نوسان، موج و صوت (فیزیک ۳ — تجربی) — خلاصهٔ درسنامه کنکور

نوسان دوره‌ای و کمیت‌های پایه

نوسان حرکتی است که حول یک نقطهٔ تعادل تکرار می‌شود. اگر هر چرخه دقیقاً مثل چرخهٔ پیش باشد، نوسان دوره‌ای است و در غیر این صورت غیردوره‌ای.

کمیت	نماد	تعریف	یکا
دورهٔ تناوب	$T$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	زمان یک نوسان کامل	ثانیه
بسامد	$f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	تعداد نوسان در هر ثانیه	هرتز
دامنه	$A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	بیشینه فاصله از تعادل	متر

f = \frac{1}{T}

دقت کن که دامنه نصف فاصلهٔ دو انتهای مسیر نوسان است، نه کل آن.

حرکت هماهنگ ساده

حرکتی که نمودار مکان-زمانش سینوسی باشد، حرکت هماهنگ ساده نام دارد. اگر مبدأ زمان را در نقطهٔ بازگشت ( $x=+A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) بگیریم:

x(t) = A\cos(\omega t), \qquad \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f

که $\omega$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بسامد زاویه‌ای با یکای رادیان بر ثانیه است. اگر نوسانگر از خودِ نقطهٔ تعادل و رو به جهت مثبت شروع کند، فاز اولیه $-\frac{\pi}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود و معادله به شکل $x = A\sin(\omega t)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین درمی‌آید؛ در حالت کلی باید $x = A\cos(\omega t + \phi)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نوشت.

موقعیت	مکان	تندی	شتاب
نقطهٔ بازگشت	$x = \pm A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$v = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	بیشینه
نقطهٔ تعادل	$x = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	بیشینه	$a = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

دو رابطهٔ کلیدی که از پایستگی انرژی و از تعریف شتاب به دست می‌آیند:

v = \pm\,\omega\sqrt{A^2 - x^2}, \qquad a = -\omega^2 x

علامت منفی در رابطهٔ شتاب می‌گوید شتاب همیشه رو به نقطهٔ تعادل است؛ همان ماهیت نیروی بازگرداننده.

دایرهٔ مرجع: ابزار سریع زمان و فاز

هر حرکت هماهنگ ساده را می‌توان سایهٔ یک حرکت دایره‌ای یکنواخت روی یک قطر دانست: نقطه‌ای با تندی زاویه‌ای $\omega$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی دایره‌ای به شعاع $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌چرخد و تصویرش روی قطر همان $x = A\cos\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $\theta = \omega t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. با این دید، به‌جای حل معادلهٔ مثلثاتی کافی است از نسبت سادهٔ $\frac{\Delta t}{T} = \frac{\Delta\theta}{360^\circ}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین استفاده کنی.

جابه‌جایی از $x=A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا	زاویهٔ مرجع	زمان
$\frac{\sqrt{3}}{2}A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$30^\circ$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$T/12$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\frac{\sqrt{2}}{2}A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$45^\circ$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$T/8$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\frac{1}{2}A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$60^\circ$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$T/6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$90^\circ$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$T/4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

از تفاضل همین چهار عدد، هر بازهٔ دیگری هم به دست می‌آید؛ مثلاً از $\frac{A}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا $0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر $T/4 - T/6 = T/12$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

فنر-جرم و آونگ ساده

برای سامانهٔ فنر-جرم:

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}, \qquad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

دورهٔ تناوب به دامنه بستگی ندارد؛ این ویژگی را ایزوکرونی می‌نامند. اگر فنر قائم باشد و وزنه به آن آویزان شود، نقطهٔ تعادل به اندازهٔ $x_0 = \frac{mg}{k}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جابه‌جا می‌شود اما دورهٔ تناوب دقیقاً همان رابطهٔ حالت افقی می‌ماند، چون وزن در معادلهٔ حرکت حذف می‌شود. برای فنرهای ترکیبی: موازی $k_{eq} = k_1 + k_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و سری $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

آونگ ساده، وزنه‌ای کوچک آویخته از نخ بی‌جرم به طول $L$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و رابطهٔ زیر تنها برای زوایای کوچک (کمتر از حدود $15^\circ$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) معتبر است:

T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}

دورهٔ آونگ نه به جرم وزنه بستگی دارد و نه به دامنه؛ فقط طول نخ و شتاب گرانشی تعیین‌کننده‌اند. همین استقلال، آونگ را به ابزار دقیقی برای اندازه‌گیری $g$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تبدیل می‌کند:

g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}

چند نتیجهٔ پرکاربرد: در آسانسوری که با شتاب $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بالا می‌رود $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g+a}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (دوره کمتر) و در آسانسور با شتاب رو به پایین $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g-a}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (دوره بیشتر)؛ در سقوط آزاد آونگ اصلاً نوسان نمی‌کند.

ویژگی	فنر-جرم	آونگ ساده
نیروی بازگرداننده	$F = -kx$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$F \approx -\frac{mg}{L}x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
بسامد زاویه‌ای	$\sqrt{k/m}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\sqrt{g/L}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
وابستگی به جرم	دارد	ندارد
وابستگی به دامنه	ندارد	ندارد (زوایای کوچک)

انرژی در حرکت هماهنگ ساده

انرژی پتانسیل کشسانی $U = \frac{1}{2}kx^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و انرژی جنبشی $K = \frac{1}{2}mv^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دائم به هم تبدیل می‌شوند، اما مجموعشان ثابت می‌ماند:

E = K + U = \frac{1}{2}kA^2 = \text{ثابت}, \qquad v_{\max} = A\omega = A\sqrt{\frac{k}{m}}

مکان	$U$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$K$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$x = \pm A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	بیشینه، برابر $E$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	صفر
$x = \pm A/\sqrt{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$E/2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$E/2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$x = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	صفر	بیشینه، برابر $E$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پس نقطهٔ برابری انرژی جنبشی و پتانسیل در $x = \frac{A}{\sqrt{2}} \approx 0.707A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، نه در وسط مسیر. نکتهٔ کلیدی دیگر: انرژی مکانیکی با مربع دامنه و مربع بسامد متناسب است، یعنی $E \propto A^2 f^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ دو برابر کردن دامنه انرژی را چهار برابر می‌کند.

تشدید

هر نوسانگر رها شده، با بسامد طبیعی خودش نوسان می‌کند؛ برای فنر-جرم $f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و برای آونگ $f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. اگر نیرویی خارجی با بسامد $f_d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر آن اثر کند، نوسان واداشته داریم؛ و اگر $f_d = f_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شود، تشدید رخ می‌دهد: دامنه به بیشینه می‌رسد و نمودار دامنه بر حسب بسامد محرک، قله‌ای تیز درست روی $f_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین پیدا می‌کند.

تشدید بسیار گزینشی است: اگر چند آونگ با طول‌های متفاوت از میله‌ای مشترک آویزان باشند و میله را با یک بسامد بلرزانیم، تنها آونگِ هم‌خوان با آن بسامد دامنهٔ بزرگی می‌گیرد. همین پدیده هم ویرانگر بوده (فروریختن پل تاکوما در ۱۹۴۰، لرزش پل میلنیوم لندن با گام هماهنگ عابران، تخریب ساختمان‌های ده تا چهارده طبقه در زلزلهٔ مکزیکوسیتی ۱۹۸۵) و هم سودمند است: تنظیم رادیو، MRI، لیزر و اجاق مایکروویو.

موج: انتقال انرژی بدون انتقال ماده

موج، انتقال انرژی از ناحیه‌ای به ناحیهٔ دیگر بدون جابه‌جایی خود ماده است.

دسته	ویژگی	نمونه
مکانیکی عرضی	ارتعاش عمود بر انتشار	موج ریسمان، موج S زلزله
مکانیکی طولی	ارتعاش موازی انتشار، همراه تراکم و انبساط	صوت، موج P زلزله
الکترومغناطیسی	همیشه عرضی، بی‌نیاز از محیط	نور، امواج رادیویی

v = f\lambda = \frac{\lambda}{T}

که $\lambda$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فاصلهٔ دو نقطهٔ هم‌فاز متوالی است. تندی موج فقط به محیط بستگی دارد، نه به بسامد یا دامنه. به همین دلیل وقتی موج از محیطی به محیط دیگر می‌رود، بسامد ثابت می‌ماند (چون چشمه آن را تعیین می‌کند) ولی $v$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\lambda$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تغییر می‌کنند.

برای موج عرضی در ریسمان:

v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}, \qquad \mu = \frac{m}{L}

نکتهٔ مهم اینکه تندی موج به طول ریسمان بستگی ندارد؛ دو سیم هم‌جنس با طول‌های متفاوت ولی کشش و قطر یکسان، تندی یکسانی دارند. در سایر محیط‌ها هم الگوی مشابهی هست: در مایع $v = \sqrt{B/\rho}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مدول حجمی، در جامد $v = \sqrt{Y/\rho}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $Y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مدول یانگ.

توان متوسط منتقل‌شده با مربع دامنه و مربع بسامد متناسب است ( $P_{av} \propto A^2 f^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و فرم کامل آن برای ریسمان $P_{av} = \frac{1}{2}\sqrt{F\mu}\,\omega^2 A^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ پس تغییر کشش هم، حتی با دامنه و بسامد ثابت، توان را عوض می‌کند.

معادلهٔ موج سینوسی رونده در جهت مثبت:

y(x,t) = A\cos(kx - \omega t), \qquad k = \frac{2\pi}{\lambda}

که $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عدد موج نام دارد. اینجا یک تمایز مفهومی مهم هست: تندی عرضی هر ذره از محیط با تندی انتشار موج دو چیز کاملاً متفاوت‌اند. هر ذره یک حرکت هماهنگ ساده با دامنهٔ $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین انجام می‌دهد، پس بیشینهٔ تندی‌اش همان $A\omega$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، در حالی که تندی خود موج $\frac{\omega}{k}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و از مشخصات محیط می‌آید.

نمودار $y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر حسب $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عکسی لحظه‌ای از شکل کل موج است، برخلاف نمودار $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که تاریخچهٔ یک ذره را نشان می‌دهد. برای پیش‌بینی حرکت بعدی هر ذره از قاعدهٔ نگاه به پشت سر استفاده کن: هر ذره لحظه‌ای بعد همان می‌شود که ذرهٔ پشت سرش (در خلاف جهت انتشار) اکنون هست؛ و برای رسم موج در لحظهٔ بعد، کل نمودار را به اندازهٔ $v\Delta t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در جهت انتشار جابه‌جا کن.

امواج الکترومغناطیسی

طبق نظریهٔ ماکسول، میدان الکتریکی متغیر میدان مغناطیسی متغیر می‌سازد و برعکس؛ همین زنجیرهٔ خودپایا موج الکترومغناطیسی را می‌آفریند. این امواج همیشه عرضی‌اند، به محیط نیاز ندارند، و در آن‌ها $\vec{E}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $\vec{B}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و جهت انتشار سه‌به‌سه بر هم عمودند؛ جهت انتشار از $\vec{v} = \vec{E}\times\vec{B}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با قاعدهٔ دست راست به دست می‌آید.

c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \approx 3.00\times10^8 \ \text{m/s}

طیف الکترومغناطیسی از امواج رادیویی به میکروموج، فروسرخ، نور مرئی ( $400$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا $700$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نانومتر)، فرابنفش، پرتو ایکس و پرتو گاما (پرانرژی‌ترین) می‌رسد؛ همهٔ این نواحی در خلأ با تندی یکسان $c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حرکت می‌کنند و تنها در بسامد و طول موج تفاوت دارند. در محیط مادی تندی نور به $v = \frac{c}{n}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کاهش می‌یابد.

صوت، شدت و تراز

صوت موجی طولی و مکانیکی است که از تراکم و انبساط متوالی محیط ساخته می‌شود؛ تندی‌اش در هوای $20$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین درجه حدود $343$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، در آب حدود $1480$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و در فولاد حدود $5100$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین متر بر ثانیه است. وابستگی‌اش به دما را می‌توان تقریبی نوشت: $v \approx 331 + 0.6\,T_C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

شدت صوت یعنی توان بر واحد سطح، و برای چشمهٔ نقطه‌ای که در همهٔ جهات یکسان تابش می‌کند:

I = \frac{P_{av}}{4\pi r^2} \quad \Longrightarrow \quad \frac{I_1}{I_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}

پس دو برابر شدن فاصله، شدت را به یک‌چهارم می‌رساند. چون گسترهٔ شدت‌های قابل شنیدن بسیار بزرگ است، از مقیاس لگاریتمی تراز شدت استفاده می‌شود:

\beta = (10\ \text{dB})\log\left(\frac{I}{I_0}\right), \qquad I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^2

قواعد سریع دسی‌بل: ده برابر شدن شدت یعنی $+10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دسی‌بل، دو برابر شدن یعنی حدود $+3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و چهار برابر شدن یعنی حدود $+6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. دقت کن که شدت‌ها جمع می‌شوند، نه ترازها؛ برای $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین منبع یکسان $\beta_{\text{کل}} = \beta_1 + 10\log n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس دو منبع هم‌تراز با هم فقط $3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دسی‌بل بلندترند.

گسترهٔ شنوایی انسان از $20$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا $20000$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هرتز است؛ زیر این گستره زیرصوت و بالای آن فراصوت نام دارد. دو ویژگی شنیداری را هم نباید قاطی کرد: ارتفاع صدا (زیر و بم بودن) به بسامد وابسته است و بلندی آن به شدت.

اثر دوپلر

حرکت نسبی چشمه و شنونده، بسامد دریافتی را تغییر می‌دهد:

f_{obs} = f_s\cdot\frac{v + v_o}{v - v_s}

در این رابطه $v_o$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین وقتی مثبت است که ناظر به چشمه نزدیک شود و $v_s$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین وقتی مثبت است که چشمه به ناظر نزدیک شود. نزدیک شدن یعنی بسامد دریافتی بیشتر از بسامد چشمه و دور شدن یعنی کمتر.

نکتهٔ مفهومی مهم: حرکت چشمه و حرکت ناظر دو مکانیزم متفاوت‌اند. حرکت چشمه خودِ طول موج ساطع‌شده را در جلو و پشتش فشرده و کشیده می‌کند، اما حرکت ناظر طول موج را دست‌نخورده می‌گذارد و فقط نرخ برخورد او با قله‌ها را عوض می‌کند؛ به همین دلیل اثر ناظر در صورت کسر و اثر چشمه در مخرج ظاهر می‌شود.

برای نور، همین پدیده به شکل $f_{obs} \approx f_s\left(1 \mp \frac{v}{c}\right)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین درمی‌آید: دور شدن یعنی انتقال به سرخ و نزدیک شدن یعنی انتقال به آبی. کاربردهایش: رادار سرعت‌سنج، سونوگرافی داپلر، و تعیین سرعت ستارگان و کهکشان‌ها.

امواج زمین‌لرزه هم نمونهٔ خوبی از تفاوت موج طولی و عرضی‌اند: موج $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین طولی و سریع (حدود $8$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کیلومتر بر ثانیه) و موج $S$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عرضی و کندتر (حدود $4.5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) است. از اختلاف زمان رسیدنشان، فاصلهٔ کانون به دست می‌آید:

d = \frac{\Delta t}{\dfrac{1}{v_S} - \dfrac{1}{v_P}}

اما این عدد فقط فاصله را می‌دهد، یعنی شعاع دایره‌ای روی نقشه؛ برای یافتن محل دقیق کانون به داده‌های دست‌کم سه ایستگاه نیاز است.

بازتاب

وقتی تپی روی ریسمان به تکیه‌گاه ثابت برسد، تپ بازتابیده وارونه می‌شود؛ اگر انتها آزاد باشد، وارونه نمی‌شود. در مرز دو ریسمان نامتشابه هم همین است: از سبک به سنگین مثل تکیه‌گاه ثابت (بازتاب وارونه) و از سنگین به سبک مثل انتهای آزاد.

\theta_i = \theta_r

این قانون برای همهٔ امواج برقرار است و هر دو زاویه نسبت به خط عمود بر سطح اندازه‌گیری می‌شوند. اگر سطح صاف باشد بازتاب آینه‌ای و اگر ناهمواری‌هایش از مرتبهٔ طول موج باشد بازتاب پخشنده است؛ به همین دلیل کاغذ سفید تصویر نمی‌سازد ولی آینه می‌سازد.

پژواک وقتی شنیده می‌شود که صدای بازتابیده دست‌کم $0.1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ثانیه دیرتر برسد، یعنی فاصلهٔ مانع از حدود $17$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین متر بیشتر باشد ( $d = \frac{v\Delta t}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین). خفاش و دلفین با همین اصل و امواج فراصوتی مکان‌یابی می‌کنند.

بازتاب از سطوح کاو، امواج موازی را در کانون متمرکز می‌کند؛ اساس کار آنتن بشقابی، اجاق خورشیدی و میکروفون سهموی. برای آینه‌های خمیده:

\frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f}, \qquad m = -\frac{d_i}{d_o} = \frac{h_i}{h_o}

با این قرارداد که $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برای آینهٔ کاو مثبت و برای کوژ منفی است، $d_i$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مثبت یعنی تصویر حقیقی و منفی یعنی مجازی، و $m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین منفی یعنی تصویر وارونه.

شکست

در عبور موج از مرز دو محیط، بسامد ثابت می‌ماند اما تندی و طول موج تغییر می‌کنند و در فرود مایل، جهت انتشار هم می‌شکند:

\frac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1} = \frac{v_2}{v_1}, \qquad n = \frac{c}{v} \ (n\geq1), \qquad n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2

اگر محیط دوم کندتر باشد ( $n_2 > n_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، پرتو به خط عمود نزدیک می‌شود و اگر سریع‌تر باشد از آن دور می‌شود؛ در فرود عمود هیچ شکستی رخ نمی‌دهد. ضریب شکست آب حدود $1.33$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، شیشه $1.52$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و الماس $2.42$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. رابطهٔ مفید دیگر $\lambda_n = \frac{\lambda_0}{n}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است: طول موج در محیط مادی کوتاه‌تر از خلأ است.

وقتی نور از محیط چگال‌تر به رقیق‌تر می‌رود و زاویهٔ تابش از زاویهٔ حد بگذرد، بازتاب داخلی کامل رخ می‌دهد و هیچ پرتویی وارد محیط دوم نمی‌شود:

\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}

این پدیده اساس کار تار نوری است؛ مغزی تار ضریب شکست بیشتری از غلاف دارد و نور کیلومترها در آن محبوس می‌ماند.

چون ضریب شکست به طول موج بستگی دارد و $n_{\text{آبی}} > n_{\text{قرمز}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، رنگ‌های مختلف با زاویه‌های متفاوت می‌شکنند؛ همین پاشندگی است که نور سفید را در منشور تجزیه می‌کند و رنگین‌کمان می‌سازد. در روزهای گرم هم هوای نزدیک زمین رقیق‌تر و ضریب شکستش کمتر است، پس پرتوهای رو به پایین به سمت بالا خم می‌شوند و ناظر تصویر آسمان را مانند بازتاب از آب می‌بیند: پدیدهٔ سراب.

دو نتیجهٔ کاربردی دیگر: پرتو عبوری از تیغهٔ موازی‌السطوح موازی پرتو ورودی می‌ماند اما کمی جابه‌جا می‌شود؛ و جسمی در عمق واقعی $d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین درون محیط $n_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، از محیط $n_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در عمق ظاهری $d' = d\cdot\frac{n_2}{n_1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دیده می‌شود — به همین دلیل کف استخر نزدیک‌تر از آنچه هست به نظر می‌رسد.

پراش

وقتی موج از شکاف باریک یا کنار لبهٔ مانعی عبور کند، به اطراف گسترده می‌شود. این پدیده وقتی بارز است که پهنای شکاف با طول موج قابل مقایسه یا از آن کوچک‌تر باشد ( $a \lesssim \lambda$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین): با $a \gg \lambda$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین موج تقریباً تخت می‌ماند و با $a \ll \lambda$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین موج تقریباً دایره‌ای پخش می‌شود.

چون طول موج نور مرئی حدود نیم میکرومتر است و اجسام روزمره بسیار بزرگ‌ترند، پراش نور در زندگی روزمره به چشم نمی‌آید. اما امواج تلویزیون آنالوگ با طول موج حدود نیم متر به‌خوبی از پشت ساختمان‌ها پراش می‌کنند، در حالی که امواج دیجیتال با طول موج کوتاه‌تر پراش کمتری دارند و پشت مانع سیگنال ضعیف‌تری می‌دهند.
: هر نقطه از یک جبههٔ موج را می‌توان چشمهٔ مستقلی از امواج کروی ثانویه دانست و جبههٔ موج بعدی، پوشش خارجی همین امواج است.

تداخل

طبق اصل برهم‌نهی، وقتی چند موج هم‌زمان از ناحیه‌ای بگذرند، جابه‌جایی خالص هر نقطه برابر مجموع جبری جابه‌جایی‌هاست؛ و پس از عبور، هر موج بدون هیچ تغییری به راه خود ادامه می‌دهد.

اگر دو موج هم‌فاز باشند، تداخل سازنده است و دامنه‌ها جمع می‌شوند؛ اگر فاز مخالف داشته باشند، تداخل ویرانگر است و دامنه‌ها از هم کم می‌شوند (با دامنه‌های برابر، حذف کامل). کلید تشخیص، اختلاف مسیر است:

\Delta r = m\lambda \ \text{(سازنده)}, \qquad \Delta r = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda \ \text{(ویرانگر)}

در آزمایش یانگ (۱۸۰۱) نور تک‌فام از دو شکاف نزدیک به هم عبور می‌کند و روی پرده نوارهای روشن و تاریک متناوب می‌سازد؛ همین آزمایش ماهیت موجی نور را اثبات کرد. با شرط $d\sin\theta = m\lambda$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برای نوار روشن و زوایای کوچک:

\Delta y = \frac{\lambda L}{d}

که $d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فاصلهٔ دو شکاف و $L$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فاصلهٔ پرده است. پس با طول موج بزرگ‌تر یا پردهٔ دورتر یا شکاف‌های نزدیک‌تر، نوارها از هم دورتر می‌شوند؛ جایگزینی نور قرمز با آبی نوارها را به هم نزدیک می‌کند. با نور سفید، نوار مرکزی سفید و نوارهای کناری رنگی‌اند، چون $\Delta y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برای هر رنگ فرق دارد.

یک هشدار هم هست: اگر دو چشمه اختلاف فاز ذاتی $\phi_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داشته باشند، باید آن را به اختلاف فاز مسیر افزود؛ مثلاً با اختلاف فاز ذاتی $180^\circ$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، نقطهٔ هم‌فاصله از دو چشمه به‌جای سازنده، ویرانگر می‌شود.

موج ایستاده و تشدید در تار و لوله

وقتی موج رونده با موج بازتابیدهٔ خودش ترکیب شود، موج ایستاده شکل می‌گیرد:

y(x,t) = (2A\sin kx)\,\sin\omega t

در این موج، دامنهٔ هر نقطه ثابت است اما از نقطه‌ای به نقطهٔ دیگر فرق می‌کند: گره نقاطی با دامنهٔ صفر و شکم نقاطی با دامنهٔ بیشینهٔ $2A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هستند. فاصلهٔ دو گره مجاور و همچنین دو شکم مجاور $\frac{\lambda}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و فاصلهٔ گره تا شکم مجاور $\frac{\lambda}{4}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. در موج ایستاده انتقال خالص انرژی صفر است، همهٔ نقاط بین دو گره هم‌فازند و نقاط دو طرف یک گره فاز مخالف دارند.

برای تاری با دو سر ثابت، دو انتها باید گره باشند، پس:

\lambda_n = \frac{2L}{n}, \qquad f_n = \frac{nv}{2L} = n f_1, \qquad f_1 = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{F}{\mu}}

یعنی سفت‌تر کردن تار، کوتاه‌تر کردن آن یا انتخاب سیم سبک‌تر، هر سه بسامد اصلی را بالا می‌برند و صدا را زیرتر می‌کنند؛ دقیقاً کاری که نوازندهٔ ساز زهی با فشردن انگشت روی دسته انجام می‌دهد.

نوع	بسامد اصلی	هماهنگ‌های موجود
تار با دو سر ثابت	$\frac{v}{2L}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	همهٔ هماهنگ‌ها
لولهٔ با دو سر باز	$\frac{v}{2L}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	همهٔ هماهنگ‌ها
لولهٔ با یک سر بسته	$\frac{v}{4L}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	فقط هماهنگ‌های فرد

دلیلش روشن است: انتهای باز لوله شکم و انتهای بسته گره است، پس در لولهٔ یک‌سر بسته فقط $L = (2n-1)\frac{\lambda}{4}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ممکن می‌شود و بسامد اصلی نصف لولهٔ هم‌طول با دو سر باز است.

دو نمونهٔ آشنای دیگر: تشدیدگر هلمهولتز مثل دمیدن در دهانهٔ بطری است و هرچه حجم هوای داخل کمتر شود (مثلاً با ریختن آب) بسامد تشدید بالاتر و صدا زیرتر می‌شود؛ و در اجاق مایکروویو موج ایستاده‌ای با طول موج حدود $12$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتی‌متر تشکیل می‌شود که روی شکم‌ها غذا گرم می‌شود و روی گره‌ها سرد می‌ماند — به همین دلیل این اجاق‌ها صفحهٔ گردان دارند.

جمع‌بندی

نوسان‌های دوره‌ای با $T$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و رابطهٔ $x = A\cos(\omega t)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین توصیف می‌شوند و انرژی‌شان میان جنبشی و پتانسیل مبادله می‌شود بی‌آنکه مجموعش تغییر کند. همین نوسان وقتی در فضا منتشر شود موج می‌سازد که از $v = f\lambda$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین پیروی می‌کند و در برخورد با مرز یا مانع بازتاب، شکست، پراش یا تداخل می‌کند؛ و ترکیب موج رونده با بازتابیده، موج ایستاده با گره و شکم پدید می‌آورد — همان چیزی که صدای هر ساز زهی و بادی از آن زاده می‌شود.

نوسان، موج و صوت (فیزیک ۳ — تجربی)

خلاصه‌ی درسنامه