حرکت بر خط راست و سقوط آزاد (فیزیک ۳)

وقتی در اتوبوس نشسته‌ای، نسبت به صندلی کناری کاملاً بی‌حرکتی و نسبت به خیابان با ده‌ها کیلومتر بر ساعت در حرکت. کدام درست است؟ هر دو — چون حرکت مطلق معنا ندارد و همیشه نسبت به یک مبدأ سنجیده می‌شود. همین یک جمله کل فصل را می‌سازد: هر عددی دربارهٔ مکان، جابجایی یا سرعت، بدون مشخص‌کردن محور و مبدأ، بی‌معناست.

۱-۱ مکان، مسیر، مسافت و جابجایی

وقتی مکان جسمی نسبت به یک مبدأ با گذشت زمان تغییر کند، می‌گوییم حرکت کرده است. ساده‌ترین شکل آن، حرکت یک‌بُعدی روی خط راست است. بردار مکان روی محور $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از مبدأ به موقعیت جسم رسم می‌شود:

\vec{r} = x\hat{i}

مسیر حرکت مجموعهٔ نقاطی است که متحرک از آن‌ها عبور می‌کند؛ چیزی شبیه ردّ پا روی برف. مسیر هم مثل خود مکان به ناظر وابسته است: مسافری که داخل قطارِ در حال حرکت سیبی را عمود بالا می‌اندازد، مسیر سیب را خط راست قائم می‌بیند، ولی ناظر کنار ریل همان سیب را روی مسیری سهمی‌شکل می‌بیند.

کمیت	نوع	تعریف
مسافت $l$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	اسکالر	طول مسیر پیموده‌شده
جابجایی $\vec{d}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	برداری	بردار از نقطهٔ شروع به نقطهٔ پایان: $\vec{d}=\vec{r_2}-\vec{r_1}=\Delta x\,\hat{i}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مسافت فقط به شکل مسیر بستگی دارد و همیشه نامنفی است؛ جابجایی فقط به مکان آغاز و پایان بستگی دارد و می‌تواند مثبت، منفی یا صفر باشد. چون کوتاه‌ترین راه بین دو نقطه خط راست است، همیشه:

l \geq |\vec{d}|

و تساوی فقط وقتی برقرار است که متحرک بدون تغییر جهت مستقیم برود. مثلاً دونده‌ای که ۶۰ متر به شرق و بعد ۲۵ متر به غرب می‌دود، مسافتی برابر $60+25=85\text{ m}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و جابجایی‌ای برابر $60-25=35\text{ m}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد. در حرکت رفت‌وبرگشتی، اگر جسم دقیقاً به نقطهٔ شروع برگردد جابجایی صفر می‌شود، اما مسافت هرگز صفر نیست.

۱-۲ سرعت متوسط و تندی متوسط

v_{av} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}

سرعت متوسط برداری است و چون از تقسیم جابجایی بر زمانِ مثبت به دست می‌آید، همیشه هم‌جهت با جابجایی است. تفسیر هندسی: روی نمودار $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، سرعت متوسط بین دو لحظه شیب خط واصل آن دو نقطه است. چون فقط به مکان ابتدا و انتهای بازه وابسته است، از جزئیات مسیر میانی مستقل می‌ماند.

s_{av} = \frac{l}{\Delta t}

تندی متوسط نسبت مسافت به زمان است، پس اسکالر و نامنفی. بیشترین اشتباه کنکوری همین‌جاست: در حرکت رفت‌وبرگشتی سرعت متوسط می‌تواند صفر شود، اما تندی متوسط نه. شناگری که طول ۲۰ متری استخر را در ۱۵ ثانیه می‌رود و در ۲۰ ثانیه برمی‌گردد، $v_{av}=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد ولی $s_{av}=\frac{40}{35}=\frac{8}{7}\text{ m/s}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. این دو فقط وقتی برابرند که جسم بدون تغییر جهت حرکت کند.

وزن‌دهی زمانی در برابر وزن‌دهی مسافتی

اگر متحرکی مسیرش را در دو بخش با دو سرعت $v_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $v_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین طی کند، پاسخ به این بستگی دارد که تقسیم‌بندی بر مبنای زمان است یا مسافت:

\text{دو بازهٔ زمانی مساوی:}\quad v_{av}=\frac{v_1+v_2}{2} \qquad\qquad \text{دو بازهٔ مسافتی مساوی:}\quad s_{av}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}

اولی میانگین حسابی است و دومی میانگین هارمونیک، و میانگین هارمونیک همیشه کوچک‌تر یا مساوی حسابی است، چون زمان بیشتری صرف بخش کندتر می‌شود. برای نمونه با $40$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $60\text{ km/h}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: نیمهٔ مسیر مساوی $48\text{ km/h}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌دهد، ولی نیمهٔ زمان مساوی $50\text{ km/h}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

اگر تقسیم‌بندی ۵۰-۵۰ نباشد، فرمول کلی‌تر لازم است: برای کسرهایی از کل زمان، $v_{av}=f_1v_1+f_2v_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و برای کسرهایی از کل مسافت، $s_{av}=\dfrac{1}{f_1/v_1+f_2/v_2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. دو رابطهٔ بالا فقط حالت خاص $f_1=f_2=\frac12$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همین‌ها هستند.

۱-۳ سرعت لحظه‌ای

سرعت لحظه‌ای، سرعت متوسط در بازهٔ زمانی بی‌نهایت کوچک است:

v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}

تفسیر هندسی: روی نمودار $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، سرعت لحظه‌ای شیب خط مماس در همان لحظه است؛ اگر نمودار در بازه‌ای خط راست باشد، سرعت لحظه‌ای در کل آن بازه ثابت و برابر سرعت متوسط است. سرعت لحظه‌ای همیشه در جهت مماس بر مسیر است — برای همین وقتی طنابِ توپِ در حال چرخش پاره شود، توپ نه به سمت مرکز، بلکه در امتداد مماس پرتاب می‌شود.

تندی لحظه‌ای (که عقربهٔ تندی‌سنج نشان می‌دهد) فقط اندازهٔ سرعت لحظه‌ای است، بدون جهت، و همیشه نامنفی می‌ماند حتی وقتی خودرو در جهت منفی محور می‌رود.

۱-۴ خواندن نمودار مکان ـ زمان

هر جا نمودار محور زمان را قطع کند، جسم از مبدأ ( $x=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) عبور کرده است.
شیب مثبت یعنی جابجایی در جهت مثبت محور، شیب منفی یعنی در جهت منفی.
اگر اندازهٔ مکان پیوسته کم شود، جسم به مبدأ نزدیک می‌شود و اگر زیاد شود، از آن دور.
چون جسم در هر لحظه فقط یک مکان دارد، نمودار $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همیشه تابعی تک‌مقداره از زمان است؛ نموداری به شکل دایره یا حلقه هرگز نمی‌تواند نمودار مکان ـ زمان یک حرکت واقعی باشد، هرچند می‌تواند مسیر حرکت باشد.

تعریف «شیب خط واصل دو نقطه» برای سرعت متوسط مخصوص نمودار خطی نیست؛ حتی وقتی $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین منحنی (شتاب‌دار) باشد، سرعت متوسط بین دو نقطه باز هم شیب همان وتر است — فقط دیگر با شیب مماس در نقاط میانی برابر نیست.

شرط لازم و کافی تغییر جهت

تصور کن بچه‌ای روی تاب: در بالاترین نقطهٔ هر نوسان، سرعتش برای یک لحظه صفر می‌شود و دقیقاً همان‌جا جهتش عوض می‌شود. سرعت نمی‌تواند از مثبت به منفی بپرد؛ باید از صفر بگذرد. اما عکس این حرف درست نیست: خودرویی که ترمز کرده و ایستاده هم سرعت صفر دارد، بی‌آنکه جهتش عوض شده باشد.

\text{شرط لازم و کافی تغییر جهت: علامت سرعت باید عوض شود، نه فقط صفر شود}

روی نمودار $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، جایی که جسم بیشترین فاصله را از مبدأ دارد، همان‌جاست که شیب مماس صفر و جهت حرکت عوض می‌شود.

۱-۵ شتاب متوسط و شتاب لحظه‌ای

\vec{a}_{av} = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} = \frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}, \qquad a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}

هر جسمی که سرعتش تغییر کند — چه در اندازه، چه در جهت، چه هر دو — شتاب غیرصفر دارد. شتاب لحظه‌ای شیب خط مماس بر نمودار $v$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، و مساحت زیر نمودار $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (با علامت) برابر $\Delta v$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در همان بازه است، درست همان‌طور که مساحت زیر نمودار $v$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جابجایی می‌دهد.

تندشونده یا کندشونده؟ اگر $v$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم‌علامت باشند حرکت تندشونده و اگر ناهم‌علامت باشند کندشونده است؛ اگر $a=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $v\neq0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حرکت یکنواخت است. تعیین نوع حرکت فقط از روی علامت شتاب ممکن نیست: شتاب مثبت روی خودرویی که رو به عقب می‌رود آن را کندشونده می‌کند، نه تندشونده.

یک نکتهٔ ظریف: وقتی شتاب واقعاً ثابت بماند، توالی «کندشونده سپس تندشونده» ممکن است ولی توالی معکوسش هرگز رخ نمی‌دهد، چون $v(t)=v_0+at$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تابعی خطی است و فقط یک ریشه دارد. اما اگر نمودار $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خودش پلکانی یا مثلثی باشد (شتاب متغیر)، این قاعده برقرار نیست و باید تندشونده/کندشونده بودن را از روی فاصلهٔ لحظه‌ای نمودار $v$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا محور زمان تشخیص داد: فاصلهٔ در حال زیاد شدن یعنی تندشونده.

۲-۱ حرکت با سرعت ثابت

وقتی بردار سرعت (هم اندازه هم جهت) تغییر نکند، شتاب صفر است و مسافت با اندازهٔ جابجایی برابر می‌شود:

x = vt + x_0

نمودار	شکل
$x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	خط مستقیم با شیب $v$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$v$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	خط افقی موازی محور زمان
$a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	منطبق بر محور زمان ( $a=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)

سرعت نسبی

سرعتی که راننده‌ای حرکت خودروی دیگر را نسبت به خودش حس می‌کند، سرعت نسبی است:

v_{\text{نسبی}} = v_2 - v_1

اگر دو متحرک هم‌جهت باشند اندازهٔ سرعت نسبی $|v_1-v_2|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و اگر خلاف‌جهت باشند $|v_1|+|v_2|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود. همین اصل در مسائل قایق و رودخانه به کار می‌رود، که صورت کامل‌ترش قانون ترکیب سرعت‌هاست:

\vec v_{\text{قایق نسبت به ساحل}} = \vec v_{\text{قایق نسبت به آب}} + \vec v_{\text{آب نسبت به ساحل}}

مثلاً قایقی با تندی $8\text{ m/s}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نسبت به آب، در رودخانه‌ای با جریان $3\text{ m/s}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، هم‌جهت با جریان $11\text{ m/s}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و خلاف جریان $5\text{ m/s}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نسبت به ساحل پیش می‌رود.

وقتی یکی از دو متحرک طول قابل‌توجهی داشته باشد (مثل قطار)، برای «عبور کامل» باید مجموع طول‌ها را هم به مسافت لازم اضافه کرد؛ زمان عبور قطار از پل هم $\dfrac{\text{طول قطار}+\text{طول پل}}{\text{سرعت قطار}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

روش حل مسائل رسیدن و برخورد

هر جا صورت سؤال از «به هم رسیدن»، «عبور از کنار هم» یا «فاصله‌گرفتن به مقدار معین» بپرسد، سه گام را دنبال کن: یک مبدأ دلخواه انتخاب کن (معمولاً محل شروع یکی از دو متحرک)؛ علامت سرعت‌ها را طبق جهت حرکت مشخص کن و معادلهٔ $x=vt+x_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را برای هرکدام بنویس؛ و شرط مسئله را حل کن ( $x_1=x_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برای رسیدن به هم، یا $|x_1-x_2|=$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مقدار داده‌شده). اگر جواب معادله برای $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین منفی درآمد، این خطای محاسباتی نیست: یعنی آن دو متحرک با ادامهٔ شرایط فعلی هرگز به هم نمی‌رسند.

۳-۱ حرکت با شتاب ثابت

وقتی شتاب لحظه‌ای در همهٔ لحظه‌ها یکسان و برابر شتاب متوسط باشد، سه معادلهٔ اصلی برقرارند:

v = at+v_0 \qquad x = \frac{1}{2}at^2+v_0t+x_0 \qquad v^2 = v_0^2+2a\Delta x

معادلهٔ سوم ترکیب جبری دو معادلهٔ اول است و برای مسائلی که زمان در آن‌ها داده یا خواسته نشده میان‌بر می‌دهد.

می‌دانیم	می‌خواهیم	معادله
$v_0,a,t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$v$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$v=at+v_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$v_0,a,t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$x=\frac{1}{2}at^2+v_0t+x_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$v_0,v,a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\Delta x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$v^2=v_0^2+2a\Delta x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$v_0,v,t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\Delta x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\Delta x=\frac{v_0+v}{2}t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

در شتاب ثابت، سرعت متوسط هر بازه با میانگین سرعت دو سر آن بازه برابر است: $v_{av}=\frac{v_0+v}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. این رابطه فقط در شتاب ثابت درست است. چون $v(t)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خطی است، همین عدد با سرعت لحظه‌ای در نقطهٔ میانی زمانی بازه هم برابر می‌شود: $v_{av}=v\!\left(\dfrac{t_1+t_2}{2}\right)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. این دو صورت یک رابطه‌اند، نه دو رابطهٔ جدا.

دنبالهٔ حسابی جابجایی‌ها

اگر بازه‌های زمانی هم‌اندازهٔ $T$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را پیاپی در نظر بگیریم، جابجایی‌های متوالی یک دنبالهٔ حسابی می‌سازند:

\Delta x_{(n)} - \Delta x_{(n-1)} = aT^2

این ابزار وقتی $v_0\neq0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم کار می‌کند و از رابطهٔ آشنای نسبت‌های فرد ( $1:3:5:\cdots$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) که فقط ویژهٔ $v_0=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، کلی‌تر است. جابجایی در $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببیناُمین ثانیه هم از این رابطه می‌آید:

\Delta x_n = \frac{1}{2}a(2n-1)+v_0

مثلاً متحرکی که از سکون با شتاب $4\text{ m/s}^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین راه می‌افتد، در چهارمین ثانیه $\frac12(4)(7)=14\text{ m}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جابجا می‌شود. توجه کن که فرمول $aT^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مخصوص «ثانیه‌های متوالی» نیست و برای هر بازهٔ ثابت $T$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برقرار است.

یک ترفند مفید: وقتی متحرکی با شتاب ثابت کند می‌شود تا بایستد، می‌توان زمان را برعکس تصور کرد — حرکت از لحظهٔ توقف به عقب، دقیقاً مثل حرکتی از سکون با همان اندازهٔ شتاب است. پس جابجایی در آخرین ثانیه با جابجایی اولین ثانیهٔ حرکت از سکون برابر می‌شود.

زمان واکنش و فاصلهٔ توقف

بین لحظهٔ دیدن مانع و لحظهٔ فشردن ترمز، بازهٔ کوتاهی به نام زمان واکنش می‌گذرد که در آن خودرو هنوز با سرعت ثابت پیش می‌رود:

\Delta x_{\text{واکنش}} = v_0\,\Delta t, \qquad \Delta x_{\text{ترمز}} = \frac{v_0^2}{2|a|}

و شرط نرسیدن به مانعی که در فاصلهٔ $d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قرار دارد:

\Delta x_{\text{واکنش}} + \Delta x_{\text{ترمز}} \leq d

پرتکرارترین اشتباه در این نوع مسئله، فراموش‌کردن سهم زمان واکنش است. اگر مجموع دو فاصله از $d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بیشتر شد، برخورد رخ می‌دهد و سرعت برخورد را باید از فاصلهٔ باقی‌مانده برای ترمز واقعی حساب کرد، نه از کل فاصلهٔ ترمز.

نمودارها و حرکت نسبی شتاب‌دار

روی نمودار $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حرکت با شتاب ثابت یک سهمی است: تقعر رو به بالا یعنی $a>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و رو به پایین یعنی $a<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ رأس سهمی همان لحظهٔ $v=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ و شیب مماس در ابتدای نمودار علامت سرعت اولیه را نشان می‌دهد. روی نمودار $v$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خط راستی با شیب $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم که مساحت زیرش جابجایی می‌دهد.

برای مسائلی که یکی یا هر دو متحرک شتاب‌دارند، همان سه گام قبلی برقرار است. مثلاً موتورسواری که از سکون با شتاب $8\text{ m/s}^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین راه می‌افتد و خودرویی که $40\text{ m}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جلوتر با سرعت ثابت $12\text{ m/s}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رود: از $4t^2=40+12t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $t=5\text{ s}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسیم.

۴-۱ سقوط آزاد

سقوط آزاد حرکت جسم فقط تحت اثر گرانش زمین با نادیده‌گرفتن مقاومت هواست؛ مصداقی از حرکت با شتاب ثابت که در آن $g\approx9.8\text{ m/s}^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (در محاسبات معمولاً $10\text{ m/s}^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و جهت شتاب همیشه رو به پایین است، چه جسم بالا برود چه پایین بیاید. با فرض جهت پایین مثبت و رهاشدن از سکون:

v = gt, \qquad y = \frac{1}{2}gt^2, \qquad v^2 = 2gy

از این‌ها زمان رسیدن به زمین از ارتفاع $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و سرعت برخورد برابر $v=\sqrt{2gh}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود. نسبت مسافت‌های ثانیه‌های متوالی $1:3:5:\cdots$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (اعداد فرد) و نسبت مسافت کل تا پایان ثانیه‌های اول، دوم، سوم و... برابر $1:4:9:\cdots$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (مربعات کامل) است.

۴-۲ پرتاب قائم به بالا

این حالت همان حرکت قائم است با سرعت اولیهٔ غیرصفر رو به بالا. در این بخش جهت بالا را مثبت می‌گیریم، پس $a=-g$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

v=v_0-gt \qquad y=v_0t-\frac12gt^2 \qquad v^2=v_0^2-2gy

که $y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ارتفاع نسبت به نقطهٔ پرتاب است، نه لزوماً نسبت به زمین. در بالاترین نقطه سرعت لحظه‌ای صفر می‌شود، اما شتاب همچنان $g$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رو به پایین است، نه صفر؛ $v=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین آنجا فقط یک لحظهٔ گذر است.

کمیت	رابطه	از کجا می‌آید
زمان رسیدن به اوج	$t_{\text{اوج}}=\dfrac{v_0}{g}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	از $v=v_0-gt=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
ارتفاع بیشینه	$h_{\max}=\dfrac{v_0^2}{2g}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	از $v^2=v_0^2-2gy=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
کل زمان پرواز	$t_{\text{کل}}=\dfrac{2v_0}{g}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	تقارن رفت و برگشت

تقارن رفت و برگشت: زمان بالا رفتن دقیقاً با زمان برگشت به همان ارتفاع برابر است و در هر ارتفاع مشترک، اندازهٔ سرعت یکسان و فقط جهتش برعکس است؛ جسم با همان $v_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به نقطهٔ پرتاب برمی‌گردد.

یک بینش مفید برای مسائل برخورد دو جسم در هوا: چون هر دو شتاب یکسان $-g$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارند، شتاب نسبی‌شان صفر است، یعنی از دید هرکدام دیگری با سرعت ثابت نزدیک می‌شود. پس سنگی که از بالای برجی به ارتفاع $H$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رها می‌شود و سنگی که هم‌زمان از پای برج با $v_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به بالا پرتاب می‌شود، در زمان $t=\dfrac{H}{v_0}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به هم می‌رسند، بدون حل هیچ معادلهٔ درجه‌دومی. البته این میان‌بر فقط تا وقتی معتبر است که هر دو هنوز در هوا باشند.

جمع‌بندی

اگر این فصل را در یک جمله بخواهی: هیچ عدد حرکتی معنا ندارد مگر نسبت به یک مبدأ. انتخاب مبدأ درست، علامت‌گذاری طبق جهت واقعی حرکت، و به‌کارگیری همان سه معادله برای هر سناریو. سه پرسشی که همیشه باید اول از خودت بپرسی: مسافت خواسته شده یا جابجایی؟ سرعت یا تندی؟ جهت واقعاً عوض شده یا فقط سرعت لحظه‌ای صفر شده؟

v_{av} = \frac{\Delta x}{\Delta t}, \qquad s_{av}=\frac{l}{\Delta t}, \qquad l\geq|\vec d|

x = vt + x_0, \qquad v = at+v_0, \qquad x=\frac{1}{2}at^2+v_0t+x_0, \qquad v^2=v_0^2+2a\Delta x

\Delta x_{(n)}-\Delta x_{(n-1)}=aT^2, \qquad \Delta x_n = \frac{1}{2}a(2n-1)+v_0

v=gt, \quad y=\frac{1}{2}gt^2, \quad v^2=2gy, \qquad t_{\text{اوج}}=\frac{v_0}{g}, \quad h_{\max}=\frac{v_0^2}{2g}