دینامیک (هنر)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$0\,\text{N}$» درست است. در نقطه‌ی تعادل، فنر به حالتِ طبیعیِ خود بازگشته است، بنابراین تغییرِ طول $x=0$ است؛ طبقِ قانونِ هوکِ $F_e=kx$، نیرویِ کشسانیِ فنر در این نقطه صفر است. «$5\,\text{N}$» نادرست است و از فرضِ نادرستِ $x=5\,\text{cm}$ (به‌جایِ $x=0$ در نقطه‌ی تعادل) به دست می‌آید. «$10\,\text{N}$» نادرست است و از فرضِ مشابهی با $x=10\,\text{cm}$ ناشی می‌شود. «$20\,\text{N}$» نادرست است؛ این عدد نیرویِ *اولیه* در لحظه‌ی رهاشدن است ($kx=100\times0.2=20\,\text{N}$)، نه نیرو در نقطه‌ی تعادل. تله‌ی تستی: در نوسانِ فنر-جسم، نیرویِ کشسانی همیشه در نقطه‌ی تعادل (نه در نقاطِ ابتداییِ کشش) صفر می‌شود؛ نباید نیرویِ لحظه‌ی رهاشدن را با نیروی نقطه‌ی تعادل اشتباه گرفت.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$k_{eq}=4.0k$» درست است. با برش فنر به دو نیمه، ثابت هر نیمه $k'=2k$ می‌شود (چون $k\propto\frac{1}{L}$، و طول هر نیمه نصف شده است). در اتصال موازی، $k_{eq}=k'+k'=2k+2k=4k$. «$k_{eq}=0.5k$» نادرست است؛ این گزینه انگار طول را دو برابر و ثابت را نصف کرده، درحالی‌که برش باعث افزایش ثابت فنر می‌شود نه کاهش آن. «$k_{eq}=1.0k$» نادرست است؛ این گزینه اثر برش فنر روی ثابت آن را کلاً نادیده می‌گیرد. «$k_{eq}=2.0k$» نادرست است؛ این گزینه فقط ثابت یک نیمه‌ی برش‌خورده ($k'=2k$) را به‌عنوان پاسخ نهایی در نظر گرفته، بدون لحاظ‌کردن اتصال موازیِ دو نیمه. تله‌ی تستی: بریدن یک فنر، ثابت آن را افزایش می‌دهد (چون $k\propto1/L$)؛ این نکته برخلاف تصور شهودیِ برخی دانش‌آموزان است که فکر می‌کنند فنر کوتاه‌تر «نرم‌تر» می‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$\dfrac{1}{2}$» درست است. سرعتِ هر دو گلوله در لحظه‌ی برخورد یکسان و برابرِ $v=\sqrt{2gh}$ است (مستقل از جرم). تکانه‌ی $A$: $p_A=m\sqrt{2gh}$؛ تکانه‌ی $B$: $p_B=2m\sqrt{2gh}$؛ نسبت: $\dfrac{p_A}{p_B}=\dfrac{1}{2}$. «$\dfrac{1}{\sqrt2}$» نادرست است و از خلطِ رابطه‌ی تکانه (که خطی با جرم است) با رابطه‌ی انرژی (که شاملِ ریشه می‌شود) به دست می‌آید. «$\dfrac{\sqrt2}{4}$» نادرست است و از یک خطای دیگر در محاسبه‌ی نسبت ناشی می‌شود. «$\sqrt{2}$ برابر» نادرست است؛ این وارونِ نسبتِ صحیح (با فرمِ نادرست) است. تله‌ی تستی: سرعتِ برخورد در سقوطِ آزاد مستقل از جرم است، اما تکانه ($p=mv$) به‌طورِ خطی به جرم وابسته است؛ نسبتِ تکانه‌ها دقیقاً برابرِ نسبتِ جرم‌هاست، نه ریشه‌ی آن.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$F - m\cdot a$» درست است. در راستایِ افق دو نیرو بر جسم اثر می‌کند: نیرویِ $F$ در جهتِ حرکت و اصطکاکِ جنبشیِ $f_k$ در خلافِ آن. قانونِ دومِ نیوتون: $F-f_k=ma$، پس $f_k=F-ma$. وارسیِ مستقل با حالتِ حدی و ابعاد: اگر سطح صاف بود ($f_k=0$) رابطه به $F=ma$ می‌رسید، و اگر جسم با سرعتِ ثابت می‌رفت ($a=0$) به $f_k=F$ — هر دو درست‌اند؛ ضمناً $F$ و $ma$ هر دو ابعادِ نیرو دارند، پس تفاضلشان نیرو است. «$F+ma$» نادرست است؛ این عبارت اصطکاک را هم‌جهت با $F$ فرض کرده، درحالی‌که اصطکاکِ جنبشی همواره مخالفِ جهتِ حرکت است و اگر چنین بود جسم اصلاً نمی‌توانست شتابِ مثبت بگیرد. «$ma-F$» نادرست است؛ علامتش برعکس است و چون در اینجا $F>ma$ است، مقداری منفی می‌دهد، حال آن‌که اندازهٔ نیرو نمی‌تواند منفی باشد. «$\dfrac{F-ma}{m}$» نادرست است؛ این کمیت ابعادِ شتاب ($\text{m/s}^2$) دارد، نه نیرو. تلهٔ تستی: وقتی ضریبِ اصطکاک داده نشده و به‌جایِ آن شتاب در دست است، اصطکاک را باید مستقیماً از قانونِ دومِ نیوتون بیرون کشید؛ نوشتنِ $\mu_kmg$ در چنین سؤالی بی‌فایده است چون $\mu_k$ مجهول می‌ماند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$\frac{4mv}{3\Delta t}$» درست است. تغییر تکانه $\Delta p = p_2 - p_1$. تکانه اولیه $mv$ به سمت دیوار است، تکانه نهایی $\frac{mv}{3}$ در خلاف جهت، پس $\Delta p = \frac{mv}{3} - (-mv) = \frac{4mv}{3}$. اندازه نیروی متوسط $F = \frac{|\Delta p|}{\Delta t} = \frac{4mv}{3\Delta t}$. «$\frac{2mv}{3\Delta t}$» نادرست است و از نادیده‌گرفتنِ برگشتِ جهتِ حرکت به دست می‌آید (فرضِ نادرستِ $\Delta p=mv-\frac{mv}{3}$ به‌جایِ جمعِ دو تکانه در خلافِ جهتِ هم). «$\frac{mv}{3\Delta t}$» نادرست است؛ این فقط تکانه‌ی نهایی است، بدونِ لحاظ‌کردنِ تکانه‌ی اولیه. «$\frac{mv}{\Delta t}$» نادرست است؛ این فقط تکانه‌ی اولیه است، بدونِ لحاظ‌کردنِ برگشتِ گلوله. تله‌ی تستی: چون گلوله در خلافِ جهتِ اولیه بازمی‌گردد، تکانه‌ی نهایی و اولیه علامتِ مخالف دارند و باید *جمع* شوند (نه تفریق)؛ فراموش‌کردنِ این نکته رایج‌ترین خطا در مسائلِ برخوردِ کشسانِ با دیوار است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$6$» درست است. تا زمانی‌که جسم حرکت نکند، نیرویِ اصطکاکِ ایستایی دقیقاً برابرِ نیرویِ محرک است. با $F=\frac{3}{4}\mu_smg$: مقدارِ عددیِ آن $\frac{3}{4}\times0.4\times2\times10=6\,\text{N}$ می‌شود. «$8$» نادرست است؛ این عدد برابرِ *بیشینه‌ی* اصطکاکِ ایستایی ($\mu_smg$) است که در این لحظه هنوز به آن نرسیده‌ایم. «$3$» نادرست است و از ضربِ اشتباهِ $\frac{3}{4}$ در جرم (بدونِ لحاظِ $\mu_smg$ کامل) به دست می‌آید. «$5$» نادرست است و میانگینِ نادرستِ دو مقدارِ دیگر است. تله‌ی تستی: تا پیش از شروعِ حرکت، اصطکاکِ ایستایی همیشه دقیقاً برابرِ نیرویِ اعمالی است، نه مقدارِ بیشینه‌اش؛ بیشینه فقط سقفی است که در آستانه‌ی حرکت به آن می‌رسیم.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$f_s = F$ و $F_0 = \mu_s mg$» درست است چون تا قبل از حرکت، نیروی اصطکاک ایستایی همواره با نیروی محرکه برابر است ($f_s=F$) و در آستانه‌ی حرکت، $F_0$ به حداکثر مقدار خود یعنی $\mu_smg$ می‌رسد. «$f_s = \mu_s mg$ و $F_0 = \mu_s mg$» نادرست است؛ این گزینه ادعا می‌کند $f_s$ همواره برابر $\mu_smg$ است، درحالی‌که این فقط در همان لحظه‌ی آستانه‌ی حرکت صادق است، نه در طول کل بازه‌ی افزایش $F$. «$f_s = F_0$ و $F_0 > \mu_s mg$» نادرست است؛ در آستانه‌ی حرکت (نه پس از آن)، $F_0$ دقیقاً برابر $\mu_smg$ است، نه بزرگ‌تر از آن. «$f_s < F$ و $F_0 < \mu_s mg$» نادرست است؛ تا پیش از حرکت، اصطکاک ایستایی همیشه دقیقاً با $F$ برابر است (نه کمتر)، چون طبق قانون دوم نیوتون در حالت سکون، برایند نیروها باید صفر باشد. تله‌ی تستی: نباید مقدار متغیرِ اصطکاک ایستایی ($f_s=F$، تا قبل از حرکت) را با مقدار ثابتِ بیشینه‌ی آن ($f_{s,max}=\mu_smg$، فقط در آستانه‌ی حرکت) یکی گرفت.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$v = \sqrt{\frac{GM_e}{r}}$» درست است. با برابر قرار دادن نیروی گرانش $F = G\frac{M_e m}{r^2}$ و نیروی مرکزگرا $F_c = \frac{mv^2}{r}$، به رابطه $v = \sqrt{\frac{GM_e}{r}}$ می‌رسیم. «$v = \sqrt{\frac{GM_e}{2r}}$» نادرست است و از افزودنِ نادرستِ ضریبِ ۲ در مخرج (شاید با خلطِ این رابطه با فرمولِ انرژیِ پتانسیل) به دست می‌آید. «$v = \frac{GM_e}{r}$» نادرست است؛ این عبارت فراموش کرده که پس از برابرگذاریِ دو نیرو باید از هر دو طرف جذر گرفت. «$v = \sqrt{\frac{2GM_e}{r}}$» نادرست است؛ این در واقع فرمولِ *تندیِ گریز* ($v_{esc}$) است، نه تندیِ مداریِ دایره‌ای. تله‌ی تستی: تندیِ مداری ($\sqrt{GM_e/r}$) و تندیِ گریز ($\sqrt{2GM_e/r}$) فقط با یک ضریبِ $\sqrt2$ با هم تفاوت دارند و در سؤالات کنکور اغلب عمداً به‌عنوانِ گزینه‌های فریب‌دهنده کنارِ هم قرار می‌گیرند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$F = \mu_k mg$» درست است. وقتی شتاب صفر می‌شود، برایندِ نیروها در راستایِ افقی صفر است: نیرویِ $F$ (در خلافِ جهتِ حرکت) باید دقیقاً با اصطکاکِ جنبشی ($f_k=\mu_kF_N=\mu_kmg$) برابر شود. «$F = 0.5\mu_k mg$» نادرست است؛ این نصفِ مقدارِ لازم را نشان می‌دهد. «$F = 2\mu_k mg$» نادرست است؛ این دو برابرِ مقدارِ صحیح است. «$F = \mu_s mg$» نادرست است؛ چون جسم در حالِ حرکت است، باید از ضریبِ اصطکاکِ *جنبشی* استفاده کرد، نه ایستایی. تله‌ی تستی: در حرکت با سرعتِ ثابت (شتابِ صفر)، همیشه ضریبِ اصطکاکِ جنبشی ($\mu_k$) به‌کار می‌رود، نه ایستایی ($\mu_s$)؛ ضریبِ ایستایی فقط پیش از شروعِ حرکت موضوعیت دارد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$12\,\text{m/s}$» درست است زیرا $f_k=\mu_kmg=0.3\times4\times10=12\,\text{N}$ و $F=3\times12=36\,\text{N}$ است. نیرویِ خالص $F_{net}=36-12=24\,\text{N}$ و شتاب $a=\frac{24}{4}=6\,\text{m/s}^2$ می‌شود. چون جسم از سکون شروع کرده و پس از $t=2\,\text{s}$ سرعتش خواسته شده: $v=at=6\times2=12\,\text{m/s}$. «$18\,\text{m/s}$» نادرست است و از به‌کاربردنِ $t=3\,\text{s}$ به‌جایِ $t=2\,\text{s}$ (که در صورتِ سؤال داده شده) به دست می‌آید. «$24\,\text{m/s}$» نادرست است؛ این عدد در واقع همان نیرویِ خالص (بر حسبِ نیوتون) است، نه سرعت. «$36\,\text{m/s}$» نادرست است؛ این عدد همان $F$ (بر حسبِ نیوتون) است. تله‌ی تستی: پس از محاسبه‌ی شتاب، باید دقیقاً همان زمانی را که در صورتِ سؤال داده شده است، یعنی $t=2\,\text{s}$، در رابطه‌ی $v=at$ جای‌گذاری کرد؛ استفاده از عددی دیگر (حتی نزدیک) نتیجه را کاملاً عوض می‌کند.