پرش به محتوای اصلی

مغناطیس و القای الکترومغناطیسی (هنر)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ای از درسنامه‌ی کامل است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

مغناطیس (هنر)

یک ایده، سه ابزار آشنا

بلندگو، میکروفون داینامیک و پیکاپِ گیتار برقی سه چهرهٔ یک ایده‌اند: آهنربا و سیم‌پیچ در برابر هم. در بلندگو، جریانِ صدا از سیم‌پیچی می‌گذرد که در میدان آهنربا نشسته است و نیروی مغناطیسی دیافراگم را می‌لرزاند. در میکروفون و پیکاپ، ماجرا برعکس است: چیزی می‌لرزد، شار مغناطیسیِ سیم‌پیچ تغییر می‌کند و جریان زاده می‌شود. این فصل همین رفت‌وبرگشت میان جریان و مغناطیس را می‌سازد.

آهنربا و میدان مغناطیسی

هر آهنربا دو قطب دارد: شمال (N) و جنوب (S)؛ قطب‌های هم‌نام یکدیگر را می‌رانند و ناهم‌نام می‌ربایند.

مهم‌ترین تفاوت با الکتریسیته: بار مثبت و منفی جداگانه وجود دارند، اما تک‌قطب مغناطیسی هرگز دیده نشده است. آهنربا را که نصف کنی، هر نیمه خودش آهنربایی کامل با دو قطب می‌شود:

∮B⃗⋅dA⃗=0\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین

خطوط میدان مغناطیسی: بیرون آهنربا از N به S و درون آن از S به N؛ هر خط یک حلقهٔ بسته است (برخلاف خطوط میدان الکتریکی که باز است)، خطوط یکدیگر را قطع نمی‌کنند و تراکم بیشترشان یعنی میدان قوی‌تر.

ویژگی میدان الکتریکی E⃗\vec{E}ادامهٔ فرمول را افقی ببین میدان مغناطیسی B⃗\vec{B}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
منشأ بار الکتریکی جریان الکتریکی / آهنربا
یکا N/CN/Cادامهٔ فرمول را افقی ببین یا V/mV/mادامهٔ فرمول را افقی ببین تسلا (T)(T)ادامهٔ فرمول را افقی ببین
اثر بر بار ساکن دارد ندارد
خطوط میدان باز، از + به −-ادامهٔ فرمول را افقی ببین حلقهٔ بسته
تک‌قطبی ممکن ناممکن

یکای میدان تسلا است و 1 T=104 G1\, T = 10^4\, Gادامهٔ فرمول را افقی ببین. برای حس اندازه‌ها: میدان زمین حدود 50 μT50\, \mu Tادامهٔ فرمول را افقی ببین، آهنربای میله‌ای کوچک 0.010.01ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا 0.1 T0.1\, Tادامهٔ فرمول را افقی ببین و آهنربای MRI میان 1.51.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا 3 T3\, Tادامهٔ فرمول را افقی ببین.

جریان، میدان می‌سازد

کشف اورستد (۱۸۲۰): جریان الکتریکی عقربهٔ مغناطیسی را منحرف می‌کند — نخستین نشانهٔ پیوند الکتریسیته و مغناطیس، که راه را به آمپر، فارادی و سرانجام ماکسول باز کرد.

منبع محل رابطه
سیم مستقیم بلند فاصلهٔ rrادامهٔ فرمول را افقی ببین B=μ0I2πrB = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
حلقهٔ دایروی (NNادامهٔ فرمول را افقی ببین دور) مرکز B=μ0NI2RB = \dfrac{\mu_0 N I}{2R}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
سیملوله (NNادامهٔ فرمول را افقی ببین دور، طول llادامهٔ فرمول را افقی ببین) درون B=μ0NlIB = \mu_0 \dfrac{N}{l} Iادامهٔ فرمول را افقی ببین

که μ0=4π×10−7 T⋅m/A\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, T \cdot m/Aادامهٔ فرمول را افقی ببین است. خطوط میدان سیمِ مستقیم، دایره‌های هم‌مرکز پیرامون سیم‌اند؛ جهتشان را با قاعدهٔ دست راست می‌یابی: شست در جهت جریان، خم شدن چهار انگشت جهت میدان.

میدان درون سیملولهٔ آرمانی یکنواخت و بیرون آن تقریباً صفر است. اگر درونش هستهٔ آهنی بگذاری، میدان به‌شدت تقویت می‌شود: آهنربای الکتریکی — که می‌توان خاموش و روشنش کرد، شدتش را با جریان تنظیم کرد و با معکوس کردن جریان قطبیتش را برگرداند.

میدان، به جریان نیرو می‌زند

بر سیم حامل جریان در میدان:

F=BIlsin⁡θ\boxed{F = BIl\sin\theta}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

و بر بار متحرک:

F=∣q∣vBsin⁡θF⃗=q(v⃗×B⃗)\boxed{F = |q|vB\sin\theta} \qquad \vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})ادامهٔ فرمول را افقی ببین

θ\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین زاویهٔ میان جهت حرکت (یا جریان) و میدان است. اگر حرکت موازی میدان باشد نیرو صفر و اگر عمود باشد نیرو بیشینه است. جهت نیرو با قاعدهٔ دست راست به دست می‌آید و برای بار منفی معکوس می‌شود.

دو سیم موازی هم از راه میدانِ یکدیگر بر هم نیرو وارد می‌کنند: جریان‌های هم‌جهت یکدیگر را می‌ربایند و ضدجهت می‌رانند.

Fl=μ0I1I22πd\frac{F}{l} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

نکتهٔ کلیدی: نیروی مغناطیسی هرگز کار انجام نمی‌دهد، چون همیشه عمود بر سرعت است؛ پس تندی و انرژی جنبشی بار ثابت می‌ماند و فقط مسیرش خم می‌شود.

حرکت بار در میدان یکنواخت

وقتی بار عمود بر میدان وارد شود، نیروی مغناطیسی نقش نیروی مرکزگرا را بازی می‌کند:

∣q∣vB=mv2r⇒r=mv∣q∣B|q|vB = \frac{mv^2}{r} \quad \Rightarrow \quad \boxed{r = \frac{mv}{|q|B}}ادامهٔ فرمول را افقی ببینT=2πm∣q∣Bfc=∣q∣B2πmT = \frac{2\pi m}{|q|B} \qquad f_c = \frac{|q|B}{2\pi m}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

نکتهٔ شگفت‌انگیز اینکه دورهٔ تناوب به تندی بستگی ندارد — پایهٔ کار سیکلوترون. اگر سرعت زاویه‌ای دلخواه با میدان بسازد، مؤلفهٔ عمود حرکت دایره‌ای و مؤلفهٔ موازی حرکت مستقیم می‌دهد و مسیر مارپیچ می‌شود؛ همان تلهٔ مغناطیسی زمین که شفق قطبی را می‌سازد.

اگر میدان الکتریکی و مغناطیسی را چنان بچینیم که نیروهایشان یکدیگر را خنثی کنند، فقط ذراتی مستقیم عبور می‌کنند که:

v=EB\boxed{v = \frac{E}{B}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

گشتاور روی حلقه: از گالوانومتر تا موتور

حلقه‌ای با NNادامهٔ فرمول را افقی ببین دور و مساحت AAادامهٔ فرمول را افقی ببین که جریان IIادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌برد، در میدان یکنواخت گشتاور می‌گیرد:

τ=NIABsin⁡α\boxed{\tau = NIAB\sin\alpha}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

گشتاور وقتی بیشینه است که صفحهٔ حلقه موازی میدان باشد و وقتی صفر است که عمودِ صفحه در راستای میدان بیفتد. گالوانومتر بر همین اصل کار می‌کند: جریان بیشتر، گشتاور بیشتر، انحراف بیشتر عقربه؛ فنری هم تعادل را برمی‌گرداند.

در موتور DC مشکل این است که حلقه در وضع تعادل گشتاورش صفر می‌شود و می‌ایستد؛ راه‌حل کموتاتور است که هر نیم‌دور جهت جریان را برمی‌گرداند تا گشتاور همیشه در یک جهت بماند.

مواد در برابر میدان

هر اتم به‌سبب گردش و اسپین الکترون، خودش یک دوقطبی مغناطیسی کوچک است. بر همین پایه:

نوع دوقطبی ذاتی رفتار در میدان بیرونی ماندگار؟
دیامغناطیس ندارد ضعیف، در خلاف جهت میدان خیر
پارامغناطیس دارد، اما بی‌نظم ضعیف، هم‌جهت میدان خیر
فرومغناطیس دارد، در حوزه‌های هم‌جهت قوی، هم‌جهت میدان بله

در مادهٔ فرومغناطیس (آهن، نیکل، کبالت) نواحی کوچکی به نام حوزهٔ مغناطیسی وجود دارد که درون هرکدام میلیاردها دوقطبی هم‌جهت‌اند؛ در میدان بیرونی، حوزه‌های هم‌جهت رشد می‌کنند. بالاتر از دمای کوری (770°C770°Cادامهٔ فرمول را افقی ببین برای آهن) بی‌نظمی گرمایی این نظم را می‌شکند و ماده پارامغناطیس می‌شود. آهن نرم پسماند کم دارد و به کار آهنربای الکتریکی می‌آید؛ فولاد پسماند زیاد دارد و آهنربای دائمی می‌شود. همین پسماند است که نوار کاست و هارددیسک را ممکن می‌کند: اطلاعات به‌صورت جهتِ مغناطیسیِ نواحی ریز ذخیره می‌شود.

شار مغناطیسی و القا

شار می‌گوید چه مقدار از میدان از یک سطح می‌گذرد:

Φ=BAcos⁡θ[وبر, 1 Wb=1 T⋅m2]\Phi = BA\cos\theta \qquad [\text{وبر},\ 1\,\text{Wb} = 1\,\text{T}\cdot\text{m}^2]ادامهٔ فرمول را افقی ببین

اگر B⃗\vec{B}ادامهٔ فرمول را افقی ببین عمود بر سطح باشد (θ=0°\theta = 0°ادامهٔ فرمول را افقی ببین) شار بیشینه و اگر موازی سطح باشد (θ=90°\theta = 90°ادامهٔ فرمول را افقی ببین) شار صفر است.

قانون القای فارادی: تغییرِ شار، نیروی محرکه می‌سازد.

E=−NΔΦΔtI=ER\boxed{\mathcal{E} = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}} \qquad I = \frac{\mathcal{E}}{R}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

چون Φ=BAcos⁡θ\Phi = BA\cos\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین، شار از سه راه تغییر می‌کند: تغییر میدان، تغییر مساحت (میلهٔ لغزنده) یا تغییر زاویه (چرخش پیچه — همان مولد برق).

قانون لنز (همان علامت منفی): جهت جریان القایی طوری است که با تغییرِ پدیدآورنده‌اش مخالفت کند. اگر شار زیاد شود، جریان القایی میدانی در خلاف جهت میدان اصلی می‌سازد و اگر کم شود، میدانی هم‌جهت. این قانون چیزی جز پایستگی انرژی نیست.

برای میلهٔ لغزنده به طول ℓ\ellادامهٔ فرمول را افقی ببین با تندی vvادامهٔ فرمول را افقی ببین عمود بر میدان:

∣E∣=Bℓv|\mathcal{E}| = B\ell vادامهٔ فرمول را افقی ببین

مولد، سلف و مبدل

پیچه‌ای با NNادامهٔ فرمول را افقی ببین دور و مساحت AAادامهٔ فرمول را افقی ببین که با سرعت زاویه‌ای ω\omegaادامهٔ فرمول را افقی ببین در میدان می‌چرخد:

E(t)=Emsin⁡(ωt)Em=NBAωω=2πf\mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_m\sin(\omega t) \qquad \mathcal{E}_m = NBA\omega \qquad \omega = 2\pi fادامهٔ فرمول را افقی ببین

در جریان متناوب، آنچه اندازه می‌گیریم مقدار مؤثر است:

Irms=Im2Vrms=Vm2I_{\text{rms}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \qquad V_{\text{rms}} = \frac{V_m}{\sqrt{2}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پس ۲۲۰ ولت برق شهر مقدار مؤثر است و بیشینه‌اش حدود 311 V311\,\text{V}ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ با f=50 Hzf = 50\,\text{Hz}ادامهٔ فرمول را افقی ببین دورهٔ تناوب T=20 msT = 20\,\text{ms}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود.

سلف (القاگر) انرژی را در میدان مغناطیسی ذخیره می‌کند، همان‌طور که خازن در میدان الکتریکی:

L=μ0N2lAU=12LI2L = \mu_0\frac{N^2}{l}A \qquad U = \frac{1}{2}LI^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مبدل (ترانسفورماتور) با القای متقابل کار می‌کند:

V2V1=N2N1I2I1=N1N2V1I1=V2I2\frac{V_2}{V_1} = \frac{N_2}{N_1} \qquad \frac{I_2}{I_1} = \frac{N_1}{N_2} \qquad V_1 I_1 = V_2 I_2ادامهٔ فرمول را افقی ببین

اگر N2>N1N_2 > N_1ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد ولتاژ بالا می‌رود (پله‌بالا) و اگر کمتر باشد پایین می‌آید (پله‌پایین).

دو نگاه فراتر

انرژی در خود میدان: همان‌طور که خازن انرژی را در میدان الکتریکی نگه می‌دارد، میدان مغناطیسی هم چگالی انرژی دارد:

uB=B22μ0u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

نور، خویشاوند همین فصل: ماکسول با کنار هم گذاشتن چهار قانون الکترومغناطیس نشان داد میدان الکتریکی و مغناطیسیِ متغیر یکدیگر را می‌زایند و موجی می‌سازند که با این تندی پیش می‌رود:

c=1μ0ϵ0=3×108 m/sc = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}} = 3 \times 10^8\, m/sادامهٔ فرمول را افقی ببین

این عدد دقیقاً سرعت نور بود — یعنی نور، رنگ و هر چه در عکاسی و نقاشی با آن سروکار داری، خودش موجی الکترومغناطیسی است.

دو نمونهٔ کوتاه

نمونهٔ ۱: سیمی به طول l=1.0 ml = 1.0\, mادامهٔ فرمول را افقی ببین که جریان I=5.0 AI = 5.0\, Aادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌برد، در میدان B=400 G=4.0×10−2 TB = 400\, G = 4.0\times10^{-2}\, Tادامهٔ فرمول را افقی ببین با زاویهٔ θ=30°\theta = 30°ادامهٔ فرمول را افقی ببین قرار دارد؛ نیروی وارد بر آن چقدر است؟

F=BIlsin⁡θ=(4.0×10−2)(5.0)(1.0)(0.5)=0.10 NF = BIl\sin\theta = (4.0 \times 10^{-2})(5.0)(1.0)(0.5) = 0.10\, Nادامهٔ فرمول را افقی ببین

نمونهٔ ۲: پیچه‌ای با N=1000N = 1000ادامهٔ فرمول را افقی ببین دور و مساحت A=50×10−4 m2A = 50\times10^{-4}\,\text{m}^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین عمود بر میدان است و میدان در Δt=0.010 s\Delta t = 0.010\,\text{s}ادامهٔ فرمول را افقی ببین از 0.040 T0.040\,\text{T}ادامهٔ فرمول را افقی ببین به −0.010 T-0.010\,\text{T}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسد؛ نیروی محرکهٔ القایی متوسط چقدر است؟

ΔΦ=(−0.050)(50×10−4)=−2.5×10−4 Wb\Delta\Phi = (-0.050)(50\times10^{-4}) = -2.5\times10^{-4}\,\text{Wb}ادامهٔ فرمول را افقی ببینE=−NΔΦΔt=−1000×−2.5×10−40.010=25 V\mathcal{E} = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = -1000\times\frac{-2.5\times10^{-4}}{0.010} = 25\,\text{V}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

خلاصهٔ فرمول‌ها

Fبار=∣q∣vBsin⁡θFسیم=BIlsin⁡θr=mv∣q∣BF_{بار} = |q|vB\sin\theta \qquad F_{سیم} = BIl\sin\theta \qquad r = \frac{mv}{|q|B}ادامهٔ فرمول را افقی ببینBسیم=μ0I2πrBحلقه=μ0NI2RBسیملوله=μ0NlIB_{سیم} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \qquad B_{حلقه} = \frac{\mu_0 NI}{2R} \qquad B_{سیملوله} = \mu_0 \frac{N}{l}Iادامهٔ فرمول را افقی ببینτ=NIABsin⁡αΦ=BAcos⁡θE=−NΔΦΔtE=Bℓv\tau = NIAB\sin\alpha \qquad \Phi = BA\cos\theta \qquad \mathcal{E} = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \qquad \mathcal{E} = B\ell vادامهٔ فرمول را افقی ببین

تله‌های رایج

۱. تک‌قطب مغناطیسی وجود ندارد؛ نصف‌کردن آهنربا دو آهنربای کامل می‌دهد.

۲. بر بار ساکن هیچ نیروی مغناطیسی وارد نمی‌شود، و نیروی مغناطیسی هرگز کار نمی‌کند.

۳. برای بار منفی جهت نیرو نسبت به قاعدهٔ دست راست معکوس می‌شود.

۴. شار وقتی صفر است که میدان موازی سطح باشد، نه عمود بر آن.

۵. قانون لنز با تغییرِ شار مخالفت می‌کند، نه با خود شار.

۶. مبدل با جریان مستقیم کار نمی‌کند، چون شار ثابت است و ΔΦ=0\Delta\Phi = 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

۷. در سیملوله B∝N/lB \propto N/lادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ پس کوتاه‌تر کردن سیملوله با همان تعداد دور، میدان را زیاد می‌کند.

سؤال تستی

۱۰ تست با پاسخنامه‌ی تحلیلی — برای دیدن بزن

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. ذره‌ای باردار با جرم mmادامهٔ فرمول را افقی ببین و بار q>0q>0ادامهٔ فرمول را افقی ببین با سرعت اولیه v0v_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین در راستای محور xxادامهٔ فرمول را افقی ببین به ناحیه‌ای از میدان مغناطیسی یکنواخت B⃗\vec{B}ادامهٔ فرمول را افقی ببین (در راستای zzادامهٔ فرمول را افقی ببین) وارد می‌شود. اگر ذره پس از طی دقیقاً نیم‌دایره از ناحیه خارج شود و تندی آن در لحظهٔ خروج هنوز v0v_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، کدام گزینه دربارهٔ میدان الکتریکی احتمالی درون این ناحیه درست است؟

  • هیچ میدان الکتریکی‌ای در ناحیه وجود ندارد؛ فقط میدان مغناطیسی باعث این مسیر دایروی شده است
  • میدان الکتریکی یکنواختی در راستای yyادامهٔ فرمول را افقی ببین وجود دارد که EB=v0\dfrac{E}{B}=v_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین را برقرار می‌کند
  • میدان الکتریکی یکنواختی در راستای xxادامهٔ فرمول را افقی ببین وجود دارد که EB=v0\dfrac{E}{B}=v_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین را برقرار می‌کند
  • میدان الکتریکی یکنواختی در راستای yyادامهٔ فرمول را افقی ببین وجود دارد که EB=v0sin⁡30∘\dfrac{E}{B}=v_0\sin30^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین را برقرار می‌کند

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «هیچ میدان الکتریکی‌ای در ناحیه وجود ندارد؛ فقط میدان مغناطیسی باعث این مسیر دایروی شده است» درست است. مسیر «دقیقاً نیم‌دایره» به‌معنای یک قوسِ دایرویِ خالص با شعاعِ ثابت است؛ چنین مسیری فقط زمانی رخ می‌دهد که تنها نیروی مغناطیسی (که همیشه عمود بر سرعت است و کاری انجام نمی‌دهد) حضور داشته باشد. اگر میدان الکتریکی غیرصفری هم حضور داشت، حرکت برآیند به‌صورت یک منحنی سیکلوئیدی (ترکیب رانش + دوران) می‌شد، نه یک قوسِ دایرویِ خالص؛ علاوه‌بر این، هر میدان الکتریکی که دقیقاً روی شرطِ انتخاب‌گر سرعت (E/B=vE/B=vادامهٔ فرمول را افقی ببین) نباشد، روی ذره کار انجام می‌دهد و تندی خروجی را از v0v_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین متفاوت می‌کند. گزینه‌های دیگر همگی فرض کرده‌اند میدان الکتریکی غیرصفری وجود دارد که با هندسهٔ «نیم‌دایرهٔ خالص» ناسازگار است. تلهٔ تستی: شرط E/B=vE/B=vادامهٔ فرمول را افقی ببین (انتخاب‌گر سرعت) فقط برای مسیر مستقیم‌الخط معتبر است، نه برای مسیر دایروی؛ اگر مسیر دایرویِ خالص باشد (نه سیکلوئیدی)، تنها تفسیرِ سازگار نبودِ میدان الکتریکی است.

2. یک حلقه دایروی به شعاع RRادامهٔ فرمول را افقی ببین حامل جریان IIادامهٔ فرمول را افقی ببین درون یک میدان مغناطیسی یکنواخت B⃗\vec{B}ادامهٔ فرمول را افقی ببین قرار دارد. اگر صفحه حلقه با میدان زاویه α\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین بسازد، گشتاور نیروی وارد بر حلقه کدام است؟

  • I(πR2)Bcos⁡αI(\pi R^2)B\cos\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • I(2πR)Bcos⁡αI(2\pi R)B\cos\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • I(πR2)Bsin⁡αI(\pi R^2)B\sin\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • I(πR2)Bcos⁡α\dfrac{I(\pi R^2)B}{\cos\alpha}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «I(πR2)Bcos⁡αI(\pi R^2)B\cos\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. رابطهٔ گشتاور τ=μBsin⁡φ\tau=\mu B\sin\varphiادامهٔ فرمول را افقی ببین است که در آن φ\varphiادامهٔ فرمول را افقی ببین زاویهٔ بردارِ عمود بر صفحهٔ حلقه با میدان است، نه زاویهٔ خودِ صفحه با میدان. در این مسئله زاویهٔ صفحه با میدان α\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین داده شده، پس φ=90∘−α\varphi=90^\circ-\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین و در نتیجه τ=I(πR2)Bsin⁡(90∘−α)=I(πR2)Bcos⁡α\tau=I(\pi R^2)B\sin(90^\circ-\alpha)=I(\pi R^2)B\cos\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین. وارسی مستقل با دو حالت حدی: اگر صفحهٔ حلقه موازی میدان باشد (α=0\alpha=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، بردارِ عمود بر میدان عمود است و گشتاور باید بیشینه باشد؛ رابطهٔ بالا τ=IπR2B\tau=I\pi R^2Bادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌دهد که همان بیشینه است. اگر صفحهٔ حلقه بر میدان عمود باشد (α=90∘\alpha=90^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین)، بردارِ عمود موازی میدان است و گشتاور باید صفر شود؛ رابطهٔ بالا τ=0\tau=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌دهد. گزینهٔ «I(2πR)Bcos⁡αI(2\pi R)B\cos\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین» به‌جای مساحتِ حلقه (πR2\pi R^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین) از محیطِ آن (2πR2\pi Rادامهٔ فرمول را افقی ببین) استفاده کرده و از نظر بُعد هم نادرست است. گزینهٔ «I(πR2)Bsin⁡αI(\pi R^2)B\sin\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین» قرارداد زاویه را جابه‌جا کرده؛ این رابطه فقط وقتی معتبر است که α\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین زاویهٔ بردارِ عمود با میدان باشد، و با دادهٔ این سؤال دقیقاً در حالتِ بیشینه (α=0\alpha=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین) گشتاور را صفر می‌دهد. گزینهٔ «I(πR2)Bcos⁡α\dfrac{I(\pi R^2)B}{\cos\alpha}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» در α=90∘\alpha=90^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین به بی‌نهایت می‌رود، در حالی‌که آنجا گشتاور باید صفر باشد. تلهٔ تستی: همیشه اول تعیین کن زاویهٔ داده‌شده زاویهٔ «صفحه» با میدان است یا زاویهٔ «بردارِ عمود» با میدان؛ این دو مکمل یکدیگرند و با انتخابِ قراردادِ نادرست، دقیقاً به گزینهٔ وارونه می‌رسی.

3. یک پروتون با تندی vvادامهٔ فرمول را افقی ببین در میدان مغناطیسی یکنواختی به اندازه BBادامهٔ فرمول را افقی ببین عمود بر میدان حرکت می‌کند و مسیر دایروی به شعاع rrادامهٔ فرمول را افقی ببین طی می‌کند. اگر تندی پروتون دو برابر شود و اندازه میدان مغناطیسی نیز نصف گردد، شعاع مسیر جدید چند برابر rrادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود؟

  • 44ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 0.50.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «44ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است چون شعاع از رابطهٔ r=mv∣q∣Br=\dfrac{mv}{|q|B}ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آید. با دو برابر شدن vvادامهٔ فرمول را افقی ببین و نصف شدن BBادامهٔ فرمول را افقی ببین، نسبت vB\dfrac{v}{B}ادامهٔ فرمول را افقی ببین چهار برابر می‌شود و در نتیجه شعاع هم 44ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر می‌گردد. گزینهٔ «22ادامهٔ فرمول را افقی ببین» فقط اثر تغییر vvادامهٔ فرمول را افقی ببین یا فقط BBادامهٔ فرمول را افقی ببین را در نظر گرفته، نه هر دو را. گزینهٔ «11ادامهٔ فرمول را افقی ببین» به‌اشتباه فرض کرده دو تغییر یکدیگر را خنثی می‌کنند. گزینهٔ «0.50.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین» جهتِ اثرِ کاهشِ BBادامهٔ فرمول را افقی ببین بر شعاع را برعکس گرفته است. تلهٔ تستی: چون BBادامهٔ فرمول را افقی ببین در مخرجِ رابطهٔ شعاع است، کاهش آن باعث افزایش شعاع می‌شود، نه کاهش؛ وقتی افزایش vvادامهٔ فرمول را افقی ببین و کاهش BBادامهٔ فرمول را افقی ببین هم‌زمان رخ می‌دهند، هر دو اثر هم‌جهت (افزایشی) عمل می‌کنند و باید ضرب شوند، نه خنثی فرض شوند.

4. ذره‌ای با بار +q+qادامهٔ فرمول را افقی ببین و جرم mmادامهٔ فرمول را افقی ببین با زاویه θ\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین نسبت به خطوط میدان مغناطیسی یکنواخت BBادامهٔ فرمول را افقی ببین پرتاب می‌شود. کدام رابطه شعاع حرکت مارپیچی این ذره را به درستی نشان می‌دهد؟

  • mvsin⁡θqB\frac{mv\sin\theta}{qB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • mvcos⁡θqB\frac{mv\cos\theta}{qB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • mvqB\frac{mv}{qB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین (بدونِ زاویه)
  • mvqBsin⁡θ\frac{mv}{qB\sin\theta}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «mvsin⁡θqB\frac{mv\sin\theta}{qB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است زیرا مؤلفهٔ عمود سرعت v⊥=vsin⁡θv_\perp=v\sin\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین در فرمول شعاع r=mv⊥∣q∣Br=\dfrac{mv_\perp}{|q|B}ادامهٔ فرمول را افقی ببین قرار می‌گیرد. گزینهٔ «mvcos⁡θqB\frac{mv\cos\theta}{qB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» فرمول گام مارپیچ است، نه شعاع آن. گزینهٔ «mvqB\frac{mv}{qB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» فقط برای حالت خاص θ=90∘\theta=90^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین درست است. گزینهٔ «mvqBsin⁡θ\frac{mv}{qB\sin\theta}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رابطهٔ صحیح را معکوس کرده است. تلهٔ تستی: باید همیشه دقت کرد که sin⁡θ\sin\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین مربوط به شعاع (مؤلفهٔ عمود) و cos⁡θ\cos\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین مربوط به گام (مؤلفهٔ موازی) است؛ این دو فرمول در ظاهر بسیار شبیه‌اند و خلط‌کردنشان رایج‌ترین خطای این مبحث است.

5. یک سیم مستقیم بلند حامل جریان IIادامهٔ فرمول را افقی ببین در فاصله RRادامهٔ فرمول را افقی ببین از یک سیم مشابه دیگر که حامل جریان 2I2Iادامهٔ فرمول را افقی ببین در خلاف جهت است قرار دارد. نسبت نیروی وارد بر واحد طول از سیم اول بر سیم دوم به نیروی وارد بر واحد طول از سیم دوم بر سیم اول (F12F21\frac{F_{12}}{F_{21}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین) کدام است؟

  • دقیقاً 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • دقیقاً 0.50.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • دقیقاً 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • دقیقاً 44ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «دقیقاً 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است زیرا بر اساس قانون سوم نیوتن، نیروهای دو سیم بر یکدیگر همواره هم‌اندازه و در خلاف جهت‌اند (F12=−F21F_{12}=-F_{21}ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، مستقل از اندازهٔ جریان هرکدام؛ پس نسبت اندازهٔ نیروها همیشه دقیقاً 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. گزینه‌های دیگر فرض کرده‌اند نسبت جریان‌ها (IIادامهٔ فرمول را افقی ببین به 2I2Iادامهٔ فرمول را افقی ببین) روی نسبت نیروها اثر می‌گذارد، در حالی‌که طبق قانون سوم نیوتن این‌طور نیست. تلهٔ تستی: نسبت جریان‌های دو سیم فقط روی اندازهٔ مطلقِ نیرو اثر دارد (از طریق فرمول F/l=μ0I1I2/2πdF/l=\mu_0I_1I_2/2\pi dادامهٔ فرمول را افقی ببین)، اما هرگز روی نسبتِ نیروی سیم اول بر دوم به نیروی سیم دوم بر اول تأثیری ندارد؛ این نسبت طبق قانون سوم نیوتن همیشه 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، صرف‌نظر از مقدار جریان‌ها.

6. یک سیم مستقیم بلند حامل جریان I1=4 AI_1 = 4\,\text{A}ادامهٔ فرمول را افقی ببین در امتداد محور xxادامهٔ فرمول را افقی ببین و یک سیم دیگر به طول L=0.5 mL = 0.5\,\text{m}ادامهٔ فرمول را افقی ببین حامل جریان I2=2 AI_2 = 2\,\text{A}ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی خط y=0.1 my = 0.1\,\text{m}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و موازی با محور xxادامهٔ فرمول را افقی ببین قرار دارند. اگر سیم دوم در جهت +x+xادامهٔ فرمول را افقی ببین حرکت کند، نیروی مغناطیسی وارد بر سیم دوم چند نیوتن است؟ (μ0=4π×10−7 T⋅m/A\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\text{T}\cdot\text{m}/\text{A}ادامهٔ فرمول را افقی ببین)

  • 8×10−6 N8 \times 10^{-6}\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 4×10−6 N4 \times 10^{-6}\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1.6×10−5 N1.6 \times 10^{-5}\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 8×10−7 N8 \times 10^{-7}\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «8×10−6 N8 \times 10^{-6}\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. میدان مغناطیسی سیم اول در فاصلهٔ عمودِ d=0.1 md=0.1\,\text{m}ادامهٔ فرمول را افقی ببین: B=μ0I12πd=4π×10−7×42π×0.1=8×10−6B=\dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi d}=\dfrac{4\pi\times10^{-7}\times4}{2\pi\times0.1}=8\times10^{-6}ادامهٔ فرمول را افقی ببین (تسلا). نیروی وارد بر سیم دوم که کلِ طولِ LLادامهٔ فرمول را افقی ببین آن در این میدان و عمود بر آن است: F=BI2L=8×10−6×2×0.5=8×10−6F=B I_2 L=8\times10^{-6}\times2\times0.5=8\times10^{-6}ادامهٔ فرمول را افقی ببین (نیوتن). وارسی مستقل از راه نیروی واحدِ طول: FL=μ0I1I22πd=2×10−7×4×20.1=1.6×10−5\dfrac{F}{L}=\dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}=\dfrac{2\times10^{-7}\times4\times2}{0.1}=1.6\times10^{-5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین (نیوتن بر متر)، و با ضرب در L=0.5L=0.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان 8×10−68\times10^{-6}ادامهٔ فرمول را افقی ببین نیوتن به دست می‌آید. گزینهٔ «4×10−6 N4\times10^{-6}\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» نصفِ مقدار درست است و از انداختنِ ضریبِ ۲ در μ0/2π\mu_0/2\piادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌آید. گزینهٔ «1.6×10−5 N1.6\times10^{-5}\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» در واقع نیروی وارد بر واحدِ طول است و ضرب در L=0.5 mL=0.5\,\text{m}ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی آن انجام نشده است. گزینهٔ «8×10−7 N8\times10^{-7}\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» یک مرتبهٔ بزرگی کوچک‌تر است. تلهٔ تستی: حرکتِ سیم دوم در جهت +x+xادامهٔ فرمول را افقی ببین (یعنی موازیِ خودش) هیچ نقشی در نیروی وارد بر آن ندارد؛ تنها فاصلهٔ عمودِ ddادامهٔ فرمول را افقی ببین، طولِ LLادامهٔ فرمول را افقی ببین و جریان‌ها تعیین‌کننده‌اند.

7. ذره‌ای با بار −q-qادامهٔ فرمول را افقی ببین (که در آن q>0q>0ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و جرم mmادامهٔ فرمول را افقی ببین با تندی vvادامهٔ فرمول را افقی ببین و عمود بر مرزِ یک ناحیهٔ نواری به عرض aaادامهٔ فرمول را افقی ببین وارد آن می‌شود. در سراسر این نوار، میدان مغناطیسی یکنواخت BBادامهٔ فرمول را افقی ببین عمود بر صفحهٔ حرکت برقرار است. کمترین عرضِ aaادامهٔ فرمول را افقی ببین که برای آن ذره نتواند از مرزِ روبه‌رو بیرون برود و ناچار از همان مرزِ ورودی بازگردد، کدام است؟

  • mvqB\frac{mv}{qB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • mv2qB\frac{mv}{2qB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2mvqB\frac{2mv}{qB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 4mvqB\frac{4mv}{qB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «mvqB\frac{mv}{qB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. شعاع مسیر دایروی R=mvqBR=\dfrac{mv}{qB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. ذره عمود بر مرز وارد می‌شود، پس بیشترین عمقی که در نوار پیش می‌رود دقیقاً وقتی است که بردار سرعت یک ربعِ دور (۹۰ درجه) چرخیده و موازیِ مرز شده باشد؛ در آن لحظه عمقِ نفوذ برابر RRادامهٔ فرمول را افقی ببین است و از آن به بعد ذره به سمت مرزِ ورودی بازمی‌گردد. پس اگر a≥Ra\ge Rادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد ذره نمی‌تواند از مرزِ روبه‌رو خارج شود، و کمترین چنین عرضی a=R=mvqBa=R=\dfrac{mv}{qB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. وارسی مستقل با تجزیهٔ مختصاتی: ذره را در مبدأ و با سرعت vi^v\hat{i}ادامهٔ فرمول را افقی ببین در نظر بگیر؛ مرکزِ دایره روی محور yyادامهٔ فرمول را افقی ببین و در فاصلهٔ RRادامهٔ فرمول را افقی ببین از مبدأ می‌افتد، پس معادلهٔ مسیر x=Rsin⁡(ωt)x=R\sin(\omega t)ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و بیشینهٔ xxادامهٔ فرمول را افقی ببین دقیقاً RRادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود، نه بیشتر. گزینهٔ «mv2qB\frac{mv}{2qB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» نصفِ شعاع است؛ ذره تا عمقِ RRادامهٔ فرمول را افقی ببین پیش می‌رود، پس از نواری به این باریکی عبور می‌کند. گزینهٔ «2mvqB\frac{2mv}{qB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» قطرِ مسیر است، ولی ذره هرگز تا عمقِ قطر پیش نمی‌رود؛ این عرض کافی است اما «کمترین» نیست. گزینهٔ «4mvqB\frac{4mv}{qB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» به‌طریق اولی بسیار بزرگ‌تر از حدِ لازم است. تلهٔ تستی: بیشینهٔ عمقِ نفوذ برای ورودِ عمود بر مرز برابر شعاع است، نه قطر؛ قطر مربوط به حالتی است که ذره وارد و سپس از همان مرز خارج شود و جابه‌جاییِ آن در امتدادِ مرز اندازه‌گیری شود.

8. یک ذره باردار با جرم mmادامهٔ فرمول را افقی ببین و بار qqادامهٔ فرمول را افقی ببین در یک میدان مغناطیسی یکنواخت BBادامهٔ فرمول را افقی ببین با سرعت vvادامهٔ فرمول را افقی ببین عمود بر میدان حرکت می‌کند. اگر ذره‌ای دیگر با جرم 2m2mادامهٔ فرمول را افقی ببین و بار 2q2qادامهٔ فرمول را افقی ببین با همان سرعت vvادامهٔ فرمول را افقی ببین در همان میدان عمود بر آن حرکت کند، نسبت شعاع مسیر ذره دوم به ذره اول (r2r1\frac{r_2}{r_1}ادامهٔ فرمول را افقی ببین) کدام است؟

  • دقیقاً 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • دقیقاً 0.250.25ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • دقیقاً 0.50.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • دقیقاً 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «دقیقاً 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. شعاع حرکت دایروی از r=mv∣q∣Br=\dfrac{mv}{|q|B}ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آید. برای ذرهٔ اول r1=mvqBr_1=\dfrac{mv}{qB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و برای ذرهٔ دوم r2=(2m)v(2q)B=mvqBr_2=\dfrac{(2m)v}{(2q)B}=\dfrac{mv}{qB}ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ پس r2r1=1\dfrac{r_2}{r_1}=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین. گزینه‌های دیگر فرض کرده‌اند فقط جرم یا فقط بار تغییر کرده، نه هر دو هم‌زمان با یک ضریب یکسان. تلهٔ تستی: وقتی جرم و بار هر دو با یک ضریب یکسان (اینجا هر دو دو برابر) تغییر می‌کنند، نسبت m/qm/qادامهٔ فرمول را افقی ببین (که شعاع به آن وابسته است) بدون تغییر می‌ماند؛ این یک ترفند رایج برای آزمودنِ درکِ نسبتِ m/qm/qادامهٔ فرمول را افقی ببین به‌جای مقادیر مطلق است.

9. یک سیملوله آرمانی با چگالی دور n=1000n = 1000ادامهٔ فرمول را افقی ببین دور بر متر وجود دارد. جریان IIادامهٔ فرمول را افقی ببین از این سیملوله می‌گذرد. میدان مغناطیسی درون این سیملوله B0B_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. اگر طول سیملوله را به نصف کاهش دهیم و تعداد دورهای آن را دو برابر کنیم، چگالی دور جدید n′n'ادامهٔ فرمول را افقی ببین و میدان مغناطیسی درون سیملوله جدید B′B'ادامهٔ فرمول را افقی ببین (با فرض ثابت ماندن جریان IIادامهٔ فرمول را افقی ببین) کدام است؟

  • n′=4000n' = 4000ادامهٔ فرمول را افقی ببین و B′=4B0B' = 4B_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • n′=2000n' = 2000ادامهٔ فرمول را افقی ببین و B′=2B0B' = 2B_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • n′=4000n' = 4000ادامهٔ فرمول را افقی ببین و B′=2B0B' = 2B_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • n′=1000n' = 1000ادامهٔ فرمول را افقی ببین و B′=4B0B' = 4B_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «n′=4000n' = 4000ادامهٔ فرمول را افقی ببین و B′=4B0B' = 4B_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. با N′=2NN'=2Nادامهٔ فرمول را افقی ببین و l′=l/2l'=l/2ادامهٔ فرمول را افقی ببین: چگالیِ دورِ جدید n′=N′/l′=(2N)/(l/2)=4N/l=4n=4000n'=N'/l'=(2N)/(l/2)=4N/l=4n=4000ادامهٔ فرمول را افقی ببین. چون B=μ0nIB=\mu_0nIادامهٔ فرمول را افقی ببین، داریم B′=μ0n′I=4(μ0nI)=4B0B'=\mu_0n'I=4(\mu_0nI)=4B_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین. گزینهٔ «n′=2000n'=2000ادامهٔ فرمول را افقی ببین و B′=2B0B'=2B_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین» فقط یکی از دو تغییر (طول یا تعداد دور) را اعمال کرده است. گزینهٔ «n′=4000n'=4000ادامهٔ فرمول را افقی ببین و B′=2B0B'=2B_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین» n′n'ادامهٔ فرمول را افقی ببین را درست محاسبه کرده اما آن را در فرمول BBادامهٔ فرمول را افقی ببین درست به‌کار نبرده است. گزینهٔ «n′=1000n'=1000ادامهٔ فرمول را افقی ببین و B′=4B0B'=4B_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین» به‌اشتباه فرض کرده nnادامهٔ فرمول را افقی ببین تغییر نمی‌کند. تلهٔ تستی: تغییرِ هم‌زمانِ طول (نصف) و تعداد دور (دوبرابر) به‌صورت ضربی روی چگالیِ دور اثر می‌گذارد (نه جمعی)؛ باید هر دو تغییر را در یک کسر واحد N′/l′N'/l'ادامهٔ فرمول را افقی ببین ترکیب کرد، نه جداگانه اعمال کرد.

10. یک سیم مستقیم و بلند حامل جریان IIادامهٔ فرمول را افقی ببین در راستای محور xxادامهٔ فرمول را افقی ببین قرار دارد. یک حلقهٔ دایروی به شعاع RRادامهٔ فرمول را افقی ببین در صفحهٔ xyxyادامهٔ فرمول را افقی ببین و به مرکزِ نقطهٔ (0, d, 0)(0,\,d,\,0)ادامهٔ فرمول را افقی ببین — یعنی در فاصلهٔ ddادامهٔ فرمول را افقی ببین از سیم — حامل جریان I0I_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. برای اینکه میدان مغناطیسی کل در مرکز حلقه صفر شود، نسبت II0\dfrac{I}{I_0}ادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • Rd\frac{R}{d}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • πRd\frac{\pi R}{d}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • πdR\frac{\pi d}{R}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2πRd\frac{2\pi R}{d}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «πdR\frac{\pi d}{R}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. نخست راستاها: جریانِ سیم در راستای i^\hat{i}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و مرکزِ حلقه در راستای j^\hat{j}ادامهٔ فرمول را افقی ببین نسبت به سیم قرار دارد، پس میدانِ سیم در آنجا در راستای i^×j^=k^\hat{i}\times\hat{j}=\hat{k}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ میدانِ خودِ حلقه در مرکزش هم بر صفحهٔ xyxyادامهٔ فرمول را افقی ببین عمود، یعنی در راستای ±k^\pm\hat{k}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. چون هر دو هم‌راستایند، با انتخابِ درستِ جهتِ I0I_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌توانند یکدیگر را خنثی کنند و شرطِ صفرشدن، برابریِ بزرگی‌هاست: μ0I2πd=μ0I02R\dfrac{\mu_0 I}{2\pi d}=\dfrac{\mu_0 I_0}{2R}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. با ساده‌کردنِ μ0\mu_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ضربِ طرفین: 2R I=2πd I02R\,I=2\pi d\,I_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس II0=πdR\dfrac{I}{I_0}=\dfrac{\pi d}{R}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. وارسی مستقل با عدد: اگر R=0.1 mR=0.1\,\text{m}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، d=0.2 md=0.2\,\text{m}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و I0=1 AI_0=1\,\text{A}ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، میدانِ حلقه μ00.2=5μ0\dfrac{\mu_0}{0.2}=5\mu_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و برای برابری باید μ0I2π×0.2=5μ0\dfrac{\mu_0 I}{2\pi\times0.2}=5\mu_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین، یعنی I=6.283 AI=6.283\,\text{A}ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ از سوی دیگر πdR=π×0.20.1=6.283\dfrac{\pi d}{R}=\dfrac{\pi\times0.2}{0.1}=6.283ادامهٔ فرمول را افقی ببین که با هم می‌خوانند. گزینهٔ «Rd\frac{R}{d}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» کسر را وارونه نوشته و عاملِ π\piادامهٔ فرمول را افقی ببین را هم انداخته است. گزینهٔ «πRd\frac{\pi R}{d}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» جای RRادامهٔ فرمول را افقی ببین و ddادامهٔ فرمول را افقی ببین را عوض کرده است. گزینهٔ «2πRd\frac{2\pi R}{d}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» علاوه بر جابه‌جاییِ RRادامهٔ فرمول را افقی ببین و ddادامهٔ فرمول را افقی ببین، ضریبِ ۲ را هم به‌اشتباه نگه داشته است. تلهٔ تستی: هنگام برابر نهادنِ μ0I2πd\dfrac{\mu_0 I}{2\pi d}ادامهٔ فرمول را افقی ببین با μ0I02R\dfrac{\mu_0 I_0}{2R}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، ضریبِ ۲ از دو طرف حذف می‌شود اما π\piادامهٔ فرمول را افقی ببین حذف نمی‌شود و به صورتِ کسرِ نهایی می‌رود؛ ساده‌سازیِ شتاب‌زده، این π\piادامهٔ فرمول را افقی ببین را قربانی می‌کند.

مباحث مرتبط

اندازه‌گیری، یکاها و ارقام بامعنا (هنر)حرکت‌شناسی و سقوط آزاد (هنر)قانون‌های نیوتون و دینامیک (هنر)کار، انرژی و قانون پایستگی (هنر)گرما، دما و انبساط گرمایی (هنر)الکتریسیتهٔ ساکن و قانون کولن (هنر)جریان الکتریکی و قانون اهم (هنر)بازتاب و شکست نور، آینه و عدسی (هنر)فشار، شناوری و رفتار شاره‌ها (هنر)اهرم، قرقره و ماشین‌های ساده (هنر)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان