کار، انرژی و قانون پایستگی (هنر)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

ابتدا $54\text{ km/h}=\frac{54}{3.6}=15\text{ m/s}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. سپس $K=\frac{1}{2}(840)(15)^2=420\times225=94500\text{ J}=9.45\times10^4\text{ J}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. تله تستی: انرژی جنبشی با *مربع* تندی متناسب است ($K\propto v^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ اگر تندی $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر شود، $K$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌اندازه‌ی $n^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر می‌شود نه $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر — این تناسبِ درجه‌دوم، رایج‌ترین منبعِ خطای محاسباتی در مسائلِ انرژی جنبشی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از $W=Fd\cos\theta$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $W=(200)(10)\cos30^\circ=2000\times\frac{\sqrt3}{2}\approx1732\text{ J}\approx1.73\times10^3\text{ J}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. تله تستی: فقط مؤلفه‌ی نیرو *در راستای جابه‌جایی* ($F\cos\theta$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) در محاسبه‌ی کار نقش دارد؛ استفاده از اندازه‌ی کاملِ نیرو (بدونِ ضرب در $\cos\theta$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) یا اشتباه‌گرفتنِ $\sin\theta$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌جای $\cos\theta$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، رایج‌ترین خطای این نوع مسئله است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

ابتدا $K_1=\frac{1}{2}(0.450)(20)^2=90.0\text{ J}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $K_2=\frac{1}{2}(0.450)(18)^2=72.9\text{ J}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس $W_t=K_2-K_1=72.9-90.0=-17.1\text{ J}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. تله تستی: انرژی جنبشی با *مربع* تندی متناسب است ($K\propto v^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ اگر تندی $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر شود، $K$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌اندازه‌ی $n^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر می‌شود نه $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر — این تناسبِ درجه‌دوم، رایج‌ترین منبعِ خطای محاسباتی در مسائلِ انرژی جنبشی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از رابطه $U=mgh$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $U=(5)(9.8)(4)=196\text{ J}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. تله تستی: انرژی جنبشی با *مربع* تندی متناسب است ($K\propto v^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ اگر تندی $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر شود، $K$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌اندازه‌ی $n^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر می‌شود نه $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر — این تناسبِ درجه‌دوم، رایج‌ترین منبعِ خطای محاسباتی در مسائلِ انرژی جنبشی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

داریم $W_{\text{وزن}}=-\Delta U=mg(h_1-h_2)=(3)(9.8)(8-3)=147\text{ J}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. چون جسم پایین آمده، کار وزن مثبت است. تله تستی: انرژی جنبشی با *مربع* تندی متناسب است ($K\propto v^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ اگر تندی $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر شود، $K$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌اندازه‌ی $n^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر می‌شود نه $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر — این تناسبِ درجه‌دوم، رایج‌ترین منبعِ خطای محاسباتی در مسائلِ انرژی جنبشی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از تعریف توان متوسط $P=\frac{W}{\Delta t}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $P=\frac{1.01\times10^5}{3.0}\approx3.37\times10^4\text{ W}\approx3.4\times10^4\text{ W}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. تله تستی: انرژی جنبشی با *مربع* تندی متناسب است ($K\propto v^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ اگر تندی $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر شود، $K$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌اندازه‌ی $n^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر می‌شود نه $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر — این تناسبِ درجه‌دوم، رایج‌ترین منبعِ خطای محاسباتی در مسائلِ انرژی جنبشی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

کار موتور $W=mgh=(500)(9.8)(6)=29400\text{ J}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. بنابراین $P=\frac{29400}{10}=2940\text{ W}=2.94\times10^3\text{ W}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. تله تستی: انرژی جنبشی با *مربع* تندی متناسب است ($K\propto v^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ اگر تندی $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر شود، $K$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌اندازه‌ی $n^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر می‌شود نه $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر — این تناسبِ درجه‌دوم، رایج‌ترین منبعِ خطای محاسباتی در مسائلِ انرژی جنبشی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

انرژی ورودی $E_{in}=P\Delta t=15000\times1=15000\text{ J}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و انرژی خروجی مفید $E_{out}=mgh=(70)(9.8)(15)=10290\text{ J}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. پس $\eta=\frac{10290}{15000}\times100\approx68\%$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. تله تستی: بازده همیشه به‌صورتِ نسبتِ انرژی/توانِ *خروجیِ مفید* به *ورودی* تعریف می‌شود ($\eta=E_{\text{خروجی}}/E_{\text{ورودی}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و همواره کمتر از $100\%$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ معکوس‌کردنِ این نسبت (تقسیمِ ورودی بر خروجی) یا ضرب‌کردن به‌جای تقسیم، رایج‌ترین خطای مسائلِ بازده است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

بازده کل حاصل‌ضرب بازده‌های کسری است: $\eta_{کل}=0.35\times0.90\times0.05=0.01575$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. با تبدیل به درصد: $1.575\%\approx1.6\%$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. تله تستی: بازدهِ کلِ یک زنجیره از *ضربِ* بازده‌های تک‌تکِ مراحل به‌دست می‌آید ($\eta_{\text{کل}}=\eta_1\times\eta_2\times\cdots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، نه از جمعِ آن‌ها یا میانگین‌گیری؛ همین ضربِ ساده باعث می‌شود بازدهِ کل همیشه از کوچک‌ترینِ بازده‌های مرحله‌ای هم کمتر باشد — نکته‌ای که در زنجیره‌های واقعی (مثلِ نیروگاه تا لامپ) اغلب غافلگیرکننده است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

در مثال چترباز، $W_{\text{وزن}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بسیار بزرگ و مثبت است، اما $W_{\text{مقاومت}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تقریباً به همان اندازه و منفی است؛ پس جمع آن‌ها یعنی کار کل کوچک می‌شود و تغییر $K$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیز کوچک می‌ماند. تله تستی: انرژی جنبشی با *مربع* تندی متناسب است ($K\propto v^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ اگر تندی $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر شود، $K$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌اندازه‌ی $n^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر می‌شود نه $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر — این تناسبِ درجه‌دوم، رایج‌ترین منبعِ خطای محاسباتی در مسائلِ انرژی جنبشی است.