الکتریسیته ساکن (هنر)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

برای تعادل: $qE=mg\Rightarrow q=\dfrac{mg}{E}=\dfrac{(2.56\times10^{-15})(10)}{1.60\times10^4}=1.6\times10^{-18}\,C$. تعدادِ الکترون: $n=q/e=\dfrac{1.6\times10^{-18}}{1.6\times10^{-19}}=10$. گزینه‌هایِ «$9$»، «$11$» و «$12$» را رد می‌کنیم چون با محاسبهٔ دقیقِ بالا مطابقت ندارند و از خطایِ گردکردن یا اشتباه در توانِ ده ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در این مسئله $n$ دقیقاً عددِ صحیح ($10$) به دست می‌آید، نیازی به گردکردن نیست؛ اگر پاسخِ شما عددِ صحیح نشد، در محاسبهٔ $q=mg/E$ خطا کرده‌اید.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از تعادل: $qE=mg\Rightarrow q=\dfrac{mg}E=\dfrac{(3.2\times10^{-15})(10)}{2.0\times10^5}=1.6\times10^{-19}\,C$. تعدادِ بار: $n=q/e=\dfrac{1.6\times10^{-19}}{1.6\times10^{-19}}=1$. گزینهٔ «$2$» را رد می‌کنیم چون $m$ یا $g$ را دوبرابر محاسبه کرده. گزینهٔ «$5$» و «$10$» را رد می‌کنیم چون با خطایِ توانِ ده در محاسبه به دست می‌آیند. تلهٔ تستی: این سؤال دقیقاً به $n=1$ می‌رسد — یعنی قطره فقط یک بارِ بنیادیِ اضافه دارد؛ این ساده‌ترین حالتِ ممکن در آزمایشِ میلیکان است و نباید آن را با فرضِ اشتباه پیچیده‌تر کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$10$» درست است چون از تعادل $|q|E = mg$ داریم $|q| = \frac{mg}{E} = \frac{3.2 \times 10^{-15} \times 10}{2.0 \times 10^4} = 1.6 \times 10^{-18} \, \text{C}$ و $n = \frac{|q|}{e} = \frac{1.6 \times 10^{-18}}{1.6 \times 10^{-19}} = 10$. سایر گزینه‌ها حاصل اشتباه در محاسبه $|q|$ یا تقسیم به $e$ هستند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$g$» درست است. در حالت تعادل، نیروی الکتریکی رو به بالا $$|q|E = mg$$ است. وقتی میدان قطع می‌شود، تنها نیروی وارد بر قطره وزن آن است (از مقاومت هوا صرف‌نظر شده). پس شتاب سقوط برابر $g$ است. گزینه‌های دیگر غلطند چون یا نیروی الکتریکی را همچنان مؤثر می‌دانند یا جهت آن را اشتباه گرفته‌اند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

برای تعادل $|q|E = mg$، پس $|q| = \frac{mg}{E} = \frac{3.2 \times 10^{-15} \times 10}{2.0 \times 10^{4}} = 1.6 \times 10^{-18}\,\text{C}$. تعداد الکترون $n = \frac{|q|}{e} = \frac{1.6 \times 10^{-18}}{1.6 \times 10^{-19}} = 10$. گزینه $5$ غلط است چون بار قطره نصف می‌شود. گزینه $15$ حاصل ضرب اشتباه جرم در عدد ثابت است. گزینه $20$ با فرض $E = 10^{4}$ به دست می‌آید.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گشتاورِ دوقطبی: $p=qd=(4\times10^{-9})(5\times10^{-3})=2\times10^{-11}\,C\cdot m$. گشتاورِ نیرو: $\tau=pE\sin\theta=(2\times10^{-11})(3\times10^5)(0.5)=3\times10^{-6}\,N\cdot m=3\,\mu N\cdot m$. گزینهٔ «$6$» را رد می‌کنیم چون $\sin30°=0.5$ را به‌جایِ ضرب، نادیده گرفته (انگار $\sin\theta=1$ فرض شده). گزینهٔ «$1.5$» را رد می‌کنیم چون $p=qd$ را به‌اشتباه نصف محاسبه کرده. گزینهٔ «$12$» را رد می‌کنیم چون یک عاملِ ۴ اضافی (شاید از تبدیلِ واحدِ نادرست) وارد کرده. تلهٔ تستی: پیش از هر محاسبه، حتماً $p=qd$ را با واحدهایِ $SI$ (کولن، متر) بسازید؛ فراموش‌کردنِ تبدیلِ $mm$ به $m$ رایج‌ترین خطا در این مسائل است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گشتاورِ دوقطبی: $p=qd=(2\times10^{-6})(10^{-3})=2\times10^{-9}\,C\cdot m$. میدانِ رویِ محور (برایِ $r\gg d$): $E=\dfrac{2kp}{r^3}=\dfrac{2(9\times10^9)(2\times10^{-9})}{(0.1)^3}=\dfrac{36}{10^{-3}}=3.6\times10^4\,N/C$. گزینهٔ «$1.8\times10^4$» را رد می‌کنیم چون ضریبِ $2$ در فرمولِ میدانِ محوری را نادیده گرفته (این ضریب فقط با فرمولِ عمودمنصف، که ضریبِ $1$ دارد، اشتباه می‌شود). گزینهٔ «$7.2\times10^4$» را رد می‌کنیم چون یک ضریبِ ۲ی اضافی وارد کرده. گزینهٔ «$3.6\times10^3$» را رد می‌کنیم چون توانِ $r^3$ را نادرست محاسبه کرده (یک توانِ ده جا انداخته). تلهٔ تستی: فرمولِ میدانِ دوقطبی رویِ محور ($2kp/r^3$) دو برابرِ فرمولِ عمودمنصف ($kp/r^3$) است؛ این دو را با هم اشتباه نگیرید.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$-q$» درست است. در تعادل الکتروستاتیک، میدان داخل رسانا صفر است. بنابراین بار خالص محصور توسط سطح گاوسی داخل جدارهٔ رسانا باید صفر باشد. چون بار $+q$ داخل حفره است، سطح داخلی رسانا باید بار $-q$ را القا کند تا مجموع بار درون سطح گاوسی صفر شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$2.0\times10^{3}$» درست است چون کار نیروی الکتریکی $W = q\vec{E}\cdot\Delta\vec{r}$ است. از آنجا که $\vec{E}$ فقط در راستای $x$ است، $W = qE_x\Delta x$ می‌شود. با جایگذاری $W = 1.6\times10^{-2}\,\text{J}$، $q = -4.0\times10^{-6}\,\text{C}$ و $\Delta x = 2.0\,\text{m}$، داریم $E_x = W/(q\Delta x) = 1.6\times10^{-2} / ((-4.0\times10^{-6})\times2.0) = -2.0\times10^{3}\,\text{N}/\text{C}$ که بزرگی آن $2.0\times10^{3}\,\text{N}/\text{C}$ است. سایر گزینه‌ها از اشتباه در علامت بار یا مولفه‌ی جابجایی حاصل شده‌اند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

طبقِ قانونِ کولن، $F\propto1/r^2$. با نصف‌شدنِ فاصله ($r\to r/2$): $F_{new}=\dfrac{kq_1q_2}{(r/2)^2}=\dfrac{4kq_1q_2}{r^2}=4F_0$. گزینهٔ «$2$» را رد می‌کنیم چون رابطهٔ $F\propto1/r$ (توانِ اول) را به‌جایِ $1/r^2$ به کار برده. گزینهٔ «$\frac12$» را رد می‌کنیم چون جهتِ تناسب را برعکس گرفته (فرض کرده کاهشِ فاصله نیرو را کم می‌کند). گزینهٔ «$8$» را رد می‌کنیم چون توانِ سوم به‌جایِ دوم به کار برده. تلهٔ تستی: نیرویِ کولن با عکسِ مجذورِ فاصله متناسب است؛ نصف‌کردنِ فاصله همیشه نیرو را دقیقاً چهاربرابر می‌کند، نه دوبرابر.