حرکت شناسی (هنر)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«شتاب متوسط غیرصفر و سرعت متوسط صفر است.» درست است. سرعتِ متوسط $=\frac{\text{جابجایی}}{\Delta t}=\frac{0}{\Delta t}=0$ (طبقِ تعریف، همیشه). چون شتابِ لحظه‌ای در کلِ بازه ثابت و غیرصفر است، شتابِ متوسط هم دقیقاً همان مقدارِ ثابتِ غیرصفر است (میانگینِ یک تابعِ ثابت، خودِ همان مقدار است). «هر دو صفر» نادرست است چون شتاب صریحاً غیرصفر فرض شده. «شتاب صفر و سرعتِ متوسط غیرصفر» و «هر دو غیرصفر» هر دو با محاسبهٔ بالا در تناقضند. تلهٔ تستی: هرگاه جابجاییِ کلِ یک بازه صفر باشد، سرعتِ متوسط همیشه دقیقاً صفر است — این مستقل از مقدارِ شتاب است؛ نمونهٔ عینی: گلوله‌ای که پرتاب و در همان ارتفاع دوباره گرفته می‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$\Delta x = l$ و $v_{av} = \bar{v}$» درست است. در حرکتِ یکنواخت با سرعتِ ثابت $v$ (نه فقط اندازه، بلکه جهتِ حرکت هم هرگز عوض نمی‌شود)، متحرک هرگز تغییرِ جهت نمی‌دهد؛ پس اندازهٔ جابجایی همیشه دقیقاً با مسافتِ پیموده‌شده برابر است ($|\Delta x|=l$)، نه صرفاً کوچک‌تر یا مساوی. به همین دلیل سرعتِ متوسط و تندیِ متوسط هم همیشه برابرند. «$\Delta x \leq l$ و $v_{av} = \bar{v}$» فقط رابطهٔ عمومیِ هر نوع حرکتی را تکرار می‌کند (که شاملِ حالتِ رفت‌وبرگشت هم می‌شود)؛ در حرکتِ با سرعتِ کاملاً ثابت، این نامساوی همیشه به تساوی می‌رسد و رابطهٔ دقیق‌تر ($=$) درست‌تر و کامل‌تر است. «$\Delta x \geq l$» هرگز درست نیست چون مسافت همیشه حداقل به‌اندازهٔ جابجایی است. «$\Delta x = l$ و $v_{av} \leq \bar{v}$» بخشِ دومش نادرست است. تلهٔ تستی: قیدِ «سرعتِ ثابت» (نه فقط تندیِ ثابت) یعنی جهت هم عوض نمی‌شود؛ این دقیقاً همان قیدی است که رابطهٔ عمومیِ $l\geq|\Delta x|$ را به تساویِ محض تبدیل می‌کند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$|v_{av}| \leq \bar{v}$» درست است. همیشه $|\text{جابجایی}| \leq \text{مسافت}$ (تساوی فقط وقتی حرکت یک‌جهته باشد). با تقسیمِ هر دو طرف بر $\Delta t$: $|v_{av}|\leq\bar v$. این نامساوی برایِ هر نوع حرکتی (با یا بدونِ تغییرِ جهت، با یا بدونِ شتابِ ثابت) همواره برقرار است. «$v_{av}=\bar v$» فقط در حالتِ خاصِ عدمِ تغییرِ جهت درست است، نه همیشه. «$|v_{av}|\geq\bar v$» و «$v_{av}\geq\bar v$» مستقیماً با نامساویِ بنیادیِ مسافت$\geq$|جابجایی| در تناقضند. تلهٔ تستی: تساوی $v_{av}=\bar v$ فقط زمانی برقرار است که مسیر کاملاً یک‌جهته باشد (بدونِ هیچ تغییرِ جهتی)؛ در غیرِ این صورت، تندیِ متوسط همیشه بزرگ‌تر از بزرگیِ سرعتِ متوسط است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«مسافت طی‌شده در هر بازه ثابت است، بنابراین نسبت $1:1:1:…$ است» درست است. در حرکتِ یکنواخت (سرعتِ ثابتِ $v$)، مسافتِ هر بازهٔ زمانیِ $\Delta t$ همیشه دقیقاً $v\Delta t$ است — مستقل از اینکه این بازه کجایِ حرکت واقع شده باشد. پس مسافتِ بازه‌هایِ متوالیِ هم‌طول همیشه با هم برابرند. «نسبتِ اعدادِ فرد $1:3:5:…$» و «نسبتِ مربعاتِ کامل $1:4:9:…$» مربوط به حرکت با شتابِ ثابت (از سکون) هستند، نه حرکتِ یکنواخت. «نسبت به سرعتِ اولیه بستگی دارد» نادرست است چون نسبت همیشه $1:1:1:…$ است، صرف‌نظر از مقدارِ $v$. تلهٔ تستی: الگویِ «$1:3:5:…$» مخصوصِ شتابِ ثابت از حالتِ سکون است؛ نباید آن را با حرکتِ یکنواخت (که اصلاً شتاب ندارد) اشتباه گرفت.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$l \geq |\vec{d}|$» درست است. مسافت (طولِ کلِ مسیرِ طی‌شده) همیشه بزرگ‌تر یا مساویِ بزرگیِ جابجایی است؛ تساوی فقط وقتی برقرار است که مسیر کاملاً یک‌جهته باشد (بدونِ هیچ تغییرِ جهتی). این نامساوی برایِ هر نوع حرکتی — با یا بدونِ شتابِ ثابت — همواره صادق است. «$l=|\vec d|$» فقط در حالتِ خاصِ عدمِ تغییرِ جهت درست است، نه همیشه. «$l\leq|\vec d|$» مستقیماً با تعریفِ مسافت در تناقض است (مسافت هرگز کوچک‌تر از بزرگیِ جابجایی نیست). «گاهی $l<|\vec d|$» هم به همین دلیل غلط است. تلهٔ تستی: مسافت مجموعِ طولِ کلِ مسیر (همیشه مثبت و انباشتی) است، در حالی‌که جابجایی فقط فاصلهٔ مستقیمِ نقطهٔ شروع تا پایان را اندازه می‌گیرد؛ به همین دلیل ریاضی، مسافت هرگز نمی‌تواند از بزرگیِ جابجایی کمتر باشد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$v_{av} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$» درست است. این عبارت خودِ تعریفِ بنیادیِ سرعتِ متوسط است و برایِ هر نوع حرکتی (با یا بدونِ شتابِ ثابت) همیشه صادق است. «$\frac{v_0-v}{2}$» با علامتِ نادرست ساخته شده (فرمولِ درست، که آن هم فقط برایِ شتابِ ثابت معتبر است، $\frac{v_0+v}{2}$ است، نه تفاضل). «$\frac{l}{\Delta t}$» تندیِ متوسط است (با $l$=مسافت)، نه سرعتِ متوسط؛ این دو فقط وقتی برابرند که حرکت یک‌جهته باشد. «$v_{av}=v$» فقط وقتی درست است که شتاب صفر باشد. تلهٔ تستی: رابطهٔ $v_{av}=\frac{v_0+v}{2}$ یک نتیجهٔ خاصِ شتابِ ثابت است، نه تعریف؛ تعریفِ بنیادی همیشه $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ است که مستقل از هر پیش‌فرضی معتبر می‌ماند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«جابجایی برابر $5-$ متر است.» درست است. $x(t)=t^2-6t+5$. $x(0)=5$، $x(5)=25-30+5=0$. جابجایی $=x(5)-x(0)=0-5=-5\,\text{m}$. برایِ مقایسه: $v(t)=2t-6$، صفر در $t=3$؛ $x(3)=9-18+5=-4$. مسافتِ کل $=|{-4}-5|+|0-(-4)|=9+4=13$ (نه $22$)؛ سرعتِ متوسط $=\frac{-5}{5}=-1$ (نه $0.4$)؛ تندیِ متوسط $=\frac{13}{5}=2.6$ (نه $4.4$) — پس سایرِ گزینه‌ها همگی نادرستند. تلهٔ تستی: جابجایی را می‌توان مستقیماً از $x(5)-x(0)$ محاسبه کرد، بدونِ نیاز به دانستنِ لحظهٔ تغییرِ جهت؛ اما مسافت و تندیِ متوسط حتماً به این لحظه ($t=3$) نیاز دارند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$0\,\text{m/s}$» درست است. با $v(t)=4t-12$ و $x(0)=0$: $x(t)=\int v\,dt=2t^2-12t=2t(t-6)$. جابجایی کل صفر می‌شود در $t=0$ و $t=6\,\text{s}$ (اولین لحظهٔ غیرِصفر). سرعتِ متوسط از $t=0$ تا $t=6$: $\bar v=\frac{x(6)-x(0)}{6-0}=\frac{0-0}{6}=0\,\text{m/s}$. «$-2\,\text{m/s}$»، «$2\,\text{m/s}$» و «$-4\,\text{m/s}$» از محاسبهٔ نادرستِ لحظهٔ بازگشتِ جابجایی به صفر یا خلطِ سرعتِ متوسط با سرعتِ لحظه‌ای حاصل می‌شوند. تلهٔ تستی: وقتی جابجاییِ ابتدا و انتهایِ یک بازه هر دو صفرند، سرعتِ متوسطِ آن بازه همیشه دقیقاً صفر است — فارغ از اینکه متحرک در میانِ بازه چه مسیرِ پیچیده‌ای طی کرده باشد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«شتاب $-4\,\text{m/s}^2$، حرکت در جهت مثبت» درست است. خطِ $v-t$ از $(0,10)$ تا $(4,-6)$: شیب (شتاب) $=\frac{-6-10}{4}=-4\,\text{m/s}^2$، که چون نمودار خطِ راست است، در همه‌جا (از جمله $t=2$) همین مقدار ثابت است. سرعت در $t=2$: $v(2)=10+(-4)(2)=2\,\text{m/s}$ که مثبت است، پس حرکت در جهتِ مثبت است. سایرِ گزینه‌ها با علامتِ نادرستِ شتاب یا محاسبهٔ اشتباهِ $v(2)$ ساخته می‌شوند. تلهٔ تستی: چون نمودارِ $v-t$ خطِ راست است، شتاب در همهٔ لحظات یکسان است ($-4$)؛ نیازی به محاسبهٔ جداگانهٔ شتاب در $t=2$ نیست، فقط جهتِ حرکت (علامتِ $v$) باید در آن لحظه بررسی شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$24$» درست است. خط از $(0,2)$ تا $(4,10)$: سرعت همیشه مثبت است (از $2$ به $10$ می‌رسد)، پس جابجایی برابرِ مساحتِ ذوزنقه است: $\frac{1}{2}(2+10)(4)=\frac{1}{2}(12)(4)=24\,\text{m}$. «$12$»، «$32$» و «$48$» از فراموش‌کردنِ ضریبِ $\frac{1}{2}$ یا استفاده از فقط یکی از دو سرعت حاصل می‌شوند. تلهٔ تستی: مسافتِ زیرِ نمودارِ خطیِ $v-t$ همیشه مساحتِ ذوزنقه است ($\frac{1}{2}\times$مجموعِ دو قاعده$\times$ارتفاع)؛ باید هر دو سرعتِ ابتدا و انتها لحاظ شوند.