گرما (هنر)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گامِ محاسبه: برایِ جامدِ همسانگرد $\beta=3\alpha$ و $V_2=V_1(1+\beta\Delta T)$، پس $V_2=V_1(1+3\alpha\Delta T)$. وارسیِ مستقل (تجزیهٔ ابعادی): مکعبی به ضلعِ $L$ داریم؛ $L_2=L(1+\alpha\Delta T)$ و $V_2=L_2^3=V_1(1+\alpha\Delta T)^3=V_1(1+3\alpha\Delta T+3\alpha^2\Delta T^2+\dots)$؛ چون $\alpha\sim10^{-5}$ است، جمله‌هایِ مرتبهٔ دوم به بعد ناچیزند و همان $V_1(1+3\alpha\Delta T)$ می‌ماند. ردِ گزینه‌ها: «$V_1(1+\alpha\Delta T)$» ضریبِ انبساطِ طولی را به‌جایِ حجمی گذاشته (ضریبِ ۳ جا افتاده). «$V_1(1+2\alpha\Delta T)$» ضریبِ انبساطِ سطحی ($2\alpha$) را به‌کار برده که مالِ مساحت است نه حجم. «$3V_1\alpha\Delta T$» خودِ تغییرِ حجم $\Delta V$ است نه حجمِ نهایی؛ حجمِ اولیه در آن جا افتاده. تلهٔ تستی: صورتِ سؤال «حجمِ نهایی» خواسته نه «تغییرِ حجم»؛ پرتکرارترین خطا این است که $\Delta V=\beta V_1\Delta T$ را به‌عنوانِ پاسخ علامت بزنند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

$\Delta L_{Al} - \Delta L_{Fe} = L_0(\alpha_{Al} - \alpha_{Fe})\Delta T = 0.001L_0 \Rightarrow 10\times10^{-6}\Delta T = 0.001 \Rightarrow \Delta T = 100\ \text{K}$. دمای نهایی $= 20 + 100 = 120°C$. گزینه‌های دیگر («$220°C$»، «$320°C$»، «$520°C$») از خطاهای محاسباتیِ رایج در این نوع مسئله (مانندِ فراموش‌کردنِ یک ضریب، اشتباه در $\Delta T$، یا خلطِ دو فرمولِ مشابه) به دست می‌آیند و با محاسبهٔ دقیق تطابق ندارند. تلهٔ تستی: $\alpha$ بسیار کوچک است؛ اگر سؤال «چند برابر شدنِ طول» بخواهد، باید از $L_2=L_1(1+\alpha\Delta T)$ استفاده کرد نه فقط $\Delta L$.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

حفره مانند کره توپر از همان جنس منبسط می‌شود: $\Delta V = \beta V_1\Delta T = 3\alpha \times \frac{4\pi r^3}{3}\Delta T = 4\pi r^3\alpha\Delta T$. گزینه‌های دیگر («$\frac{4\pi r^3\alpha\Delta T}{3}$»، «$4\pi r^2\alpha\Delta T$»، «$\frac{8\pi r^3\alpha\Delta T}{3}$») از خطاهای محاسباتیِ رایج در این نوع مسئله (مانندِ فراموش‌کردنِ یک ضریب، اشتباه در $\Delta T$، یا خلطِ دو فرمولِ مشابه) به دست می‌آیند و با محاسبهٔ دقیق تطابق ندارند. تلهٔ تستی: $\Delta T$ همیشه باید (دمای نهایی) منهایِ (دمای اولیه، با علامتِ خودش) باشد؛ نادیده‌گرفتنِ علامتِ منفیِ دمایِ اولیه رایج‌ترین خطا در این نوع مسئله است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

$Q = m[c_{یخ}(0-(-10)) + L_f + c_{آب}(20-0)] = 0.1[2100\times10 + 334000 + 4200\times20] = 0.1[21000 + 334000 + 84000] = 43900\ \text{J}$ $= 43.9\ \text{kJ}$. گزینه‌های دیگر («$50.5\ \text{kJ}$»، «$54.3\ \text{kJ}$»، «$33.4\ \text{kJ}$») از خطاهای محاسباتیِ رایج در این نوع مسئله (مانندِ فراموش‌کردنِ یک ضریب، اشتباه در $\Delta T$، یا خلطِ دو فرمولِ مشابه) به دست می‌آیند و با محاسبهٔ دقیق تطابق ندارند. تلهٔ تستی: در حینِ تغییرِ حالت، دما ثابت می‌ماند؛ گرما صرفِ شکستنِ پیوندهایِ بینِ مولکولی می‌شود نه افزایشِ دما.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

$T_1 = 300\ \text{K}$، $T_2 = 500\ \text{K}$. $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1} = \frac{500}{300} = 1.67 \Rightarrow P_2 = 1.67\ \text{atm}$. گزینه‌های دیگر («$8.4\ \text{atm}$»، «$2.5\ \text{atm}$»، «$7.44\ \text{atm}$») از خطاهای محاسباتیِ رایج در این نوع مسئله (مانندِ فراموش‌کردنِ یک ضریب، اشتباه در $\Delta T$، یا خلطِ دو فرمولِ مشابه) به دست می‌آیند و با محاسبهٔ دقیق تطابق ندارند. تلهٔ تستی: دما در قانونِ گازهایِ آرمانی ($PV=nRT$) حتماً باید بر حسبِ کلوین باشد؛ این نکته پرکاربردترین تلهٔ کنکوری در کلِ فصلِ قوانینِ گازهاست.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$76.1°C$» درست است. گرمای آزادشده از میعان و سردشدن بخار: $Q_{بخار}=0.05\times2256000+0.05\times4200\times(100-\theta)$. گرمای گرفته‌شده توسط آب: $Q_{آب}=0.5\times4200\times(\theta-20)$. با برابرقراردادن این دو و حل معادله، $\theta\approx76.1°C$. گزینه‌های دیگر («$73.7°C$»، «$34.5°C$»، «$27.3°C$») از خطاهای محاسباتیِ رایج در این نوع مسئله (مانندِ فراموش‌کردنِ یک ضریب، اشتباه در $\Delta T$، یا خلطِ دو فرمولِ مشابه) به دست می‌آیند و با محاسبهٔ دقیق تطابق ندارند. تلهٔ تستی: در مسائلِ بخار، گرمایِ نهانِ میعان ($L_v=2256\ \text{kJ/kg}$) بسیار بزرگ است؛ پیش از حل، بررسی کنید ظرفیتِ گرماییِ آبِ سرد برایِ جذبِ کلِ گرمایِ میعان کافی است یا نه — اگر کافی نباشد، بخشی از بخار میعان‌نشده می‌ماند و دما رویِ $100^\circ\text{C}$ قفل می‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گامِ محاسبه: $\sum Q=0$ با $Q=mc(\theta_f-\theta_i)$: $0.2\times450\,(\theta-100)+0.4\times4200\,(\theta-10)=0$ ⇒ $90(\theta-100)+1680(\theta-10)=0$ ⇒ $1770\theta=9000+16800=25800$ ⇒ $\theta\approx14.58°C$. وارسیِ مستقل (حالتِ حدی): ظرفیتِ گرماییِ آب $1680\ \text{J/°C}$ و آهن $90\ \text{J/°C}$ است، یعنی آب حدودِ ۱۹ برابرِ آهن است؛ پس دمایِ تعادل باید بسیار نزدیک به دمایِ اولیهٔ آب ($10°C$) بماند — و $14.6$ دقیقاً همین‌طور است. ردِ گزینه‌ها: «$20°C$» یعنی آب $10$ درجه گرم شود که $16800\ \text{J}$ می‌طلبد، ولی کلِ گرمایِ قابلِ آزادشدنِ آهن حداکثر $90\times100=9000\ \text{J}$ است — ناممکن. «$25.3°C$» از میانگینِ ساده‌ٔ وزن‌دار با جرم (بدونِ گرمایِ ویژه) می‌آید. «$12.5°C$» از گرفتنِ $\Delta\theta$ آهن برابرِ $\Delta\theta$ آب به دست می‌آید که نادرست است. تلهٔ تستی: گرمایِ ویژهٔ آب حدودِ ۹ برابرِ آهن است؛ وقتی جرمِ آب هم دو برابر باشد، دمایِ تعادل تقریباً به دمایِ آب می‌چسبد. علامت‌گذاریِ گزینهٔ وسطِ دو دما ($55°C$-گونه) خطایِ کلاسیکِ این نوع سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

$\frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2} \Rightarrow \frac{T_2}{T_1} = \frac{P_2V_2}{P_1V_1} = \frac{2P_1 \times 3V_1}{P_1V_1} = 6$. گزینه‌های دیگر («$1.5$»، «$2$»، «$0.67$») از خطاهای محاسباتیِ رایج در این نوع مسئله (مانندِ فراموش‌کردنِ یک ضریب، اشتباه در $\Delta T$، یا خلطِ دو فرمولِ مشابه) به دست می‌آیند و با محاسبهٔ دقیق تطابق ندارند. تلهٔ تستی: دما در قانونِ گازهایِ آرمانی ($PV=nRT$) حتماً باید بر حسبِ کلوین باشد؛ این نکته پرکاربردترین تلهٔ کنکوری در کلِ فصلِ قوانینِ گازهاست.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

$\frac{V_2}{V_1} = 1 + \beta\Delta T = 1 + 3\alpha\Delta T = 1 + 3 \times 20\times10^{-6} \times 50 = 1.003$. گزینه‌های دیگر («$1.001$»، «$1.006$»، «$1.009$») از خطاهای محاسباتیِ رایج در این نوع مسئله (مانندِ فراموش‌کردنِ یک ضریب، اشتباه در $\Delta T$، یا خلطِ دو فرمولِ مشابه) به دست می‌آیند و با محاسبهٔ دقیق تطابق ندارند. تلهٔ تستی: $\Delta T$ همیشه باید (دمای نهایی) منهایِ (دمای اولیه، با علامتِ خودش) باشد؛ نادیده‌گرفتنِ علامتِ منفیِ دمایِ اولیه رایج‌ترین خطا در این نوع مسئله است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

$T_1 = 200\ \text{K}$، $T_2 = 400\ \text{K}$. $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1} = 2$. گزینه‌های دیگر («$1.73$»، «$4$»، «$0.5$») از خطاهای محاسباتیِ رایج در این نوع مسئله (مانندِ فراموش‌کردنِ یک ضریب، اشتباه در $\Delta T$، یا خلطِ دو فرمولِ مشابه) به دست می‌آیند و با محاسبهٔ دقیق تطابق ندارند. تلهٔ تستی: در قوانینِ گازها دما همیشه باید بر حسبِ کلوین باشد و نسبتِ دماهایِ سلسیوس هیچ معنایی ندارد؛ همچنین در فرایندهای چندمرحله‌ای باید حالتِ میانی را جداگانه نوشت، چون هر مرحله قانونِ خودش را دارد.