پرش به محتوای اصلی

قانون‌های نیوتون و دینامیک (هنر)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ای از درسنامه‌ی کامل است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

دینامیک (هنر)

مجسمه چرا نمی‌افتد؟ سنباده چرا روی چوب می‌گیرد و روی شیشه سُر می‌خورد؟ فنرِ یک ماکتِ متحرک چرا برمی‌گردد؟ پاسخِ هر سه یک چیز است: نیرو.

نیرو، برهم‌کنشِ دو جسم

نیرو حاصلِ برهم‌کنشِ دو جسم بر یکدیگر است؛ کمیتی برداری با اندازه، جهت و نقطهٔ اثر، و یکای نیوتون (N). اثرِ نیرو می‌تواند تغییرِ اندازهٔ سرعت، تغییرِ جهتِ سرعت، تغییرِ شکلِ جسم یا شروع و توقفِ حرکت باشد. نیرو را با نیروسنج می‌سنجند و با پاره‌خطِ جهت‌دار و مقیاسِ مناسب رسم می‌کنند.

نیروهایی که هر روز با آن‌ها سروکار داری

وزن: W⃗=mg⃗\vec{W} = m\vec{g}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، همیشه رو به مرکزِ زمین. جرم ثابت است ولی وزن با مکان عوض می‌شود (ggادامهٔ فرمول را افقی ببین روی زمین ۹.۸، ماه ۱.۶ و مریخ ۳.۷ نیوتون بر کیلوگرم).

نیروی عمودیِ سطح (FNF_Nادامهٔ فرمول را افقی ببین): از سطح، عمود بر آن و رو به بیرون. روی سطحِ افقیِ ساکن FN=mgF_N = mgادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ در آسانسورِ شتاب‌دار به بالا FN=m(g+a)F_N = m(g+a)ادامهٔ فرمول را افقی ببین و به پایین FN=m(g−a)F_N = m(g-a)ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ در سقوطِ آزاد FN=0F_N = 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی بی‌وزنی — که به معنیِ نبودِ وزن نیست، بلکه احساس‌نکردنِ آن است.

اصطکاک: ایستایی تا آستانهٔ حرکت متغیر است، fs≤μsFNf_s \leq \mu_s F_Nادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ و جنبشی هنگامِ لغزش تقریباً ثابت است، fk=μkFNf_k = \mu_k F_Nادامهٔ فرمول را افقی ببین، همیشه با μk<μs\mu_k < \mu_sادامهٔ فرمول را افقی ببین. نکتهٔ خلافِ شهود: اصطکاک به مساحتِ سطحِ تماس بستگی ندارد، به جنسِ سطح و نیروی عمودی بستگی دارد.

کششِ طناب: طناب فقط می‌کشد، نمی‌فشارد؛ در طنابِ سبک کشش در همهٔ نقاط یکسان است.

فنر (قانونِ هوک): Fe=kxF_e = kxادامهٔ فرمول را افقی ببین، همیشه رو به نقطهٔ تعادل. شیبِ نمودارِ FeF_eادامهٔ فرمول را افقی ببین برحسب xxادامهٔ فرمول را افقی ببین همان kkادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ هرچه بزرگ‌تر، فنر سخت‌تر. فنرهای موازی سخت‌تر می‌شوند (keq=k1+k2k_{eq} = k_1 + k_2ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و فنرهای سری نرم‌تر.

مقاومتِ شاره: نیرویی که سیال در خلافِ جهتِ حرکت وارد می‌کند و به تندی، شکل و اندازهٔ جسم و چگالیِ سیال بستگی دارد. وقتی این نیرو با وزن برابر شود، شتاب صفر می‌شود و جسم با تندیِ حدی پیش می‌رود.

سه قانونِ نیوتون

قانونِ اول (لختی): اگر نیروی خالص صفر باشد، جسمِ ساکن ساکن می‌ماند و جسمِ متحرک با همان سرعت و در همان جهت ادامه می‌دهد:

F⃗net=0⇒v⃗=ثابت\vec{F}_{net} = 0 \Rightarrow \vec{v} = \text{ثابت}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

«نیروهای متوازن» یعنی برایندِ صفر، نه نبودِ نیرو. لختی هم مقاومتِ جسم در برابرِ تغییرِ حالتِ حرکت است و با جرم بیشتر می‌شود.

قانونِ دوم:

F⃗net=ma⃗\vec{F}_{net} = m\vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

F⃗net\vec{F}_{net}ادامهٔ فرمول را افقی ببین برایندِ برداریِ همهٔ نیروهاست، نه یکی از آن‌ها؛ و شتاب همیشه هم‌جهتِ نیروی خالص است.

قانونِ سوم (کنش و واکنش):

F⃗12=−F⃗21\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

هم‌اندازه، هم‌راستا، خلافِ جهت، از یک نوع، و — مهم‌تر از همه — بر دو جسمِ متفاوت. پس هرگز با هم جمع نمی‌شوند و نمی‌توانند یکدیگر را خنثی کنند.

تکانه و ضربه

p⃗=mv⃗,F⃗net=Δp⃗Δt,J⃗=F⃗net Δt=Δp⃗\vec{p} = m\vec{v},\qquad \vec{F}_{net} = \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t},\qquad \vec{J} = \vec{F}_{net}\,\Delta t = \Delta\vec{p}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

همین رابطه توضیح می‌دهد چرا کیسهٔ هوا جان می‌رهاند: با بزرگ‌شدنِ Δt\Delta tادامهٔ فرمول را افقی ببین، نیروی وارد بر سرنشین کوچک می‌شود. اگر نیروی خالصِ خارجیِ سامانه صفر باشد، تکانهٔ کل پایسته است.

حرکتِ دایره‌ای یکنواخت

اندازهٔ سرعت ثابت است ولی جهتش پیوسته عوض می‌شود؛ پس شتاب وجود دارد و رو به مرکز است:

ac=v2r,Fnet=mv2r,T=2πrva_c = \frac{v^2}{r},\qquad F_{net} = \frac{mv^2}{r},\qquad T = \frac{2\pi r}{v}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

نیروی مرکزگرا نوعِ تازه‌ای از نیرو نیست؛ نقشی است که نیروهای موجود بازی می‌کنند: گرانش برای ماه، اصطکاکِ ایستایی برای خودرو در پیچ، و کششِ نخ برای توپی که به نخ بسته شده است.

گرانشِ عمومی

F=Gm1m2r2,g=GMeRe2F = G\frac{m_1 m_2}{r^2},\qquad g = \frac{GM_e}{R_e^2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

اگر فاصله دو برابر شود، نیروی گرانشی چهار برابر کم می‌شود. برای ماهواره در مدارِ دایره‌ای، گرانش همان نقشِ مرکزگرا را دارد و به v=GMe/rv = \sqrt{GM_e/r}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسیم.

وقتی سطح شیب دارد

روی شیبی به زاویهٔ θ\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین، وزن به دو مؤلفه تجزیه می‌شود: mgsin⁡θmg\sin\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین در راستای شیب و mgcos⁡θmg\cos\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین عمود بر آن. پس FN=mgcos⁡θF_N = mg\cos\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین و برای جسمی که با اصطکاکِ جنبشی رو به پایین می‌لغزد:

a=g(sin⁡θ−μkcos⁡θ)a = g(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)ادامهٔ فرمول را افقی ببین

هرچه شیب تندتر باشد سهمِ sin⁡θ\sin\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین بیشتر و سهمِ اصطکاک کمتر می‌شود — همان چیزی که تصمیم می‌گیرد یک قطعه روی تختهٔ کج بماند یا سُر بخورد.

تله‌های رایج

  • روی سطحِ شیب‌دار FN=mgcos⁡θF_N = mg\cos\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین است، نه mgmgادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • μsFN\mu_s F_Nادامهٔ فرمول را افقی ببین سقفِ اصطکاکِ ایستایی است، نه مقدارِ همیشگیِ آن.
  • در حرکتِ دایره‌ایِ یکنواخت کارِ نیروی مرکزگرا صفر است، چون بر جابه‌جایی عمود است.
  • اگر A با نیروی FFادامهٔ فرمول را افقی ببین به B نیرو وارد کند، B هم با همان FFادامهٔ فرمول را افقی ببین (نه 2F2Fادامهٔ فرمول را افقی ببین) به A نیرو وارد می‌کند.

سؤال تستی

۱۰ تست با پاسخنامه‌ی تحلیلی — برای دیدن بزن

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. یک فنر به طول طبیعی L0L_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین با ثابت k=100 N/mk = 100\,\text{N/m}ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی سطح افقی بدون اصطکاک قرار دارد. یک سر فنر به دیوار و سر دیگر آن به جسمی به جرم m=2 kgm = 2\,\text{kg}ادامهٔ فرمول را افقی ببین متصل است. جسم را x=20 cmx = 20\,\text{cm}ادامهٔ فرمول را افقی ببین از حالت تعادل کشیده و رها می‌کنیم. جسم در حالی که به سمت دیوار حرکت می‌کند، در لحظه‌ای که از نقطه تعادل عبور می‌کند، چه نیرویی از طرف فنر به آن وارد می‌شود؟

  • 0 N0\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 5 N5\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 10 N10\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 20 N20\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«0 N0\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. در نقطه‌ی تعادل، فنر به حالتِ طبیعیِ خود بازگشته است، بنابراین تغییرِ طول x=0x=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ طبقِ قانونِ هوکِ Fe=kxF_e=kxادامهٔ فرمول را افقی ببین، نیرویِ کشسانیِ فنر در این نقطه صفر است. «5 N5\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است و از فرضِ نادرستِ x=5 cmx=5\,\text{cm}ادامهٔ فرمول را افقی ببین (به‌جایِ x=0x=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین در نقطه‌ی تعادل) به دست می‌آید. «10 N10\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است و از فرضِ مشابهی با x=10 cmx=10\,\text{cm}ادامهٔ فرمول را افقی ببین ناشی می‌شود. «20 N20\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است؛ این عدد نیرویِ *اولیه* در لحظه‌ی رهاشدن است (kx=100×0.2=20 Nkx=100\times0.2=20\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، نه نیرو در نقطه‌ی تعادل. تله‌ی تستی: در نوسانِ فنر-جسم، نیرویِ کشسانی همیشه در نقطه‌ی تعادل (نه در نقاطِ ابتداییِ کشش) صفر می‌شود؛ نباید نیرویِ لحظه‌ی رهاشدن را با نیروی نقطه‌ی تعادل اشتباه گرفت.

2. یک فنر به طول طبیعی L0L_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ثابت kkادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم. آن را به دو فنر مساوی (هر یک به طول L02\dfrac{L_0}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ثابت k′k'ادامهٔ فرمول را افقی ببین) برش می‌دهیم. اگر دو فنر حاصل را به صورت موازی ببندیم، ثابت فنر معادل keqk_{eq}ادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • keq=0.5kk_{eq}=0.5kادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • keq=1.0kk_{eq}=1.0kادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • keq=2.0kk_{eq}=2.0kادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • keq=4.0kk_{eq}=4.0kادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«keq=4.0kk_{eq}=4.0kادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. با برش فنر به دو نیمه، ثابت هر نیمه k′=2kk'=2kادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود (چون k∝1Lk\propto\frac{1}{L}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و طول هر نیمه نصف شده است). در اتصال موازی، keq=k′+k′=2k+2k=4kk_{eq}=k'+k'=2k+2k=4kادامهٔ فرمول را افقی ببین. «keq=0.5kk_{eq}=0.5kادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است؛ این گزینه انگار طول را دو برابر و ثابت را نصف کرده، درحالی‌که برش باعث افزایش ثابت فنر می‌شود نه کاهش آن. «keq=1.0kk_{eq}=1.0kادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است؛ این گزینه اثر برش فنر روی ثابت آن را کلاً نادیده می‌گیرد. «keq=2.0kk_{eq}=2.0kادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است؛ این گزینه فقط ثابت یک نیمه‌ی برش‌خورده (k′=2kk'=2kادامهٔ فرمول را افقی ببین) را به‌عنوان پاسخ نهایی در نظر گرفته، بدون لحاظ‌کردن اتصال موازیِ دو نیمه. تله‌ی تستی: بریدن یک فنر، ثابت آن را افزایش می‌دهد (چون k∝1/Lk\propto1/Lادامهٔ فرمول را افقی ببین)؛ این نکته برخلاف تصور شهودیِ برخی دانش‌آموزان است که فکر می‌کنند فنر کوتاه‌تر «نرم‌تر» می‌شود.

3. دو گلوله AAادامهٔ فرمول را افقی ببین و BBادامهٔ فرمول را افقی ببین به ترتیب با جرم‌های mmادامهٔ فرمول را افقی ببین و 2m2mادامهٔ فرمول را افقی ببین از ارتفاع یکسان hhادامهٔ فرمول را افقی ببین از سطح زمین رها می‌شوند. اگر مقاومت هوا ناچیز باشد، در لحظه برخورد با زمین، نسبت اندازه تکانه گلوله AAادامهٔ فرمول را افقی ببین به اندازه تکانه گلوله BBادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • 12\dfrac{1}{\sqrt2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 12\dfrac{1}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 24\dfrac{\sqrt2}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2\sqrt{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«12\dfrac{1}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. سرعتِ هر دو گلوله در لحظه‌ی برخورد یکسان و برابرِ v=2ghv=\sqrt{2gh}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است (مستقل از جرم). تکانه‌ی AAادامهٔ فرمول را افقی ببین: pA=m2ghp_A=m\sqrt{2gh}ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ تکانه‌ی BBادامهٔ فرمول را افقی ببین: pB=2m2ghp_B=2m\sqrt{2gh}ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ نسبت: pApB=12\dfrac{p_A}{p_B}=\dfrac{1}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. «12\dfrac{1}{\sqrt2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است و از خلطِ رابطه‌ی تکانه (که خطی با جرم است) با رابطه‌ی انرژی (که شاملِ ریشه می‌شود) به دست می‌آید. «24\dfrac{\sqrt2}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است و از یک خطای دیگر در محاسبه‌ی نسبت ناشی می‌شود. «2\sqrt{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر» نادرست است؛ این وارونِ نسبتِ صحیح (با فرمِ نادرست) است. تله‌ی تستی: سرعتِ برخورد در سقوطِ آزاد مستقل از جرم است، اما تکانه (p=mvp=mvادامهٔ فرمول را افقی ببین) به‌طورِ خطی به جرم وابسته است؛ نسبتِ تکانه‌ها دقیقاً برابرِ نسبتِ جرم‌هاست، نه ریشه‌ی آن.

4. جسمی به جرم mmادامهٔ فرمول را افقی ببین روی یک سطح افقیِ زبر در حال حرکت است، اما ضریب اصطکاک بین جسم و سطح داده نشده است. نیروی افقی FFادامهٔ فرمول را افقی ببین در جهت حرکت به جسم وارد می‌شود و شتاب جسم aaادامهٔ فرمول را افقی ببین (هم‌جهت با FFادامهٔ فرمول را افقی ببین) است. اندازهٔ نیروی اصطکاک جنبشی وارد بر جسم بر حسب همین داده‌ها کدام است؟

  • F+maF + m aادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • ma−Fm a - Fادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • F−maF - m aادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • F−mam\dfrac{F - m a}{m}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«F−m⋅aF - m\cdot aادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. در راستایِ افق دو نیرو بر جسم اثر می‌کند: نیرویِ FFادامهٔ فرمول را افقی ببین در جهتِ حرکت و اصطکاکِ جنبشیِ fkf_kادامهٔ فرمول را افقی ببین در خلافِ آن. قانونِ دومِ نیوتون: F−fk=maF-f_k=maادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس fk=F−maf_k=F-maادامهٔ فرمول را افقی ببین. وارسیِ مستقل با حالتِ حدی و ابعاد: اگر سطح صاف بود (fk=0f_k=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین) رابطه به F=maF=maادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسید، و اگر جسم با سرعتِ ثابت می‌رفت (a=0a=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین) به fk=Ff_k=Fادامهٔ فرمول را افقی ببین — هر دو درست‌اند؛ ضمناً FFادامهٔ فرمول را افقی ببین و mamaادامهٔ فرمول را افقی ببین هر دو ابعادِ نیرو دارند، پس تفاضلشان نیرو است. «F+maF+maادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است؛ این عبارت اصطکاک را هم‌جهت با FFادامهٔ فرمول را افقی ببین فرض کرده، درحالی‌که اصطکاکِ جنبشی همواره مخالفِ جهتِ حرکت است و اگر چنین بود جسم اصلاً نمی‌توانست شتابِ مثبت بگیرد. «ma−Fma-Fادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است؛ علامتش برعکس است و چون در اینجا F>maF>maادامهٔ فرمول را افقی ببین است، مقداری منفی می‌دهد، حال آن‌که اندازهٔ نیرو نمی‌تواند منفی باشد. «F−mam\dfrac{F-ma}{m}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است؛ این کمیت ابعادِ شتاب (m/s2\text{m/s}^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین) دارد، نه نیرو. تلهٔ تستی: وقتی ضریبِ اصطکاک داده نشده و به‌جایِ آن شتاب در دست است، اصطکاک را باید مستقیماً از قانونِ دومِ نیوتون بیرون کشید؛ نوشتنِ μkmg\mu_kmgادامهٔ فرمول را افقی ببین در چنین سؤالی بی‌فایده است چون μk\mu_kادامهٔ فرمول را افقی ببین مجهول می‌ماند.

5. یک گلوله به جرم mmادامهٔ فرمول را افقی ببین با تندی vvادامهٔ فرمول را افقی ببین به دیوار برخورد می‌کند و در مدت Δt\Delta tادامهٔ فرمول را افقی ببین با تندی v3\frac{v}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین در خلاف جهت بازمی‌گردد. اندازه نیروی متوسطی که دیوار به گلوله وارد می‌کند کدام است؟

  • 4mv3Δt\frac{4mv}{3\Delta t}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2mv3Δt\frac{2mv}{3\Delta t}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • mv3Δt\frac{mv}{3\Delta t}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • mvΔt\frac{mv}{\Delta t}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«4mv3Δt\frac{4mv}{3\Delta t}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. تغییر تکانه Δp=p2−p1\Delta p = p_2 - p_1ادامهٔ فرمول را افقی ببین. تکانه اولیه mvmvادامهٔ فرمول را افقی ببین به سمت دیوار است، تکانه نهایی mv3\frac{mv}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین در خلاف جهت، پس Δp=mv3−(−mv)=4mv3\Delta p = \frac{mv}{3} - (-mv) = \frac{4mv}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. اندازه نیروی متوسط F=∣Δp∣Δt=4mv3ΔtF = \frac{|\Delta p|}{\Delta t} = \frac{4mv}{3\Delta t}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. «2mv3Δt\frac{2mv}{3\Delta t}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است و از نادیده‌گرفتنِ برگشتِ جهتِ حرکت به دست می‌آید (فرضِ نادرستِ Δp=mv−mv3\Delta p=mv-\frac{mv}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین به‌جایِ جمعِ دو تکانه در خلافِ جهتِ هم). «mv3Δt\frac{mv}{3\Delta t}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است؛ این فقط تکانه‌ی نهایی است، بدونِ لحاظ‌کردنِ تکانه‌ی اولیه. «mvΔt\frac{mv}{\Delta t}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است؛ این فقط تکانه‌ی اولیه است، بدونِ لحاظ‌کردنِ برگشتِ گلوله. تله‌ی تستی: چون گلوله در خلافِ جهتِ اولیه بازمی‌گردد، تکانه‌ی نهایی و اولیه علامتِ مخالف دارند و باید *جمع* شوند (نه تفریق)؛ فراموش‌کردنِ این نکته رایج‌ترین خطا در مسائلِ برخوردِ کشسانِ با دیوار است.

6. جسمی به جرم mmادامهٔ فرمول را افقی ببین روی یک سطح افقی با ضریب اصطکاک ایستایی μs\mu_sادامهٔ فرمول را افقی ببین قرار دارد. یک نیروی افقی متغیر FFادامهٔ فرمول را افقی ببین به جسم وارد می‌شود و به تدریج از صفر افزایش می‌یابد. در لحظه‌ای که جسم هنوز حرکت نکرده است، اگر اندازه FFادامهٔ فرمول را افقی ببین به 34μsmg\frac{3}{4}\mu_s mgادامهٔ فرمول را افقی ببین رسیده باشد، نیروی اصطکاک ایستایی وارد بر جسم چند نیوتون است؟ (جرم جسم 2 kg2\,\text{kg}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، μs=0.4\mu_s = 0.4ادامهٔ فرمول را افقی ببین و g=10 ms2g = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین)

  • 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 88ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 55ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«66ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. تا زمانی‌که جسم حرکت نکند، نیرویِ اصطکاکِ ایستایی دقیقاً برابرِ نیرویِ محرک است. با F=34μsmgF=\frac{3}{4}\mu_smgادامهٔ فرمول را افقی ببین: مقدارِ عددیِ آن 34×0.4×2×10=6 N\frac{3}{4}\times0.4\times2\times10=6\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود. «88ادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است؛ این عدد برابرِ *بیشینه‌ی* اصطکاکِ ایستایی (μsmg\mu_smgادامهٔ فرمول را افقی ببین) است که در این لحظه هنوز به آن نرسیده‌ایم. «33ادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است و از ضربِ اشتباهِ 34\frac{3}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین در جرم (بدونِ لحاظِ μsmg\mu_smgادامهٔ فرمول را افقی ببین کامل) به دست می‌آید. «55ادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است و میانگینِ نادرستِ دو مقدارِ دیگر است. تله‌ی تستی: تا پیش از شروعِ حرکت، اصطکاکِ ایستایی همیشه دقیقاً برابرِ نیرویِ اعمالی است، نه مقدارِ بیشینه‌اش؛ بیشینه فقط سقفی است که در آستانه‌ی حرکت به آن می‌رسیم.

7. جسمی به جرم mmادامهٔ فرمول را افقی ببین روی سطح افقی با ضریب اصطکاک ایستایی μs\mu_sادامهٔ فرمول را افقی ببین قرار دارد. نیروی افقی FFادامهٔ فرمول را افقی ببین به آن وارد می‌شود. اگر FFادامهٔ فرمول را افقی ببین از صفر تا مقدار F0F_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین به طور خطی افزایش یابد و جسم در آستانه حرکت قرار گیرد، کدام رابطه بین F0F_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین و نیروی اصطکاک ایستایی fsf_sادامهٔ فرمول را افقی ببین در هر لحظه قبل از حرکت برقرار است؟

  • fs=Ff_s = Fادامهٔ فرمول را افقی ببین و F0=μsmgF_0 = \mu_s mgادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • fs=μsmgf_s = \mu_s mgادامهٔ فرمول را افقی ببین و F0=μsmgF_0 = \mu_s mgادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • fs=F0f_s = F_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین و F0>μsmgF_0 > \mu_s mgادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • fs<Ff_s < Fادامهٔ فرمول را افقی ببین و F0<μsmgF_0 < \mu_s mgادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«fs=Ff_s = Fادامهٔ فرمول را افقی ببین و F0=μsmgF_0 = \mu_s mgادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است چون تا قبل از حرکت، نیروی اصطکاک ایستایی همواره با نیروی محرکه برابر است (fs=Ff_s=Fادامهٔ فرمول را افقی ببین) و در آستانه‌ی حرکت، F0F_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین به حداکثر مقدار خود یعنی μsmg\mu_smgادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسد. «fs=μsmgf_s = \mu_s mgادامهٔ فرمول را افقی ببین و F0=μsmgF_0 = \mu_s mgادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است؛ این گزینه ادعا می‌کند fsf_sادامهٔ فرمول را افقی ببین همواره برابر μsmg\mu_smgادامهٔ فرمول را افقی ببین است، درحالی‌که این فقط در همان لحظه‌ی آستانه‌ی حرکت صادق است، نه در طول کل بازه‌ی افزایش FFادامهٔ فرمول را افقی ببین. «fs=F0f_s = F_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین و F0>μsmgF_0 > \mu_s mgادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است؛ در آستانه‌ی حرکت (نه پس از آن)، F0F_0ادامهٔ فرمول را افقی ببین دقیقاً برابر μsmg\mu_smgادامهٔ فرمول را افقی ببین است، نه بزرگ‌تر از آن. «fs<Ff_s < Fادامهٔ فرمول را افقی ببین و F0<μsmgF_0 < \mu_s mgادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است؛ تا پیش از حرکت، اصطکاک ایستایی همیشه دقیقاً با FFادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر است (نه کمتر)، چون طبق قانون دوم نیوتون در حالت سکون، برایند نیروها باید صفر باشد. تله‌ی تستی: نباید مقدار متغیرِ اصطکاک ایستایی (fs=Ff_s=Fادامهٔ فرمول را افقی ببین، تا قبل از حرکت) را با مقدار ثابتِ بیشینه‌ی آن (fs,max=μsmgf_{s,max}=\mu_smgادامهٔ فرمول را افقی ببین، فقط در آستانه‌ی حرکت) یکی گرفت.

8. ماهواره‌ای در مداری دایره‌ای به شعاع rrادامهٔ فرمول را افقی ببین به دور زمین می‌چرخد. اگر جرم زمین MeM_eادامهٔ فرمول را افقی ببین و شعاع آن ReR_eادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، کدام رابطه تندی مداری vvادامهٔ فرمول را افقی ببین را بر حسب rrادامهٔ فرمول را افقی ببین به‌درستی نشان می‌دهد؟ (ثابت گرانش عمومی GGادامهٔ فرمول را افقی ببین است)

  • v=GMe2rv = \sqrt{\frac{GM_e}{2r}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • v=GMerv = \sqrt{\frac{GM_e}{r}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • v=GMerv = \frac{GM_e}{r}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • v=2GMerv = \sqrt{\frac{2GM_e}{r}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«v=GMerv = \sqrt{\frac{GM_e}{r}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. با برابر قرار دادن نیروی گرانش F=GMemr2F = G\frac{M_e m}{r^2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و نیروی مرکزگرا Fc=mv2rF_c = \frac{mv^2}{r}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، به رابطه v=GMerv = \sqrt{\frac{GM_e}{r}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسیم. «v=GMe2rv = \sqrt{\frac{GM_e}{2r}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است و از افزودنِ نادرستِ ضریبِ ۲ در مخرج (شاید با خلطِ این رابطه با فرمولِ انرژیِ پتانسیل) به دست می‌آید. «v=GMerv = \frac{GM_e}{r}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است؛ این عبارت فراموش کرده که پس از برابرگذاریِ دو نیرو باید از هر دو طرف جذر گرفت. «v=2GMerv = \sqrt{\frac{2GM_e}{r}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است؛ این در واقع فرمولِ *تندیِ گریز* (vescv_{esc}ادامهٔ فرمول را افقی ببین) است، نه تندیِ مداریِ دایره‌ای. تله‌ی تستی: تندیِ مداری (GMe/r\sqrt{GM_e/r}ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و تندیِ گریز (2GMe/r\sqrt{2GM_e/r}ادامهٔ فرمول را افقی ببین) فقط با یک ضریبِ 2\sqrt2ادامهٔ فرمول را افقی ببین با هم تفاوت دارند و در سؤالات کنکور اغلب عمداً به‌عنوانِ گزینه‌های فریب‌دهنده کنارِ هم قرار می‌گیرند.

9. جسمی به جرم mmادامهٔ فرمول را افقی ببین روی سطح افقی با ضریب اصطکاک جنبشی μk\mu_kادامهٔ فرمول را افقی ببین در حال حرکت است. با اعمال یک نیروی افقی FFادامهٔ فرمول را افقی ببین در خلاف جهت سرعت، شتاب جسم به صفر می‌رسد. در این حالت، کدام گزینه رابطه بین FFادامهٔ فرمول را افقی ببین و نیروهای دیگر را به‌درستی بیان می‌کند؟ (ggادامهٔ فرمول را افقی ببین شتاب گرانش است)

  • F=μkmgF = \mu_k mgادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • F=0.5μkmgF = 0.5\mu_k mgادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • F=2μkmgF = 2\mu_k mgادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • F=μsmgF = \mu_s mgادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«F=μkmgF = \mu_k mgادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. وقتی شتاب صفر می‌شود، برایندِ نیروها در راستایِ افقی صفر است: نیرویِ FFادامهٔ فرمول را افقی ببین (در خلافِ جهتِ حرکت) باید دقیقاً با اصطکاکِ جنبشی (fk=μkFN=μkmgf_k=\mu_kF_N=\mu_kmgادامهٔ فرمول را افقی ببین) برابر شود. «F=0.5μkmgF = 0.5\mu_k mgادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است؛ این نصفِ مقدارِ لازم را نشان می‌دهد. «F=2μkmgF = 2\mu_k mgادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است؛ این دو برابرِ مقدارِ صحیح است. «F=μsmgF = \mu_s mgادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است؛ چون جسم در حالِ حرکت است، باید از ضریبِ اصطکاکِ *جنبشی* استفاده کرد، نه ایستایی. تله‌ی تستی: در حرکت با سرعتِ ثابت (شتابِ صفر)، همیشه ضریبِ اصطکاکِ جنبشی (μk\mu_kادامهٔ فرمول را افقی ببین) به‌کار می‌رود، نه ایستایی (μs\mu_sادامهٔ فرمول را افقی ببین)؛ ضریبِ ایستایی فقط پیش از شروعِ حرکت موضوعیت دارد.

10. جسمی به جرم mmادامهٔ فرمول را افقی ببین روی سطح افقی در حال حرکت است. نیروی اصطکاک جنبشی بین جسم و سطح fk=μkFNf_k = \mu_k F_Nادامهٔ فرمول را افقی ببین است. اگر نیروی FFادامهٔ فرمول را افقی ببین به طور افقی به جسم وارد شود و F>fkF > f_kادامهٔ فرمول را افقی ببین، شتاب جسم برابر a=F−fkma = \frac{F - f_k}{m}ادامهٔ فرمول را افقی ببین خواهد بود. حال فرض کنید جرم جسم m=4 kgm = 4\,\text{kg}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، ضریب اصطکاک جنبشی μk=0.3\mu_k = 0.3ادامهٔ فرمول را افقی ببین و شتاب گرانشی g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد. اگر نیروی FFادامهٔ فرمول را افقی ببین به گونه‌ای باشد که F=3 fkF = 3 \, f_kادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، سرعت جسم پس از t=2 st = 2\,\text{s}ادامهٔ فرمول را افقی ببین از لحظه اعمال نیرو، با فرض شروع حرکت از سکون، کدام است؟

  • 12 m/s12\,\text{m/s}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 18 m/s18\,\text{m/s}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 24 m/s24\,\text{m/s}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 36 m/s36\,\text{m/s}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«12 m/s12\,\text{m/s}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است زیرا fk=μkmg=0.3×4×10=12 Nf_k=\mu_kmg=0.3\times4\times10=12\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و F=3×12=36 NF=3\times12=36\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. نیرویِ خالص Fnet=36−12=24 NF_{net}=36-12=24\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و شتاب a=244=6 m/s2a=\frac{24}{4}=6\,\text{m/s}^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود. چون جسم از سکون شروع کرده و پس از t=2 st=2\,\text{s}ادامهٔ فرمول را افقی ببین سرعتش خواسته شده: v=at=6×2=12 m/sv=at=6\times2=12\,\text{m/s}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. «18 m/s18\,\text{m/s}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است و از به‌کاربردنِ t=3 st=3\,\text{s}ادامهٔ فرمول را افقی ببین به‌جایِ t=2 st=2\,\text{s}ادامهٔ فرمول را افقی ببین (که در صورتِ سؤال داده شده) به دست می‌آید. «24 m/s24\,\text{m/s}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است؛ این عدد در واقع همان نیرویِ خالص (بر حسبِ نیوتون) است، نه سرعت. «36 m/s36\,\text{m/s}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است؛ این عدد همان FFادامهٔ فرمول را افقی ببین (بر حسبِ نیوتون) است. تله‌ی تستی: پس از محاسبه‌ی شتاب، باید دقیقاً همان زمانی را که در صورتِ سؤال داده شده است، یعنی t=2 st=2\,\text{s}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، در رابطه‌ی v=atv=atادامهٔ فرمول را افقی ببین جای‌گذاری کرد؛ استفاده از عددی دیگر (حتی نزدیک) نتیجه را کاملاً عوض می‌کند.

مباحث مرتبط

اندازه‌گیری، یکاها و ارقام بامعنا (هنر)حرکت‌شناسی و سقوط آزاد (هنر)کار، انرژی و قانون پایستگی (هنر)گرما، دما و انبساط گرمایی (هنر)الکتریسیتهٔ ساکن و قانون کولن (هنر)جریان الکتریکی و قانون اهم (هنر)مغناطیس و القای الکترومغناطیسی (هنر)بازتاب و شکست نور، آینه و عدسی (هنر)فشار، شناوری و رفتار شاره‌ها (هنر)اهرم، قرقره و ماشین‌های ساده (هنر)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان