دما، گرما و انتقال گرما (فیزیک ۱)

دما و گرما

چرا دستگیرهٔ فلزی سردتر از دیوار چوبیِ هم‌دمای کنارش احساس می‌شود؟ چرا برف قلهٔ کوه گاهی دیرتر از دشت آب می‌شود؟ پاسخ در سه موضوع این فصل است: دما و دماسنجی، انبساط گرمایی، و سه مکانیزم انتقال گرما.

دما از دو دیدگاه

از دیدگاه ماکروسکوپیک، دما معیار سردی و گرمی جسم است؛ وقتی دو جسم با دمای متفاوت در تماس قرار می‌گیرند، انرژی از گرم‌تر به سردتر می‌رود تا به تعادل برسند. از دیدگاه میکروسکوپی، دما معیاری از میانگین انرژی جنبشی ذرات سازندهٔ ماده است؛ هرچه ذرات پرتکاپوتر باشند، دما بالاتر است.

هر دماسنج بر پایهٔ یک کمیت دماسنجی کار می‌کند: کمیتی که با دما به‌طور مشخص و قابل اندازه‌گیری تغییر می‌کند — ارتفاع ستون مایع در لولهٔ باریک، مقاومت الکتریکی یک نیمه‌رسانا (ترمیستور)، یا حجم گاز در فشار ثابت.

سه مقیاس دما

هر مقیاس دما با دو نقطهٔ ثابت تعریف می‌شود. در سلسیوس این دو نقطه تعادل آب و یخ خالص ( $0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و جوش آب خالص ( $100$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) در فشار یک اتمسفر است؛ فاصلهٔ میانشان به ۱۰۰ بخش مساوی تقسیم می‌شود و به همین دلیل به آن سانتی‌گراد هم می‌گویند. در فارنهایت همین بازهٔ آب دقیقاً ۱۸۰ درجه است، نه ۱۰۰.

T=\theta+273.15 \qquad\qquad F=\frac{9}{5}\theta+32

ضریب $9/5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هیچ عدد قراردادیِ بی‌ربطی نیست؛ همان نسبت $180/100$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی نسبت طول دو بازه است. دمای صفر مطلق ( $0\ \text{K}=-273.15°C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) پایین‌ترین دمای ممکن در طبیعت است، دمایی که در آن انرژی جنبشی متوسط ذرات به کمینه می‌رسد.

تلهٔ پرتکرار: وقتی سؤال دربارهٔ اختلاف دو دما باشد نه خودِ دما، رابطه‌ها فرق می‌کنند:

\Delta T=\Delta\theta \qquad\qquad \Delta F=\frac{9}{5}\Delta\theta

عدد $32$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $\Delta F$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حذف می‌شود چون در هر دو حالت یکسان است. پس «افزایش ۳۰ درجه سلسیوس» با «رساندن دما به ۳۰ درجه سلسیوس» دو چیز کاملاً متفاوت‌اند: اولی $54$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین واحد فارنهایت افزایش است و دومی $86$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین درجهٔ فارنهایت.

چند دماسنج و منطق کارشان

در دماسنج‌های جیوه‌ای و الکلی، ارتفاع مایع با دما رابطهٔ خطی دارد؛ پس با داشتن ارتفاع در دو دمای معلوم می‌توان هر دمای دیگری را با تناسب یافت. دقتشان با نازک‌تر شدن جدارهٔ مخزن، باریک‌تر شدن لوله و بیشتر شدن حجم مایع بالا می‌رود.

همین منطق خطی برای هر کمیت دماسنجیِ دیگری هم به کار می‌رود:

\frac{\theta-\theta_1}{x-x_1}=\frac{\theta_2-\theta_1}{x_2-x_1}

دماسنج‌های معیار سه نوع‌اند: گازی، مقاومتی پلاتینی، و تَف‌سنج که تابش گرمایی جسم را بدون تماس مستقیم می‌سنجد و برای دماهای بسیار بالا به کار می‌رود.

ترموکوپل بر پایهٔ کشف توماس سیبک (۱۸۲۱) کار می‌کند: اگر دو سیم غیرهم‌جنس به هم جوش داده شوند و محل اتصال گرم شود، بین دو سر آزاد اختلاف پتانسیل پدید می‌آید. مزیت‌هایش سرعت پاسخ‌گویی بالا، خروجی ولتاژیِ مناسب مدارهای الکترونیکی، و دقتی تا حدود $0.001°C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

نوار دوفلزی از جوش‌دادن دو فلز با ضریب انبساط متفاوت ساخته می‌شود؛ با تغییر دما یکی بیشتر از دیگری منبسط می‌شود و نوار خم می‌شود، همیشه به‌سمت فلزی که $\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کوچک‌تری دارد (با سرد شدن، جهت خمش برعکس می‌شود). در دماپا همین نوار کلید حرارتی است: با گرم‌شدن محیط مدار را قطع و با سرد شدن وصل می‌کند.

انبساط گرمایی

اتم‌های جامد را می‌توان مثل جرم‌هایی تصور کرد که با فنر به هم بسته‌اند. با افزایش دما، دامنهٔ نوسان اتم‌ها حول محل تعادل بیشتر می‌شود و فاصلهٔ متوسطشان زیاد می‌شود — همین است انبساط گرمایی.

\Delta L=\alpha L_1\Delta T \qquad L_2=L_1(1+\alpha\Delta T)

\Delta A=2\alpha A_1\Delta T \qquad \Delta V=\beta V_1\Delta T \qquad \beta_{\text{جامد}}=3\alpha

ضریب $\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط به جنس ماده بستگی دارد (فولاد $13\times10^{-6}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، مس $17\times10^{-6}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، آلومینیوم $23\times10^{-6}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و سرب $29\times10^{-6}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر درجهٔ سلسیوس). رابطهٔ $\beta=3\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط برای جامدهای همسانگرد برقرار است؛ برای مایعات $\beta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را باید مستقیم از جدول خواند، چون مایع شکل ثابتی ندارد.

برای پرسش‌های «چند درصد تغییر می‌کند؟» نیازی به محاسبهٔ مقدار مطلق نیست:

\%\Delta L=\alpha\Delta T\times100 \qquad \%\Delta A=2\alpha\Delta T\times100 \qquad \%\Delta V=\beta\Delta T\times100

نمودار $L$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر حسب $\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خطی است با عرض از مبدأ $L_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و شیب $L_1\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ پس مقایسهٔ دو میله تنها وقتی با مقایسهٔ شیب درست درمی‌آید که طول اولیه‌شان برابر باشد.

سه نکتهٔ ظریف انبساط

حفره مثل جسم پر منبسط می‌شود. این نکته ضدشهود اما کاملاً درست است: اگر ورقه‌ای سوراخ‌دار گرم شود، سوراخ بزرگ‌تر می‌شود، نه کوچک‌تر — دقیقاً به همان اندازه که اگر آن ناحیه از جنس خود ورقه پر شده بود منبسط می‌شد.

خط‌کشی که خودش منبسط می‌شود عدد نادرست می‌دهد، چون فاصلهٔ درجه‌بندی‌هایش هم تغییر کرده است:

L_{\text{واقعی}}=L_{\text{خوانده‌شده}}\times(1+\alpha_{\text{خط‌کش}}\Delta T)

انبساط ظاهری مایع درون ظرف، آن چیزی است که واقعاً سرریز می‌شود:

\Delta V_{\text{ظاهری}}=\Delta V_{\text{مایع}}-\Delta V_{\text{ظرف}}

چون معمولاً $\beta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مایع بسیار بزرگ‌تر از $\beta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ظرف است، در بسیاری از مسائل می‌توان انبساط ظرف را نادیده گرفت — مگر آنکه صورت مسئله خلافش را بخواهد.

چگالی و رفتار غیرعادی آب

با افزایش دما جرم ثابت می‌ماند اما حجم زیاد می‌شود، پس چگالی کم می‌شود:

\rho_2=\frac{\rho_1}{1+\beta\Delta T}\approx\rho_1(1-\beta\Delta T)

اگر جسمی در دل مایع معلق باشد و فقط خودش گرم شود، چگالی‌اش کم می‌شود و به سطح می‌آید.

آب اما در بازهٔ $0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا $4°C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برخلاف بیشتر مواد رفتار می‌کند: با افزایش دما در این بازه حجمش کم و چگالی‌اش زیاد می‌شود؛ بیشینهٔ چگالی آب ( $1000\ \text{kg/m}^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) دقیقاً در $4°C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رخ می‌دهد و بالاتر از آن رفتار عادی برمی‌گردد. توضیح مولکولی‌اش این است که در یخ، مولکول‌های آب شبکهٔ بلوریِ بازی با فضاهای خالی می‌سازند؛ با ذوب و گرم شدن تا $4°C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین این آرایش فرومی‌ریزد و مولکول‌ها وارد همان فضاهای خالی می‌شوند. پیامد این رفتار، یخ‌زدن دریاچه‌ها از سطح است نه از کف — و همین لایهٔ یخ، حیات آبزیان را در زمستان حفظ می‌کند.

گرما، گرمای ویژه و تعادل گرمایی

گرما انرژی‌ای است که تنها به‌دلیل اختلاف دما از جسم گرم‌تر به سردتر منتقل می‌شود. توجه کن که گرما انرژیِ در حال انتقال است، نه چیزی که در جسم ذخیره شده باشد. هرچه اختلاف دما بیشتر باشد آهنگ انتقال بیشتر است، و با نزدیک‌شدن به تعادل این آهنگ کم می‌شود.

Q=C\Delta T \qquad c=\frac{C}{m} \qquad Q=mc\Delta T

گرمای ویژه فقط به جنس بستگی دارد نه به جرم. گرمای ویژهٔ آب ( $4187\ \text{J/kg}\cdot°C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) از همهٔ مواد رایج بیشتر است و به همین دلیل آب خنک‌کننده و تنظیم‌کنندهٔ دمای خوبی است؛ برای مقایسه، یخ $2090$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، آلومینیوم $900$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، آهن $450$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، مس $386$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و سرب $128$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارند.

دمای تعادل چند جسم را می‌توان مستقیم با یک میانگین وزنی نوشت:

\theta=\frac{m_1c_1\theta_1+m_2c_2\theta_2+\cdots}{m_1c_1+m_2c_2+\cdots}

اگر اجسام هم‌جنس باشند $c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حذف می‌شود، و اگر جرم‌ها هم برابر باشند دمای تعادل صرفاً میانگین سادهٔ دماهاست. اگر ظرفیت گرمایی یکی از اجسام بسیار بزرگ‌تر از بقیه باشد، دمای نهایی تقریباً همان دمای اولیهٔ اوست.

یک نکتهٔ مفهومی که زیاد اشتباه گرفته می‌شود: در تعادل گرمایی آنچه برابر می‌شود میانگین انرژی جنبشی ذرات است، نه انرژی درونی کل دو جسم (که به تعداد ذرات هم بستگی دارد).

گرماسنج ظرفی عایق‌بندی‌شده برای اندازه‌گیری دقیق گرمای مبادله‌شده است. چون خود ظرف هم گرما می‌گیرد، ظرفیت گرمایی‌اش باید وارد معادله شود:

Q_{\text{آب}}+Q_{\text{جسم}}+C_{\text{گرماسنج}}\Delta T=0

نوع ویژه‌ای از آن، گرماسنج بمبی، ارزش انرژی مواد غذایی را می‌سنجد: نمونه در اکسیژن خالص می‌سوزد و از افزایش دمای آب اطراف، انرژی آزادشده حساب می‌شود. توان و بازدهٔ گرمکن هم چنین تعریف می‌شود:

P=\frac{Q}{t} \qquad\qquad R_a=\frac{Q_{\text{مفید}}}{Pt}\times100

بر پایهٔ مول ( $n=m/M$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $N=nN_A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $N_A=6.02\times10^{23}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، گرمای ویژهٔ مولی هم تعریف می‌شود. نکتهٔ جالبش قاعدهٔ دولن-پتی است: گرمای ویژهٔ مولی بیشتر فلزهای جامد تقریباً ثابت و حدود $25\ \text{J/mol}\cdot\text{K}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، مستقل از جنس فلز.

تغییر حالت و گرمای نهان

بین سه حالت ماده شش فرایند وجود دارد: ذوب، انجماد، تبخیر، میعان، و دو فرایند مستقیم یعنی تصعید (جامد به گاز، مثل کوچک‌شدن تدریجی نفتالین) و چگالش (گاز به جامد، مثل تشکیل بلور یخ از بخار هوا).

Q=\pm mL_f \qquad\qquad Q=\pm mL_v

برای آب $L_f=334\ \text{kJ/kg}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $L_v=2256\ \text{kJ/kg}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ یعنی تبخیر کردن آب حدود ۶.۷ برابر پرهزینه‌تر از ذوب کردن آن است، چون در تبخیر باید تقریباً همهٔ پیوندهای بین مولکولی گسسته شوند نه فقط نظم بلوری. در طول ذوب یا جوش، دما ثابت می‌ماند چون همهٔ گرمای ورودی صرف شکستن پیوندها می‌شود.

در گرمایش با توان ثابت، نمودار دما بر حسب زمان بخش‌های شیب‌دار (تغییر دما) و بخش‌های تخت (تغییر حالت) دارد. چون توان ثابت است، نسبت طول دو بازهٔ تخت دقیقاً برابر نسبت $L_f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $L_v$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

برای مسائل ترکیبی، مسیر دما را پله‌پله بنویس و هر پله را جدا حساب کن، مثلاً برای یخ $-10°C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا آب $20°C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

-10°C_{\text{یخ}}\xrightarrow{mc_{\text{یخ}}\Delta T}0°C_{\text{یخ}}\xrightarrow{mL_f}0°C_{\text{آب}}\xrightarrow{mc_{\text{آب}}\Delta T}20°C_{\text{آب}}

مهم‌ترین تلهٔ این مسائل هم‌زیستی دو فاز است: اگر گرمای موجود برای ذوب کاملِ یخ کافی نباشد، دما در $0°C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌ماند و مخلوطی از یخ و آب باقی می‌ماند. پس قبل از هر محاسبه، گرمای لازم برای ذوب کامل را با گرمای در دسترس مقایسه کن. حالت وارونه‌اش هم ممکن است: اگر یخ بسیار سرد را در آب $0°C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بیندازیم، چون آب گرمای اضافه‌ای ندارد، بخشی از آب منجمد می‌شود و جرم یخ زیاد می‌شود.

فشار، نقطهٔ ذوب و نقطهٔ جوش

در بیشتر مواد افزایش فشار نقطهٔ ذوب را بالا می‌برد، چون جامدشان از مایعشان چگال‌تر است. یخ استثناست: چون یخ از آب کم‌چگال‌تر است، افزایش فشار نقطهٔ ذوبش را پایین می‌آورد. اما افزایش فشار روی مایع، نقطهٔ جوش را همیشه و بدون استثنا بالا می‌برد. این دو را با هم قاطی نکن: روی قلهٔ کوه افت فشار از یک سو نقطهٔ ذوب یخ را کمی بالاتر می‌برد و از سوی دیگر نقطهٔ جوش آب را پایین می‌آورد، به همین دلیل آب در دمایی کمتر از $100°C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌جوشد و پخت غذا طول می‌کشد. ناخالصی هم هر دو نقطه را تغییر می‌دهد. جامدهای بی‌شکل مانند شیشه و قیر هم اصلاً نقطهٔ ذوب مشخصی ندارند و به‌تدریج نرم می‌شوند.

تبخیر سطحی و جوشیدن دو پدیدهٔ کاملاً متفاوت‌اند:

ویژگی	تبخیر سطحی	جوشیدن
دمای رخداد	هر دمایی	فقط نقطهٔ جوش
محل رخداد	فقط سطح مایع	کل حجم مایع
مساحت سطح	اثر مستقیم	بی‌ربط
وزش باد	اثر مستقیم	بی‌ربط
رطوبت محیط	اثر معکوس	بی‌ربط

در تبخیر سطحی، مولکول‌هایی که انرژی کافی برای غلبه بر جاذبهٔ همسایه‌ها دارند از سطح جدا می‌شوند — در هر دمایی، حتی زیر نقطهٔ جوش. همین منطق توضیح می‌دهد چرا سوختگی با بخار $100°C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شدیدتر از تماس با آب داغِ هم‌دماست: بخار هنگام میعان روی پوست، علاوه بر گرمای سرد شدن، گرمای نهان میعانش را هم آزاد می‌کند.

سه راه انتقال گرما

رسانش با ارتعاش اتمی و انتقال انرژی از ذره‌ای به ذرهٔ همسایه رخ می‌دهد:

H=\frac{Q}{t}=k\frac{A(T_H-T_L)}{L}

آهنگ رسانش با مساحت مقطع، اختلاف دما و ضریب رسانندگی $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نسبت مستقیم و با طول مسیر نسبت معکوس دارد. فلزات رساناهای گرمایی خوبی هستند چون الکترون‌های آزادشان انرژی را سریع جابه‌جا می‌کنند؛ به همین دلیل رسانندگی گرمایی و الکتریکی فلزات به هم گره خورده‌اند، و دستگیرهٔ فلزی سردتر احساس می‌شود چون گرما را سریع‌تر از دست شما می‌گیرد. در مقابل، هوا رسانای بسیار ضعیفی است و لایهٔ هوای محبوس بین دو شیشهٔ پنجرهٔ دوجداره اتلاف گرما را به‌شدت کم می‌کند.

در حالت پایا دما در طول یک میلهٔ یکنواخت خطی تغییر می‌کند، پس دمای وسط میله میانگین دو سر است. اگر دو میلهٔ مختلف سر به سر جوش خورده باشند، در حالت پایا $H_1=H_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برقرار است و از همین تساوی دمای فصل مشترک به دست می‌آید. نتیجهٔ مهمش این است که میلهٔ پررساناتر افت دمای کمتری روی خودش تحمل می‌کند.

همرفت جابه‌جایی خودِ سیال است: سیال گرم چگالی کمتری پیدا می‌کند و بالا می‌رود و سیال سردتر جایش را می‌گیرد. اگر این چرخه خودبه‌خود رخ دهد همرفت طبیعی است (شوفاژ، جوش آمدن آب کتری، باد دریا و خشکی) و اگر پمپ یا وسیله‌ای آن را به راه بیندازد همرفت واداشته است (خنک‌کنندهٔ موتور خودرو، جریان خون در بدن).

تابش تنها روشی است که به محیط مادی نیاز ندارد و از راه امواج الکترومغناطیسی انجام می‌شود. آهنگ آن به دمای جسم، مساحت سطح، و رنگ و بافت سطح بستگی دارد: سطوح تیره و زبر هم گسیلندهٔ بهتر و هم جذب‌کنندهٔ بهترند، در حالی که سطوح روشن و صیقلی تابش را بازمی‌تابانند.

قوانین گازها

قانون	رابطه	کمیت ثابت
شارل	$\dfrac{V_1}{T_1}=\dfrac{V_2}{T_2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	فشار
گی‌لوساک	$\dfrac{P_1}{T_1}=\dfrac{P_2}{T_2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	حجم
بویل-ماریوت	$P_1V_1=P_2V_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	دما
آووگادرو	$\dfrac{V}{n}=$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ثابت	فشار و دما

نمودار $V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $T$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $T$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خطی و گذرنده از مبدأ است، در حالی که نمودار $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شکل هذلولی دارد. قانون آووگادرو می‌گوید در دما و فشار یکسان، حجم گاز فقط به تعداد مولکول‌ها بستگی دارد نه به جنس گاز. ترکیب همهٔ این‌ها معادلهٔ گاز آرمانی را می‌سازد:

PV=nRT \qquad\qquad \frac{P_1V_1}{T_1}=\frac{P_2V_2}{T_2} \qquad R=8.314\ \text{J/mol}\cdot\text{K}

دو شرط را هرگز فراموش نکن. اول، دما در این معادله همیشه باید بر حسب کلوین باشد. دوم، فشار باید مطلق باشد نه پیمانه‌ای؛ فشارسنج‌های معمولی فشار نسبت به جو را نشان می‌دهند:

P_{\text{مطلق}}=P_{\text{پیمانه}}+P_{\text{جو}}

تقریب گاز آرمانی هم تنها برای گاز رقیق و کم‌چگال معتبر است، جایی که برهم‌کنش مولکول‌ها ناچیز باشد.

و یک قاعدهٔ کلی برای کل فصل: در تمام این فرایندها — انبساط، تغییر حالت و انتقال گرما — جرم ثابت می‌ماند؛ آنچه تغییر می‌کند حجم، چگالی و دماست.

خلاصه‌ی درسنامه