بار الکتریکی، میدان و خازن (فیزیک ۲)

۱. بار الکتریکی

۱.۱ ماهیت و واحد

هر ماده از اتم‌هایی ساخته شده که پروتون (مثبت)، نوترون (بدون بار) و الکترون (منفی) دارند؛ در اتم خنثی شمار الکترون‌ها و پروتون‌ها برابر است. یکای بار کولن (C) است و معمولاً با میکروکولن ( $10^{-6}\ C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و نانوکولن ( $10^{-9}\ C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) کار داریم، حال آنکه در آذرخش باری از مرتبهٔ $10\ C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جابه‌جا می‌شود.

دافعه قطعی‌تر از جاذبه است. اگر دو جسم یکدیگر را دفع کنند، هر دو حتماً باردار و هم‌نام‌اند. اما جاذبه نتیجهٔ قطعی نمی‌دهد، چون هر جسم باردار جسم خنثی را هم جذب می‌کند؛ پس اگر $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جسم $B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را دفع و $B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جسم $C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را جذب کند، $C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌تواند بار مخالف یا خنثی باشد و تعیین قطعی به آزمون دافعه نیاز دارد.

۱.۲ پایستگی بار

اصل پایستگی بار: مجموع جبری بارها در یک دستگاه منزوی ثابت است؛ بارها تولید یا نابود نمی‌شوند، فقط منتقل می‌شوند. هنگام شانه‌کردن موی خشک حدود $10^7$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین الکترون از مو به شانه می‌رود.

۱.۳ کوانتیده بودن بار

بار بنیادی (بار الکترون یا پروتون) برابر است با:

e = 1.602 \times 10^{-19}\ C

و هر بار مشاهده‌شده مضرب صحیحی از آن است:

\boxed{q = \pm ne \quad,\quad n = 0, 1, 2, \ldots}

فراتر از کتاب: پروتون از دو کوارک بالا $u$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (بار $+\tfrac{2}{3}e$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و یک کوارک پایین $d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (بار $-\tfrac{1}{3}e$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) ساخته شده، پس $q_p=+e$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ نوترون از یک کوارک بالا و دو پایین، پس $q_n=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. چون کوارک آزاد مشاهده نشده، این با کوانتیده‌بودن بار تناقض ندارد.

۱.۴ روش‌های باردار کردن

روش	مکانیزم
مالش	انتقال الکترون میان دو ماده
تماس	انتقال بار از باردار به خنثی
القا	جداسازی بار بدون تماس

سری تریبوالکتریک: موادی که در این سری پایین‌ترند الکترون‌دوست‌ترند و در تماس، الکترون از مادهٔ بالاتر به پایین‌تر می‌رود. ترتیب سری تعدی‌پذیر است. از مثبت‌ترین تا منفی‌ترین: موی انسان، شیشه، نایلون، پشم، ابریشم، پنبه، چوب، کهربا، پلی‌استر، لاستیک، PVC و تفلون. پس مالش شانهٔ پلاستیکی به موی خشک مو را مثبت و شانه را منفی می‌کند.

تماس دو کرهٔ رسانا: برای دو کرهٔ هم‌اندازه بار نهایی هرکدام میانگین جبری است، و برای دو کره با شعاع نابرابر بار به نسبت شعاع تقسیم می‌شود و مجموع پایسته می‌ماند:

\boxed{q' = \frac{q_1+q_2}{2}}\ ,\qquad \frac{q_1'}{q_2'}=\frac{R_1}{R_2}\ ,\quad q_1'+q_2'=q_1+q_2

تماس با خنثی: بار منتقل‌شده به رسانای خنثی روی کل سطحش پخش می‌شود، اما در نارسانا فقط در نقطهٔ تماس می‌ماند.

القا: در القا میان دو کرهٔ رسانای در تماس، میلهٔ باردار نزدیک می‌شود، بارها جدا می‌شوند، تماس دو کره در حالی که میله هنوز نزدیک است قطع و آنگاه میله دور می‌شود؛ نتیجه دو کره با بار هم‌اندازه و ناهم‌نام است، بی‌آنکه هرگز با میله تماس داشته باشند. در القا با اتصال زمین، کره لحظه‌ای زمین و سپس سیم قطع می‌شود و میله دور می‌رود؛ کره باری مخالف بار میله می‌گیرد. نکته: بار حاصل از القا فقط به اندازه و شکل رسانا بستگی دارد نه به بار میله؛ میله تنها علامت بار نهایی را تعیین می‌کند.

القا در نارساناها: الکترون آزادی نیست؛ مولکول‌ها قطبیده می‌شوند و طوری می‌چرخند که سمت نزدیک به جسم باردار بار مخالف پیدا کند. جاذبهٔ حاصل ضعیف‌تر است و بهترین روش باردارکردن نارساناها همچنان مالش است.

برخورد جسم خنثی آویزان: اول جذب و برخورد می‌کند؛ اگر رسانا باشد بار روی کل سطحش پخش و بی‌درنگ دفع می‌شود، ولی اگر نارسانا باشد بار فقط موضعی منتقل می‌شود و جسم چسبیده می‌ماند.

۱.۵ الکتروسکوپ

ابزاری برای آشکارسازی و مقایسهٔ بار: میله‌ای فلزی با کلاهک در بالا و دو ورقهٔ نازک فلزی در پایین، درون محفظهٔ شیشه‌ای.

تشخیص باردار بودن: بازشدن تیغه‌ها (دافعهٔ بار هم‌نام) یعنی جسم باردار است، و هرچه بیشتر باز شوند بار بیشتر است.
تشخیص نوع بار با الکتروسکوپ باردار: بازشدن بیشتر یعنی هم‌نام و کمتر یعنی ناهم‌نام.
رفتار غیرمونوتون: اگر بار جسم نزدیک‌شونده مخالف و بزرگ‌تر از بار الکتروسکوپ باشد، فاصلهٔ تیغه‌ها اول کم و بعد دوباره زیاد می‌شود.
نزدیک‌کردن رسانای خنثی هم فاصلهٔ تیغه‌ها را کم می‌کند، چون با القا قطبیده می‌شود.

توجه: همیشه فقط الکترون جابه‌جا می‌شود و «جابه‌جایی بار مثبت» قراردادی ساده‌کننده است.

۲. قانون کولن

۲.۱ بیان قانون

\boxed{F = k\frac{|q_1||q_2|}{r^2}}\ ,\qquad k = 8.99 \times 10^9 \approx 9.0 \times 10^9\ \frac{N \cdot m^2}{C^2}

k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\ ,\qquad \varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\ \frac{C^2}{N \cdot m^2}

میان‌بر: با بار بر حسب $\mu C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و فاصله بر حسب $cm$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌توان مستقیم $k=90\ N\cdot cm^2/\mu C^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین گذاشت. اگر مختصات دکارتی داده شده باشد، اول $r=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را بیابید.

۲.۲ ویژگی‌های نیروی کولن

اگر $q_1q_2>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (هم‌نام) نیرو دافعه و اگر $q_1q_2<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (ناهم‌نام) جاذبه است. نیرو مرکزی است (در راستای خط واصل) و قانون سوم نیوتون برقرار: $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. قانون کولن فقط برای بارهای نقطه‌ای یا کره‌های باردار یکنواخت معتبر است.

۲.۳ مقایسه با گرانش

\frac{F_e}{F_g} = \frac{ke^2}{Gm_e m_p} \approx 2.3 \times 10^{39}

یعنی نیروی الکتریکی میان الکترون و پروتون اتم هیدروژن حدود $10^{39}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر نیروی گرانشی است.

۲.۴ نسبت‌گیری و نمودارها

به‌جای محاسبهٔ کامل $F$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در دو حالت، مستقیم نسبت را بنویسید:

\boxed{\frac{F'}{F}=\frac{|q_1'||q_2'|}{|q_1||q_2|}\left(\frac{r}{r'}\right)^2}

نمودار $F$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر حسب فاصله (با بار ثابت) از فرم $y=a/x^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و کاهشی است؛ نمودار $F$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر حسب $q_1q_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (با فاصلهٔ ثابت) خط راستی از مبدأ با شیب $k/r^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. و اگر مجموع دو بار هم‌نام ثابت بماند، نیرو وقتی بیشینه است که $q_1=q_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

۲.۵ ترکیب با حرکت‌شناسی

وقتی جسم باردار فقط زیر نیروی کولن حرکت می‌کند $a = F/m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ در بارهای ناهم‌نام با نزدیک‌شدن نیرو و شتاب پیوسته زیاد و در بارهای هم‌نام با دورشدن پیوسته کم می‌شوند. تلهٔ مهم: طبق قانون سوم نیوتون نیروی وارد بر هر دو جسم هم‌اندازه است، هرچند بارهایشان برابر نباشد؛ پس در نسبت شتاب‌ها فقط جرم‌ها تعیین‌کننده‌اند:

\frac{a_2}{a_1}=\frac{F/m_2}{F/m_1}=\frac{m_1}{m_2}

۲.۶ اصل برهم‌نهی

\vec{F}_T = \sum_{i=1}^{n} \vec{F}_{i0}

برای هر جفت بار قانون کولن را جدا اعمال کنید، جهت هر نیرو را از نوع بارها بیابید و جمع برداری کنید. نکته: قرینه‌کردن علامت یک بار فقط جهت نیروی آن را برمی‌گرداند و اندازهٔ نیرو تغییر نمی‌کند.

۲.۷ تعادل بار روی خط راست

برای اینکه بار سوم $q_3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی خط واصل $q_1,q_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نیروی خالص صفر داشته باشد:

$q_3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باید روی همان خط واصل باشد.
اندازه و علامت $q_3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در تعیین محل تعادل بی‌اثر است.
اگر $q_1,q_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم‌نام باشند $q_3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بین آن‌ها و اگر ناهم‌نام باشند خارج از فاصلهٔ دو بار و کنار بار ضعیف‌تر قرار می‌گیرد.
$q_3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همیشه به بار کوچک‌تر نزدیک‌تر است.

\boxed{\frac{r_{13}}{r_{23}}=\sqrt{\frac{|q_1|}{|q_2|}}}

اگر هر سه بار هم‌زمان در تعادل باشند، علامت بار سوم معمولاً با دو بار کناری ناهم‌نام است تا نیرویشان را خنثی کند.

تعادل در رئوس مربع: اگر بار رأس مقابل در تعادل باشد، اندازه و نوع خودش اهمیتی ندارد، دو بار کناری باید هم‌اندازه و هم‌نام باشند، و بار رأس مقابل ناهم‌نام با آن‌ها و $2\sqrt2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابرشان: $q_1=-2\sqrt2\,q_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

۲.۸ برایند نیروها

برای دو نیروی عمود بر هم ترکیب فیثاغورسی کافی است: $F_T=\sqrt{F_1^2+F_2^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. در حالت کلی با زاویهٔ دلخواه $\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

\boxed{F_T=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\theta}}

با حالات ویژهٔ $\theta=0^\circ\Rightarrow F_T=F_1+F_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\theta=180^\circ\Rightarrow F_T=|F_2-F_1|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. اگر دو نیرو هم‌اندازه باشند $F_T = 2F\cos(\theta/2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، که برای $\theta=60^\circ$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مقدار $\sqrt3 F$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، برای $\theta=90^\circ$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مقدار $\sqrt2 F$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و برای $\theta=120^\circ$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مقدار $F$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌دهد. در تجزیهٔ برداری $F_x=F\cos\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $F_y=F\sin\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\tan\alpha=F_y/F_x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نکته: اگر چهار بار در چهار جهت اصلی و به فاصلهٔ برابر از مرکز باشند، اول هر جفت روبه‌رو را ترکیب کنید (هم‌نام‌ها کم و ناهم‌نام‌ها جمع) و سپس دو نیروی مؤثر عمود را با فیثاغورس بسنجید.

۲.۹ ترکیب نیروی الکتریکی با نیروهای دیگر

با وزن: دو کرهٔ هم‌نام در لولهٔ عمودی بدون اصطکاک: $\dfrac{kq^2}{r^2} = mg$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
با کشش نخ: برای پاره‌نشدن نخ باید $F_{\text{کولن}} \le T_{max}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد.
با فنر: طبق قانون هوک، $k_{\text{فنر}}\,\Delta x = F_{\text{کولن}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
آونگ الکتریکی (دو گلولهٔ هم‌نام آویزان): با $\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین زاویهٔ نخ با راستای قائم:

\boxed{\tan\alpha = \frac{F}{mg}}

اگر طول دو نخ برابر ولی جرم گلوله‌ها نابرابر باشد، زاویه‌ها برابر نخواهند بود، ولی همواره $T_1\sin\alpha = T_2\sin\beta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برقرار است.

۳. میدان الکتریکی

۳.۱ تعریف

\boxed{\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}}\ ,\qquad \text{یکا: } N/C \equiv V/m

بار آزمون $q_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باید چنان کوچک باشد که توزیع بار چشمه را برهم نزند. میدان به بار آزمون بستگی ندارد، فقط به بار چشمه و فاصله. جهت $\vec E$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برای $q_0>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم‌جهت با $\vec F$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و برای $q_0<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خلاف‌جهت آن است؛ پس در $\vec E=\vec F/q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باید علامت جبری $q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین لحاظ شود، نه قدرمطلقش.

۳.۲ میدان یک بار نقطه‌ای

\boxed{E = k\frac{|q|}{r^2}}

میدان از بار مثبت دور و به بار منفی نزدیک می‌شود و همیشه در امتداد خط واصل بار به آن نقطه است. اگر بار یکنواخت روی سطح کره پخش شده باشد، برای نقاط خارج کره می‌توان کل بار را در مرکز متمرکز فرض کرد. نسبت‌گیری میدان مشابه نیروست ( $E_1/E_2=\frac{|q_1|}{|q_2|}(r_2/r_1)^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و نمودار $E$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم از فرم $1/r^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

۳.۳ برهم‌نهی میدان‌ها و نقطهٔ میدان صفر

\vec{E}_{total} = \sum_i \vec{E}_i

لازم نیست هر میدان را در SI کامل حساب کنید؛ کافی است همه را برحسب مضربی از یک میدان مبنا بنویسید و فقط ضرایب را جمع برداری کنید. برای نقطه‌ای که میدان دو بار در آن صفر می‌شود:

\frac{r_2}{r_1}=\sqrt{\frac{|q_2|}{|q_1|}}

برای بارهای هم‌نام این نقطه بین دو بار و نزدیک‌تر به بار کوچک‌تر است؛ برای ناهم‌نام خارج از فاصلهٔ دو بار و کنار بار ضعیف‌تر. استثنا: اگر دو بار ناهم‌نام دقیقاً هم‌اندازه باشند، رابطه $r_2/r_1=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌دهد که روی محور ممکن نیست؛ پس هیچ نقطهٔ میدان صفر محدودی وجود ندارد و میدان فقط در بی‌نهایت صفر می‌شود.

۳.۴ برایند میدان با هندسهٔ مثلثاتی

برای دو بردار میدان هم‌اندازه با زاویهٔ $\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم $E_T = 2E\cos(\theta/2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، ولی اگر عمود بر هم و نابرابر باشند حتماً $E_T=\sqrt{E_1^2+E_2^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

میدان در مرکز دایره برای $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بار با فاصلهٔ زاویه‌ای برابر: اگر همه هم‌نام و هم‌اندازه باشند صفر است؛ اگر یک جایگاه خالی بماند برابر میدان یک بار تنها؛ و اگر $n-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بار $+q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و یکی $-q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد دو برابر آن.

۳.۵ دوقطبی الکتریکی

دو بار $+q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $-q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به فاصلهٔ $d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یک دوقطبی الکتریکی با گشتاور $p = qd$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌سازند. روی محور عمودمنصف (با $a=d/2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فاصلهٔ نقطه تا محور دوقطبی):

\boxed{E = \frac{2kaq}{\left(x^2+a^2\right)^{3/2}}}

این میدان در $x=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بیشینه است و با افزایش $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به صفر میل می‌کند. برای دو بار هم‌نام روی همان محور، $E = \dfrac{2kxq}{(x^2+a^2)^{3/2}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است که در $x=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $x\to\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین صفر و بیشینه‌اش در $x=a/\sqrt2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. مولکول آب به دلیل شکل زاویه‌دارش ( $105^\circ$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) دوقطبی دائمی دارد و همین ریشهٔ حلال قطبی بودن آن است.

رفتار کیفی نمودار $E$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: برای دو بار هم‌نام روی خط واصل میدان در نقطهٔ میانی صفر می‌شود؛ برای ناهم‌نام هم‌اندازه هیچ نقطهٔ صفر محدودی نیست؛ و برای ناهم‌نام نامساوی یک نقطهٔ صفر کنار بار ضعیف‌تر هست.

۳.۶ خطوط میدان

بردار $\vec E$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در هر نقطه مماس بر خط میدان و هم‌جهت با آن است.
تراکم خطوط بزرگی میدان را نشان می‌دهد و شمار خطوط متصل به هر بار متناسب با اندازهٔ آن است.
خطوط از بار مثبت آغاز و به بار منفی ختم می‌شوند.
خطوط هرگز یکدیگر را قطع نمی‌کنند، چون در هر نقطه فقط یک بردار میدان برایند هست و تقاطع یعنی دو جهت برای یک نقطه.
تصویر واقعی خطوط سه‌بعدی است.

میان دو صفحهٔ خازن میدان در بیشتر نقاط یکنواخت است (خطوط مستقیم، موازی و هم‌فاصله) ولی در لبهٔ صفحات خمیده می‌شود. میان دو بار هم‌نام، از نقطهٔ میانی هیچ خطی نمی‌گذرد. هر خط خمیده به سمت بار کوچک‌تر خم می‌شود، پس از روی شکل می‌توان نسبت اندازهٔ دو بار را تشخیص داد.

۳.۷ آونگ الکتریکی در میدان یکنواخت خارجی

اگر گلولهٔ باردار آویزان در میدان یکنواخت خارجی افقی $\vec E$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قرار گیرد و نخ به اندازهٔ $\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از راستای قائم منحرف شود:

\boxed{\tan\alpha = \frac{E|q|}{mg}}

انحراف هم‌جهت با میدان یعنی بار مثبت و خلاف‌جهت یعنی بار منفی. این با آونگ دو گلوله‌ای فرق دارد: آنجا نیرو میان دو بار است، اینجا از میدان خارجی می‌آید.

۴. آزمایش قطره-روغن میلیکان

میلیکان در ۱۹۱۳ نخستین بار بار الکترون را اندازه گرفت؛ در تعادل قطرهٔ معلق:

|q|E = mg \quad\Rightarrow\quad |q| = \frac{mg}{E}

بار قطره همواره مضرب صحیحی از $e$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آمد و همین کوانتیده بودن بار را اثبات کرد.

۵. انرژی پتانسیل و پتانسیل الکتریکی

۵.۱ انرژی پتانسیل و استقلال از مسیر

کار نیروی الکتریکی برابر $W_E = -\Delta U_E$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. این نیرو پایستار است، پس کارش به مسیر بستگی ندارد و فقط به نقطهٔ آغاز و پایان وابسته است.

تمایل طبیعی (کاهش $U$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)	خلاف تمایل (افزایش $U$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)
نزدیک‌شدن بارهای ناهم‌نام	دورشدن بارهای ناهم‌نام
دورشدن بارهای هم‌نام	نزدیک‌شدن بارهای هم‌نام
بار مثبت در جهت میدان	بار مثبت خلاف جهت میدان
بار منفی خلاف جهت میدان	بار منفی در جهت میدان

در میدان یکنواخت، با زاویهٔ $\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین میان راستای میدان و جابه‌جایی:

W_E = |q|Ed\cos\theta \quad\Rightarrow\quad \boxed{\Delta U_E = -|q|Ed\cos\theta}

پس $\theta=0^\circ$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کاهش $U$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $\theta=180^\circ$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین افزایش $U$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\theta=90^\circ$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بدون تغییر $U$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌دهد.

۵.۲ حرکت ذرهٔ باردار در میدان یکنواخت

با پایستگی انرژی $\Delta U + \Delta K = W_{\text{نیروهای دیگر}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ اگر فقط نیروی الکتریکی وارد شود:

-|q|Ed\cos\theta + \frac{1}{2}m\left(v^2-v_0^2\right) = 0

وقتی هم نیروی الکتریکی و هم وزن دخیل‌اند دو راه هست: روش انرژی، و روش نیرو با $F=E|q|-mg$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $a=F/m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ اولی برای یافتن سرعت و دومی وقتی زمان یا شتاب هم لازم باشد.

۵.۳ پتانسیل الکتریکی

\boxed{V = \frac{U_E}{q}}\ ,\qquad \text{یکا: ولت } (V = J/C)

چون فقط تغییر انرژی پتانسیل محاسبه‌پذیر است، یک نقطهٔ دلخواه را مرجع با پتانسیل صفر می‌گیریم؛ در مهندسی برق «پتانسیل زمین» صفر است. «ولتاژ باتری ۱۲ ولت» یعنی $\Delta V=V_+-V_-=12\,V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ پتانسیل مطلق هر پایانه به‌تنهایی معلوم نیست.

۵.۴ اختلاف پتانسیل

\Delta V = V_B - V_A = \frac{\Delta U_E}{q}

قاعدهٔ کلیدی، مستقل از علامت بار: حرکت در جهت میدان پتانسیل را کاهش، خلاف جهت میدان آن را افزایش و عمود بر میدان آن را ثابت نگه می‌دارد — برخلاف تغییر انرژی پتانسیل که به علامت بار وابسته است. برای میدان یکنواخت:

\Delta V = -Ed \ (\text{در جهت میدان})\ ,\qquad \Delta V = +Ed\ (\text{خلاف جهت})\ ,\qquad \Rightarrow\ E = \frac{|\Delta V|}{d}

اگر خط واصل دو نقطه در راستای میدان نباشد از فاصلهٔ مؤثر $d_{\text{مؤثر}}=AB\cos\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین استفاده کنید؛ و چون میدان میان دو صفحه یکنواخت است، $\dfrac{V_{\text{کل}}}{d_{\text{کل}}}=\dfrac{V_{AB}}{d_{AB}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

۵.۵ پتانسیل بار نقطه‌ای و سطوح هم‌پتانسیل

V = k\frac{q}{r}

برخلاف میدان، پتانسیل اسکالر است، پس برای چند بار جمع جبری با علامت کافی است. سطوح هم‌پتانسیل همیشه عمود بر خطوط میداناند و سطح رسانای در تعادل خودش هم‌پتانسیل است؛ خطوط میدان از پتانسیل زیاد به کم می‌روند.

چیدمان بار	شکل سطوح هم‌پتانسیل	نکتهٔ کلیدی
بار نقطه‌ای تنها	کره‌های هم‌مرکز	چگالی سطوح با دورشدن کم می‌شود، چون $V\propto1/r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
میدان یکنواخت خازن	صفحات موازی با صفحات خازن	فاصلهٔ دو سطح مجاور همه‌جا یکسان است
دوقطبی یا دو بار هم‌نام	منحنی‌های پیچیده	عمودمنصف خط واصل، خودش سطح هم‌پتانسیل صاف است

روی عمودمنصف دوقطبی، فاصلهٔ هر نقطه تا $+q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $-q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر است، پس دو سهم $kq/r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $-kq/r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یکدیگر را خنثی می‌کنند و پتانسیل همهٔ نقاط این خط صفر است؛ برای دو بار هم‌نام همین خط هم‌پتانسیل است ولی صفر نیست.

۶. رساناها و توزیع بار

۶.۱ رسانا در تعادل الکتروستاتیک

ویژگی	توضیح
$\vec{E}_{\text{داخل}} = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	میدان درون رسانا صفر است
$V = \text{ثابت}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	همهٔ نقاط هم‌پتانسیل‌اند
بار روی سطح خارجی	بار اضافی فقط روی سطح بیرونی می‌نشیند
$\vec{E}_{\text{سطح}} \perp$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سطح	میدان در سطح عمود بر آن است

چرا؟ اگر میدان داخل صفر نبود به الکترون‌های آزاد نیرو وارد می‌شد و جریان ایجاد می‌کرد، که با تعادل الکتروستاتیک در تناقض است؛ به همین دلیل مؤلفهٔ مماسی میدان روی سطح هم باید صفر باشد. و چون $E_{\text{داخل}}=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، کار جابه‌جایی بار درون رسانا صفر است، پس کل حجم رسانا هم‌پتانسیل است نه فقط سطحش.

تلهٔ رایج: چگالی سطحی بار می‌تواند نایکنواخت باشد، اما پتانسیل همهٔ نقاط همیشه برابر است؛ پس وصل‌کردن دو نقطه از یک رسانا با سیم هیچ باری جابه‌جا نمی‌کند. در نارسانا برعکس: بار در همان نقطهٔ اولیه می‌ماند.

۶.۲ نقاط تیز و قفس فاراده

در نقاط تیز رسانا چگالی سطحی بار و میدان بیشتر است؛ اگر میدان از مقدار شکست هوا (حدود $3 \times 10^6\ N/C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) بگذرد تخلیهٔ هاله‌ای رخ می‌دهد و برق‌گیر بر همین پایه با نوک تیز نصب می‌شود.

قفس فاراده: رسانای توخالی درون خود را از میدان بیرونی حفظ می‌کند و میدان درون حفره صفر است (اگر بار داخلی نباشد): اتاقک محافظ، کابل هم‌محور، و بدنهٔ فلزی خودرو هنگام صاعقه.

۶.۳ القا در رسانای توخالی و قطبش رسانای توپر

اگر بار نقطه‌ای بدون تماس درون حفرهٔ رسانای توخالی آویزان شود، سطح داخلی به اندازهٔ بار داخل ولی با علامت مخالف بار می‌گیرد و سطح خارجی طوری که مجموع بار کل حفظ شود. اگر بار داخلی با جدار تماس پیدا کند، بار آن و بار سطح داخلی خنثی و به سطح خارجی منتقل می‌شوند. قاعدهٔ «سطح داخلی = منفی بار محصور» حتی وقتی رسانا از پیش بار $+Q_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داشته باشد برقرار است.

حتی رسانای توپر خنثی هم در میدان خارجی قطبیده می‌شود: الکترون‌های آزادش چنان جابه‌جا می‌شوند که میدان بارهای القایی، میدان خارجی را درون رسانا خنثی کند.

۷. خازن

۷.۱ ظرفیت و مکانیزم شارژ

\boxed{C = \frac{Q}{\Delta V}}\ ,\qquad \text{یکا: فاراد } (F = C/V)

خازن‌های واقعی از $pF$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا $mF$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را می‌پوشانند. یک فاراد عدد عظیمی است: خازن تختی با $d=1\,mm$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $C=1\,F$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مساحتی حدود ۱۱۳ کیلومتر مربع می‌خواهد.

هنگام شارژ، الکترون‌های صفحهٔ متصل به پایانهٔ مثبت به سمت باتری کشیده می‌شوند و آن صفحه مثبت می‌شود؛ هم‌زمان همان تعداد الکترون از پایانهٔ منفی به صفحهٔ دیگر می‌رود. «بار خازن برابر $q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» یعنی یک صفحه $+q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و دیگری $-q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد و بار خالص صفر است.

۷.۲ خازن تخت و دی‌الکتریک

C_0 = \varepsilon_0 \frac{A}{d}\ ,\qquad \varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\ F/m

ظرفیت فقط به شکل هندسی بستگی دارد، نه به بار یا ولتاژ. میدان میان صفحات برحسب بار (مفید برای خازن جداشده از باتری):

\boxed{E=\frac{q}{\kappa\varepsilon_0 A}}

با قراردادن دی‌الکتریک $C = \kappa C_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که در آن $\kappa \geq 1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است: خلأ ۱، هوا ۱٫۰۰۰۵۹، کاغذ ۳٫۷، شیشه ۵ تا ۱۰ و آب ۸۰.

شرط	$C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$Q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\Delta V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$E$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
متصل به باتری	$\kappa C_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\kappa Q_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$V_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$E_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
جدا از باتری	$\kappa C_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$Q_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$V_0/\kappa$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$E_0/\kappa$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

برای تغییر هم‌زمان چند پارامتر، نسبت‌گیری ساختاری سریع‌ترین راه است:

\frac{C_2}{C_1}=\frac{\kappa_2}{\kappa_1}\times\frac{A_2}{A_1}\times\frac{d_1}{d_2}

کاربرد زیستی: غشای یاختهٔ عصبی با $\kappa\approx4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ضخامت چند نانومتر مثل یک خازن تخت طبیعی عمل می‌کند.

۷.۳ انرژی خازن

\boxed{U_C = \frac{1}{2}Q\Delta V = \frac{1}{2}C(\Delta V)^2 = \frac{Q^2}{2C}}

انرژی در واقع در میدان الکتریکی میان صفحات ذخیره می‌شود و چگالی انرژی میدان $u = \tfrac12\varepsilon_0 E^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. چون $q=CV$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خطی است، نمودار $q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خط راستی از مبدأ با شیب $C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و مساحت زیر آن انرژی ذخیره‌شده را می‌دهد. نمودار $q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هنگام شارژ ابتدا تند بالا می‌رود و به مقدار اشباع میل می‌کند (منحنی، نه خط راست) و هنگام تخلیه برعکس. فلاش دوربین نمونهٔ آشنای همین رفتار است.

۷.۴ فروریزش و اتلاف نیمی از انرژی

اگر میدان میان صفحات از میدان شکست دی‌الکتریک بگذرد، دی‌الکتریک رسانا می‌شود و خازن تخلیه می‌گردد؛ با $E_{\max}=V_{\max}/d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بیشینهٔ ولتاژ و با $Q_{\max}=CV_{\max}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بیشینهٔ بار به دست می‌آید. در مقیاس میکروسکوپی، میدان قوی الکترون‌ها را از اتم‌های دی‌الکتریک جدا می‌کند.

هنگام شارژ مستقیم با باتری، انرژی مصرفی باتری $W=qV$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است ولی انرژی ذخیره‌شده فقط $U_C=\tfrac12qV$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

\boxed{U_{\text{خازن}} = \frac12\,W_{\text{باتری}}}

یعنی همیشه دقیقاً نیمی از انرژی باتری به‌صورت گرما تلف می‌شود، مستقل از مقدار مقاومت مدار.

۸. کاربردهای آشنا

گرده‌افشانی زنبور: زنبور در پرواز بار مثبت می‌گیرد و کلالهٔ گل با بار منفی القایی گردهٔ چسبیده به بدن او را جذب می‌کند.
انحراف باریکهٔ آب: بادکنک باردار باریکهٔ آب را جذب می‌کند، چون دوقطبی‌های مولکول آب زیر اثر القا می‌چرخند.

۹. خلاصهٔ فرمول‌ها و تله‌های رایج

F = k\frac{|q_1||q_2|}{r^2} \quad\quad E = k\frac{|q|}{r^2} \quad\quad V = k\frac{q}{r}

|\Delta V| = Ed \quad\quad C = \frac{Q}{\Delta V} \quad\quad U_C = \frac{1}{2}C(\Delta V)^2

جهت میدان: از بار مثبت دور می‌شود، ولی اگر $q<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد به سمت بار است.
برهم‌نهی: میدان یا نیروی هر بار را مستقل حساب و بعد جمع برداری کنید.
پتانسیل اسکالر است: در جمع پتانسیل‌ها علامت مهم است نه جهت؛ ولی تغییر پتانسیل فقط به جهت حرکت نسبت به میدان بستگی دارد، نه علامت بار.
خازن: وصل به باتری یعنی $\Delta V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ثابت؛ جدا از باتری یعنی $Q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ثابت.
یکاها: $N/C \equiv V/m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
درون رسانا: $E=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ثابت، برای کل حجم نه فقط سطح؛ چگالی بار می‌تواند نایکنواخت باشد، پتانسیل هرگز.
نیمی از انرژی باتری در شارژ خازن همیشه تلف می‌شود، مستقل از مقاومت مدار.

خلاصه‌ی درسنامه