پرش به محتوای اصلی

جریان الکتریکی و قانون اهم (هنر)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ای از درسنامه‌ی کامل است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

الکتریسیته جاری (هنر)

نورپردازی یک نمایشگاه، از دید فیزیک

فرض کن باید نور یک گالری را بچینی: چند پروژکتور، یک دیمر، و چراغی که خودش با تاریک شدن هوا روشن شود. هر تصمیمی که می‌گیری — این لامپ یا آن یکی، سیمِ نازک یا کلفت، چراغ‌ها پشت سر هم یا هرکدام جدا — پاسخش در همین فصل است.

جریان الکتریکی

جریان یعنی شارش خالص بار از یک سطح مقطع:

I=ΔqΔtq=ItN=Ite\boxed{I = \frac{\Delta q}{\Delta t}} \qquad q = I t \qquad N = \frac{It}{e}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

یکا: آمپر (A=C/s)(A = C/s)ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

جهت قراردادی جریان در بیرون باتری از قطب مثبت به منفی است؛ حرکت واقعی الکترون‌ها در فلز خلاف آن است. نکتهٔ ظریف: سرعت سوق الکترون‌ها بسیار کم (در حد 10−4 m/s10^{-4}\ m/sادامهٔ فرمول را افقی ببین) است، ولی سیگنال با سرعتی نزدیک به نور منتقل می‌شود، چون میدان الکتریکی است که در سیم منتشر می‌شود، نه خودِ الکترون‌ها.

توان و انرژی — چیزی که قبض برق را می‌سازد

P=IΔV=I2R=(ΔV)2RU=Pt\boxed{P = I \Delta V = I^2 R = \frac{(\Delta V)^2}{R}} \qquad U = P tادامهٔ فرمول را افقی ببین

یکای توان وات (W=J/s)(W = J/s)ادامهٔ فرمول را افقی ببین و یکای عملی انرژی کیلووات‌ساعت است:

1 kWh=3.6×106 J1\ kWh = 3.6 \times 10^6\ Jادامهٔ فرمول را افقی ببین

همین‌جا یک نکتهٔ مهم برای انتخاب چراغ: لامپ رشته‌ای حدود 5%5\%ادامهٔ فرمول را افقی ببین انرژی را به نور و بقیه را به گرما تبدیل می‌کند، در حالی که LED تا حدود 50%50\%ادامهٔ فرمول را افقی ببین بازده دارد — دلیل اصلی جایگزینی آن‌ها.

مقاومت و قانون اُهم

R=ΔVIΔV=IR\boxed{R = \frac{\Delta V}{I}} \qquad \Delta V = IRادامهٔ فرمول را افقی ببین

یکا: اُهم (Ω=V/A)(\Omega = V/A)ادامهٔ فرمول را افقی ببین. در رسانای اُهمی و دمای ثابت، RRادامهٔ فرمول را افقی ببین مستقل از ولتاژ است و نمودار I−ΔVI-\Delta Vادامهٔ فرمول را افقی ببین خطی راست از مبدأ می‌شود. قانون اُهم یک رابطهٔ تجربی است، نه قانونی بنیادی؛ دیود، ترمیستور و LDR نمودار خطی ندارند.

مقاومت ویژه و اثر دما

R=ρLA\boxed{R = \rho \frac{L}{A}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

شهودش ساده است: سیمِ بلندتر برخورد بیشتر ← مقاومت بیشتر؛ سیمِ کلفت‌تر مسیر بیشتر ← مقاومت کمتر.

ρ=ρ0[1+α(T−T0)]R=R0[1+α(T−T0)]\boxed{\rho = \rho_0 \left[1 + \alpha(T - T_0)\right]} \qquad R = R_0 \left[1 + \alpha(T - T_0)\right]ادامهٔ فرمول را افقی ببین

برای فلزها α>0\alpha > 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین (گرم‌تر، پرمقاومت‌تر: ارتعاش شبکه برخورد را زیاد می‌کند) و برای نیم‌رساناها و کربن α<0\alpha < 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین (گرم‌تر، کم‌مقاومت‌تر: تعداد حامل بار زیاد می‌شود). در دمای بحرانی TcT_cادامهٔ فرمول را افقی ببین، مقاومت برخی مواد ناگهان صفر می‌شود: ابررسانایی.

قطعه‌هایی که به محیط پاسخ می‌دهند

قطعه رفتار کاربرد
ترمیستور مقاومت وابسته به دما (NTC/PTC) دماسنج، زنگ خطر آتش
LDR با زیاد شدن نور، مقاومت کم می‌شود چراغ خودکار، دزدگیر
دیود جریان را فقط در یک جهت می‌گذراند یکسوسازی
LED در جهت موافق نور می‌دهد؛ رنگ به جنس نیم‌رسانا بستگی دارد نورپردازی

باتری واقعی و نیروی محرکه

نیروی محرکه E\mathcal{E}ادامهٔ فرمول را افقی ببین کاری است که منبع به ازای هر کولن بار انجام می‌دهد؛ با وجود نامش یک «نیرو» نیست، اختلاف پتانسیل است:

E=WqVterminal=E−IrI=ER+r\boxed{\mathcal{E} = \frac{W}{q}} \qquad \boxed{V_{terminal} = \mathcal{E} - Ir} \qquad I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

هرچه جریان مصرفی بیشتر، ولتاژ ترمینال کمتر. در مدار باز (I=0I = 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین) ولتاژ ترمینال برابر E\mathcal{E}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

سری یا موازی؟

Req=∑iRi1Req=∑i1RiReq=R1R2R1+R2\boxed{R_{eq} = \sum_{i} R_i} \qquad \boxed{\frac{1}{R_{eq}} = \sum_{i} \frac{1}{R_i}} \qquad R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • سری: جریان همه‌جا یکسان، ولتاژ تقسیم می‌شود، مقاومت معادل از هر عضو بزرگ‌تر. تقسیم ولتاژ: ΔVi=RiReqΔV\Delta V_i = \frac{R_i}{R_{eq}} \Delta Vادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • موازی: ولتاژ همه‌جا یکسان، جریان تقسیم می‌شود، مقاومت معادل از کوچک‌ترین عضو کوچک‌تر. جریان بیشتر از مقاومت کمتر می‌گذرد.

مدار تقسیم ولتاژ (Vخروجی=R2R1+R2EV_{خروجی} = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\mathcal{E}ادامهٔ فرمول را افقی ببین) همراه با یک LDR، همان چراغی است که خودش با تاریکی روشن می‌شود.

نمونه: باتری با E=12 V\mathcal{E} = 12\ Vادامهٔ فرمول را افقی ببین و مقاومت داخلی r=2.0 Ωr = 2.0\ \Omegaادامهٔ فرمول را افقی ببین به مقاومت R=4.0 ΩR = 4.0\ \Omegaادامهٔ فرمول را افقی ببین بسته شده است؛ جریان مدار و ولتاژ دو سر باتری چقدر است؟

I=124.0+2.0=2.0 AVab=12−(2.0)(2.0)=8.0 VI = \frac{12}{4.0 + 2.0} = 2.0\ A \qquad V_{ab} = 12 - (2.0)(2.0) = 8.0\ Vادامهٔ فرمول را افقی ببین

بیشترین توان هم وقتی به مصرف‌کننده می‌رسد که R=rR = rادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد (Pmax=E24rP_{max} = \frac{\mathcal{E}^2}{4r}ادامهٔ فرمول را افقی ببین) — همان قاعده‌ای که در تطبیق آمپلی‌فایر و بلندگو به کار می‌آید.

قوانین کیرشهف

∑Iin=∑Iout∑ΔV=0\boxed{\sum I_{in} = \sum I_{out}} \qquad \boxed{\sum \Delta V = 0}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

اولی بیان پایستگی بار در هر گره و دومی بیان پایستگی انرژی در هر حلقهٔ بسته است. در پیمودن حلقه: عبور از مقاومت هم‌جهت با جریان −IR-IRادامهٔ فرمول را افقی ببین، خلاف جهت +IR+IRادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ عبور از باتری از −-ادامهٔ فرمول را افقی ببین به + برابر +E+\mathcal{E}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و برعکس −E-\mathcal{E}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

تله‌های رایج

۱. پیش از مقایسهٔ توان دو مقاومت بپرس چه چیزی ثابت است: با ولتاژ ثابت P=V2RP = \frac{V^2}{R}ادامهٔ فرمول را افقی ببین (مقاومت کمتر، توان بیشتر)، با جریان ثابت P=I2RP = I^2Rادامهٔ فرمول را افقی ببین (مقاومت بیشتر، توان بیشتر).

۲. افزودن هر مقاومت موازی، مقاومت کل را کم و جریان منبع را زیاد می‌کند.

۳. اگر نگفته باشند «باتری آرمانی»، مقاومت داخلی rrادامهٔ فرمول را افقی ببین را نادیده نگیر.

۴. آمپرسنج سری با مقاومت ناچیز بسته می‌شود و ولت‌سنج موازی با مقاومت بسیار زیاد.

سؤال تستی

۱۰ تست با پاسخنامه‌ی تحلیلی — برای دیدن بزن

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. دو مقاومت R1R_1ادامهٔ فرمول را افقی ببین و R2R_2ادامهٔ فرمول را افقی ببین (R2>R1R_2 > R_1ادامهٔ فرمول را افقی ببین) را ابتدا به صورت سری و سپس به صورت موازی به یک باتری با مقاومت داخلی ناچیز وصل می‌کنیم. اگر نسبت جریان در حالت موازی به جریان در حالت سری برابر 254\frac{25}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، نسبت R2R1\frac{R_2}{R_1}ادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • 44ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2.52.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 0.250.25ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 0.40.4ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«44ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. جریان سری: Is=ER1+R2I_s = \frac{\mathcal{E}}{R_1+R_2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، جریان موازی: Ip=EReqI_p = \frac{\mathcal{E}}{R_{eq}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین که Req=R1R2R1+R2R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. نسبت IpIs=R1+R2Req=(R1+R2)2R1R2=254\frac{I_p}{I_s} = \frac{R_1+R_2}{R_{eq}} = \frac{(R_1+R_2)^2}{R_1 R_2} = \frac{25}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. با فرض x=R2R1x = \frac{R_2}{R_1}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، داریم (1+x)2x=254\frac{(1+x)^2}{x} = \frac{25}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین که به 4x2−17x+4=04x^2 - 17x + 4 = 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌انجامد. ریشه‌ها x=4x = 4ادامهٔ فرمول را افقی ببین و x=0.25x = 0.25ادامهٔ فرمول را افقی ببین هستند. چون R2>R1R_2 > R_1ادامهٔ فرمول را افقی ببین، x=4x = 4ادامهٔ فرمول را افقی ببین درست است. گزینه 0.250.25ادامهٔ فرمول را افقی ببین ریشه دیگر معادله است ولی شرط R2>R1R_2 > R_1ادامهٔ فرمول را افقی ببین را نقض می‌کند. گزینه‌های 2.52.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 0.40.4ادامهٔ فرمول را افقی ببین حاصل محاسبات غلط‌اند. تلهٔ تستی: معادلهٔ درجه‌دومِ حاصل از این نوع مسئله همیشه دو ریشه می‌دهد که وارونِ هم‌اند (xxادامهٔ فرمول را افقی ببین و 1/x1/xادامهٔ فرمول را افقی ببین) — شرطِ اضافیِ سؤال (اینجا R2>R1R_2>R_1ادامهٔ فرمول را افقی ببین) همیشه باید برایِ انتخابِ ریشهٔ درست به‌کار رود، وگرنه هر دو ریشه به‌ظاهر معتبر به‌نظر می‌رسند.

2. یک دماسنج مقاومتی از سیم پلاتین ساخته شده است. مقاومت این دماسنج در دمای 20∘C20^\circ \text{C}ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر R0=100 ΩR_0 = 100\,\Omegaادامهٔ فرمول را افقی ببین است. این دماسنج در مجاورت یک منبع حرارتی قرار می‌گیرد و مقاومت آن به R=119.6 ΩR = 119.6\,\Omegaادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسد. اگر ضریب دمایی مقاومت ویژه پلاتین α=3.92×10−3 ∘C−1\alpha = 3.92 \times 10^{-3}\, ^\circ\text{C}^{-1}ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، دمای منبع حرارتی چند درجه سلسیوس است؟ (تغییر ابعاد سیم در اثر انبساط گرمایی ناچیز است.)

  • 45.0∘C45.0^\circ\text{C}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 50.0∘C50.0^\circ\text{C}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 55.0∘C55.0^\circ\text{C}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 70.0∘C70.0^\circ\text{C}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«70.0∘C70.0^\circ\text{C}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. با استفاده از رابطه R=R0[1+α(T−T0)]R = R_0[1 + \alpha(T - T_0)]ادامهٔ فرمول را افقی ببین، داریم 119.6=100[1+3.92×10−3(T−20)]119.6 = 100 [1 + 3.92\times10^{-3} (T - 20)]ادامهٔ فرمول را افقی ببین که پس از حل، T−20=50T - 20 = 50ادامهٔ فرمول را افقی ببین و T=70∘CT = 70^\circ\text{C}ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آید. سایر گزینه‌ها حاصل محاسبات با اشتباه در ضریب یا عملیات ریاضی هستند. تلهٔ تستی: در دماسنجِ مقاومتی، رابطهٔ R=R0[1+α(T−T0)]R=R_0[1+\alpha(T-T_0)]ادامهٔ فرمول را افقی ببین خطی است — نباید آن را با رابطهٔ نمایی یا با فرمولِ اشتباهِ R=R0eαΔTR=R_0 e^{\alpha\Delta T}ادامهٔ فرمول را افقی ببین (که در برخی مسائلِ مشابه اما نادرست به‌کار می‌رود) قاطی کرد.

3. یک باتری واقعی با نیروی محرکه E=9 V\mathcal{E} = 9 \, \text{V}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و مقاومت داخلی r=1 Ωr = 1 \, \Omegaادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم. یک مقاومت متغیر RRادامهٔ فرمول را افقی ببین به دو سر باتری وصل می‌کنیم. در حالتی که توان مصرفی در مقاومت RRادامهٔ فرمول را افقی ببین بیشینه است، چند درصد از توان کل تولیدی باتری در مقاومت RRادامهٔ فرمول را افقی ببین مصرف می‌شود؟

  • 25%25\%ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 50%50\%ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 75%75\%ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 100%100\%ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«50%50\%ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. طبق قضیه بیشینه توان انتقالی، بیشینه توان به مقاومت خارجی وقتی منتقل می‌شود که R=r=1 ΩR = r = 1 \, \Omegaادامهٔ فرمول را افقی ببین. جریان مدار I=ER+r=92=4.5 AI = \frac{\mathcal{E}}{R + r} = \frac{9}{2} = 4.5 \, \text{A}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. توان کل تولیدی باتری Ptotal=EI=9×4.5=40.5 WP_{total} = \mathcal{E} I = 9 \times 4.5 = 40.5 \, \text{W}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و توان مصرفی در RRادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر PR=I2R=(4.5)2×1=20.25 WP_R = I^2 R = (4.5)^2 \times 1 = 20.25 \, \text{W}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. درصد توان مصرفی در RRادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر 20.2540.5×100=50%\frac{20.25}{40.5} \times 100 = 50\%ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. سایر گزینه‌ها مقادیر اشتباهی از این نسبت هستند. تلهٔ تستی: در شرطِ بیشینه‌انتقالِ‌توان (R=rR=rادامهٔ فرمول را افقی ببین)، بازدهِ باتری همیشه دقیقاً 50٪50٪ادامهٔ فرمول را افقی ببین است — مستقل از مقدارِ عددیِ E\mathcal{E}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و rrادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ این نتیجهٔ کلی نباید با تصورِ نادرستِ «بیشینه‌توان یعنی بیشینه‌بازده» اشتباه گرفته شود (بازدهِ 100٪100٪ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط وقتی r=0r=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا R→∞R\to\inftyادامهٔ فرمول را افقی ببین رخ می‌دهد، نه در شرطِ بیشینه‌توان).

4. یک باتری واقعی با نیروی محرکه E=12 V\mathcal{E} = 12\,\text{V}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و مقاومت داخلی r=2 Ωr = 2\,\Omegaادامهٔ فرمول را افقی ببین به یک مقاومت متغیر RRادامهٔ فرمول را افقی ببین متصل است. اگر RRادامهٔ فرمول را افقی ببین را از صفر تا ∞\inftyادامهٔ فرمول را افقی ببین افزایش دهیم، کدام نمودار توصیف‌کننده صحیح تغییرات ولتاژ ترمینال (VabV_{ab}ادامهٔ فرمول را افقی ببین) بر حسب جریان (IIادامهٔ فرمول را افقی ببین) است؟

  • یک خط راست با شیب مثبت که از مبدأِ محورها عبور می‌کند
  • یک خط راست با شیب منفی که محور VabV_{ab}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را در 12 V12\,\text{V}ادامهٔ فرمول را افقی ببین قطع می‌کند
  • یک منحنی که ابتدا به‌صورت صعودی و سپس نزولی می‌شود
  • یک خط راست و افقی، ثابت در Vab=12 VV_{ab} = 12\,\text{V}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«یک خط راست با شیب منفی که محور VabV_{ab}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را در 12 V12\,\text{V}ادامهٔ فرمول را افقی ببین قطع می‌کند» درست است. رابطهٔ Vab=E−IrV_{ab}=\mathcal{E}-Irادامهٔ فرمول را افقی ببین یک تابعِ خطیِ VabV_{ab}ادامهٔ فرمول را افقی ببین برحسبِ IIادامهٔ فرمول را افقی ببین است با شیبِ −r=−2-r=-2ادامهٔ فرمول را افقی ببین و عرض‌ازمبدأِ E=12 V\mathcal{E}=12\,\text{V}ادامهٔ فرمول را افقی ببین (در I=0I=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین، یعنی R→∞R\to\inftyادامهٔ فرمول را افقی ببین). گزینهٔ «خطِ راستِ شیبِ مثبت از مبدأ» جهتِ شیب را برعکس گرفته و فرضِ نادرستِ Vab=IrV_{ab}=Irادامهٔ فرمول را افقی ببین (بدونِ E\mathcal{E}ادامهٔ فرمول را افقی ببین) را دارد. گزینهٔ «منحنیِ صعودی-نزولی» رفتارِ PRP_Rادامهٔ فرمول را افقی ببین برحسبِ RRادامهٔ فرمول را افقی ببین را با رفتارِ خطیِ VabV_{ab}ادامهٔ فرمول را افقی ببین برحسبِ IIادامهٔ فرمول را افقی ببین اشتباه گرفته. گزینهٔ «خطِ افقی در 12 V12\,\text{V}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» فرضِ نادرستِ باتریِ آرمانی (بدونِ افتِ داخلی) را دارد. تلهٔ تستی: رابطهٔ VabV_{ab}ادامهٔ فرمول را افقی ببین برحسبِ IIادامهٔ فرمول را افقی ببین همیشه خطی است (نه VabV_{ab}ادامهٔ فرمول را افقی ببین برحسبِ RRادامهٔ فرمول را افقی ببین، که غیرخطی است) — این تمایز بینِ دو متغیرِ مستقلِ ممکن (IIادامهٔ فرمول را افقی ببین یا RRادامهٔ فرمول را افقی ببین) منشأِ اصلیِ خطا در انتخابِ نمودارِ درست است.

5. دو مقاومت R1R_1ادامهٔ فرمول را افقی ببین و R2R_2ادامهٔ فرمول را افقی ببین که R2=2R1R_2 = 2R_1ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، ابتدا به صورت سری و سپس به صورت موازی به یک باتری با ولتاژ ثابت VVادامهٔ فرمول را افقی ببین متصل می‌شوند. نسبت توان مصرفی در حالت سری به توان مصرفی در حالت موازی (PseriesPparallel\frac{P_{series}}{P_{parallel}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین) کدام است؟

  • 29\frac{2}{9}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 23\frac{2}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 13\frac{1}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 19\frac{1}{9}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«29\frac{2}{9}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. مقاومت معادل سری Rs=R1+R2=3R1R_s = R_1 + R_2 = 3R_1ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. مقاومت معادل موازی Rp=R1R2R1+R2=2R123R1=23R1R_p = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{2R_1^2}{3R_1} = \frac{2}{3}R_1ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. با ولتاژ ثابت VVادامهٔ فرمول را افقی ببین، P=V2RP = \frac{V^2}{R}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، بنابراین Ps=V23R1P_s = \frac{V^2}{3R_1}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و Pp=V223R1=3V22R1P_p = \frac{V^2}{\frac{2}{3}R_1} = \frac{3V^2}{2R_1}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. نسبت PsPp=V23R13V22R1=29\frac{P_s}{P_p} = \frac{\frac{V^2}{3R_1}}{\frac{3V^2}{2R_1}} = \frac{2}{9}ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آید. گزینه 23\frac{2}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین حاصل اشتباه در محاسبه RpR_pادامهٔ فرمول را افقی ببین است، گزینه 13\frac{1}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین حاصل اشتباه در محاسبه PpP_pادامهٔ فرمول را افقی ببین است و گزینه 19\frac{1}{9}ادامهٔ فرمول را افقی ببین حاصل اشتباه در محاسبه RsR_sادامهٔ فرمول را افقی ببین است. تلهٔ تستی: با ولتاژِ ثابت، توان با 1/R1/Rادامهٔ فرمول را افقی ببین متناسب است، پس نسبتِ توان‌ها **معکوسِ** نسبتِ مقاومت‌هاست — مقاومتِ سری همیشه بزرگ‌تر از موازی است، پس توانِ سری همیشه کمتر از موازی است؛ فراموش‌کردنِ این وارونگی، خطایِ رایج‌ترین در این نوع سؤال است.

6. در یک سیم فلزی، اگر ولتاژ دو سر سیم ΔV\Delta Vادامهٔ فرمول را افقی ببین و مقاومت ویژه ρ\rhoادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، کدام رابطه برای سرعت سوق الکترون‌ها (vdv_dادامهٔ فرمول را افقی ببین) درست است؟ (n چگالی الکترون‌های آزاد، e بار الکترون، A سطح مقطع سیم است.)

  • vd=ΔVρL⋅1nev_d = \frac{\Delta V}{\rho L} \cdot \frac{1}{n e}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • vd=ΔVρL⋅nev_d = \frac{\Delta V}{\rho L} \cdot n eادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • vd=ΔV⋅neρLv_d = \frac{\Delta V \cdot n e}{\rho L}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • vd=ρLΔV⋅nev_d = \frac{\rho L}{\Delta V} \cdot n eادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«vd=ΔVρL⋅1nev_d=\dfrac{\Delta V}{\rho L}\cdot\dfrac{1}{ne}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. از رابطهٔ جریانِ میکروسکوپی I=neAvdI=neAv_dادامهٔ فرمول را افقی ببین و رابطهٔ ماکروسکوپیِ I=ΔV/RI=\Delta V/Rادامهٔ فرمول را افقی ببین با R=ρL/AR=\rho L/Aادامهٔ فرمول را افقی ببین: ΔVρL/A=neAvd⇒ΔV⋅AρL=neAvd\dfrac{\Delta V}{\rho L/A}=neAv_d\Rightarrow\dfrac{\Delta V\cdot A}{\rho L}=neAv_dادامهٔ فرمول را افقی ببین. با ساده‌کردنِ AAادامهٔ فرمول را افقی ببین از دو طرف: vd=ΔVρLnev_d=\dfrac{\Delta V}{\rho Lne}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. گزینهٔ «vd=ΔVρL⋅nev_d=\dfrac{\Delta V}{\rho L}\cdot neادامهٔ فرمول را افقی ببین» و «vd=ΔV⋅neρLv_d=\dfrac{\Delta V\cdot ne}{\rho L}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» جایِ neneادامهٔ فرمول را افقی ببین را در صورت/مخرج اشتباه گرفته‌اند (باید در مخرج باشد، چون سرعتِ سوق با چگالیِ بارِ حامل رابطهٔ معکوس دارد). گزینهٔ «vd=ρLΔV⋅nev_d=\dfrac{\rho L}{\Delta V}\cdot neادامهٔ فرمول را افقی ببین» کلِ کسرِ اصلی را هم وارونه کرده. تلهٔ تستی: در ترکیبِ رابطهٔ میکروسکوپیِ I=neAvdI=neAv_dادامهٔ فرمول را افقی ببین با قانونِ اهمِ ماکروسکوپی، سطحِ مقطعِ AAادامهٔ فرمول را افقی ببین همیشه از دو طرفِ معادله حذف می‌شود — اگر در پاسخِ نهایی هنوز AAادامهٔ فرمول را افقی ببین باقی مانده باشد، جایی در جبر اشتباه شده است.

7. یک باتری واقعی با نیروی محرکه E\mathcal{E}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و مقاومت داخلی rrادامهٔ فرمول را افقی ببین، به یک مقاومت متغیر RRادامهٔ فرمول را افقی ببین وصل شده است. اگر مقاومت RRادامهٔ فرمول را افقی ببین را افزایش دهیم، کدام گزینه درست است؟

  • توان مصرفی در مقاومت RRادامهٔ فرمول را افقی ببین همواره افزایش می‌یابد.
  • ولتاژ دو سر باتری (Vt)(V_t)ادامهٔ فرمول را افقی ببین کاهش می‌یابد.
  • توان اتلافی در مقاومت داخلی rrادامهٔ فرمول را افقی ببین افزایش می‌یابد.
  • بازده مدار (VtE)\left(\frac{V_t}{\mathcal{E}}\right)ادامهٔ فرمول را افقی ببین افزایش می‌یابد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«بازده مدار (Vt/EV_t/\mathcal{E}ادامهٔ فرمول را افقی ببین) افزایش می‌یابد» درست است. با افزایشِ RRادامهٔ فرمول را افقی ببین، جریانِ مدار I=E/(R+r)I=\mathcal{E}/(R+r)ادامهٔ فرمول را افقی ببین کاهش می‌یابد. افتِ ولتاژِ داخلی IrIrادامهٔ فرمول را افقی ببین نیز کاهش می‌یابد، پس Vt=E−IrV_t=\mathcal{E}-Irادامهٔ فرمول را افقی ببین **افزایش** می‌یابد، و درنتیجه بازده Vt/EV_t/\mathcal{E}ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم افزایش می‌یابد. گزینهٔ «توانِ RRادامهٔ فرمول را افقی ببین همواره افزایش می‌یابد» نادرست است چون PRP_Rادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط تا R=rR=rادامهٔ فرمول را افقی ببین افزایشی است و پس از آن کاهش می‌یابد — «همواره» برایِ کلِ بازه صادق نیست. گزینهٔ «ولتاژِ دو سرِ باتری کاهش می‌یابد» جهتِ تغییرِ VtV_tادامهٔ فرمول را افقی ببین را کاملاً برعکس گرفته. گزینهٔ «توانِ اتلافی در rrادامهٔ فرمول را افقی ببین افزایش می‌یابد» هم نادرست است چون Pr=I2rP_r=I^2rادامهٔ فرمول را افقی ببین با کاهشِ IIادامهٔ فرمول را افقی ببین همیشه کاهش می‌یابد، نه افزایش. تلهٔ تستی: با افزایشِ بارِ خارجی (RRادامهٔ فرمول را افقی ببین)، جریان همیشه کاهش می‌یابد، و این کاهشِ جریان باعثِ کاهشِ **همهٔ** کمیت‌هایِ وابسته به IIادامهٔ فرمول را افقی ببین به‌شکلِ مستقیم یا مربعی می‌شود (PrP_rادامهٔ فرمول را افقی ببین، افتِ داخلی) — فقط VtV_tادامهٔ فرمول را افقی ببین و بازده، به‌خاطرِ رابطهٔ معکوسشان با افتِ داخلی، افزایش می‌یابند.

8. یک مقاومت استوانه‌ای از ماده‌ای با مقاومت ویژه ρ\rhoادامهٔ فرمول را افقی ببین ساخته شده است. طول آن LLادامهٔ فرمول را افقی ببین و سطح مقطع آن AAادامهٔ فرمول را افقی ببین است. اگر این مقاومت را از وسط (عمود بر محور) به دو نیم استوانه مساوی برش دهیم و سپس آن‌ها را به صورت موازی کنار هم قرار دهیم، مقاومت معادل این ترکیب چند برابر مقاومت اولیه است؟

  • 14\frac{1}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 12\frac{1}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«14\frac{1}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. مقاومتِ اولیه R0=ρL/AR_0=\rho L/Aادامهٔ فرمول را افقی ببین. پس از برشِ عمود بر محور، هر نیم‌استوانه طولِ L/2L/2ادامهٔ فرمول را افقی ببین و همان سطحِ مقطعِ AAادامهٔ فرمول را افقی ببین را دارد (چون برش عرضی است، نه طولی): R=ρ(L/2)/A=R0/2R=\rho(L/2)/A=R_0/2ادامهٔ فرمول را افقی ببین. با موازی‌کردنِ دو مقاومتِ برابرِ R0/2R_0/2ادامهٔ فرمول را افقی ببین: Req=(R0/2)/2=R0/4R_{eq}=(R_0/2)/2=R_0/4ادامهٔ فرمول را افقی ببین. گزینهٔ «12\frac{1}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» فقط مقاومتِ یک نیم‌استوانه را گزارش کرده و موازی‌شدنِ دوباره را نادیده گرفته. گزینهٔ «11ادامهٔ فرمول را افقی ببین» فرضِ نادرستِ بی‌اثربودنِ کاملِ برش را دارد. گزینهٔ «22ادامهٔ فرمول را افقی ببین» جهتِ اثرِ موازی‌شدن را برعکس گرفته. تلهٔ تستی: برشِ **عمود بر محور** (نه امتدادِ طولی) طولِ هر تکه را نصف می‌کند اما سطحِ مقطع را دست‌نخورده می‌گذارد — این دقیقاً برعکسِ برشِ طولی (که سطحِ مقطع را نصف و طول را دست‌نخورده می‌گذارد) است؛ خلطِ این دو نوعِ برش، منشأِ اصلیِ خطا در این نوع سؤال است.

9. یک باتری با نیروی محرکه E=9.0 V\mathcal{E} = 9.0\,\text{V}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و مقاومت داخلی r=0.50 Ωr = 0.50\,\Omegaادامهٔ فرمول را افقی ببین به یک مقاومت متغیر RRادامهٔ فرمول را افقی ببین متصل است. اگر مقاومت RRادامهٔ فرمول را افقی ببین از صفر تا بی‌نهایت تغییر کند، حداکثر توانی که می‌توان از باتری به RRادامهٔ فرمول را افقی ببین منتقل شود، چند وات است؟

  • 40.5 W40.5\,\text{W}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 81.0 W81.0\,\text{W}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 20.25 W20.25\,\text{W}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 162 W162\,\text{W}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«40.5 W40.5\,\text{W}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. طبقِ قضیهٔ بیشینه‌انتقالِ‌توان، حداکثر توانِ قابلِ‌انتقال به RRادامهٔ فرمول را افقی ببین زمانی رخ می‌دهد که R=rR=rادامهٔ فرمول را افقی ببین، و مقدارِ آن Pmax⁡=E2/(4r)=9.02/(4×0.50)=81/2=40.5 WP_{\max}=\mathcal{E}^2/(4r)=9.0^2/(4\times0.50)=81/2=40.5\,\text{W}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. گزینهٔ «81.0 W81.0\,\text{W}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» از فراموش‌کردنِ ضریبِ 44ادامهٔ فرمول را افقی ببین در مخرج (استفادهٔ E2/r\mathcal{E}^2/rادامهٔ فرمول را افقی ببین) حاصل می‌شود. گزینهٔ «20.25 W20.25\,\text{W}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» از دوبرابرکردنِ اشتباهِ مخرج (E2/8r\mathcal{E}^2/8rادامهٔ فرمول را افقی ببین) می‌آید. گزینهٔ «162 W162\,\text{W}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» از خطایِ محاسباتیِ دیگری (2E2/r2\mathcal{E}^2/rادامهٔ فرمول را افقی ببین) حاصل می‌شود. تلهٔ تستی: فرمولِ بیشینه‌توان همیشه دقیقاً Pmax⁡=E2/(4r)P_{\max}=\mathcal{E}^2/(4r)ادامهٔ فرمول را افقی ببین است — ضریبِ 44ادامهٔ فرمول را افقی ببین در مخرج از توانِ دومِ (R+r)=2r(R+r)=2rادامهٔ فرمول را افقی ببین در مخرجِ اصلیِ P=E2R/(R+r)2P=\mathcal{E}^2R/(R+r)^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌آید و هرگز نباید فراموش شود.

10. یک باتری واقعی با نیروی محرکه E=24 V\mathcal{E} = 24\,\text{V}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و مقاومت داخلی r=2 Ωr = 2\,\Omegaادامهٔ فرمول را افقی ببین را به یک مقاومت متغیر RRادامهٔ فرمول را افقی ببین وصل کرده‌ایم. اگر توان مصرفی در مقاومت RRادامهٔ فرمول را افقی ببین بیشینه شود، ولتاژ دو سر باتری (ولتاژ ترمینال) چند ولت است؟

  • 2424ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1212ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1818ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«1212ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است چون توان بیشینه در مقاومت خارجی وقتی است که R=r=2 ΩR=r=2\,\Omegaادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ در این حالت جریان I=ER+r=244=6 AI = \frac{\mathcal{E}}{R+r}= \frac{24}{4}=6\,\text{A}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ولتاژ ترمینال Vt=E−Ir=24−12=12 VV_t = \mathcal{E} - Ir = 24-12=12\,\text{V}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. سایر گزینه‌ها غلطند: 2424ادامهٔ فرمول را افقی ببین مربوط به مدار باز است؛ 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین حاصل 244\frac{24}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین بدون ضرب در rrادامهٔ فرمول را افقی ببین است و 1818ادامهٔ فرمول را افقی ببین حاصل 24−24424 - \frac{24}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. تلهٔ تستی: در شرطِ بیشینه‌انتقالِ‌توان (R=rR=rادامهٔ فرمول را افقی ببین)، ولتاژِ ترمینال همیشه دقیقاً نصفِ نیرویِ محرکه است (Vt=E/2V_t=\mathcal{E}/2ادامهٔ فرمول را افقی ببین) — این نتیجهٔ کلی، مستقل از مقدارِ عددیِ E\mathcal{E}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و rrادامهٔ فرمول را افقی ببین، مستقیماً قابلِ استفاده است.

مباحث مرتبط

اندازه‌گیری، یکاها و ارقام بامعنا (هنر)حرکت‌شناسی و سقوط آزاد (هنر)قانون‌های نیوتون و دینامیک (هنر)کار، انرژی و قانون پایستگی (هنر)گرما، دما و انبساط گرمایی (هنر)الکتریسیتهٔ ساکن و قانون کولن (هنر)مغناطیس و القای الکترومغناطیسی (هنر)بازتاب و شکست نور، آینه و عدسی (هنر)فشار، شناوری و رفتار شاره‌ها (هنر)اهرم، قرقره و ماشین‌های ساده (هنر)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان