پرش به محتوای اصلی

03_نوسان و امواج (علوم تجربی)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

نوسان: حرکتی که تکرار می‌شود

نوسان حرکتی است که جسم حول یک نقطهٔ تعادل تکرار می‌کند. اگر هر چرخه دقیقاً مثل چرخهٔ قبل باشد، نوسان دوره‌ای است. سه کمیت پایه: دورهٔ تناوب TT (زمان یک نوسان کامل)، بسامد ff (تعداد نوسان در ثانیه، f=1/Tf=1/T) و دامنه AA (بیشینه فاصله از تعادل — نصف فاصلهٔ دو انتهای مسیر، نه کل آن).

حرکت هماهنک ساده (SHM)

وقتی نمودار مکان-زمان یک حرکت سینوسی باشد، آن را حرکت هماهنگ ساده می‌نامند. با انتخاب t=0t=0 در x=+Ax=+A:

x(t)=Acos⁡(ωt),ω=2πT=2πf\boxed{x(t)=A\cos(\omega t)}, \qquad \boxed{\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f}

در نقاط بازگشت (x=±Ax=\pm A) سرعت صفر و شتاب بیشینه است؛ در نقطهٔ تعادل (x=0x=0) برعکس. رابطهٔ سرعت-مکان (از پایستگی انرژی) و شتاب-مکان:

v=±ωA2−x2,a=−ω2xv=\pm\omega\sqrt{A^2-x^2}, \qquad a=-\omega^2x

علامت منفی نشان می‌دهد شتاب همیشه به سمت تعادل است — همان نیروی بازگرداننده.

معادلهٔ x(t)=Acos⁡(ωt)x(t)=A\cos(\omega t) فقط وقتی درست است که در t=0t=0 جسم در x=+Ax=+A باشد؛ در غیر این صورت باید فاز اولیهٔ ϕ\phi اضافه شود: x=Acos⁡(ωt+ϕ)x=A\cos(\omega t+\phi).

فنر-جرم و آونگ ساده

برای سامانهٔ فنر-جرم:

T=2πmk,ω=km\boxed{T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}, \qquad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}

دورهٔ تناوب به دامنه بستگی ندارد (ایزوکرونی). برای فنرهای ترکیبی: موازی keq=k1+k2k_{eq}=k_1+k_2، سری 1/keq=1/k1+1/k21/k_{eq}=1/k_1+1/k_2.

آونگ ساده (برای زاویهٔ انحراف کوچک، θ<15°\theta<15°):

T=2πLg\boxed{T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}}

دوره به جرم و دامنه وابسته نیست، فقط به طول نخ و gg. نکتهٔ کنکوری: در آسانسور با شتاب aa رو به بالا T=2πL/(g+a)T=2\pi\sqrt{L/(g+a)} (دوره کمتر)، رو به پایین T=2πL/(g−a)T=2\pi\sqrt{L/(g-a)} (دوره بیشتر)؛ در سقوط آزاد آونگ اصلاً نوسان نمی‌کند.

مثال (فنر قائم): فنری با k=200 N/mk=200\,\text{N/m} به سقف آویزان است و وزنه‌ای با m=0.5 kgm=0.5\,\text{kg} به آن بسته می‌شود. طول اضافی فنر در تعادل:

x0=mgk=0.5×9.8200≈2.5 cmx_0=\frac{mg}{k}=\frac{0.5\times9.8}{200}\approx2.5\,\text{cm}

نکتهٔ مهم: وقتی وزنه از تعادل کشیده و رها می‌شود، دورهٔ تناوب همان T=2πm/kT=2\pi\sqrt{m/k} افقی است — وزن فقط نقطهٔ تعادل را جابه‌جا می‌کند، در معادلهٔ حرکت حذف می‌شود.

مثال (اندازه‌گیری gg با آونگ): آونگی با L=1.00 mL=1.00\,\text{m} در ۵۰ نوسان 100.5 s100.5\,\text{s} طول می‌کشد:

T=100.550=2.010 s⇒g=4π2LT2=4π2×1.00(2.010)2≈9.77 m/s2T=\frac{100.5}{50}=2.010\,\text{s} \Rightarrow g=\frac{4\pi^2L}{T^2}=\frac{4\pi^2\times1.00}{(2.010)^2}\approx9.77\,\text{m/s}^2

همین روش یکی از دقیق‌ترین راه‌های اندازه‌گیری شتاب گرانشی در نقاط مختلف زمین است.

انرژی در SHM و تشدید

انرژی مکانیکی سامانه پایسته و متناسب با مربع دامنه است:

E=K+U=12kA2,vmax=Aω=Akm\boxed{E=K+U=\frac{1}{2}kA^2}, \qquad \boxed{v_{max}=A\omega=A\sqrt{\frac{k}{m}}}

در x=A/2≈0.707Ax=A/\sqrt{2}\approx0.707A، انرژی جنبشی و پتانسیل برابرند.

هر نوسانگر بدون نیروی خارجی با بسامد طبیعی f0f_0 نوسان می‌کند. اگر نیروی خارجی با همان بسامد (fd=f0f_d=f_0) بر آن اثر کند، تشدید رخ می‌دهد و دامنهٔ نوسان به بیشینه می‌رسد — پدیده‌ای که هم مخرب است (سقوط پل تاکوما، ۱۹۴۰؛ زلزلهٔ مکزیکوسیتی ۱۹۸۵) و هم مفید (تنظیم رادیو، MRI، لیزر، اجاق مایکروویو).

مثال (نقطهٔ برابری انرژی): نوسانگری با A=10 cmA=10\,\text{cm} و k=50 N/mk=50\,\text{N/m}؛ در کجا K=UK=U؟

U=E2=14kA2⇒x=A2≈7.07 cmU=\frac{E}{2}=\frac{1}{4}kA^2 \Rightarrow x=\frac{A}{\sqrt2}\approx7.07\,\text{cm}

موج: انتقال انرژی بدون انتقال ماده

امواج مکانیکی به محیط نیاز دارند و دو دسته‌اند: عرضی (ارتعاش عمود بر انتشار، مثل موج روی ریسمان) و طولی (ارتعاش موازی انتشار، مثل صوت). امواج الکترومغناطیسی نیازی به محیط ندارند و همیشه عرضی‌اند.

معادلهٔ اساسی هر موج:

v=fλ=λT\boxed{v=f\lambda=\frac{\lambda}{T}}

وقتی موج از محیطی به محیط دیگر می‌رود، بسامد ثابت می‌ماند اما vv و λ\lambda تغییر می‌کنند — چون بسامد را چشمه تعیین می‌کند، نه محیط. توان انتقالی موج با مربع دامنه و مربع بسامد متناسب است: Pav∝A2f2P_{av}\propto A^2f^2.

تندی موج عرضی در ریسمان:

v=Fμ,μ=mL (چگالی خطی)\boxed{v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}}, \qquad \mu=\frac{m}{L}\ \text{(چگالی خطی)}

مثال (موج در ریسمان): ریسمانی با m=0.300 kgm=0.300\,\text{kg}، L=6.00 mL=6.00\,\text{m}، کشش F=150 NF=150\,\text{N} با بسامد f=40 Hzf=40\,\text{Hz} لرزانده می‌شود:

μ=0.3006.00=0.050 kg/m⇒v=1500.050≈54.8 m/s⇒λ=vf≈1.37 m\mu=\frac{0.300}{6.00}=0.050\,\text{kg/m} \Rightarrow v=\sqrt{\frac{150}{0.050}}\approx54.8\,\text{m/s} \Rightarrow \lambda=\frac{v}{f}\approx1.37\,\text{m}

نکتهٔ کنکوری: اگر کشش ۴ برابر شود، تندی ۲ برابر می‌شود؛ اگر چگالی خطی ۴ برابر شود، تندی نصف می‌شود. تندی موج در سایر محیط‌ها هم از رابطه‌های مشابهی پیروی می‌کند: در مایع v=B/ρv=\sqrt{B/\rho} (با BB مدول حجمی)، در جامد v=Y/ρv=\sqrt{Y/\rho} (با YY مدول یانگ).

امواج الکترومغناطیسی

منشأ این امواج، تغییرات متقابل میدان الکتریکی و مغناطیسی (نظریهٔ ماکسول) است: E⃗⊥B⃗⊥v⃗\vec{E}\perp\vec{B}\perp\vec{v}، و همه با تندی یکسان در خلأ حرکت می‌کنند:

c=1μ0ε0≈3.00×108 m/s\boxed{c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}\approx3.00\times10^8\,\text{m/s}}

طیف الکترومغناطیسی از رادیویی تا گاما فقط در بسامد (طول موج) تفاوت دارد، نه در تندی — از امواج رادیویی (>1 m>1\,\text{m}) و میکروموج، تا فروسرخ، نور مرئی (400400–700 nm700\,\text{nm})، فرابنفش، پرتو X و در نهایت پرتو گاما (<0.01 nm<0.01\,\text{nm}، پرانرژی‌ترین). در محیط مادی: v=c/nv=c/n.

صوت، شدت و اثر دوپلر

صوت موج طولی مکانیکی است. شدت صوت (توان بر واحد سطح) برای منبع نقطه‌ای:

I=Pav4πr2⇒I1I2=r22r12\boxed{I=\frac{P_{av}}{4\pi r^2}} \Rightarrow \frac{I_1}{I_2}=\frac{r_2^2}{r_1^2}

اگر فاصله دو برابر شود، شدت چهار برابر کاهش می‌یابد. تراز شدت صوت (دسی‌بل):

β=(10 dB)log⁡(II0),I0=10−12 W/m2\boxed{\beta=(10\,\text{dB})\log\left(\frac{I}{I_0}\right)}, \qquad I_0=10^{-12}\,\text{W/m}^2

هر بار شدت ۱۰ برابر شود، β\beta دقیقاً ۱۰ واحد بالا می‌رود؛ اگر شدت ۲ برابر شود، Δβ≈3 dB\Delta\beta\approx3\,\text{dB}.

اثر دوپلر تغییر بسامد دریافتی به دلیل حرکت نسبی چشمه و ناظر است:

fobs=fs⋅v+vov−vs\boxed{f_{obs}=f_s\cdot\frac{v+v_o}{v-v_s}}

نزدیک‌شدن چشمه و ناظر ← fobs>fsf_{obs}>f_s؛ دورشدن ← fobs<fsf_{obs}<f_s. کاربردها: رادار پلیس، سونوگرافی داپلر، اخترشناسی (انتقال به سرخ/آبی نور).

مثال حل‌شده (زلزله‌نگار): موج P را ۳ دقیقه زودتر از S دریافت می‌کنیم؛ vP=8.0 km/sv_P=8.0\,\text{km/s}، vS=4.5 km/sv_S=4.5\,\text{km/s}:

d=Δt1vS−1vP=1808.0−4.54.5×8.0≈1850 kmd=\frac{\Delta t}{\frac{1}{v_S}-\frac{1}{v_P}}=\frac{180}{\frac{8.0-4.5}{4.5\times8.0}}\approx1850\,\text{km}

اگر چند منبع صوتی یکسان هم‌زمان روشن باشند، شدت‌ها جمع می‌شوند نه ترازها؛ برای nn منبع یکسان: βtotal=β1+10log⁡(n)\beta_{total}=\beta_1+10\log(n). مثلاً سه منبع با β=70 dB\beta=70\,\text{dB} در کنار هم، تراز 70+10log⁡3≈74.8 dB70+10\log3\approx74.8\,\text{dB} می‌دهند.

پژواک: حداقل فاصله برای شنیدن پژواک از صدای اصلی (آستانهٔ تشخیص Δtmin=0.1 s\Delta t_{min}=0.1\,\text{s}):

dmin=v×Δtmin2=340×0.12=17 md_{min}=\frac{v\times\Delta t_{min}}{2}=\frac{340\times0.1}{2}=17\,\text{m}

خفاش و دلفین با همین اصل و امواج فراصوتی مکان‌یابی می‌کنند و با تشخیص اثر دوپلر در موج بازتابیده، سرعت شکار را هم می‌سنجند.

بازتاب موج

قانون بازتاب برای همهٔ انواع موج یکسان است:

θi=θr\boxed{\theta_i=\theta_r}

وقتی انتهای ریسمان ثابت باشد، تپ بازتابیده وارونه می‌شود؛ اگر انتها آزاد باشد، وارونه نمی‌شود. بازتاب از سطح کاو، امواج موازی را در کانون متمرکز می‌کند (آنتن بشقابی، اجاق خورشیدی).

شکست موج و ضریب شکست

وقتی موج از محیطی به محیط دیگر می‌رود، بسامد ثابت می‌ماند ولی vv و λ\lambda تغییر می‌کنند:

sin⁡θ2sin⁡θ1=v2v1,n=cv (n≥1)\boxed{\frac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1}=\frac{v_2}{v_1}}, \qquad \boxed{n=\frac{c}{v}}\ (n\geq1)

قانون اسنل:

n1sin⁡θ1=n2sin⁡θ2\boxed{n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2}

اگر نور از محیط چگال‌تر (n1n_1 بزرگ‌تر) به رقیق‌تر برود و زاویهٔ تابش از زاویهٔ حد بیشتر باشد، بازتاب داخلی کامل رخ می‌دهد:

sin⁡θc=n2n1\boxed{\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1}}

این پدیده اساس کار تار نوری است. چون ضریب شکست به طول موج بستگی دارد (nآبی>nقرمزn_{آبی}>n_{قرمز})، نور سفید در منشور به رنگ‌های تشکیل‌دهنده تجزیه می‌شود (پاشندگی).

مثال: پرتوی 60.0°60.0° از هوا وارد شیشه (n=1.52n=1.52) می‌شود:

sin⁡θA=sin⁡60°1.52=0.570⇒θA=34.7°\sin\theta_A=\frac{\sin60°}{1.52}=0.570 \Rightarrow \theta_A=34.7°

مثال (زاویهٔ حد الماس): الماس (n=2.42n=2.42) در هوا:

sin⁡θc=1.002.42=0.413⇒θc=24.4°\sin\theta_c=\frac{1.00}{2.42}=0.413 \Rightarrow \theta_c=24.4°

زاویهٔ حد الماس بسیار کوچک است؛ برای همین تراش مناسب باعث می‌شود تقریباً همهٔ نور درون آن محبوس بماند و الماس بدرخشد.

در روزهای گرم، چون چگالی و ضریب شکست هوای نزدیک زمین کمتر از هوای بالاست، پرتوهای رو به پایین به سمت بالا خم می‌شوند و ناظر گمان می‌کند تصویر آسمان از سطح زمین (مثل آب) بازتابیده — همین پدیده سراب است.

پراش و تداخل

پراش وقتی بارز است که پهنای شکاف aa در حدود طول موج یا کوچک‌تر باشد (a≲λa\lesssim\lambda). چون طول موج نور مرئی بسیار کوچک‌تر از اجسام روزمره است، پراش نور معمولاً نامحسوس است، اما امواج رادیویی آنالوگ با طول موج حدود ۵۰ سانتی‌متر به‌خوبی از پشت ساختمان‌ها پراش می‌کنند؛ امواج دیجیتال با طول موج کوچک‌تر، پراش کمتری دارند و پشت مانع سیگنال ضعیف‌تری می‌دهند. طبق اصل هویگنس، هر نقطه از یک جبههٔ موج را می‌توان چشمهٔ مستقل امواج کروی ثانویه در نظر گرفت؛ جبههٔ موج جدید پوشش این امواج ثانویه است و همین اصل، پراش را توضیح می‌دهد.

طبق اصل برهم‌نهی، وقتی چند موج هم‌زمان از یک ناحیه بگذرند، جابه‌جایی خالص برابر مجموع جبری جابه‌جایی‌هاست. اگر دو موج هم‌فاز باشند، تداخل سازنده (Δr=mλ\Delta r=m\lambda) و اگر فاز مخالف باشند، تداخل ویرانگر (Δr=(m+12)λ\Delta r=(m+\tfrac12)\lambda) رخ می‌دهد.

در آزمایش یانگ (۱۸۰۱)، نور از دو شکاف عبور می‌کند و روی پرده نوارهای روشن و تاریک متناوب می‌سازد. فاصلهٔ دو نوار روشن مجاور:

Δy=λLd\boxed{\Delta y=\frac{\lambda L}{d}}

هرچه λ\lambda یا LL بیشتر یا dd کمتر باشد، نوارها پهن‌تر می‌شوند.

مثال: d=0.250 mmd=0.250\,\text{mm}، L=1.20 mL=1.20\,\text{m}، نور سبز λ=546 nm\lambda=546\,\text{nm}:

Δy=546×10−9×1.200.250×10−3≈2.62 mm\Delta y=\frac{546\times10^{-9}\times1.20}{0.250\times10^{-3}}\approx2.62\,\text{mm}

اگر نور قرمز (λ=700 nm\lambda=700\,\text{nm}) جایگزین شود، Δy\Delta y به حدود 3.36 mm3.36\,\text{mm} می‌رسد — نوارها از هم دورتر می‌شوند. با نور سفید، نوار مرکزی سفید و نوارهای کناری رنگی دیده می‌شوند چون Δy\Delta y برای هر رنگ فرق دارد.

موج ایستاده و تشدید در تار و لوله

وقتی موج رونده با بازتاب خودش ترکیب شود، موج ایستاده تشکیل می‌شود: نقاطی با دامنهٔ صفر (گره) و نقاطی با دامنهٔ بیشینه (شکم) که فاصلهٔ هرکدام تا مجاورش λ/2\lambda/2 (گره تا شکم: λ/4\lambda/4) است.

برای تار با دو سر ثابت (همهٔ هماهنگ‌ها):

fn=nv2L,n=1,2,3,…\boxed{f_n=\frac{nv}{2L}}, \quad n=1,2,3,\ldots

برای لولهٔ یک‌سر بسته (فقط هماهنگ‌های فرد):

fn=(2n−1)v4L\boxed{f_n=\frac{(2n-1)v}{4L}}

مثال (تار پیانو): L=1.10 mL=1.10\,\text{m}، f1=131 Hzf_1=131\,\text{Hz}:

v=2Lf1=288 m/s⇒f2=262 Hz, f3=393 Hz, f4=524 Hzv=2Lf_1=288\,\text{m/s} \Rightarrow f_2=262\,\text{Hz},\ f_3=393\,\text{Hz},\ f_4=524\,\text{Hz}

سفت‌کردن تار (افزایش FF) یا کوتاه‌کردن آن (کاهش LL)، بسامد اصلی و در نتیجه ارتفاع صدا را بالا می‌برد — برای همین در سازهای زهی با فشردن دسته، نتِ زیرتری تولید می‌شود.

لولهٔ صوتی با دو انتهای باز هم مانند تار همهٔ هماهنگ‌ها را دارد (fn=nv/2Lf_n=nv/2L)، اما لولهٔ یک‌سر بسته فقط هماهنگ‌های فرد را تولید می‌کند و بسامد اصلی‌اش نصف لولهٔ هم‌طول با دو سر باز است. تشدیدگر هلمهولتز (مثل دمیدن در دهانهٔ بطری) نمونهٔ دیگری از تشدید صوتی است: هرچه حجم هوای داخل ظرف کمتر شود (مثلاً با ریختن آب)، بسامد تشدید بالاتر و صدا زیرتر می‌شود. در اجاق مایکروویو هم امواج ایستاده تشکیل می‌شود؛ روی شکم‌ها غذا گرم می‌شود و روی گره‌ها (نقاط سرد) نه — به همین دلیل این اجاق‌ها صفحهٔ گردان دارند.

جمع‌بندی

نوسان‌های دوره‌ای (فنر، آونگ) با پارامترهای TT، ff، AA و رابطهٔ x(t)=Acos⁡(ωt)x(t)=A\cos(\omega t) توصیف می‌شوند و انرژی‌شان بین جنبشی و پتانسیل رد و بدل می‌شود اما مجموعشان ثابت می‌ماند. امواج مکانیکی و الکترومغناطیسی هر دو از رابطهٔ v=fλv=f\lambda پیروی می‌کنند، اما فقط امواج مکانیکی به محیط نیاز دارند. در برخورد با مرز یا مانع، موج می‌تواند بازتاب، شکست، پراش یا تداخل کند؛ و وقتی موج رونده و بازتابیده با هم ترکیب شوند، موج ایستاده با گره و شکم مشخص شکل می‌گیرد — پایهٔ کار همهٔ سازهای موسیقی زهی و بادی.

نمونه تست

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. در یک آزمایش یانگ، نور سبز با طول موج λ=550 nm\lambda = 550\,\text{nm} از دو شکاف به فاصله dd عبور می‌کند و بر پرده‌ای به فاصله L=2 mL = 2\,\text{m} می‌تابد. فاصله دو نوار روشن متوالی روی پرده Δy=2.2 mm\Delta y = 2.2\,\text{mm} اندازه‌گیری می‌شود. اگر همین آزمایش با نور قرمز با λ=660 nm\lambda = 660\,\text{nm} تکرار شود و فاصله پرده تا شکاف‌ها L′=1.5 mL' = 1.5\,\text{m} باشد، فاصله دو نوار روشن متوالی (Δy′\Delta y') چقدر خواهد بود؟

  • 1.8 mm1.8\,\text{mm}
  • 1.6 mm1.6\,\text{mm}
  • 2.0 mm2.0\,\text{mm}
  • 2.4 mm2.4\,\text{mm}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**الف) چرا «2.0 mm2.0\,\text{mm}» درست است:** ابتدا فاصلهٔ شکاف‌ها از دادهٔ اول به دست می‌آید: d=λLΔy=(550×10−9)(2)2.2×10−3=5.0×10−4 md=\dfrac{\lambda L}{\Delta y}=\dfrac{(550\times10^{-9})(2)}{2.2\times10^{-3}}=5.0\times10^{-4}\,\text{m}. سپس با نور قرمز و L′=1.5 mL'=1.5\,\text{m}: Δy′=λ′L′d=(660×10−9)(1.5)5.0×10−4≈1.98×10−3 m≈2.0 mm\Delta y'=\dfrac{\lambda' L'}{d}=\dfrac{(660\times10^{-9})(1.5)}{5.0\times10^{-4}}\approx1.98\times10^{-3}\,\text{m}\approx2.0\,\text{mm}. **ب) رد گزینه‌های غلط:** - «2.4 mm2.4\,\text{mm}»: این عدد از یک خطای گرد‌کردن یا محاسباتیِ جزئی در مرحلهٔ یافتنِ dd یا Δy′\Delta y' ناشی می‌شود؛ محاسبهٔ دقیق (تا سه رقم اعشار) عددِ 1.98 mm1.98\,\text{mm} را می‌دهد که به 2.0 mm2.0\,\text{mm} نزدیک‌تر است، نه 2.4 mm2.4\,\text{mm}. - «1.8 mm1.8\,\text{mm}»: این عدد از استفادهٔ نادرست از نسبتِ λ′/λ\lambda'/\lambda بدونِ لحاظ‌کردنِ تغییرِ LL به دست می‌آید. - «1.6 mm1.6\,\text{mm}»: این عدد با ترکیب‌کردنِ نادرستِ نسبت‌های λ\lambda و LL (مثلاً معکوس‌کردنِ یکی از آن‌ها) حاصل می‌شود. **ج) تلهٔ تستی:** این سؤال دو مرحله دارد — نخست باید dd از دادهٔ اولیه استخراج شود (چون مستقیماً داده نشده)، سپس همان dd (که در آزمایشِ دوم تغییر نمی‌کند) در محاسبهٔ Δy′\Delta y' به‌کار رود؛ فراموش‌کردنِ اینکه dd بینِ دو آزمایش ثابت می‌ماند، رایج‌ترین خطا است.

2. نوسانگری هماهنگ ساده داریم که انرژی مکانیکی کل آن EE است. اگر دامنه نوسان 50%50\% افزایش یابد و جرم نوسان‌کننده نیز 20%20\% کاهش یابد، انرژی مکانیکی کل جدید چند برابر EE می‌شود؟

  • 1.801.80
  • 2.252.25
  • 3.753.75
  • 4.504.50

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «2.252.25» درست است. انرژیِ مکانیکیِ کلِ نوسان‌گرِ هماهنگِ ساده E=12kA2E=\frac{1}{2}kA^2 است که تنها به ثابتِ فنر kk و دامنه AA بستگی دارد، نه به جرم. با افزایشِ دامنه به A′=1.5AA'=1.5A: E′=12k(1.5A)2=(1.5)2×12kA2=2.25EE'=\frac{1}{2}k(1.5A)^2=(1.5)^2\times\frac{1}{2}kA^2=2.25E. گزینهٔ «1.801.80» رد می‌شود چون از ضربِ نادرستِ ضریبِ دامنه (1.51.5) در ضریبِ کاهشِ جرم (0.80.8) بدونِ به‌توان‌دو رساندنِ دامنه حاصل می‌شود. گزینهٔ «3.753.75» رد می‌شود چون از جمعِ نادرستِ اثراتِ دامنه و جرم (به‌جایِ ضربِ صحیحِ آن‌ها) ناشی می‌شود. گزینهٔ «4.504.50» رد می‌شود چون دامنه را به‌جایِ به‌توان‌دو رساندن، در ضریبی دیگر ضرب کرده است. تلهٔ تستی این سؤال، دادنِ کاهشِ ۲۰٪ در جرم است که چون EE به جرم وابسته نیست، هیچ تأثیری در پاسخ ندارد و صرفاً برایِ گمراه‌کردن آمده است.

3. طول یک تار پیانو LL و چگالی خطی آن μ\mu است. نیروی کشش تار FF است. اگر با ثابت ماندن طول، نیروی کشش ۴ برابر شود و هم‌زمان چگالی خطی ۲ برابر شود، بسامد اصلی تار چند برابر می‌شود؟

  • 2\sqrt{2}
  • 22
  • 12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • 12\frac{1}{2}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**الف) چرا «2\sqrt{2}» درست است:** f1=12LF/μf_1=\dfrac{1}{2L}\sqrt{F/\mu}. با F→4FF\to4F و μ→2μ\mu\to2\mu (و LL ثابت): f1,newf1=4F/2μF/μ=2\dfrac{f_{1,new}}{f_1}=\sqrt{\dfrac{4F/2\mu}{F/\mu}}=\sqrt{2}. **ب) رد گزینه‌های غلط:** - «22»: این عدد از لحاظ‌نکردنِ اثرِ افزایشِ چگالیِ خطی (که f1f_1 را کاهش می‌دهد) و فقط لحاظ‌کردنِ افزایشِ کشش به دست می‌آید. - «12\frac{1}{\sqrt{2}}»: این وارونِ مقدارِ درست است و نشان می‌دهد بسامد کاهش یافته؛ اما نسبتِ خالصِ افزایشِ کشش به افزایشِ چگالی هنوز به نفعِ افزایشِ بسامد است. - «12\frac{1}{2}»: این عدد از یک خطایِ محاسباتیِ بزرگ‌تر در همان جهتِ نادرست ناشی می‌شود. **ج) تلهٔ تستی:** باید هر دو تغییر (کشش و چگالی) هم‌زمان زیرِ جذر قرار گیرند: 4/2=2\sqrt{4/2}=\sqrt2، نه اینکه جداگانه یا با علامتِ اشتباه محاسبه شوند.

4. در یک سامانه فنر-جرم افقی بدون اصطکاک، جرم mm به فنری با ثابت kk متصل است. اگر دامنه نوسان AA باشد، در لحظه‌ای که انرژی جنبشی جرم نصف انرژی پتانسیل کشسانی فنر است، تندی جرم کدام است؟

  • Ak3mA\sqrt{\frac{k}{3m}}
  • Ak2mA\sqrt{\frac{k}{2m}}
  • A2k3mA\sqrt{\frac{2k}{3m}}
  • AkmA\sqrt{\frac{k}{m}}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**الف) چرا «Ak3mA\sqrt{\frac{k}{3m}}» درست است:** «K=12UK=\frac12U» یعنی U=2KU=2K، پس K+U=K+2K=3K=EK+U=K+2K=3K=E، یعنی K/E=1/3K/E=1/3. تندی: v=vmaxK/E=Aω1/3=Akm×13=Ak3mv=v_{max}\sqrt{K/E}=A\omega\sqrt{1/3}=A\sqrt{\dfrac{k}{m}}\times\dfrac{1}{\sqrt3}=A\sqrt{\dfrac{k}{3m}}. **ب) رد گزینه‌های غلط:** - «Ak2mA\sqrt{\frac{k}{2m}}»: این عدد از استفادهٔ مستقیم از نسبتِ U=2KU=2K (بدونِ محاسبهٔ درستِ K/EK/E) به دست می‌آید. - «A2k3mA\sqrt{\frac{2k}{3m}}»: این عدد از یک خطایِ ضریبِ ۲ اضافی در صورتِ کسر ناشی می‌شود. - «AkmA\sqrt{\frac{k}{m}}»: این خودِ vmaxv_{max} (بدونِ لحاظ‌کردنِ نسبتِ انرژی‌ها) است. **ج) تلهٔ تستی:** نسبتِ داده‌شده (K=U/2K=U/2) باید ابتدا به نسبتِ K/EK/E تبدیل شود (K/E=1/3K/E=1/3، نه 1/21/2)؛ استفادهٔ مستقیم از عددِ ۲ (به‌جایِ محاسبهٔ کاملِ K/EK/E) رایج‌ترین خطای این سؤال است.

5. یک آونگ ساده به طول LL درون آسانسوری قرار دارد. اگر آسانسور با شتاب aa به سمت پایین حرکت کند، دوره تناوب آونگ T1T_1 است. اگر آسانسور با همان شتاب aa به سمت بالا حرکت کند، دوره تناوب T2T_2 است. اگر آسانسور سقوط آزاد کند، دوره تناوب T3T_3 خواهد بود. کدام گزینه رابطهٔ صحیح بین دوره‌ها را نشان می‌دهد؟

  • T1=T2<T3T_1 = T_2 < T_3
  • T3<T2<T1T_3 < T_2 < T_1
  • T1<T2<T3T_1 < T_2 < T_3
  • T2<T1<T3T_2 < T_1 < T_3

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**الف) چرا «T2<T1<T3T_2 < T_1 < T_3» درست است:** با شتابِ aa رو به پایین: geff=g−ag_{eff}=g-a، T1=2πL/(g−a)T_1=2\pi\sqrt{L/(g-a)} (بزرگ‌تر از حالتِ عادی). با شتابِ aa رو به بالا: geff=g+ag_{eff}=g+a، T2=2πL/(g+a)T_2=2\pi\sqrt{L/(g+a)} (کوچک‌تر از حالتِ عادی). در سقوطِ آزاد: geff=0g_{eff}=0، T3→∞T_3\to\infty (بزرگ‌ترین ممکن). پس ترتیب: T2<T1<T3T_2<T_1<T_3. **ب) رد گزینه‌های غلط:** - «T1=T2<T3T_1 = T_2 < T_3»: این گزینه فرض می‌کند شتابِ رو به بالا و رو به پایین اثرِ یکسانی دارند؛ اما g+a≠g−ag+a\neq g-a، پس T1≠T2T_1\neq T_2. - «T3<T2<T1T_3 < T_2 < T_1»: این کاملاً معکوسِ ترتیبِ درست است؛ سقوطِ آزاد بزرگ‌ترین دوره (بی‌نهایت) را می‌دهد، نه کوچک‌ترین. - «T1<T2<T3T_1 < T_2 < T_3»: این ترتیب T1T_1 و T2T_2 را جابه‌جا کرده؛ آسانسورِ رو به بالا (T2T_2) باید دورهٔ کوچک‌تری از آسانسورِ رو به پایین (T1T_1) داشته باشد، نه بزرگ‌تر. **ج) تلهٔ تستی:** قاعدهٔ کلیدی: «بالا رفتن = geffg_{eff} بیشتر = دورهٔ کمتر» و «پایین رفتن = geffg_{eff} کمتر = دورهٔ بیشتر»؛ سقوطِ آزاد حالتِ حدیِ نهایی است که geffg_{eff} کاملاً صفر و دوره بی‌نهایت می‌شود.

6. سه لوله صوتی AA، BB و CC هر یک به طول LL در نظر بگیرید. لوله AA دو سر باز، لوله BB یک سر بسته و لوله CC دو سر بسته است. اگر f1Af_{1A}، f1Bf_{1B} و f1Cf_{1C} به ترتیب کوچک‌ترین بسامد تشدیدی آن‌ها باشند، کدام گزینه درست است؟

  • f1A:f1B:f1C=2:1:4f_{1A} : f_{1B} : f_{1C} = 2 : 1 : 4
  • f1A:f1B:f1C=2:1:2f_{1A} : f_{1B} : f_{1C} = 2 : 1 : 2
  • f1A:f1B:f1C=4:1:2f_{1A} : f_{1B} : f_{1C} = 4 : 1 : 2
  • f1A:f1B:f1C=1:2:4f_{1A} : f_{1B} : f_{1C} = 1 : 2 : 4

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**الف) چرا «f1A:f1B:f1C=2:1:2f_{1A} : f_{1B} : f_{1C} = 2 : 1 : 2» درست است:** لولهٔ AA (دو‌سر‌باز): f1A=v/2Lf_{1A}=v/2L. لولهٔ BB (یک‌سر‌بسته): f1B=v/4Lf_{1B}=v/4L. لولهٔ CC (دو‌سر‌بسته): از نظرِ الگویِ گره/شکم، دقیقاً مشابهِ دو‌سر‌باز است (هر دو انتها گره‌اند، نه شکم)، پس f1C=v/2Lf_{1C}=v/2L (مانندِ AA). نسبت: v2L:v4L:v2L=2:1:2\dfrac{v}{2L}:\dfrac{v}{4L}:\dfrac{v}{2L}=2:1:2 (پس از ضرب در 4L/v4L/v). **ب) رد گزینه‌های غلط:** - «f1A:f1B:f1C=2:1:4f_{1A} : f_{1B} : f_{1C} = 2 : 1 : 4»: این گزینه لولهٔ دو‌سر‌بسته را با یک رابطهٔ نادرست (چهار برابرِ لولهٔ یک‌سر‌بسته) محاسبه کرده، در حالی‌که باید مانندِ لولهٔ دو‌سر‌باز رفتار کند. - «f1A:f1B:f1C=4:1:2f_{1A} : f_{1B} : f_{1C} = 4 : 1 : 2»: این گزینه لولهٔ AA را به‌اشتباه با فرمولِ یک‌سر‌بسته (ضرب‌شده در ۴) محاسبه کرده است. - «f1A:f1B:f1C=1:2:4f_{1A} : f_{1B} : f_{1C} = 1 : 2 : 4»: این گزینه هر سه نسبت را به‌کلی اشتباه محاسبه کرده و با هیچ‌کدام از فرمول‌های استاندارد سازگار نیست. **ج) تلهٔ تستی:** لولهٔ دو‌سر‌بسته اغلب به‌اشتباه با لولهٔ یک‌سر‌بسته قاطی می‌شود؛ اما از نظرِ فیزیکی، دو‌سر‌بسته (دو گره در انتها) دقیقاً مانندِ دو‌سر‌باز (دو شکم در انتها) در الگویِ ریاضیِ fn=nv/2Lf_n=nv/2L رفتار می‌کند، چون هر دو حالت «تقارنِ یکسان در دو انتها» دارند.

7. در یک آزمایش تداخل یانگ، فاصله دو شکاف dd و فاصله پرده از شکاف‌ها LL است. اگر طول موج نور به کار رفته λ\lambda باشد، فاصله روی پرده بین نوار روشن مرتبه دوم و چهارمین نوار تاریک از مرکز (هر دو در یک سمتِ نوار مرکزی) چقدر است؟

  • 3λL2d\dfrac{3\lambda L}{2d}
  • 7λL2d\dfrac{7\lambda L}{2d}
  • 5λL2d\dfrac{5\lambda L}{2d}
  • 2λLd\dfrac{2\lambda L}{d}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**الف) چرا «3λL2d\dfrac{3\lambda L}{2d}» درست است:** موقعیتِ نوار روشنِ مرتبهٔ دوم: y2=2λLd=4λL2dy_2=\dfrac{2\lambda L}{d}=\dfrac{4\lambda L}{2d}. نوارهایِ تاریک در y=(m+12)λLdy=\left(m+\dfrac12\right)\dfrac{\lambda L}{d} قرار دارند و شمارش از m=0m=0 (نخستین نوار تاریک) آغاز می‌شود، پس **چهارمین** نوار تاریک متناظرِ m=3m=3 است: y=(3+12)λLd=7λL2dy=\left(3+\dfrac12\right)\dfrac{\lambda L}{d}=\dfrac{7\lambda L}{2d}. چون هر دو در یک سمت‌اند، فاصله برابرِ تفاضلِ ساده است: 7λL2d−4λL2d=3λL2d\dfrac{7\lambda L}{2d}-\dfrac{4\lambda L}{2d}=\dfrac{3\lambda L}{2d}. **وارسیِ مستقل:** بینِ این دو نوار، دقیقاً یک نوارِ روشن (مرتبهٔ سوم، در 6λL2d\dfrac{6\lambda L}{2d}) و یک نوارِ تاریک (سومین، در 5λL2d\dfrac{5\lambda L}{2d}) قرار دارد؛ سه بازهٔ نیم‌فاصله‌ایِ λL2d\dfrac{\lambda L}{2d} یعنی 3λL2d\dfrac{3\lambda L}{2d} — سازگار. **ب) رد گزینه‌های غلط:** - «7λL2d\dfrac{7\lambda L}{2d}»: این خودِ موقعیتِ چهارمین نوار تاریک است، نه فاصلهٔ آن تا نوار روشنِ دوم؛ کسرکردنِ موقعیتِ نوارِ روشن فراموش شده. - «5λL2d\dfrac{5\lambda L}{2d}»: این موقعیتِ **سومین** نوار تاریک (m=2m=2) است؛ خطای آف‌بای‌وان در شمارشِ نوارهای تاریک. - «2λLd\dfrac{2\lambda L}{d}»: این خودِ موقعیتِ نوار روشنِ دوم است، نه فاصلهٔ بینِ دو نوار. **ج) تلهٔ تستی:** شمارشِ نوارهای تاریک از m=0m=0 آغاز می‌شود، پس «چهارمین» نوار تاریک m=3m=3 است نه m=4m=4؛ و چون فاصله خواسته شده (نه موقعیت)، باید حتماً تفاضلِ دو موقعیت گرفته شود.

8. در یک سامانه فنر-جرم قائم، جرم mm به فنری با ثابت kk آویخته شده و در راستای قائم نوسان می‌کند. اگر نوسان‌گر درون آسانسوری قرار گیرد که با شتاب a=g2a = \frac{g}{2} رو به پایین حرکت می‌کند، دوره تناوب نوسان‌های جرم نسبت به حالتی که آسانسور ساکن است، چگونه تغییر می‌کند؟

  • 2\sqrt{2} برابر می‌شود.
  • 32\sqrt{\frac{3}{2}} برابر می‌شود.
  • 2/3\sqrt{2/3} برابر می‌شود.
  • تغییری نمی‌کند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**الف) چرا «تغییری نمی‌کند.» درست است:** دورهٔ تناوبِ سامانهٔ فنر-جرم (T=2πm/kT=2\pi\sqrt{m/k}) اصلاً به gg بستگی ندارد؛ برخلافِ آونگ، شتابِ گرانشی (چه واقعی چه ظاهری در آسانسورِ شتاب‌دار) فقط نقطهٔ تعادل را جابه‌جا می‌کند، نه دورهٔ نوسان را. **ب) رد گزینه‌های غلط:** - «2\sqrt{2} برابر می‌شود.»: این گزینه با فرمولِ آونگ (T∝1/geffT\propto1/\sqrt{g_{eff}}) اشتباه گرفته شده؛ فنر-جرم چنین وابستگی‌ای به gg ندارد. - «32\sqrt{\frac{3}{2}} برابر می‌شود.»: این هم از همان خلطِ فرمولِ آونگ با فنر-جرم ناشی می‌شود. - «2/3\sqrt{2/3} برابر می‌شود.»: این هم مبتنی بر فرضِ نادرستِ وابستگیِ TT به geffg_{eff} است. **ج) تلهٔ تستی:** این دقیقاً نکتهٔ کنکوریِ کلیدیِ تمایزِ فنر-جرم از آونگ است: دورهٔ فنر-جرم فقط به mm و kk بستگی دارد، هرگز به gg؛ شتابِ آسانسور فقط x0=mgeff/kx_0=mg_{eff}/k (نقطهٔ تعادل) را تغییر می‌دهد.

9. نقطه‌ای در یک موج ایستاده روی ریسمانی با دو انتهای ثابت، در فاصله λ3\frac{\lambda}{3} از یکی از گره‌ها قرار دارد. اگر دامنه نوسان یک شکم 2A2A باشد، دامنه نوسان این نقطه چقدر است؟

  • 32A\frac{\sqrt{3}}{2}A
  • 00
  • AA
  • 3A\sqrt{3}A

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «3A\sqrt{3}A» درست است. در موج ایستاده روی ریسمان با دو انتهای ثابت، دامنهٔ نوسان هر نقطه با رابطهٔ ymax⁡(x)=2Asin⁡(kx)y_{\max}(x)=2A\sin(kx) توصیف می‌شود که در آن xx فاصلهٔ آن نقطه از نزدیک‌ترین گره و k=2πλk=\frac{2\pi}{\lambda} است. با x=λ3x=\frac{\lambda}{3} داریم kx=2π3kx=\frac{2\pi}{3} و sin⁡(2π3)=32\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}، پس دامنهٔ این نقطه برابر 2A×32=3A2A\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}A می‌شود. گزینهٔ «AA» رد می‌شود چون معادل sin⁡(π6)=12\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2} است که با زاویهٔ درست (2π3\frac{2\pi}{3}) مطابقت ندارد. گزینهٔ «32A\frac{\sqrt{3}}{2}A» رد می‌شود چون ضریب 22 در رابطهٔ دامنهٔ شکم (2A2A) در آن اعمال نشده است. گزینهٔ «00» رد می‌شود چون تنها روی خودِ گره صفر است، نه در فاصلهٔ λ3\frac{\lambda}{3} از آن. تلهٔ تستی این سؤال آن است که دانش‌آموز فاصله از گره را با فاصله از شکم اشتباه بگیرد یا فراموش کند ضریب 2A2A (دامنهٔ شکم) را در تابع sin⁡(kx)\sin(kx) ضرب کند.

10. آونگ ساده‌ای به طول LL در یک آسانسور با شتاب g3\frac{g}{3} رو به پایین قرار دارد. اگر این آونگ را به سطح ماه (gmoon=g6g_{moon} = \frac{g}{6}) ببریم، نسبت دوره تناوب آن در آسانسور به دوره تناوب آن روی سطح ماه کدام است؟

  • 23\sqrt{\frac{2}{3}}
  • 49\sqrt{\frac{4}{9}}
  • 12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • 12\frac{1}{2}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**الف) چرا «12\frac{1}{2}» درست است:** در آسانسور: geff,1=g−g3=2g3g_{eff,1}=g-\dfrac{g}{3}=\dfrac{2g}{3}. روی ماه: geff,2=g6g_{eff,2}=\dfrac{g}{6}. نسبتِ دوره‌ها: TelevatorTmoon=geff,2geff,1=g/62g/3=1/62/3=14=12\dfrac{T_{elevator}}{T_{moon}}=\sqrt{\dfrac{g_{eff,2}}{g_{eff,1}}}=\sqrt{\dfrac{g/6}{2g/3}}=\sqrt{\dfrac{1/6}{2/3}}=\sqrt{\dfrac14}=\dfrac12. **ب) رد گزینه‌های غلط:** - «23\sqrt{\frac{2}{3}}»: این عدد از نسبتِ نادرستِ geff,1g_{eff,1} و geff,2g_{eff,2} (بدونِ محاسبهٔ درستِ کسرها) به دست می‌آید. - «49\sqrt{\frac{4}{9}}»: این عدد از یک خطایِ محاسباتی در ساده‌سازیِ کسرهای داخلِ جذر ناشی می‌شود. - «12\frac{1}{\sqrt{2}}»: این عدد با فراموش‌کردنِ محاسبهٔ کاملِ عبارتِ زیرِ جذر (توقف در یک مرحلهٔ میانی) به دست می‌آید. **ج) تلهٔ تستی:** این سؤال دو مرحله دارد — نخست باید geffg_{eff} در هر دو محیط (آسانسور و ماه) محاسبه شود، سپس نسبتِ **جذرِ معکوسِ** آن‌ها گرفته شود؛ ساده‌سازیِ ناقصِ کسرهای تو در تو رایج‌ترین خطاست.

مباحث مرتبط

01_حرکت بر خط راست (علوم تجربی)02_دینامیک (علوم تجربی)04_آشنایی با فیزیک اتمی و هسته ای (علوم تجربی)01_فیزیک و اندازه گیری (علوم تجربی)02_ویژگی های فیزیکی مواد (علوم تجربی)03_کار، انرژی و توان (علوم تجربی)04_دما و گرما (علوم تجربی)01_الکتریسیته ساکن (علوم تجربی)02_جریان الکتریکی و مدارهای جریان مستقیم (علوم تجربی)03_مغناطیس و القای الکترومغناطیسی (علوم تجربی)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان