مغناطیس (هنر)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «هیچ میدان الکتریکی‌ای در ناحیه وجود ندارد؛ فقط میدان مغناطیسی باعث این مسیر دایروی شده است» درست است. مسیر «دقیقاً نیم‌دایره» به‌معنای یک قوسِ دایرویِ خالص با شعاعِ ثابت است؛ چنین مسیری فقط زمانی رخ می‌دهد که تنها نیروی مغناطیسی (که همیشه عمود بر سرعت است و کاری انجام نمی‌دهد) حضور داشته باشد. اگر میدان الکتریکی غیرصفری هم حضور داشت، حرکت برآیند به‌صورت یک منحنی سیکلوئیدی (ترکیب رانش + دوران) می‌شد، نه یک قوسِ دایرویِ خالص؛ علاوه‌بر این، هر میدان الکتریکی که دقیقاً روی شرطِ انتخاب‌گر سرعت ($E/B=v$) نباشد، روی ذره کار انجام می‌دهد و تندی خروجی را از $v_0$ متفاوت می‌کند. گزینه‌های دیگر همگی فرض کرده‌اند میدان الکتریکی غیرصفری وجود دارد که با هندسهٔ «نیم‌دایرهٔ خالص» ناسازگار است. تلهٔ تستی: شرط $E/B=v$ (انتخاب‌گر سرعت) فقط برای مسیر مستقیم‌الخط معتبر است، نه برای مسیر دایروی؛ اگر مسیر دایرویِ خالص باشد (نه سیکلوئیدی)، تنها تفسیرِ سازگار نبودِ میدان الکتریکی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$I(\pi R^2)B\cos\alpha$» درست است. رابطهٔ گشتاور $\tau=\mu B\sin\varphi$ است که در آن $\varphi$ زاویهٔ بردارِ عمود بر صفحهٔ حلقه با میدان است، نه زاویهٔ خودِ صفحه با میدان. در این مسئله زاویهٔ صفحه با میدان $\alpha$ داده شده، پس $\varphi=90^\circ-\alpha$ و در نتیجه $\tau=I(\pi R^2)B\sin(90^\circ-\alpha)=I(\pi R^2)B\cos\alpha$. وارسی مستقل با دو حالت حدی: اگر صفحهٔ حلقه موازی میدان باشد ($\alpha=0$)، بردارِ عمود بر میدان عمود است و گشتاور باید بیشینه باشد؛ رابطهٔ بالا $\tau=I\pi R^2B$ می‌دهد که همان بیشینه است. اگر صفحهٔ حلقه بر میدان عمود باشد ($\alpha=90^\circ$)، بردارِ عمود موازی میدان است و گشتاور باید صفر شود؛ رابطهٔ بالا $\tau=0$ می‌دهد. گزینهٔ «$I(2\pi R)B\cos\alpha$» به‌جای مساحتِ حلقه ($\pi R^2$) از محیطِ آن ($2\pi R$) استفاده کرده و از نظر بُعد هم نادرست است. گزینهٔ «$I(\pi R^2)B\sin\alpha$» قرارداد زاویه را جابه‌جا کرده؛ این رابطه فقط وقتی معتبر است که $\alpha$ زاویهٔ بردارِ عمود با میدان باشد، و با دادهٔ این سؤال دقیقاً در حالتِ بیشینه ($\alpha=0$) گشتاور را صفر می‌دهد. گزینهٔ «$\dfrac{I(\pi R^2)B}{\cos\alpha}$» در $\alpha=90^\circ$ به بی‌نهایت می‌رود، در حالی‌که آنجا گشتاور باید صفر باشد. تلهٔ تستی: همیشه اول تعیین کن زاویهٔ داده‌شده زاویهٔ «صفحه» با میدان است یا زاویهٔ «بردارِ عمود» با میدان؛ این دو مکمل یکدیگرند و با انتخابِ قراردادِ نادرست، دقیقاً به گزینهٔ وارونه می‌رسی.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$4$» درست است چون شعاع از رابطهٔ $r=\dfrac{mv}{|q|B}$ به دست می‌آید. با دو برابر شدن $v$ و نصف شدن $B$، نسبت $\dfrac{v}{B}$ چهار برابر می‌شود و در نتیجه شعاع هم $4$ برابر می‌گردد. گزینهٔ «$2$» فقط اثر تغییر $v$ یا فقط $B$ را در نظر گرفته، نه هر دو را. گزینهٔ «$1$» به‌اشتباه فرض کرده دو تغییر یکدیگر را خنثی می‌کنند. گزینهٔ «$0.5$» جهتِ اثرِ کاهشِ $B$ بر شعاع را برعکس گرفته است. تلهٔ تستی: چون $B$ در مخرجِ رابطهٔ شعاع است، کاهش آن باعث افزایش شعاع می‌شود، نه کاهش؛ وقتی افزایش $v$ و کاهش $B$ هم‌زمان رخ می‌دهند، هر دو اثر هم‌جهت (افزایشی) عمل می‌کنند و باید ضرب شوند، نه خنثی فرض شوند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$\frac{mv\sin\theta}{qB}$» درست است زیرا مؤلفهٔ عمود سرعت $v_\perp=v\sin\theta$ در فرمول شعاع $r=\dfrac{mv_\perp}{|q|B}$ قرار می‌گیرد. گزینهٔ «$\frac{mv\cos\theta}{qB}$» فرمول گام مارپیچ است، نه شعاع آن. گزینهٔ «$\frac{mv}{qB}$» فقط برای حالت خاص $\theta=90^\circ$ درست است. گزینهٔ «$\frac{mv}{qB\sin\theta}$» رابطهٔ صحیح را معکوس کرده است. تلهٔ تستی: باید همیشه دقت کرد که $\sin\theta$ مربوط به شعاع (مؤلفهٔ عمود) و $\cos\theta$ مربوط به گام (مؤلفهٔ موازی) است؛ این دو فرمول در ظاهر بسیار شبیه‌اند و خلط‌کردنشان رایج‌ترین خطای این مبحث است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «دقیقاً $1$» درست است زیرا بر اساس قانون سوم نیوتن، نیروهای دو سیم بر یکدیگر همواره هم‌اندازه و در خلاف جهت‌اند ($F_{12}=-F_{21}$)، مستقل از اندازهٔ جریان هرکدام؛ پس نسبت اندازهٔ نیروها همیشه دقیقاً $1$ است. گزینه‌های دیگر فرض کرده‌اند نسبت جریان‌ها ($I$ به $2I$) روی نسبت نیروها اثر می‌گذارد، در حالی‌که طبق قانون سوم نیوتن این‌طور نیست. تلهٔ تستی: نسبت جریان‌های دو سیم فقط روی اندازهٔ مطلقِ نیرو اثر دارد (از طریق فرمول $F/l=\mu_0I_1I_2/2\pi d$)، اما هرگز روی نسبتِ نیروی سیم اول بر دوم به نیروی سیم دوم بر اول تأثیری ندارد؛ این نسبت طبق قانون سوم نیوتن همیشه $1$ است، صرف‌نظر از مقدار جریان‌ها.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$8 \times 10^{-6}\,\text{N}$» درست است. میدان مغناطیسی سیم اول در فاصلهٔ عمودِ $d=0.1\,\text{m}$: $B=\dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi d}=\dfrac{4\pi\times10^{-7}\times4}{2\pi\times0.1}=8\times10^{-6}$ (تسلا). نیروی وارد بر سیم دوم که کلِ طولِ $L$ آن در این میدان و عمود بر آن است: $F=B I_2 L=8\times10^{-6}\times2\times0.5=8\times10^{-6}$ (نیوتن). وارسی مستقل از راه نیروی واحدِ طول: $\dfrac{F}{L}=\dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}=\dfrac{2\times10^{-7}\times4\times2}{0.1}=1.6\times10^{-5}$ (نیوتن بر متر)، و با ضرب در $L=0.5$ همان $8\times10^{-6}$ نیوتن به دست می‌آید. گزینهٔ «$4\times10^{-6}\,\text{N}$» نصفِ مقدار درست است و از انداختنِ ضریبِ ۲ در $\mu_0/2\pi$ می‌آید. گزینهٔ «$1.6\times10^{-5}\,\text{N}$» در واقع نیروی وارد بر واحدِ طول است و ضرب در $L=0.5\,\text{m}$ روی آن انجام نشده است. گزینهٔ «$8\times10^{-7}\,\text{N}$» یک مرتبهٔ بزرگی کوچک‌تر است. تلهٔ تستی: حرکتِ سیم دوم در جهت $+x$ (یعنی موازیِ خودش) هیچ نقشی در نیروی وارد بر آن ندارد؛ تنها فاصلهٔ عمودِ $d$، طولِ $L$ و جریان‌ها تعیین‌کننده‌اند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$\frac{mv}{qB}$» درست است. شعاع مسیر دایروی $R=\dfrac{mv}{qB}$ است. ذره عمود بر مرز وارد می‌شود، پس بیشترین عمقی که در نوار پیش می‌رود دقیقاً وقتی است که بردار سرعت یک ربعِ دور (۹۰ درجه) چرخیده و موازیِ مرز شده باشد؛ در آن لحظه عمقِ نفوذ برابر $R$ است و از آن به بعد ذره به سمت مرزِ ورودی بازمی‌گردد. پس اگر $a\ge R$ باشد ذره نمی‌تواند از مرزِ روبه‌رو خارج شود، و کمترین چنین عرضی $a=R=\dfrac{mv}{qB}$ است. وارسی مستقل با تجزیهٔ مختصاتی: ذره را در مبدأ و با سرعت $v\hat{i}$ در نظر بگیر؛ مرکزِ دایره روی محور $y$ و در فاصلهٔ $R$ از مبدأ می‌افتد، پس معادلهٔ مسیر $x=R\sin(\omega t)$ است و بیشینهٔ $x$ دقیقاً $R$ می‌شود، نه بیشتر. گزینهٔ «$\frac{mv}{2qB}$» نصفِ شعاع است؛ ذره تا عمقِ $R$ پیش می‌رود، پس از نواری به این باریکی عبور می‌کند. گزینهٔ «$\frac{2mv}{qB}$» قطرِ مسیر است، ولی ذره هرگز تا عمقِ قطر پیش نمی‌رود؛ این عرض کافی است اما «کمترین» نیست. گزینهٔ «$\frac{4mv}{qB}$» به‌طریق اولی بسیار بزرگ‌تر از حدِ لازم است. تلهٔ تستی: بیشینهٔ عمقِ نفوذ برای ورودِ عمود بر مرز برابر شعاع است، نه قطر؛ قطر مربوط به حالتی است که ذره وارد و سپس از همان مرز خارج شود و جابه‌جاییِ آن در امتدادِ مرز اندازه‌گیری شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «دقیقاً $1$» درست است. شعاع حرکت دایروی از $r=\dfrac{mv}{|q|B}$ به دست می‌آید. برای ذرهٔ اول $r_1=\dfrac{mv}{qB}$ و برای ذرهٔ دوم $r_2=\dfrac{(2m)v}{(2q)B}=\dfrac{mv}{qB}$؛ پس $\dfrac{r_2}{r_1}=1$. گزینه‌های دیگر فرض کرده‌اند فقط جرم یا فقط بار تغییر کرده، نه هر دو هم‌زمان با یک ضریب یکسان. تلهٔ تستی: وقتی جرم و بار هر دو با یک ضریب یکسان (اینجا هر دو دو برابر) تغییر می‌کنند، نسبت $m/q$ (که شعاع به آن وابسته است) بدون تغییر می‌ماند؛ این یک ترفند رایج برای آزمودنِ درکِ نسبتِ $m/q$ به‌جای مقادیر مطلق است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$n' = 4000$ و $B' = 4B_0$» درست است. با $N'=2N$ و $l'=l/2$: چگالیِ دورِ جدید $n'=N'/l'=(2N)/(l/2)=4N/l=4n=4000$. چون $B=\mu_0nI$، داریم $B'=\mu_0n'I=4(\mu_0nI)=4B_0$. گزینهٔ «$n'=2000$ و $B'=2B_0$» فقط یکی از دو تغییر (طول یا تعداد دور) را اعمال کرده است. گزینهٔ «$n'=4000$ و $B'=2B_0$» $n'$ را درست محاسبه کرده اما آن را در فرمول $B$ درست به‌کار نبرده است. گزینهٔ «$n'=1000$ و $B'=4B_0$» به‌اشتباه فرض کرده $n$ تغییر نمی‌کند. تلهٔ تستی: تغییرِ هم‌زمانِ طول (نصف) و تعداد دور (دوبرابر) به‌صورت ضربی روی چگالیِ دور اثر می‌گذارد (نه جمعی)؛ باید هر دو تغییر را در یک کسر واحد $N'/l'$ ترکیب کرد، نه جداگانه اعمال کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$\frac{\pi d}{R}$» درست است. نخست راستاها: جریانِ سیم در راستای $\hat{i}$ است و مرکزِ حلقه در راستای $\hat{j}$ نسبت به سیم قرار دارد، پس میدانِ سیم در آنجا در راستای $\hat{i}\times\hat{j}=\hat{k}$ است؛ میدانِ خودِ حلقه در مرکزش هم بر صفحهٔ $xy$ عمود، یعنی در راستای $\pm\hat{k}$ است. چون هر دو هم‌راستایند، با انتخابِ درستِ جهتِ $I_0$ می‌توانند یکدیگر را خنثی کنند و شرطِ صفرشدن، برابریِ بزرگی‌هاست: $\dfrac{\mu_0 I}{2\pi d}=\dfrac{\mu_0 I_0}{2R}$. با ساده‌کردنِ $\mu_0$ و ضربِ طرفین: $2R\,I=2\pi d\,I_0$، پس $\dfrac{I}{I_0}=\dfrac{\pi d}{R}$. وارسی مستقل با عدد: اگر $R=0.1\,\text{m}$، $d=0.2\,\text{m}$ و $I_0=1\,\text{A}$ باشد، میدانِ حلقه $\dfrac{\mu_0}{0.2}=5\mu_0$ است و برای برابری باید $\dfrac{\mu_0 I}{2\pi\times0.2}=5\mu_0$، یعنی $I=6.283\,\text{A}$؛ از سوی دیگر $\dfrac{\pi d}{R}=\dfrac{\pi\times0.2}{0.1}=6.283$ که با هم می‌خوانند. گزینهٔ «$\frac{R}{d}$» کسر را وارونه نوشته و عاملِ $\pi$ را هم انداخته است. گزینهٔ «$\frac{\pi R}{d}$» جای $R$ و $d$ را عوض کرده است. گزینهٔ «$\frac{2\pi R}{d}$» علاوه بر جابه‌جاییِ $R$ و $d$، ضریبِ ۲ را هم به‌اشتباه نگه داشته است. تلهٔ تستی: هنگام برابر نهادنِ $\dfrac{\mu_0 I}{2\pi d}$ با $\dfrac{\mu_0 I_0}{2R}$، ضریبِ ۲ از دو طرف حذف می‌شود اما $\pi$ حذف نمی‌شود و به صورتِ کسرِ نهایی می‌رود؛ ساده‌سازیِ شتاب‌زده، این $\pi$ را قربانی می‌کند.