شناوری و فشار در شاره‌ها (فیزیک ۱)

ویژگی‌های فیزیکی مواد

چرا یک کشتیِ فولادی روی آب شناور می‌ماند ولی یک تکه فولادِ توپُر فوراً غرق می‌شود؟ پاسخ این فصل را با اصلِ ارشمیدس می‌دهد — و همین سؤال، بهترین دروازه برایِ واردشدن به فیزیکِ شاره‌هاست.

حالت‌های ماده و نیروهایِ بینِ مولکولی

هر ماده از اتم/مولکول‌هایی در مقیاسِ آنگستروم ساخته شده. جامدِ بلورین (نمک، یخ) نظمِ تکرارشونده دارد و از سردسازیِ آرام پدید می‌آید؛ بی‌شکل یا آمورف (شیشه) نظمِ بلندبرد ندارد و حاصلِ سردسازیِ سریع است. پلاسما حالتِ چهارم ماده است: با گرم‌کردنِ شدیدِ گاز الکترون‌ها از اتم‌ها جدا می‌شوند و مخلوطی از یون و الکترون می‌ماند که رسانایِ خوبِ گرما و الکتریسیته است (آذرخش، لامپِ نئون).

همچسبی نیرویِ بینِ مولکول‌هایِ هم‌جنس است و دگرچسبی نیرویِ بینِ مولکول‌هایِ ناهم‌جنس. کششِ سطحی از همین همچسبی می‌آید: مولکول‌هایِ درونِ مایع از همه طرف کشیده می‌شوند و برایندِ نیرو رویشان صفر است، اما مولکول‌هایِ سطح فقط از پایین و کناره نیرو می‌گیرند، پس برایندی رو به داخل دارند و سطح مثلِ پوسته‌ای کشیده رفتار می‌کند. کششِ سطحی با افزایشِ دما کاهش می‌یابد.

رقابتِ این دو نیرو ترشوندگی را تعیین می‌کند: اگر دگرچسبی بیشتر باشد مایع جامد را خیس می‌کند (آب روی شیشه، سطحِ مقعر)، و اگر همچسبی بیشتر باشد خیس نمی‌کند (جیوه روی شیشه، سطحِ محدب). همین رقابت در لوله‌هایِ باریک اثرِ مویینگی می‌سازد:

که $\gamma$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضریبِ کششِ سطحی، $\theta$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زاویهٔ تماس و $r$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شعاعِ لوله است. نکتهٔ کلیدی $h\propto 1/r$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است: هرچه لوله باریک‌تر، بالاآمدگی بیشتر.

فشار: تعریف و ویژگی‌ها

در رابطهٔ دوم $P_0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فشارِ هوایِ بالایِ سطحِ آزاد، $\rho$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چگالیِ مایع و $h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عمق از سطحِ آزاد است. فشار کمیتی اسکالر است (بدونِ جهت) و در یک نقطه در همهٔ جهت‌ها یکسان؛ در نقاطِ هم‌ترازِ یک شارهٔ ساکنِ پیوسته هم برابر است و به شکل و حجمِ ظرف بستگی ندارد — فقط عمق مهم است.

اگر غواصی در عمقِ $h=12\text{ m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد:

تفاوتِ نیرو و فشار: فشار نقطه‌ای و بی‌جهت است، اما نیرو همیشه بر یک سطحِ مشخص و عمود بر آن وارد می‌شود: $F=PA$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برایِ گازِ محبوس وزنِ گاز در برابرِ فشارش ناچیز است، پس فشار در همهٔ نقاطِ ظرف تقریباً یکسان است و $F=PA$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با همان یک $P$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی هر دیواره با هر جهتی صادق است (مثلِ بادِ تایر). اما برایِ مایع وزن ناچیز نیست و فشار با عمق تغییر می‌کند؛ پس نیرویِ هر دیواره باید با $\rho g h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییی همان عمق حساب شود، نه یک $P$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییی ثابت برایِ کلِ ظرف.

پارادوکسِ هیدرواستاتیک

نیرویِ واردشده به کفِ ظرف فقط به مساحتِ کف و ارتفاعِ مایع بستگی دارد، یعنی $F=(P_0+\rho gh)A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و به شکلِ ظرف یا حجمِ واقعیِ مایع کاری ندارد. اما وزنِ واقعیِ مایع $W=\rho gV$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. در ظرفِ هم‌مقطع این دو برابرند، ولی در ظرفِ غیرِهم‌مقطع نه:

شهودش ساده است: دیوارهٔ مایل که رو به بیرون باز می‌شود بخشی از وزنِ مایعِ بالایِ خود را خودش تحمل می‌کند، پس کمتر به کف می‌رسد؛ دیوارهٔ تنگ‌شونده برعکس، روی مایع هُل می‌دهد و نیرویِ اضافه به کف منتقل می‌کند.

فشار در ظرفِ شتاب‌دار

اگر ظرف به‌طورِ قائم با شتابِ $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حرکت کند، گرانشِ مؤثر تغییر می‌کند:

تندشونده به بالا یا کندشونده به پایین $\Rightarrow g+a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ تندشونده به پایین یا کندشونده به بالا $\Rightarrow g-a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. در سقوطِ آزاد ($a=g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) فشارِ ناشی از وزنِ مایع صفر می‌شود و فقط $P_0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌ماند — بی‌وزنی درونِ شاره.

چند مایعِ مخلوط‌نشدنیِ روی‌هم

لایه‌بندی همیشه به‌ترتیبِ چگالی است (چگال‌ترین در پایین) و سهمِ هر لایه جداگانه جمع می‌شود:

مثلاً $0.3\text{ m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روغن ($800$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) روی $0.5\text{ m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی آب ($1000$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) فشارِ تهِ ظرف را به $101000+2352+4900=108252\text{ Pa}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رساند. تله: نمی‌توان یک $\rho$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییی میانگین برایِ کلِ مسیر گرفت.

نقاطِ هم‌تراز و لولهٔ Uشکل

قاعدهٔ «نقاطِ هم‌تراز فشارِ برابر دارند» فقط وقتی معتبر است که آن دو نقطه از راهِ همان شارهٔ ساکن و پیوسته به هم وصل باشند. اگر نقطه‌ای در زایده یا حفره‌ای باشد که مستقیماً زیرِ سطحِ آزاد نیست، باید مسیرِ واقعیِ مایع را دنبال کرد، نه فاصلهٔ قائمِ ظاهری را.

چهار قاعدهٔ لولهٔ U:

قاعدهٔ ۱ تلهٔ رایجی است: خیلی‌ها فکر می‌کنند لولهٔ باریک‌تر باید مایعِ بیشتری بالا بیاورد، در حالی که فقط ارتفاع برابر می‌شود نه حجم. در لولهٔ Uی حاویِ آب و جیوه، از برابریِ فشار در نقاطِ هم‌تراز: $\rho_{Hg}h_{Hg}=\rho_w h_w$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — اگر ستونِ آب $34\text{ cm}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، $h_{Hg}=2.5\text{ cm}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اصلِ پاسکال و بالابرِ هیدرولیکی

اصلِ پاسکال: فشارِ واردشده بر شارهٔ محصور، بدونِ کاهش، به همهٔ نقاطِ شاره و دیواره‌ها منتقل می‌شود. نتیجهٔ مستقیمش جکِ هیدرولیکی است:

با $A_1=5\text{ cm}^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $A_2=250\text{ cm}^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $F_1=100\text{ N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $F_2=5000\text{ N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. بهایِ این تقویت را در مسافت می‌پردازیم: چون حجمِ جابه‌جاشده در دو سمت برابر است، $A_1d_1=A_2d_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و پیستونِ کوچک باید مسافتِ خیلی بیشتری طی کند.

یکاهایِ فشار

قاعدهٔ سرانگشتی: هر ۱۰ متر عمقِ آب تقریباً ۱ اتمسفر به فشار اضافه می‌کند.

فشارسنج‌ها

بارومتر فشارِ هوا را با ستونِ جیوه می‌سنجد: $P_0=\rho gh$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، که در سطحِ دریا $h\approx760\text{ mm}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. دو تلهٔ مهم دارد:

• لولهٔ کج‌شده: اگر لوله با زاویهٔ $\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نسبت به افق کج شود، آنچه در فرمول می‌نشیند طولِ لوله نیست بلکه مؤلفهٔ قائمِ آن است: $h=L\sin\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. لولهٔ $80\text{ cm}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با زاویهٔ $30°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ارتفاعِ مؤثرِ $40\text{ cm}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌دهد.
• خلأِ ناقص: اگر در انتهایِ بستهٔ لوله گازی با فشارِ $P'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مانده باشد، $P_0=\rho gh+P'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

فشارسنجِ بوردون مکانیکی و بدونِ مایع است: لوله‌ای فلزیِ خمیده که با افزایشِ فشارِ درونش کمی صاف می‌شود و این تغییرِ شکل با چرخ‌دنده به عقربه می‌رسد (فشارسنجِ تایر، مخازنِ صنعتی؛ $1\text{ psi}\approx6900\text{ Pa}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).

مانومتر فشارِ پیمانه‌ای (گیج) را می‌دهد: $P_g=P-P_0=\rho gh$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر فشارِ گاز از هوا کمتر باشد $P_{gas}=P_0-\rho gh$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، اگر بیشتر باشد $P_0+\rho gh$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و اگر برابر باشد $P_0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. فشارِ پیمانه‌ای در خلأِ نسبی منفی می‌شود.

گازِ زیرِ پیستون سه حالت دارد و همه با نمودارِ آزادِ پیستون حل می‌شوند: پیستون از بالا روی گاز نشسته $\Rightarrow P_{gas}=P_0+\frac{mg}{A}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ پیستونِ افقی $\Rightarrow P_{gas}=P_0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ پیستونِ آویزان زیرِ گاز $\Rightarrow P_{gas}=P_0-\frac{mg}{A}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

فشارِ هوا و ارتفاع

برخلافِ مایعات که تراکم‌ناپذیرند و $\rho$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ثابتی دارند، هوا تراکم‌پذیر است و چگالی‌اش خودش با ارتفاع کم می‌شود. پس نمودارِ فشارِ هوا بر حسبِ ارتفاع، برخلافِ نمودارِ خطیِ فشارِ مایع (با شیبِ $\rho g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، منحنیِ کاهشیِ غیرخطی است: پایین تندتر، بالاتر ملایم‌تر. رابطهٔ $\Delta P=\rho g\Delta h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برایِ هوا فقط در بازه‌های کوچکِ ارتفاع معتبر است.

شناوری و اصلِ ارشمیدس

هر جسمِ غوطه‌ور از پایین فشارِ بیشتری نسبت به بالا می‌گیرد (چون فشار با عمق زیاد می‌شود)؛ همین اختلافِ فشار نیرویِ خالصِ رو به بالا می‌سازد:

یعنی نیرویِ شناوری دقیقاً برابرِ وزنِ شارهٔ جابه‌جاشده است — به جنسِ جسم کاری ندارد، فقط به چگالیِ شاره و حجمِ فرورفته. برایِ همین کشتیِ فولادیِ توخالی حجمِ زیادی آب جابه‌جا می‌کند و شناور می‌ماند، ولی همان فولادِ توپُر فرو می‌رود.

سه حالت: $\rho_{\text{جسم}}<\rho_f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شناور، برابر یعنی معلق، بیشتر یعنی ته‌نشین. برایِ جسمِ شناور کسرِ حجمِ زیرِ آب:

چوبی با چگالیِ $600\text{ kg/m}^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در آب دقیقاً $\frac{3}{5}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حجمش زیرِ آب می‌ماند. وزنِ ظاهریِ جسمِ غوطه‌ور همیشه کمتر از وزنِ واقعی است: $W_{\text{app}} = (\rho_{\text{obj}}-\rho_f)gV$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

شاره در حرکت: پیوستگی و برنولی

شاره‌ها دو نوع جریان دارند: لایه‌ای/آرام با خطوطِ جریانِ منظم و ثابت، و تلاطمی/آشوبناک با گردابه‌هایِ نامنظم. معادلاتِ این بخش فقط برایِ جریانِ لایه‌ایِ شارهٔ تراکم‌ناپذیر و بدونِ گرانروی معتبرند.

آهنگِ شارشِ حجمی $Q=\frac{\Delta V}{\Delta t}=Av$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و در شارهٔ تراکم‌ناپذیر در همهٔ مقاطع ثابت می‌ماند:

هرجا لوله باریک‌تر باشد شاره سریع‌تر می‌رود؛ باریک‌شدنِ دستهٔ آبِ زیرِ شیر هم با همین توضیح داده می‌شود (آب شتاب می‌گیرد، پس سطحِ مقطع کم می‌شود).

اصلِ برنولی پایستگیِ انرژی برایِ شاره است:

برایِ لولهٔ افقی ($y_1=y_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) نتیجه ساده می‌شود به $v\uparrow \Rightarrow P\downarrow$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. این اصل برایِ گازها هم صادق است، نه فقط مایع‌ها. کاربردها: بالابرِ بالِ هواپیما (هوایِ رویِ بال سریع‌تر و کم‌فشارتر)، افشانهٔ عطر، تفنگِ آب، اثرِ ماگنوس (توپِ چرخان هوا را در یک سمت تندتر می‌کند، فشار آن سمت کم می‌شود و مسیرِ توپ منحنی می‌شود — همان «کات‌دادن»)، و برآمدگیِ پوششِ برزنتیِ کامیون (هوایِ تندِ بیرون فشارِ کمتری از هوایِ ساکنِ داخل دارد).

نتیجهٔ مستقیمِ برنولی، معادلهٔ توریچلی برایِ خروجِ شاره از سوراخِ ظرفِ بزرگ است: $v=\sqrt{2gh}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که $h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عمقِ سوراخ از سطحِ شاره است.

کاربردِ پزشکی: فشارِ خون هم با همین منطق و بر حسبِ $\text{mmHg}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بیان می‌شود — سیستولی (بیشینه، هنگامِ انقباضِ قلب) روی دیاستولی (کمینه)، حدودِ $120/80\text{ mmHg}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

جدولِ خلاصه