حرکت‌شناسی و سقوط آزاد (هنر)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«شتاب متوسط غیرصفر و سرعت متوسط صفر است.» درست است. سرعتِ متوسط $=\frac{\text{جابجایی}}{\Delta t}=\frac{0}{\Delta t}=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (طبقِ تعریف، همیشه). چون شتابِ لحظه‌ای در کلِ بازه ثابت و غیرصفر است، شتابِ متوسط هم دقیقاً همان مقدارِ ثابتِ غیرصفر است (میانگینِ یک تابعِ ثابت، خودِ همان مقدار است). «هر دو صفر» نادرست است چون شتاب صریحاً غیرصفر فرض شده. «شتاب صفر و سرعتِ متوسط غیرصفر» و «هر دو غیرصفر» هر دو با محاسبهٔ بالا در تناقضند. تلهٔ تستی: هرگاه جابجاییِ کلِ یک بازه صفر باشد، سرعتِ متوسط همیشه دقیقاً صفر است — این مستقل از مقدارِ شتاب است؛ نمونهٔ عینی: گلوله‌ای که پرتاب و در همان ارتفاع دوباره گرفته می‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$\Delta x = l$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $v_{av} = \bar{v}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. در حرکتِ یکنواخت با سرعتِ ثابت $v$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (نه فقط اندازه، بلکه جهتِ حرکت هم هرگز عوض نمی‌شود)، متحرک هرگز تغییرِ جهت نمی‌دهد؛ پس اندازهٔ جابجایی همیشه دقیقاً با مسافتِ پیموده‌شده برابر است ($|\Delta x|=l$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، نه صرفاً کوچک‌تر یا مساوی. به همین دلیل سرعتِ متوسط و تندیِ متوسط هم همیشه برابرند. «$\Delta x \leq l$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $v_{av} = \bar{v}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» فقط رابطهٔ عمومیِ هر نوع حرکتی را تکرار می‌کند (که شاملِ حالتِ رفت‌وبرگشت هم می‌شود)؛ در حرکتِ با سرعتِ کاملاً ثابت، این نامساوی همیشه به تساوی می‌رسد و رابطهٔ دقیق‌تر ( = ) درست‌تر و کامل‌تر است. «$\Delta x \geq l$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» هرگز درست نیست چون مسافت همیشه حداقل به‌اندازهٔ جابجایی است. «$\Delta x = l$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $v_{av} \leq \bar{v}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» بخشِ دومش نادرست است. تلهٔ تستی: قیدِ «سرعتِ ثابت» (نه فقط تندیِ ثابت) یعنی جهت هم عوض نمی‌شود؛ این دقیقاً همان قیدی است که رابطهٔ عمومیِ $l\geq|\Delta x|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به تساویِ محض تبدیل می‌کند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$|v_{av}| \leq \bar{v}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. همیشه $|\text{جابجایی}| \leq \text{مسافت}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (تساوی فقط وقتی حرکت یک‌جهته باشد). با تقسیمِ هر دو طرف بر $\Delta t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $|v_{av}|\leq\bar v$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. این نامساوی برایِ هر نوع حرکتی (با یا بدونِ تغییرِ جهت، با یا بدونِ شتابِ ثابت) همواره برقرار است. «$v_{av}=\bar v$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» فقط در حالتِ خاصِ عدمِ تغییرِ جهت درست است، نه همیشه. «$|v_{av}|\geq\bar v$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» و «$v_{av}\geq\bar v$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» مستقیماً با نامساویِ بنیادیِ مسافت$\geq$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی|جابجایی| در تناقضند. تلهٔ تستی: تساوی $v_{av}=\bar v$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط زمانی برقرار است که مسیر کاملاً یک‌جهته باشد (بدونِ هیچ تغییرِ جهتی)؛ در غیرِ این صورت، تندیِ متوسط همیشه بزرگ‌تر از بزرگیِ سرعتِ متوسط است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«مسافت طی‌شده در هر بازه ثابت است، بنابراین نسبت $1:1:1:…$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است» درست است. در حرکتِ یکنواخت (سرعتِ ثابتِ $v$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، مسافتِ هر بازهٔ زمانیِ $\Delta t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه دقیقاً $v\Delta t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است — مستقل از اینکه این بازه کجایِ حرکت واقع شده باشد. پس مسافتِ بازه‌هایِ متوالیِ هم‌طول همیشه با هم برابرند. «نسبتِ اعدادِ فرد $1:3:5:…$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» و «نسبتِ مربعاتِ کامل $1:4:9:…$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» مربوط به حرکت با شتابِ ثابت (از سکون) هستند، نه حرکتِ یکنواخت. «نسبت به سرعتِ اولیه بستگی دارد» نادرست است چون نسبت همیشه $1:1:1:…$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، صرف‌نظر از مقدارِ $v$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. تلهٔ تستی: الگویِ «$1:3:5:…$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» مخصوصِ شتابِ ثابت از حالتِ سکون است؛ نباید آن را با حرکتِ یکنواخت (که اصلاً شتاب ندارد) اشتباه گرفت.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$l \geq |\vec{d}|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. مسافت (طولِ کلِ مسیرِ طی‌شده) همیشه بزرگ‌تر یا مساویِ بزرگیِ جابجایی است؛ تساوی فقط وقتی برقرار است که مسیر کاملاً یک‌جهته باشد (بدونِ هیچ تغییرِ جهتی). این نامساوی برایِ هر نوع حرکتی — با یا بدونِ شتابِ ثابت — همواره صادق است. «$l=|\vec d|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» فقط در حالتِ خاصِ عدمِ تغییرِ جهت درست است، نه همیشه. «$l\leq|\vec d|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» مستقیماً با تعریفِ مسافت در تناقض است (مسافت هرگز کوچک‌تر از بزرگیِ جابجایی نیست). «گاهی $l<|\vec d|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» هم به همین دلیل غلط است. تلهٔ تستی: مسافت مجموعِ طولِ کلِ مسیر (همیشه مثبت و انباشتی) است، در حالی‌که جابجایی فقط فاصلهٔ مستقیمِ نقطهٔ شروع تا پایان را اندازه می‌گیرد؛ به همین دلیل ریاضی، مسافت هرگز نمی‌تواند از بزرگیِ جابجایی کمتر باشد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$v_{av} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. این عبارت خودِ تعریفِ بنیادیِ سرعتِ متوسط است و برایِ هر نوع حرکتی (با یا بدونِ شتابِ ثابت) همیشه صادق است. «$\frac{v_0-v}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» با علامتِ نادرست ساخته شده (فرمولِ درست، که آن هم فقط برایِ شتابِ ثابت معتبر است، $\frac{v_0+v}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه تفاضل). «$\frac{l}{\Delta t}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» تندیِ متوسط است (با $l$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی=مسافت)، نه سرعتِ متوسط؛ این دو فقط وقتی برابرند که حرکت یک‌جهته باشد. «$v_{av}=v$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» فقط وقتی درست است که شتاب صفر باشد. تلهٔ تستی: رابطهٔ $v_{av}=\frac{v_0+v}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک نتیجهٔ خاصِ شتابِ ثابت است، نه تعریف؛ تعریفِ بنیادی همیشه $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است که مستقل از هر پیش‌فرضی معتبر می‌ماند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«جابجایی برابر $5-$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر است.» درست است. $x(t)=t^2-6t+5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. $x(0)=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $x(5)=25-30+5=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. جابجایی $=x(5)-x(0)=0-5=-5\,\text{m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برایِ مقایسه: $v(t)=2t-6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، صفر در $t=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $x(3)=9-18+5=-4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مسافتِ کل $=|{-4}-5|+|0-(-4)|=9+4=13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (نه $22$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ سرعتِ متوسط $=\frac{-5}{5}=-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (نه $0.4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ تندیِ متوسط $=\frac{13}{5}=2.6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (نه $4.4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) — پس سایرِ گزینه‌ها همگی نادرستند. تلهٔ تستی: جابجایی را می‌توان مستقیماً از $x(5)-x(0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی محاسبه کرد، بدونِ نیاز به دانستنِ لحظهٔ تغییرِ جهت؛ اما مسافت و تندیِ متوسط حتماً به این لحظه ($t=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) نیاز دارند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$0\,\text{m/s}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. با $v(t)=4t-12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x(0)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $x(t)=\int v\,dt=2t^2-12t=2t(t-6)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. جابجایی کل صفر می‌شود در $t=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $t=6\,\text{s}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (اولین لحظهٔ غیرِصفر). سرعتِ متوسط از $t=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تا $t=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $\bar v=\frac{x(6)-x(0)}{6-0}=\frac{0-0}{6}=0\,\text{m/s}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. «$-2\,\text{m/s}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی»، «$2\,\text{m/s}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» و «$-4\,\text{m/s}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از محاسبهٔ نادرستِ لحظهٔ بازگشتِ جابجایی به صفر یا خلطِ سرعتِ متوسط با سرعتِ لحظه‌ای حاصل می‌شوند. تلهٔ تستی: وقتی جابجاییِ ابتدا و انتهایِ یک بازه هر دو صفرند، سرعتِ متوسطِ آن بازه همیشه دقیقاً صفر است — فارغ از اینکه متحرک در میانِ بازه چه مسیرِ پیچیده‌ای طی کرده باشد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«شتاب $-4\,\text{m/s}^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، حرکت در جهت مثبت» درست است. خطِ $v-t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از $(0,10)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تا $(4,-6)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: شیب (شتاب) $=\frac{-6-10}{4}=-4\,\text{m/s}^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، که چون نمودار خطِ راست است، در همه‌جا (از جمله $t=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) همین مقدار ثابت است. سرعت در $t=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $v(2)=10+(-4)(2)=2\,\text{m/s}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که مثبت است، پس حرکت در جهتِ مثبت است. سایرِ گزینه‌ها با علامتِ نادرستِ شتاب یا محاسبهٔ اشتباهِ $v(2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ساخته می‌شوند. تلهٔ تستی: چون نمودارِ $v-t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خطِ راست است، شتاب در همهٔ لحظات یکسان است ($-4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ نیازی به محاسبهٔ جداگانهٔ شتاب در $t=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیست، فقط جهتِ حرکت (علامتِ $v$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) باید در آن لحظه بررسی شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$24$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» درست است. خط از $(0,2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تا $(4,10)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: سرعت همیشه مثبت است (از $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسد)، پس جابجایی برابرِ مساحتِ ذوزنقه است: $\frac{1}{2}(2+10)(4)=\frac{1}{2}(12)(4)=24\,\text{m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. «$12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی»، «$32$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» و «$48$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» از فراموش‌کردنِ ضریبِ $\frac{1}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا استفاده از فقط یکی از دو سرعت حاصل می‌شوند. تلهٔ تستی: مسافتِ زیرِ نمودارِ خطیِ $v-t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه مساحتِ ذوزنقه است ($\frac{1}{2}\times$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییمجموعِ دو قاعده$\times$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییارتفاع)؛ باید هر دو سرعتِ ابتدا و انتها لحاظ شوند.