مغناطیس و القای الکترومغناطیسی (فیزیک ۲)

مغناطیس و القای الکترومغناطیسی — خلاصهٔ فصل ۳ فیزیک ۲

این فصل دو نیمه دارد: نیمهٔ اول می‌گوید جریان و آهنربا چطور میدان مغناطیسی می‌سازند و آن میدان چطور بر بار و سیم نیرو وارد می‌کند؛ نیمهٔ دوم سؤال را برعکس می‌کند و نشان می‌دهد میدان مغناطیسیِ در حال تغییر خودش چطور جریان تازه می‌سازد.

قطب‌های مغناطیسی: چیزی که همیشه جفت است

هر آهنربا دو قطب دارد: شمال (N) و جنوب (S). قطب‌های هم‌نام یکدیگر را می‌رانند و ناهم‌نام می‌ربایند. از همین دو قاعده یک نکتهٔ استدلالی پرکاربرد بیرون می‌آید: اگر دو میله یکدیگر را دفع کنند، هر دو قطعاً آهنربا هستند، چون آهن سادهٔ خنثی هرگز چیزی را دفع نمی‌کند؛ اما اگر یکدیگر را جذب کنند نمی‌توان مطمئن بود، چون آهنربا آهن خنثی را هم جذب می‌کند.

تفاوت بنیادی با الکتریسیته اینجاست: بار مثبت و منفی جدا از هم وجود دارند، اما تک‌قطب مغناطیسی هرگز مشاهده نشده — اگر آهنربایی را نصف کنید، هر نیمه خودش آهنربای کاملی با دو قطب می‌شود. این واقعیت در یکی از معادلات ماکسول چنین بیان می‌شود:

\oint\vec{B}\cdot d\vec{A}=0

جهت میدان $\vec B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در هر نقطه همان جهتی است که قطب N یک عقربهٔ مغناطیسی نشان می‌دهد. خطوط میدان مغناطیسی برخلاف خطوط میدان الکتریکی همیشه حلقهٔ بسته‌اند: بیرون آهنربا از N به S و داخل آن از S به N. این خطوط یکدیگر را قطع نمی‌کنند و هرجا متراکم‌تر باشند میدان قوی‌تر است. جسم مغناطیسی مثل آهن، وقتی نزدیک آهنربا قرار گیرد آرایش خطوط را به سمت خودش متمرکز می‌کند، ولی جسم غیرمغناطیسی مثل چوب هیچ اثری بر خطوط ندارد. در ناحیه‌ای که اندازه و جهت میدان همه‌جا یکسان باشد میدان یکنواخت است؛ بین دو قطب آهنربای C-شکل تقریباً چنین میدانی می‌سازند.

ویژگی	میدان الکتریکی $\vec{E}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	میدان مغناطیسی $\vec{B}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
منشأ	بار الکتریکی	جریان الکتریکی / آهنربا
یکا	$\text{N/C}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $\text{V/m}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	تسلا $(\text{T})$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
اثر بر بار ساکن	دارد	ندارد
خطوط میدان	باز، از + به $-$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	حلقهٔ بسته
تک‌قطبی	ممکن	ناممکن

میدان چند منبع در یک نقطه به‌صورت برداری جمع می‌شود. مثلاً اگر دو آهنربا در نقطه‌ای میدان‌های $6\times10^{-3}\,\text{T}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رو به شمال و $8\times10^{-3}\,\text{T}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رو به شرق بسازند، چون بر هم عمودند $B=\sqrt{6^2+8^2}\times10^{-3}=10^{-2}\,\text{T}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود و جهتش حدود $53°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از شمال به سمت شرق کج است.

نیروی مغناطیسی بر بار متحرک

\boxed{F=|q|vB\sin\theta}\qquad \vec{F}=q(\vec{v}\times\vec{B})

که در آن $|q|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بزرگی بار، $v$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تندی و $\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین زاویهٔ بین $\vec{v}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\vec{B}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. اگر بار موازی میدان حرکت کند ( $\theta=0°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $180°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) نیرو صفر است، و اگر عمود بر میدان باشد ( $\theta=90°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) نیرو بیشینه و برابر $|q|vB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. بار ساکن هم هیچ نیرویی نمی‌گیرد، چون $v=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نکتهٔ کلیدی این است که این نیرو همیشه عمود بر سرعت است، پس هرگز کار انجام نمی‌دهد و تندی و انرژی جنبشی بار در میدان مغناطیسی خالص ثابت می‌ماند. چارچوب کلی‌اش را به یاد بسپار: اگر زاویهٔ بین نیرو و سرعت بین $0°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا $90°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد تندی زیاد می‌شود، بین $90°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا $180°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کم می‌شود و دقیقاً در $90°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ثابت می‌ماند — و نیروی مغناطیسی همیشه در همین حالت سوم است.

میان‌بر مفید دیگر از اتحاد $\sin\theta=\sin(180°-\theta)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌آید: ذره‌ای که با زاویهٔ $30°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حرکت می‌کند و ذره‌ای که با $150°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حرکت می‌کند، با $v$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یکسان دقیقاً هم‌اندازه نیرو می‌گیرند.

یکای میدان تسلاست: $1\,\text{T}=1\,\text{N}/(\text{A}\cdot\text{m})=10^4\,\text{G}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. برای مقایسه، میدان زمین حدود $50\,\mu\text{T}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، آهنربای میله‌ای کوچک $0.01$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا $0.1\,\text{T}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، دستگاه MRI حدود $1.5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا $3\,\text{T}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ستارهٔ نوترونی حدود $10^8\,\text{T}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

میدان زمین: قطب مغناطیسی زمین با قطب جغرافیایی یکی نیست (حدود $1800\,\text{km}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فاصله)، پس قطب‌نما دقیقاً شمال جغرافیایی را نشان نمی‌دهد. زاویهٔ خطوط میدان با افق را شیب مغناطیسی می‌نامیم: نزدیک قطب‌ها حدود $90°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و نزدیک استوا حدود صفر. سوزنی که هم در صفحهٔ افقی و هم قائم آزاد باشد، دقیقاً در راستای میدان کلی زمین می‌ایستد.

جهت نیرو با قاعدهٔ دست راست پیدا می‌شود: چهار انگشت در جهت $\vec{v}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، خم‌شدن به سمت $\vec{B}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و شست جهت $\vec{F}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را برای بار مثبت نشان می‌دهد. برای بار منفی، به‌جای معکوس‌کردن ذهنی، همان قاعده را با دست چپ اجرا کن تا مستقیم به جواب برسی. برای بردارهای عمود بر صفحهٔ کاغذ دو نماد استاندارد داریم: درون‌سو (دورشونده از ناظر) و برون‌سو (به سوی ناظر).

از همین قاعده می‌توان علامت بار را از مسیر خمیده استنتاج کرد: بردار مماس بر مسیر همان $\vec v$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و جهت تقعر منحنی همان $\vec F$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (چون نیروی مرکزگرا به داخل قوس می‌کشد)؛ اگر نتیجهٔ دست راست با این جهت هم‌سو باشد بار مثبت است، وگرنه منفی.

وقتی بردارها مؤلفه‌ای داده شوند، فقط مؤلفهٔ عمود بر $\vec v$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نیرو می‌سازد و مؤلفهٔ موازی بی‌اثر است. فرمول میان‌بر برای بردارهای صفحهٔ $xy$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

F_z=q(v_xB_y-v_yB_x)

که نتیجهٔ مثبتش یعنی نیرو برون‌سو و منفی‌اش یعنی درون‌سو.

ترکیب با وزن: اگر ذرهٔ باردار بخواهد معلق بماند، باید برایند وزن و نیروی مغناطیسی صفر شود، یعنی $qvB=mg$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ دقت کن که برایند میدان و وزن معنا ندارد.

حرکت دایروی و مارپیچی بار

وقتی بار عمود بر میدان یکنواخت حرکت کند، نیروی مغناطیسی نقش نیروی مرکزگرا را بازی می‌کند و از $|q|vB=mv^2/r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آید:

\boxed{r=\frac{mv}{|q|B}}\qquad T=\frac{2\pi m}{|q|B}\qquad \boxed{f_c=\frac{|q|B}{2\pi m}}

نکتهٔ شگفت‌انگیز اینکه دورهٔ تناوب مستقل از سرعت و شعاع است — و همین اصل پایهٔ کار سیکلوترون است: ذره در هر نیم‌دور با میدان الکتریکی شتاب می‌گیرد و میدان مغناطیسی آن را در مسیر دایره‌ای نگه می‌دارد. در سرعت‌های نزدیک به نور، جرم نسبیتی زیاد می‌شود و تناوب تغییر می‌کند، پس باید از سینکروسیکلوترون استفاده کرد.

اگر سرعت با میدان زاویه‌ای غیر از $0°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $90°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بسازد، مؤلفهٔ عمود $v_\perp=v\sin\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حرکت دایره‌ای می‌سازد و مؤلفهٔ موازی $v_\parallel=v\cos\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بدون تغییر می‌ماند؛ نتیجه مسیری مارپیچ با شعاع $r=mv\sin\theta/(|q|B)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. همین پدیده ذرات باد خورشیدی را در میدان زمین به دام می‌اندازد، کمربندهای تشعشعی وان‌آلن را می‌سازد و با ورود ذرات به جو نزدیک قطب‌ها شفق قطبی پدید می‌آورد.

در انتخاب‌گر سرعت، میدان الکتریکی و مغناطیسی طوری تنظیم می‌شوند که نیروهایشان یکدیگر را خنثی کنند ( $qE=qvB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، پس فقط ذراتی مستقیم عبور می‌کنند که:

\boxed{v=\frac{E}{B}}

طیف‌سنج جرمی روی همین اصل کار می‌کند: ذره پس از انتخاب‌گر وارد میدان $B'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود و نیم‌دایره‌ای طی می‌کند، پس از شعاع مسیر جرمش به دست می‌آید: $m=|q|B'Br/E$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. این دستگاه در کشف ایزوتوپ‌ها و آزمایش دوپینگ ورزشی کاربرد دارد. نمونهٔ عددی حرکت دایروی: پروتون با $v=4.4\times10^6\,\text{m/s}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در میدان $18\,\text{mT}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شعاعی حدود $2.55\,\text{m}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد.

نیرو بر سیم حامل جریان

چون جریان یعنی حرکت بار، میدان مغناطیسی بر سیم حامل جریان هم نیرو وارد می‌کند:

\boxed{F=BIl\sin\theta}\qquad \vec{F}=I(\vec{l}\times\vec{B})

اگر سیم موازی میدان باشد نیرو صفر است. جهت را با همان قاعدهٔ دست راست می‌یابیم، فقط این‌بار چهار انگشت در جهت جریان قرار می‌گیرند. برای سیم خمیده در میدان یکنواخت، قاعدهٔ وتر معادل برقرار است: نیروی خالص همان نیرویی است که به سیم مستقیمی به طول و جهت وتر واصل دو سر وارد می‌شد؛ شکل دقیق مسیر اهمیتی ندارد. در حالت مؤلفه‌ای هم فقط مؤلفهٔ عمود بر سیم نیرو می‌سازد و میان‌برش $F_z=I(l_xB_y-l_yB_x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

مثال: سیمی به طول $1.0\,\text{m}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با جریان $5.0\,\text{A}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در میدان $400\,\text{G}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با زاویهٔ $30°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نیرویی برابر $F=(0.04)(5.0)(1.0)(0.5)=0.10\,\text{N}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌گیرد.

ترکیب با وزن چند حالت پرتکرار دارد. سیم می‌تواند بدون تکیه‌گاه معلق بماند اگر $BIl=mg$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد. اگر سیم با نخ آویزان باشد و نیروی مغناطیسی قائم باشد، کشش نخ $T=mg\mp F$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود؛ معکوس‌کردن جهت جریان کشش را از حالت کم‌شده به زیادشده می‌برد. اگر نیروی مغناطیسی افقی باشد، نخ دیگر قائم نمی‌ماند و $T=\sqrt{(mg)^2+F^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با زاویهٔ $\tan\theta=F/mg$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از راستای قائم به دست می‌آید. و اگر سیم نزدیک آهنربایی روی ترازو باشد، طبق قانون سوم نیوتون آهنربا هم نیرویی هم‌اندازه و مخالف می‌گیرد و عدد ترازو به همان اندازه کم یا زیاد می‌شود.

دو سیم موازی حامل جریان

دو سیم موازی از طریق میدان مغناطیسی بر هم نیرو می‌گذارند: جریان هم‌جهت ربایش و جریان ضدجهت رانش ایجاد می‌کند.

\boxed{\frac{F}{l}=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}}

میان‌بر مفید: چون طبق قانون سوم نیوتون دو نیرو برابرند و $F=BIl$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برای هردو برقرار است، بدون نیاز به فاصله یا $\mu_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌توان نوشت $\frac{B_1}{I_1}=\frac{B_2}{I_2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. همچنین اگر میدان یکی از سیم‌ها در محل دیگری مستقیماً داده شده باشد، به‌جای فرمول تلفیقی کافی است از $F=BIl$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین استفاده کنی.

تا ۲۰۱۹ آمپر بر همین پایه تعریف می‌شد: جریانی که در دو سیم موازی به فاصلهٔ یک متر، نیروی $2\times10^{-7}\,\text{N}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر هر متر ایجاد کند؛ امروز بر پایهٔ بار بنیادی الکترون تعریف می‌شود.

میدان مغناطیسی حاصل از جریان

اورستد در ۱۸۲۰ کشف کرد که جریان الکتریکی عقربهٔ مغناطیسی را منحرف می‌کند — نخستین سرنخ پیوند الکتریسیته و مغناطیس، که زنجیره‌ای از کارهای آمپر، فاراده و ماکسول را در پی داشت.

منبع	محل	رابطه
سیم مستقیم بلند	فاصلهٔ $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$B=\dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
حلقهٔ دایروی	مرکز	$B=\dfrac{\mu_0I}{2R}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
پیچهٔ مسطح $N$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دور	مرکز	$B=\dfrac{\mu_0NI}{2R}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
سیملولهٔ آرمانی	داخل	$B=\mu_0\dfrac{N}{l}I=\mu_0nI$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

که در آن $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\text{T}\cdot\text{m/A}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تراوایی مغناطیسی خلأ است. خطوط میدان اطراف سیم مستقیم دایره‌های هم‌مرکزاند و جهتشان با قاعدهٔ دست راست پیدا می‌شود: شست در جهت جریان، خم‌شدن انگشتان جهت میدان. برای حلقه و سیملوله برعکس عمل می‌کنیم: چهار انگشت در جهت جریان، و شست مستقیماً قطب N را نشان می‌دهد. جهت میدان بیرون یک حلقه یا سیملوله عکس جهت داخل آن است، درست مثل آهنربای میله‌ای.

میدان درون سیملولهٔ آرمانی یکنواخت و بیرونش تقریباً صفر است؛ آرمانی یعنی طول بسیار بیشتر از قطر و حلقه‌های خیلی نزدیک. توجه کن که این یکنواختی فقط دور از دو سر برقرار است و نزدیک لبه‌ها میدان ضعیف‌تر و نامنظم‌تر می‌شود. مثال عددی: سیملوله‌ای با $N=600$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $l=15\,\text{cm}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $I=800\,\text{mA}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین میدانی حدود $4.0\times10^{-3}\,\text{T}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌سازد.

برهم‌نهی چند منبع همیشه برداری است. نقطهٔ میدان صفر بین دو سیم موازی: اگر جریان‌ها هم‌جهت باشند این نقطه بین دو سیم و نزدیک‌تر به سیم کم‌جریان‌تر است؛ اگر ناهم‌جهت باشند بیرون فاصلهٔ دو سیم و کنار سیم کم‌جریان‌تر. برای دو حلقهٔ عمود بر هم با مرکز مشترک، چون میدان‌ها بر هم عمودند، از فیثاغورس $B=\sqrt{B_1^2+B_2^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین استفاده می‌کنیم؛ ولی برای سیملوله و پیچهٔ هم‌محور که میدان‌هاشان موازی‌اند، جمع جبری ساده کافی است.

آهنربای الکتریکی یعنی سیملوله با هستهٔ آهنی. هسته در میدان سیملوله مغناطیده می‌شود و میدان را به‌شدت تقویت می‌کند: $B_{\text{با هسته}}=\mu_r B_{\text{بدون هسته}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که برای آهن نرم $\mu_r\gg1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. برخلاف آهنربای دائمی، این آهنربا روشن و خاموش می‌شود، شدتش با جریان و تعداد دور تنظیم می‌شود و قطبیتش با معکوس‌کردن جریان برمی‌گردد — البته معکوس‌کردن قطب‌ها فقط جهت میدان را عوض می‌کند و بزرگی و قدرت جذب را تغییر نمی‌دهد. جرثقیل صنعتی، قفل الکترومغناطیسی، ترانسفورماتور و موتور الکتریکی همه بر همین پایه‌اند.

گشتاور بر حلقهٔ حامل جریان

حلقه‌ای با $N$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دور و مساحت $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در میدان یکنواخت گشتاور می‌گیرد:

\boxed{\tau=NIAB\sin\alpha}\qquad \vec{\tau}=\vec{\mu}\times\vec{B},\quad \vec{\mu}=NIA\hat{n}

گشتاور وقتی صفحهٔ حلقه موازی میدان باشد بیشینه ( $\tau_{max}=NIAB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و وقتی عمود بر صفحه موازی میدان باشد صفر است. نکتهٔ ظریف: برایند نیروی خالص بر حلقهٔ بسته در میدان یکنواخت همیشه صفر است، چون نیروهای اضلاع یکدیگر را خنثی می‌کنند؛ پس حلقه جابه‌جا نمی‌شود ولی می‌چرخد.

این اصل پایهٔ کار گالوانومتر (جریان بیشتر، انحراف بیشتر، با فنر بازگرداننده) و موتور DC است. مشکل موتور این است که در وضعیت تعادل گشتاور صفر می‌شود؛ راه‌حل کموتاتور (جاروبک) است که هر نیم‌دور جهت جریان را معکوس می‌کند تا گشتاور همیشه یک‌طرفه بماند و چرخش ادامه یابد.

مواد مغناطیسی

هر اتم به دو دلیل دوقطبی مغناطیسی دارد: گردش الکترون به دور هسته و اسپین الکترون.

نوع	دوقطبی ذاتی	رفتار در میدان خارجی	دائمی
دیامغناطیس (مس، طلا، آب)	ندارد	ضعیف، خلاف جهت	خیر
پارامغناطیس (آلومینیوم، اکسیژن)	دارد، بی‌نظم	ضعیف، هم‌جهت	خیر
فرومغناطیس (آهن، نیکل، کبالت)	دارد، در حوزه‌ها	قوی، هم‌جهت	بله

مواد فرومغناطیسی حوزه‌های مغناطیسی دارند؛ نواحی بسیار کوچکی که در هرکدام میلیاردها اتم هم‌جهت‌اند. بدون میدان خارجی جهت حوزه‌ها تصادفی و مغناطش خالص صفر است، و در میدان خارجی حوزه‌های هم‌جهت رشد می‌کنند. اما این رشد بی‌پایان نیست: وقتی همهٔ حوزه‌ها هم‌جهت شدند، تشبع مغناطیسی رخ می‌دهد و افزایش بیشتر میدان دیگر اثری ندارد.

بالای دمای کوری حرکت گرمایی نظم حوزه‌ها را از بین می‌برد و ماده پارامغناطیس می‌شود؛ این دما برای آهن $770°\text{C}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، نیکل $358°\text{C}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و کبالت $1131°\text{C}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. اگر پس از برداشتن میدان مقداری مغناطش باقی بماند، به آن پسماند می‌گویند: آهن نرم پسماند کم دارد و برای هستهٔ آهنربای الکتریکی و ترانسفورماتور مناسب است، ولی فولاد پسماند زیاد دارد و برای آهنربای دائمی به کار می‌رود.

ابررساناها دیامغناطیس کامل‌اند و میدان را کاملاً از خود بیرون می‌رانند (اثر مایسنر) — دلیل معلق‌ماندن آهنربا روی ابررسانا. ذخیرهٔ اطلاعات در نوار مغناطیسی و هارد دیسک هم با تنظیم جهت مغناطیسی نواحی ریز فرومغناطیسی انجام می‌شود. در MRI هم پروتون‌های هیدروژن بدن در میدان قوی هم‌راستا می‌شوند و سیگنال بازگشتشان پس از پالس رادیویی به تصویر تبدیل می‌شود.

دو ابزار محاسباتی فراتر از کتاب هم ارزش دانستن دارند: قانون بیو-ساوار ( $d\vec{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{d\vec{l}\times\hat{r}}{r^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) که معادل مغناطیسی قانون کولن است و با انتگرال‌گیری همان $B=\mu_0I/2\pi r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سیم بلند را می‌دهد، و قانون آمپر ( $\oint\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0I_{enc}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) که معادل مغناطیسی قانون گاوس است و مستقیماً به رابطهٔ سیملوله می‌رسد. همچنین جریان در رسانا در حضور میدان عمود، حامل‌های بار را به یک طرف می‌راند و ولتاژ هال $V_H=IB/nqt$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌سازد که نوع حامل بار در نیم‌رساناها را مشخص می‌کند.

شار مغناطیسی

شار نشان می‌دهد چه مقدار میدان از یک سطح می‌گذرد:

\Phi=BA\cos\theta\qquad 1\,\text{Wb}=1\,\text{T}\cdot\text{m}^2

وقتی سطح عمود بر میدان باشد ( $\theta=0°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) شار بیشینه و برابر $BA$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، وقتی موازی باشد ( $\theta=90°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) شار صفر می‌شود و در $\theta=180°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر $-BA$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. جهت نیم‌خط عمود بر سطح را خودمان انتخاب می‌کنیم، ولی در طول یک مسئله باید ثابت بماند؛ علامت شار معنادار است.

تلهٔ رایج: در این فرمول $\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همیشه نسبت به نیم‌خط عمود بر سطح است، نه نسبت به خود سطح. اگر صورت سؤال زاویهٔ میدان با سطح حلقه را بدهد، باید $\theta_{\text{فرمول}}=90°-\theta_{\text{داده‌شده}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بگیری؛ مثلاً زاویهٔ $30°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با سطح یعنی $\cos60°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در فرمول، نه $\cos30°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

قانون فاراده و قانون لنز

هرگاه شار عبوری از یک مدار تغییر کند، نیروی محرکهٔ القایی تولید می‌شود و در مدار بسته جریان $I=\mathcal{E}/R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین راه می‌افتد:

\boxed{\mathcal{E}=-N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}}

چون $\Phi=BA\cos\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، شار از سه راه تغییر می‌کند: تغییر میدان ( $\mathcal E=-NA\cos\theta\,\Delta B/\Delta t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، تغییر مساحت مثل میلهٔ لغزنده ( $\mathcal E=-NB\cos\theta\,\Delta A/\Delta t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و تغییر زاویه یعنی چرخش پیچه که اساس مولد برق است ( $\bar{\mathcal E}=NBA|\cos\theta_2-\cos\theta_1|/\Delta t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین). این سه فرمول تجزیه‌شده فقط وقتی معتبرند که تنها یکی از سه عامل تغییر کند؛ در غیر این صورت باید مستقیم $\Delta\Phi=\Phi_2-\Phi_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حساب شود.

دو حالت فریبنده هم هست که در آن‌ها با وجود حرکت، هیچ جریانی القا نمی‌شود: چرخش حلقه حول محوری موازی خطوط میدان (چون $\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عوض نمی‌شود)، و لغزیدن حلقه موازی یک سیم حامل جریان بدون تغییر فاصله (چون میدان در محل حلقه ثابت می‌ماند).

بار خالصی که در طول تغییر شار از مدار می‌گذرد میان‌بر جالبی دارد و مستقل از مدت زمان است:

\boxed{|\Delta q|=\frac{N|\Delta\Phi|}{R}}

چون $\Delta q=I\Delta t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $I$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خودش $\Delta t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در مخرج دارد، این زمان حذف می‌شود.

نمودارها در این بحث پرکاربردند: روی نمودار $\Phi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شیب خط همان نیروی محرکه است (شیب مماس برای مقدار لحظه‌ای)، و روی نمودار $\mathcal E$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مساحت زیر نمودار برابر $N|\Delta\Phi|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. مثال کلاسیک: قابی که با سرعت ثابت وارد ناحیهٔ میدان می‌شود، مدتی کامل داخل می‌ماند و بعد خارج می‌شود، نمودار $\Phi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ذوزنقه‌ای و نمودار $\mathcal E$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سه‌پله‌ای دارد (ثابت مثبت هنگام ورود، صفر در حین توقف کامل داخل میدان، ثابت منفی هنگام خروج).

طبق قانون لنز، جهت جریان القایی همیشه با تغییرِ شار مخالفت می‌کند، نه با خود شار: اگر شار زیاد شود جریان القایی میدانی خلاف میدان اصلی می‌سازد و اگر کم شود میدانی هم‌جهت. پیامد ملموسش این است که آهنربای نزدیک‌شونده به حلقه، دافعه حس می‌کند و آهنربای دورشونده جاذبه — هر دو یعنی مخالفت با تغییر. اگر آهنربای قوی را داخل لولهٔ مسی بلند رها کنی، جریان‌های گردابی القایی مثل ترمزی نامرئی سقوطش را کند می‌کنند. این قانون خودش مصداقی از پایستگی انرژی است: اگر جریان القایی کمک می‌کرد نه مخالفت، انرژی از هیچ تولید می‌شد.

مثال (تغییر میدان): پیچه‌ای با $N=1000$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دور و مساحت $50\,\text{cm}^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، اگر میدان در $\Delta t=0.010\,\text{s}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از $0.040\,\text{T}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $-0.010\,\text{T}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برسد، $\Delta\Phi=-2.5\times10^{-4}\,\text{Wb}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\mathcal{E}=+25\,\text{V}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود.

میلهٔ لغزنده: وقتی میله‌ای روی دو ریل در میدان عمود بلغزد، مساحت مدار تغییر می‌کند و $|\mathcal{E}|=B\ell v$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آید؛ برای پیچهٔ $N$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دوری این رابطه به $NB\ell v$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تعمیم می‌یابد. مثلاً میله‌ای به طول $20\,\text{cm}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با تندی $20\,\text{m/s}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در میدان $0.18\,\text{T}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، نیروی محرکهٔ $0.72\,\text{V}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌سازد. جهت جریان را می‌توان بدون تحلیل شار هم یافت: هر بار آزاد داخل میله نیروی $q\vec v\times\vec B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌گیرد و به یک سر رانده می‌شود، و همین قطب‌های دو سر را تعیین می‌کند. تلهٔ رایج این است که $\ell$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باید ضلع عمود بر جهت حرکت باشد، نه ضلع موازی آن.

مولد جریان متناوب

پیچه‌ای با $N$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دور و مساحت $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در میدان $B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با سرعت زاویه‌ای $\omega$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌چرخد:

\Phi(t)=NBA\cos(\omega t)\qquad \mathcal{E}(t)=NBA\omega\sin(\omega t)=\mathcal{E}_m\sin(\omega t)

با $\mathcal{E}_m=NBA\omega$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $I_m=\mathcal{E}_m/R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\omega=2\pi f=2\pi/T$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. چون $\Phi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با کسینوس و $\mathcal E$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با سینوس تغییر می‌کنند، این دو همیشه $90°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین اختلاف فاز دارند: هرجا شار بیشینه یا کمینه باشد نیروی محرکه و جریان صفرند، و هرجا شار صفر باشد آن دو بیشینه‌اند. از اتحاد $\sin^2+\cos^2=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین میان‌بری به دست می‌آید که بدون محاسبهٔ $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کار می‌کند؛ مثلاً اگر $\Phi=\frac12\Phi_m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، آن‌گاه $I=\frac{\sqrt3}{2}I_m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مقدار مؤثر (RMS) برابر $1/\sqrt{2}\approx0.707$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر مقدار بیشینه است. ولتاژ ۲۲۰ ولت برق شهر همین مقدار مؤثر است و بیشینهٔ واقعی‌اش $220\sqrt2\approx311\,\text{V}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. برق شهر ایران با بسامد $50\,\text{Hz}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی $T=20\,\text{ms}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس هر ثانیه ۵۰ چرخهٔ کامل رخ می‌دهد و در لحظهٔ $t=T/4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جریان برای نخستین بار به بیشینه می‌رسد.

القاگر (سلف)

L=\frac{N\Phi}{I}=\mu_0\frac{N^2}{l}A\qquad U=\frac{1}{2}LI^2\qquad \boxed{\varepsilon_L=-L\frac{\Delta I}{\Delta t}}

ضریب القاوری با یکای هانری فقط به هندسهٔ سلف و جنس هسته بستگی دارد، نه به جریان عبوری — درست مثل ظرفیت خازن که به بار آن بستگی ندارد؛ افزودن هستهٔ آهنی آن را به‌شدت زیاد می‌کند. انرژی $U=\frac12LI^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در میدان مغناطیسی درون سلف ذخیره می‌شود، با چگالی $u_B=B^2/(2\mu_0)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین — نکته‌ای که نشان می‌دهد انرژی واقعاً در خود میدان است نه در سیم.

علامت منفی در $\varepsilon_L$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان قانون لنز است: سلف با تغییر جریانش مخالفت می‌کند، نه با خود جریان. پس در لحظهٔ بستن کلید مثل یک مدار باز عمل می‌کند و نمی‌گذارد جریان ناگهان جهش کند، و در لحظهٔ باز کردن کلید با کاهش ناگهانی به‌شدت مخالفت می‌کند و ولتاژ لحظه‌ای بسیار بزرگی می‌سازد — همان جرقه‌ای که سر کلید مدارهای سلف‌دار دیده می‌شود. اما در حالت پایا که $\Delta I/\Delta t=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، $\varepsilon_L=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود و سلف آرمانی دقیقاً مثل سیمی بدون مقاومت رفتار می‌کند؛ پس در مسائل حالت پایا می‌توان آن را با سیم ساده جایگزین کرد و جریان را با قانون اهم حساب کرد.

توپولوژی مدار رفتار را وارونه می‌کند: اگر سلف با لامپ سری باشد، لامپ کم‌نور شروع می‌کند و پرنور می‌شود؛ ولی اگر موازی لامپ باشد، در لحظهٔ اول تمام جریان از لامپ می‌گذرد (چون سلف مثل مدار باز است) و لامپ پرنور روشن می‌شود، سپس با رسیدن به حالت پایا بیشتر جریان از مسیر کم‌مقاومت سلف می‌رود و لامپ کم‌نور می‌شود.

مبدل و القای متقابل

مبدل بر پایهٔ القا کار می‌کند: جریان متغیر در سیم‌پیچ اولیه شار متغیری در هستهٔ آهنی می‌سازد که در ثانویه نیروی محرکه القا می‌کند.

\boxed{\frac{V_2}{V_1}=\frac{N_2}{N_1}}\qquad \frac{I_2}{I_1}=\frac{N_1}{N_2}\qquad V_1I_1=V_2I_2

اگر $N_2>N_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مبدل پله‌بالاست و ولتاژ را زیاد می‌کند، و اگر $N_2<N_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین پله‌پایین است. در مبدل آرمانی توان ورودی و خروجی برابرند، پس افزایش ولتاژ همیشه با کاهش متناسب جریان همراه است. مثال: با $N_1=54$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $N_2=900$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $V_1=220\,\text{V}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $V_2\approx3667\,\text{V}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسیم. نکتهٔ پرتکرار کنکوری: مبدل با جریان مستقیم کار نمی‌کند، چون شار ثابت است و $\Delta\Phi=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

همین رابطه توضیح می‌دهد چرا برق را با ولتاژ بالا منتقل می‌کنند: اتلاف گرمایی خط برابر $P=I^2R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و چون با مجذور جریان رابطه دارد، مبدل پله‌بالای نیروگاه با کم‌کردن جریان اتلاف را به‌شدت پایین می‌آورد؛ نزدیک مصرف‌کننده مبدل پله‌پایین ولتاژ را به سطح ایمن خانگی برمی‌گرداند.

دو سیم‌پیچ مجاور هم بدون تماس انرژی رد و بدل می‌کنند: جریان متغیر در یکی در دیگری نیروی محرکه القا می‌کند و این القای متقابل است، با $\mathcal{E}_2=-M\,\Delta I_1/\Delta t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که $M$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ضریب القای متقابل با یکای هانری است. شارژر بی‌سیم گوشی، شمع اتومبیل (که از همان جهش ولتاژِ قطع ناگهانی بهره می‌برد)، خواندن کارت مغناطیسی و تندی‌سنج دوچرخه نمونه‌های روزمرهٔ همین پدیده‌اند.

معادلات ماکسول

چهار معادله کل الکترومغناطیس را توصیف می‌کنند: قانون گاوس الکتریکی (بار منشأ میدان الکتریکی است)، قانون گاوس مغناطیسی $\oint\vec{B}\cdot d\vec{A}=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (تک‌قطب مغناطیسی نداریم)، قانون فاراده (میدان مغناطیسی متغیر میدان الکتریکی القایی می‌سازد) و قانون آمپر-ماکسول. ماکسول با افزودن جملهٔ میدان الکتریکی متغیر به قانون آمپر، وجود موج الکترومغناطیسی را پیش‌بینی کرد و سرعتش را $c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}=3\times10^8\,\text{m/s}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین محاسبه کرد — دقیقاً سرعت نور، و یکی از عمیق‌ترین کشف‌های تاریخ فیزیک.