03_مغناطیس و القای الکترومغناطیسی (علوم تجربی)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$r = 1.04\,\text{m}$ و $p = 11.3\,\text{m}$» درست است. تجزیهٔ سرعت نسبت به میدان: $v_\perp = v\sin 30^\circ = 5\times 10^{6}\times 0.5 = 2.5\times 10^{6}\,\text{m/s}$ و $v_\parallel = v\cos 30^\circ = 5\times 10^{6}\times 0.866 = 4.33\times 10^{6}\,\text{m/s}$. شعاع: $r = \frac{m v_\perp}{|q| B} = \frac{6.64\times 10^{-27}\times 2.5\times 10^{6}}{3.2\times 10^{-19}\times 0.05} = \frac{1.66\times 10^{-20}}{1.6\times 10^{-20}} = 1.04\,\text{m}$. دورهٔ تناوب: $T = \frac{2\pi m}{|q| B} = \frac{6.283\times 6.64\times 10^{-27}}{1.6\times 10^{-20}} = 2.61\times 10^{-6}\,\text{s}$. گام: $p = v_\parallel T = 4.33\times 10^{6}\times 2.61\times 10^{-6} = 11.3\,\text{m}$. وارسیِ مستقل (بدونِ محاسبهٔ $T$): نسبتِ گام به شعاع همیشه $\frac{p}{r} = 2\pi\cot\theta = 2\pi\sqrt{3} = 10.88$ است و $1.04\times 10.88 = 11.3\,\text{m}$ — همان نتیجه. ردِ گزینه‌ها: «$r = 1.80$ و $p = 6.52$» از جابه‌جاکردنِ سینوس و کسینوس می‌آید (مؤلفهٔ موازی در شعاع و مؤلفهٔ عمود در گام). «$r = 2.08$ و $p = 22.6$» از به‌کاربردنِ بارِ بنیادی $1.6\times 10^{-19}\,\text{C}$ به‌جایِ بارِ خودِ ذره $3.2\times 10^{-19}\,\text{C}$ حاصل می‌شود (هر دو کمیت دقیقاً دو برابر می‌شوند). «$r = 1.04$ و $p = 6.52$» شعاع را درست ولی گام را با مؤلفهٔ عمود حساب کرده است. تلهٔ تستی: گامِ مارپیچ به مؤلفهٔ موازیِ سرعت ($v\cos\theta$) وابسته است و شعاع به مؤلفهٔ عمود ($v\sin\theta$)؛ خلطِ این دو، و نیز گذاشتنِ بارِ بنیادی به‌جایِ بارِ واقعیِ ذره، دو خطایِ رایجِ این مسئله‌اند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$400\pi$ برابر» درست است. ۱) چگالیِ دورِ سیملوله: $n = \frac{N}{l} = \frac{1000}{0.5} = 2000\,\text{m}^{-1}$، پس $B_{\text{سیملوله}} = \mu_0 n I = \mu_0 \times 2000 \times 2 = 4000\mu_0$. ۲) میدانِ سیمِ راست: $B_{\text{سیم}} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{\mu_0 \times 2}{2\pi \times 0.1} = \frac{10\mu_0}{\pi}$. ۳) نسبت: $\frac{B_{\text{سیملوله}}}{B_{\text{سیم}}} = \frac{4000\mu_0}{10\mu_0/\pi} = 400\pi \approx 1257$. وارسیِ مستقل (جایگذاریِ عددی): $B_{\text{سیملوله}} = 4\pi\times 10^{-7}\times 2000\times 2 = 5.03\times 10^{-3}\,\text{T}$ و $B_{\text{سیم}} = \frac{2\times 10^{-7}\times 2}{0.1} = 4\times 10^{-6}\,\text{T}$؛ خارجِ قسمت $\frac{5.03\times 10^{-3}}{4\times 10^{-6}} = 1257$ — برابرِ $400\pi$. ردِ گزینه‌ها: «$200\pi$ برابر» از گذاشتنِ $N = 1000$ به‌جایِ $n = N/l = 2000$ در رابطهٔ سیملوله می‌آید. «$800\pi$ برابر» از به‌کاربردنِ $\frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ برایِ سیمِ راست (نصف‌کردنِ نادرستِ میدانِ سیم) ناشی می‌شود. «$400$ برابر» از به‌کاربردنِ رابطهٔ مرکزِ حلقه ($\frac{\mu_0 I}{2 r}$) برایِ سیمِ راست به‌دست می‌آید و ضریبِ $\pi$ را از دست می‌دهد. تلهٔ تستی: میدانِ درونِ سیملوله به چگالیِ دور ($n = N/l$) وابسته است نه به تعدادِ کلِ دورها ($N$)؛ و رابطهٔ سیمِ راست ($\frac{\mu_0 I}{2\pi r}$) با رابطهٔ مرکزِ حلقه ($\frac{\mu_0 I}{2R}$) دقیقاً به اندازهٔ یک $\pi$ فرق دارد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$v_y = 2 \times 10^{6}\,\text{m/s}$» درست است. ۱) چون $\vec{B}$ در راستایِ $+x$ است، مؤلفهٔ $v_x$ موازیِ میدان است و هیچ سهمی در نیرو ندارد؛ تنها مؤلفهٔ عمود، یعنی $v_y$، نیرو می‌سازد: $F = |q| v_y B$. ۲) پس $v_y = \frac{F}{|q| B} = \frac{1.6\times 10^{-13}}{1.6\times 10^{-19}\times 0.5} = \frac{1.6\times 10^{-13}}{8\times 10^{-20}} = 2\times 10^{6}\,\text{m/s}$. وارسیِ مستقل (تجزیهٔ مختصاتی): با $v_x = v_y = 2\times 10^{6}$، تندیِ کل $v = \sqrt{2}\times 2\times 10^{6} = 2.83\times 10^{6}\,\text{m/s}$ و $\sin\theta = v_y/v = 0.707$؛ آنگاه $|q| v B \sin\theta = 1.6\times 10^{-19}\times 2.83\times 10^{6}\times 0.5\times 0.707 = 1.6\times 10^{-13}\,\text{N}$ — دقیقاً همان نیرویِ داده‌شدهٔ مسئله. ردِ گزینه‌ها: «$v_y = 0$» یعنی سرعت کاملاً موازیِ میدان است و نیرو صفر می‌شد، نه $1.6\times 10^{-13}\,\text{N}$. «$v_y = 1 \times 10^{6}$» نیرویی برابرِ $8\times 10^{-14}\,\text{N}$ می‌دهد، یعنی نصفِ مقدارِ خواسته‌شده. «$v_y = \sqrt{3} \times 10^{6}$» نیرویی برابرِ $1.39\times 10^{-13}\,\text{N}$ می‌دهد که با دادهٔ مسئله نمی‌خوانَد. تلهٔ تستی: در $F = |q| v B \sin\theta$، حاصلِ $v\sin\theta$ خودش همان مؤلفهٔ عمودِ سرعت است؛ اگر مستقیم آن را بنویسی دیگر نیازی به یافتنِ $\theta$ نداری. کسانی که اصرار دارند اول $\theta$ را پیدا کنند، معمولاً مؤلفهٔ موازی را هم اشتباهاً واردِ محاسبه می‌کنند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$2$» درست است. $r=\frac{mv}{|q|B}$. برای ذره اول: $r=\frac{4m_p v}{2eB}=\frac{2m_p v}{eB}$. برای ذره دوم: $r'=\frac{m_p (4v)}{eB}=\frac{4m_p v}{eB}$. نسبت $\frac{r'}{r}=\frac{4m_p v/eB}{2m_p v/eB}=2$. گزینه‌ی «$\frac{1}{4}$» از وارونه‌گرفتنِ نسبت ($r/r'$ به‌جای $r'/r$) ناشی می‌شود. گزینه‌های «$\frac{1}{2}$» و «$4$» از خطاهایِ دیگر در جایگذاریِ جرم/بار حاصل می‌شوند. تلهٔ تستی: با اینکه بارِ ذرهٔ دوم نصفِ ذرهٔ اول و جرمش یک‌چهارمِ آن است، این دو تغییر هم‌جهت عمل نمی‌کنند (یکی شعاع را افزایش، دیگری کاهش می‌دهد)؛ باید هر دو اثر را همراه با اثرِ چهاربرابرشدنِ سرعت با دقت در یک کسر ترکیب کرد، نه جداگانه تخمین زد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$0.8$ برابر» درست است. ۱) میدانِ درونِ سیملوله: $B_{\text{سیملوله}} = \mu_0 \frac{N}{l} I = \mu_0 \times \frac{500}{0.4} \times 2 = 2500\mu_0$. ۲) میدانِ مرکزِ پیچهٔ دایروی: $B_{\text{پیچه}} = \frac{\mu_0 N' I}{2R} = \frac{\mu_0 \times 100 \times 2}{2\times 0.05} = \frac{200\mu_0}{0.1} = 2000\mu_0$. ۳) نسبت: $\frac{B_{\text{پیچه}}}{B_{\text{سیملوله}}} = \frac{2000\mu_0}{2500\mu_0} = 0.8$. وارسیِ مستقل (جایگذاریِ عددی): $B_{\text{سیملوله}} = 4\pi\times 10^{-7}\times 1250\times 2 = 3.14\times 10^{-3}\,\text{T}$ و $B_{\text{پیچه}} = \frac{4\pi\times 10^{-7}\times 100\times 2}{0.1} = 2.51\times 10^{-3}\,\text{T}$؛ خارجِ قسمت $\frac{2.51}{3.14} = 0.8$. ردِ گزینه‌ها: «$1.25$ برابر» همان نسبتِ وارون ($B_{\text{سیملوله}}/B_{\text{پیچه}}$) است. «$8 \times 10^{-3}$ برابر» از فراموش‌کردنِ $N' = 100$ در رابطهٔ پیچه می‌آید. «$80$ برابر» از واردنکردنِ تبدیلِ واحد و گذاشتنِ $l = 40$ به‌جایِ $0.4\,\text{m}$ حاصل می‌شود. تلهٔ تستی: در رابطهٔ سیملوله $N$ بر طول تقسیم می‌شود ($n = N/l$)، اما در رابطهٔ پیچهٔ تخت $N'$ ضریبِ مستقیمِ میدان است و شعاع در مخرج می‌آید؛ جابه‌جا به‌کاربردنِ این دو ساختار، رایج‌ترین خطایِ این مقایسه است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از آنجایی که $\vec{v}_0$، $\vec{E}$ و $\vec{B}$ هم‌جهت (بر یک خط راست) هستند، زاویه بین $\vec{v}_0$ و $\vec{B}$ صفر است، بنابراین نیروی مغناطیسی $F_B = qvB\sin 0° = 0$ است. فقط نیروی الکتریکی $F_E = qE$ در راستای سرعت وارد می‌شود. با شرط $v_0 = E/B$، این نیرو غیرصفر است و ذره در مسیر مستقیم با شتاب ثابت حرکت می‌کند. تلهٔ تستی: در این‌گونه سؤالات، جهتِ بردارها (سرعت، میدان، نیرو) و علامتِ بار باید با دقت و به‌ترتیبِ درست در ضربِ برداری یا فرمول اعمال شوند — نادیده‌گرفتنِ علامتِ منفیِ بار یا خلطِ مؤلفه‌هایِ موازی/عمود، رایج‌ترین منشأِ خطا در این نوع مسائل است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «d/2» درست است. سیمِ حاملِ $I$ را در مبدأ و سیمِ حاملِ $3I$ را در فاصلهٔ $d$ از آن در نظر می‌گیریم؛ جریان‌ها ناهم‌جهت‌اند. ۱) در ناحیهٔ بینِ دو سیم، میدانِ هر دو سیم هم‌جهت است (ویژگیِ همیشگیِ جریان‌هایِ ناهم‌جهت)، پس برآیند آن‌جا هرگز صفر نمی‌شود. ۲) در سمتِ سیمِ پرجریان‌تر باید $\frac{I}{x} = \frac{3I}{x-d}$ برقرار باشد که به $x - d = 3x$ و $x = -\frac{d}{2}$ می‌رسد؛ عددِ منفی یعنی چنین نقطه‌ای در آن ناحیه وجود ندارد. ۳) در سمتِ سیمِ کم‌جریان‌تر و بیرونِ هر دو سیم: اگر فاصله تا سیمِ $I$ برابرِ $x$ باشد، فاصله تا سیمِ $3I$ برابرِ $x + d$ است و شرطِ برابریِ اندازه‌ها $\frac{\mu_0 I}{2\pi x} = \frac{\mu_0 (3I)}{2\pi (x+d)} \Rightarrow x + d = 3x \Rightarrow x = \frac{d}{2}$. وارسیِ مستقل (جایگذاری): در $x = d/2$، اندازهٔ میدانِ سیمِ اول متناسب با $\frac{I}{d/2} = \frac{2I}{d}$ و اندازهٔ میدانِ سیمِ دوم متناسب با $\frac{3I}{d/2 + d} = \frac{3I}{1.5d} = \frac{2I}{d}$ است؛ دو اندازهٔ کاملاً برابر و در آن ناحیه ناهم‌جهت، پس برآیند صفر می‌شود. ردِ گزینه‌ها: «d/4» از حلِ رابطهٔ $\frac{I}{x} = \frac{3I}{d-x}$ می‌آید، یعنی فرضِ این‌که نقطه بینِ دو سیم است؛ اما همان‌طور که در بندِ ۱ دیدیم آن ناحیه اصلاً جوابی ندارد. «3d/4» و «3d/2» هر دو نقطه را به سیمِ پرجریان‌تر نزدیک‌تر می‌کنند، درحالی‌که نقطهٔ خنثی همیشه باید به سیمِ کم‌جریان‌تر نزدیک‌تر باشد تا میدانِ ضعیف‌ترش جبران شود. تلهٔ تستی: برایِ دو جریانِ ناهم‌جهت، نقطهٔ میدانِ صفر همیشه بیرونِ دو سیم و در سمتِ سیمِ کم‌جریان‌تر است؛ برایِ دو جریانِ هم‌جهت، برعکس، همیشه بینِ آن دو قرار می‌گیرد. جابه‌جا گرفتنِ این دو حالت، رایج‌ترین خطایِ این نوع سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$3.2 \times 10^{-18} \, \text{N}$، به سمت سیم» درست است. ۱) میدانِ سیم در محلِ پروتون: $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{2\times 10^{-7}\times 5}{0.02} = 5\times 10^{-5}\,\text{T}$. ۲) سرعتِ پروتون موازیِ سیم و میدان عمود بر آن است، پس $\theta = 90^\circ$ و $F = q v B$. ۳) گام‌به‌گام: $1.6\times 10^{-19}\times 4\times 10^{5} = 6.4\times 10^{-14}$، سپس $6.4\times 10^{-14}\times 5\times 10^{-5} = 3.2\times 10^{-18}\,\text{N}$. وارسیِ مستقل (تجزیهٔ مختصاتی): سیم را در راستایِ $+\hat{x}$ و پروتون را در $y = +r$ بگیرید. آن‌جا $\vec{B} = B\hat{z}$ (بیرون از صفحه) و $\vec{v} = v\hat{x}$، پس $\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B} = qvB(\hat{x}\times\hat{z}) = -qvB\,\hat{y}$، یعنی رو به سیم. این با قاعدهٔ آشنایِ «دو جریانِ هم‌جهت یکدیگر را می‌ربایند» هم‌خوان است، چون پروتونِ متحرک خودش یک جریانِ هم‌جهت با سیم است. ردِ گزینه‌ها: دو گزینهٔ «دور از سیم» جهت را وارونه گرفته‌اند (معادلِ فرضِ جریان‌هایِ ناهم‌جهت). گزینهٔ «$1.6 \times 10^{-18}$» اندازهٔ میدان را نصف ($2.5\times 10^{-5}\,\text{T}$) گرفته است. تلهٔ تستی: در $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ باید $r$ برحسبِ متر وارد شود (این‌جا $0.02$، نه $2$)؛ فراموش‌کردنِ تبدیلِ سانتی‌متر به متر، پاسخ را دو مرتبهٔ بزرگی جابه‌جا می‌کند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$\sqrt{ \left(\frac{\mu_0 I}{2 \pi r}\right)^2 + \left( \mu_0 n I \right)^2 }$» درست است. ۱) میدانِ سیمِ راست در $P$: اندازهٔ آن $\frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ است و راستایش مماس بر دایرهٔ هم‌مرکز با سیم؛ برایِ نقطه‌ای روی محورِ $y$ این راستا از $\hat{z}\times\hat{y} = -\hat{x}$ به‌دست می‌آید، یعنی در راستایِ محورِ $x$. ۲) میدانِ سیم‌لولهٔ آرمانی در نقطه‌ای درونِ آن: $\mu_0 n I$ در راستایِ محورِ خودش، یعنی $\hat{z}$. ۳) چون $\hat{x} \perp \hat{z}$، این دو بردار بر هم عمودند و اندازهٔ برآیند از قضیهٔ فیثاغورس به‌دست می‌آید: $B = \sqrt{B_{\text{سیم}}^2 + B_{\text{سیم‌لوله}}^2}$. وارسیِ مستقل (حالتِ حدی): اگر $r \to \infty$ باشد، $B_{\text{سیم}} \to 0$ و رابطه به $\mu_0 n I$ می‌رسد، یعنی میدانِ تنهایِ سیم‌لوله؛ و اگر $n \to 0$ باشد به $\frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ می‌رسد، یعنی میدانِ تنهایِ سیم. هر دو حد درست‌اند. ردِ گزینه‌ها: «$\frac{\mu_0 I}{2 \pi r} + \mu_0 n I$» دو بردارِ عمود بر هم را مثلِ دو کمیتِ هم‌راستا جمعِ جبری کرده است و همیشه بزرگ‌تر از پاسخِ درست می‌شود. «$\frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$» و «$\mu_0 n I$» هرکدام تنها یکی از دو منبع را به‌حساب آورده‌اند و سهمِ دیگری را نادیده گرفته‌اند. تلهٔ تستی: میدانِ مغناطیسی بردار است و فقط وقتی اندازه‌ها مستقیم جمع می‌شوند که دو میدان هم‌راستا باشند. گامِ تعیین‌کنندهٔ این مسئله یافتنِ راستایِ میدانِ سیمِ راست است: همیشه هم بر خودِ سیم و هم بر خطِ واصلِ سیم به نقطه عمود است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$2\pi r_0$» درست است. ۱) تجزیهٔ سرعت نسبت به $\vec{B} \parallel \hat{i}$: مؤلفهٔ موازی $v_\parallel = v_0$ (همان مؤلفهٔ $\hat{i}$) و مؤلفهٔ عمود $v_\perp = v_0$ (همان مؤلفهٔ $\hat{j}$). ۲) شعاعِ مارپیچ تنها به مؤلفهٔ عمود بستگی دارد: $r_0 = \frac{m v_\perp}{qB} = \frac{m v_0}{qB}$. ۳) دورهٔ تناوب مستقل از سرعت است: $T = \frac{2\pi m}{qB}$. ۴) گام: $p = v_\parallel T = v_0 \times \frac{2\pi m}{qB} = 2\pi\left(\frac{m v_0}{qB}\right) = 2\pi r_0$. وارسیِ مستقل: در حالتِ کلی $\frac{p}{r_0} = 2\pi \frac{v_\parallel}{v_\perp}$؛ چون این‌جا دو مؤلفه برابرند این نسبت دقیقاً $2\pi$ می‌شود — بدونِ آن‌که به مقدارِ $m$، $q$ یا $B$ نیازی باشد. ردِ گزینه‌ها: «$\pi r_0$» ضریبِ $2\pi$ در دورهٔ تناوب را نصف گرفته است. «$2\sqrt{2}\pi r_0$» تندیِ کل ($\sqrt{2}\,v_0$) را به‌جایِ مؤلفهٔ موازی در گام گذاشته است. «$\frac{2\pi r_0}{\sqrt{2}}$» برعکس، تندیِ کل را به‌جایِ مؤلفهٔ عمود در شعاع به‌کار برده است. تلهٔ تستی: شعاع با $v_\perp$ و گام با $v_\parallel$ ساخته می‌شود؛ تندیِ کل ($\sqrt{v_\parallel^2 + v_\perp^2}$) در هیچ‌کدام از این دو رابطه ظاهر نمی‌شود و آوردنِ آن، ریشهٔ هر سه گزینهٔ نادرست است.