-8}\,\text{J}$ است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$g$» درست است. در حالت تعادل، نیروی الکتریکی رو به بالا $$|q|E = mg$$ است. وقتی میدان قطع می‌شود، تنها نیروی وارد بر قطره وزن آن است (از مقاومت هوا صرف‌نظر شده). پس شتاب سقوط برابر $g$ است. گزینه‌های دیگر غلطند چون یا نیروی الکتریکی را همچنان مؤثر می‌دانند یا جهت آن را اشتباه گرفته‌اند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**جهت‌ها را اول تعیین کنیم:** $q_0$ در مبدأ و مثبت است. $q_1=+8\,\mu C$ در $x=+3\,\text{cm}$ هم‌نامِ $q_0$ است، پس آن را **دفع** می‌کند — یعنی به‌سمتِ چپ ($-x$): $F_{10}=\frac{(9\times10^9)(8\times10^{-6})(2\times10^{-6})}{(0.03)^2}=160\,\text{N}$ به چپ $q_2=-4\,\mu C$ در $x=+6\,\text{cm}$ ناهم‌نامِ $q_0$ است، پس آن را **جذب** می‌کند — یعنی به‌سمتِ راست ($+x$): $F_{20}=\frac{(9\times10^9)(4\times10^{-6})(2\times10^{-6})}{(0.06)^2}=20\,\text{N}$ به راست دو نیرو مخالفِ جهت‌اند، پس **تفریق** می‌شوند: $F_{net}=160-20=\mathbf{140\,\text{N}}$ به‌سمتِ چپ گزینهٔ «$180$» را رد می‌کنیم چون از جمعِ دو نیرو ($160+20$) می‌آید، یعنی هر دو را هم‌جهت فرض کرده. گزینهٔ «$200$» و «$360$» را رد می‌کنیم چون هیچ ترکیبِ درستی از دو نیرو به آن‌ها نمی‌رسد. تلهٔ تستی: پیش از هر جمع یا تفریق، جهتِ **هر** نیرو را جداگانه از علامتِ بارها تعیین کنید؛ بارِ هم‌نام دفع (دور از خودش) و بارِ ناهم‌نام جذب (به‌سویِ خودش) می‌کند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

در تعادلِ اولیه: $qE=mg$. پس از دوبرابرشدنِ میدان، نیرویِ الکتریکیِ رو به بالا $2qE$ و وزنِ رو به پایین $mg$ است. نیرویِ خالص: $F=2qE-mg$؛ با جای‌گذاریِ $mg=qE$: $F=2qE-qE=qE=mg$، رو به بالا. شتاب: $a=F/m=\dfrac{2qE}{m}-g$ (با نوشتنِ $mg/m=g$)، رو به بالا. گزینه‌هایِ با جهتِ «رو به پایین» را رد می‌کنیم چون نیرویِ الکتریکیِ جدید ($2qE=2mg$) از وزن ($mg$) بزرگ‌تر است، پس جهتِ خالصِ نیرو (و شتاب) قطعاً رو به بالاست. تلهٔ تستی: در این مسائل، همیشه $mg$ را برحسبِ $qE$ (از رابطهٔ تعادلِ اولیه) جایگزین کنید تا عبارتِ نهایی فقط برحسبِ کمیت‌هایِ دادهٔ سؤال باشد؛ فراموش‌کردنِ این جایگزینی باعثِ ماندنِ متغیرهایِ اضافی در پاسخ می‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

میدانِ هر بارِ **مثبت** در هر نقطه، از خودِ آن بار **دور** می‌شود. $q_1=+2\,\mu C$ در سمتِ چپِ $q_2$ است، پس میدانش در محلِ $q_2$ رو به **راست** است — یعنی در امتدادِ $q_1\to q_2$. $q_3=+6\,\mu C$ در سمتِ راستِ $q_2$ است، پس میدانش در محلِ $q_2$ رو به **چپ** است — یعنی در امتدادِ $q_3\to q_2$. پس دو میدان در محلِ $q_2$ **مخالفِ جهتِ هم‌اند** و گزینهٔ ۲ این را درست بیان می‌کند. گزینهٔ «هر دو از $q_2$ دور می‌شوند» را رد می‌کنیم چون میدان از **منبعِ خودش** دور می‌شود، نه از نقطهٔ موردِ بررسی. گزینهٔ «$\vec{E}_3$ از q₂ به q₃» را رد می‌کنیم چون این یعنی میدانِ $q_3$ به‌سمتِ خودش برگردد که فقط برایِ بارِ منفی درست است. گزینهٔ «$\vec{E}_1$ از q₂ به q₁» را رد می‌کنیم چون به همان دلیل، جهتِ میدانِ بارِ مثبتِ $q_1$ را برعکس گرفته. تلهٔ تستی: جهتِ میدان را همیشه نسبت به **بارِ تولیدکننده** تعیین کنید (از مثبت دور، به منفی نزدیک)، نه نسبت به نقطه‌ای که در آن اندازه‌گیری می‌کنید.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

قبل از تغییر، تعادل برقرار است: $qE = mg$. پس از تغییر، وزن ثابت است. نیروی الکتریکی جدید $F'_e = q'E' = (\frac{2}{3}q)(\frac{1}{2}E) = \frac{1}{3}qE = \frac{1}{3}mg$ است. جهت این نیرو رو به بالاست. بنابراین شتاب خالص به سمت پایین: $a = \frac{mg - \frac{1}{3}mg}{m} = \frac{2}{3}g$. گزینه‌های دیگر نادرست‌اند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گشتاورِ دوقطبی: $p=qd=(4\times10^{-9})(5\times10^{-3})=2\times10^{-11}\,C\cdot m$. گشتاورِ نیرو: $\tau=pE\sin\theta=(2\times10^{-11})(3\times10^5)(0.5)=3\times10^{-6}\,N\cdot m=3\,\mu N\cdot m$. گزینهٔ «$6$» را رد می‌کنیم چون $\sin30°=0.5$ را به‌جایِ ضرب، نادیده گرفته (انگار $\sin\theta=1$ فرض شده). گزینهٔ «$1.5$» را رد می‌کنیم چون $p=qd$ را به‌اشتباه نصف محاسبه کرده. گزینهٔ «$12$» را رد می‌کنیم چون یک عاملِ ۴ اضافی (شاید از تبدیلِ واحدِ نادرست) وارد کرده. تلهٔ تستی: پیش از هر محاسبه، حتماً $p=qd$ را با واحدهایِ $SI$ (کولن، متر) بسازید؛ فراموش‌کردنِ تبدیلِ $mm$ به $m$ رایج‌ترین خطا در این مسائل است.