انرژی (هنر)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

ابتدا $54\text{ km/h}=\frac{54}{3.6}=15\text{ m/s}$. سپس $K=\frac{1}{2}(840)(15)^2=420\times225=94500\text{ J}=9.45\times10^4\text{ J}$. تله تستی: انرژی جنبشی با *مربع* تندی متناسب است ($K\propto v^2$)؛ اگر تندی $n$ برابر شود، $K$ به‌اندازه‌ی $n^2$ برابر می‌شود نه $n$ برابر — این تناسبِ درجه‌دوم، رایج‌ترین منبعِ خطای محاسباتی در مسائلِ انرژی جنبشی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از $W=Fd\cos\theta$ داریم $W=(200)(10)\cos30^\circ=2000\times\frac{\sqrt3}{2}\approx1732\text{ J}\approx1.73\times10^3\text{ J}$. تله تستی: فقط مؤلفه‌ی نیرو *در راستای جابه‌جایی* ($F\cos\theta$) در محاسبه‌ی کار نقش دارد؛ استفاده از اندازه‌ی کاملِ نیرو (بدونِ ضرب در $\cos\theta$) یا اشتباه‌گرفتنِ $\sin\theta$ به‌جای $\cos\theta$، رایج‌ترین خطای این نوع مسئله است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

ابتدا $K_1=\frac{1}{2}(0.450)(20)^2=90.0\text{ J}$ و $K_2=\frac{1}{2}(0.450)(18)^2=72.9\text{ J}$. پس $W_t=K_2-K_1=72.9-90.0=-17.1\text{ J}$. تله تستی: انرژی جنبشی با *مربع* تندی متناسب است ($K\propto v^2$)؛ اگر تندی $n$ برابر شود، $K$ به‌اندازه‌ی $n^2$ برابر می‌شود نه $n$ برابر — این تناسبِ درجه‌دوم، رایج‌ترین منبعِ خطای محاسباتی در مسائلِ انرژی جنبشی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از رابطه $U=mgh$ داریم $U=(5)(9.8)(4)=196\text{ J}$. تله تستی: انرژی جنبشی با *مربع* تندی متناسب است ($K\propto v^2$)؛ اگر تندی $n$ برابر شود، $K$ به‌اندازه‌ی $n^2$ برابر می‌شود نه $n$ برابر — این تناسبِ درجه‌دوم، رایج‌ترین منبعِ خطای محاسباتی در مسائلِ انرژی جنبشی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

داریم $W_{\text{وزن}}=-\Delta U=mg(h_1-h_2)=(3)(9.8)(8-3)=147\text{ J}$. چون جسم پایین آمده، کار وزن مثبت است. تله تستی: انرژی جنبشی با *مربع* تندی متناسب است ($K\propto v^2$)؛ اگر تندی $n$ برابر شود، $K$ به‌اندازه‌ی $n^2$ برابر می‌شود نه $n$ برابر — این تناسبِ درجه‌دوم، رایج‌ترین منبعِ خطای محاسباتی در مسائلِ انرژی جنبشی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از تعریف توان متوسط $P=\frac{W}{\Delta t}$ داریم $P=\frac{1.01\times10^5}{3.0}\approx3.37\times10^4\text{ W}\approx3.4\times10^4\text{ W}$. تله تستی: انرژی جنبشی با *مربع* تندی متناسب است ($K\propto v^2$)؛ اگر تندی $n$ برابر شود، $K$ به‌اندازه‌ی $n^2$ برابر می‌شود نه $n$ برابر — این تناسبِ درجه‌دوم، رایج‌ترین منبعِ خطای محاسباتی در مسائلِ انرژی جنبشی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

کار موتور $W=mgh=(500)(9.8)(6)=29400\text{ J}$ است. بنابراین $P=\frac{29400}{10}=2940\text{ W}=2.94\times10^3\text{ W}$. تله تستی: انرژی جنبشی با *مربع* تندی متناسب است ($K\propto v^2$)؛ اگر تندی $n$ برابر شود، $K$ به‌اندازه‌ی $n^2$ برابر می‌شود نه $n$ برابر — این تناسبِ درجه‌دوم، رایج‌ترین منبعِ خطای محاسباتی در مسائلِ انرژی جنبشی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

انرژی ورودی $E_{in}=P\Delta t=15000\times1=15000\text{ J}$ و انرژی خروجی مفید $E_{out}=mgh=(70)(9.8)(15)=10290\text{ J}$ است. پس $\eta=\frac{10290}{15000}\times100\approx68\%$. تله تستی: بازده همیشه به‌صورتِ نسبتِ انرژی/توانِ *خروجیِ مفید* به *ورودی* تعریف می‌شود ($\eta=E_{\text{خروجی}}/E_{\text{ورودی}}$) و همواره کمتر از $100\%$ است؛ معکوس‌کردنِ این نسبت (تقسیمِ ورودی بر خروجی) یا ضرب‌کردن به‌جای تقسیم، رایج‌ترین خطای مسائلِ بازده است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

بازده کل حاصل‌ضرب بازده‌های کسری است: $\eta_{کل}=0.35\times0.90\times0.05=0.01575$. با تبدیل به درصد: $1.575\%\approx1.6\%$. تله تستی: بازدهِ کلِ یک زنجیره از *ضربِ* بازده‌های تک‌تکِ مراحل به‌دست می‌آید ($\eta_{\text{کل}}=\eta_1\times\eta_2\times\cdots$)، نه از جمعِ آن‌ها یا میانگین‌گیری؛ همین ضربِ ساده باعث می‌شود بازدهِ کل همیشه از کوچک‌ترینِ بازده‌های مرحله‌ای هم کمتر باشد — نکته‌ای که در زنجیره‌های واقعی (مثلِ نیروگاه تا لامپ) اغلب غافلگیرکننده است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

در مثال چترباز، $W_{\text{وزن}}$ بسیار بزرگ و مثبت است، اما $W_{\text{مقاومت}}$ تقریباً به همان اندازه و منفی است؛ پس جمع آن‌ها یعنی کار کل کوچک می‌شود و تغییر $K$ نیز کوچک می‌ماند. تله تستی: انرژی جنبشی با *مربع* تندی متناسب است ($K\propto v^2$)؛ اگر تندی $n$ برابر شود، $K$ به‌اندازه‌ی $n^2$ برابر می‌شود نه $n$ برابر — این تناسبِ درجه‌دوم، رایج‌ترین منبعِ خطای محاسباتی در مسائلِ انرژی جنبشی است.