پرش به محتوای اصلی

اهرم، قرقره و ماشین‌های ساده (هنر)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ای از درسنامه‌ی کامل است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

ماشین های ساده (هنر)

در کارگاه

یک مجسمهٔ سنگی سنگین را با دیلم بلند می‌کنی، دکور صحنه را با قرقره بالا می‌کشی، تختهٔ چوب را روی رمپ می‌رانی، و برای کندن یک پیچ آچار بلندتری برمی‌داری. هر بار داری با یک ماشین ساده کار می‌کنی — و همهٔ آن‌ها یک منطق مشترک دارند.

ماشین چه می‌کند و چه نمی‌کند

ماشین وسیله‌ای است که اندازه، جهت یا نقطهٔ اثر نیرو را تغییر می‌دهد.

کارکرد نمونه
تقویت نیرو دیلم، جک خودرو
تغییر جهت نیرو قرقرهٔ ثابت پرچم
تقویت جابه‌جایی یا سرعت جارو، انبرک، پارو

اما هیچ ماشینی هر سه را با هم انجام نمی‌دهد و هیچ ماشینی انرژی نمی‌آفریند. با صرف‌نظر از اصطکاک:

Wورودی=Wخروجی  ⟹  F1s1=F2s2\boxed{W_{\text{ورودی}} = W_{\text{خروجی}} \;\Longrightarrow\; F_1 s_1 = F_2 s_2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

این قانون طلایی مکانیک است: هرچه در نیرو به دست می‌آوری، دقیقاً همان‌قدر در مسافت از دست می‌دهی.

شش ماشین سادهٔ پایه در دو خانواده جای می‌گیرند: خانوادهٔ اهرم (اهرم، قرقره، چرخ و محور) و خانوادهٔ سطح شیب‌دار (سطح شیب‌دار، گوه، پیچ). چرخ‌دنده هم عملاً چرخ و محورِ دندانه‌دار است.

گشتاور نیرو، زبان مشترک خانوادهٔ اهرم

τ=F×d[N⋅m]\boxed{\tau = F \times d} \qquad [\text{N}\cdot\text{m}]ادامهٔ فرمول را افقی ببین

بازوی گشتاور فاصلهٔ عمودی محور چرخش تا امتداد خط اثر نیروست، نه فاصله تا نقطهٔ اثر. اگر نیرو با بازوی LLادامهٔ فرمول را افقی ببین زاویهٔ θ\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین بسازد:

τ=F L sin⁡θ\boxed{\tau = F\,L\,\sin\theta}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پس نیروی هم‌راستا با بازو (θ=0∘\theta = 0^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین) هیچ نمی‌چرخاند و نیروی عمود (θ=90∘\theta = 90^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین) بیشترین گشتاور را می‌دهد — به همین دلیل آچار را عمود می‌کشی، نه مورب. قرارداد علامت هم ساده است: پادساعتگرد مثبت، ساعتگرد منفی.

تعادل کامل دو شرط دارد، نه یکی:

∑F⃗=0و∑τ=0\boxed{\sum \vec{F} = 0 \qquad \text{و} \qquad \sum \tau = 0}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

اولی یعنی شتاب خطی ندارد و دومی یعنی شتاب زاویه‌ای ندارد. زوج‌نیرو — دو نیروی مساوی و مخالف که روی یک خط نیستند — برایند صفر دارد ولی جسم را می‌چرخاند؛ پس شرط اول به‌تنهایی کافی نیست.

مزیت مکانیکی و بازده

MAواقعی=FمقاومFمحرکMAایده‌آل=sورودیsخروجی=d1d2\boxed{\text{MA}_{\text{واقعی}} = \frac{F_{\text{مقاوم}}}{F_{\text{محرک}}}} \qquad \boxed{\text{MA}_{\text{ایده‌آل}} = \frac{s_{\text{ورودی}}}{s_{\text{خروجی}}} = \frac{d_1}{d_2}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

اگر MA>1\text{MA} > 1ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد ماشین نیرو را تقویت می‌کند، اگر =1=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط جهت را عوض می‌کند و اگر <1<1ادامهٔ فرمول را افقی ببین جابه‌جایی یا سرعت را تقویت می‌کند. نکتهٔ مهم: مزیت ایده‌آل را فقط از روی هندسه می‌توان به دست آورد، بی‌آنکه نیرویی اندازه بگیری.

η=WمفیدWداده‌شده×100MAواقعی=η×MAایده‌آل\boxed{\eta = \frac{W_{\text{مفید}}}{W_{\text{داده‌شده}}} \times 100} \qquad \boxed{\text{MA}_{\text{واقعی}} = \eta \times \text{MA}_{\text{ایده‌آل}}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

چون همیشه η<100%\eta < 100\%ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، مزیت واقعی همواره از ایده‌آل کمتر است. سه دلیل همیشگیِ افت بازده: اصطکاک، وزن خودِ اجزای ماشین و تغییر شکل کشسان قطعات.

نمونه: سطح شیب‌داری به طول 5 m5\,\text{m}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ارتفاع 1 m1\,\text{m}ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم و برای بالا بردن جعبه‌ای به وزن 400 N400\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی آن، نیروی 100 N100\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین لازم است؛ مزیت‌ها و بازده چقدرند؟

MAایده‌آل=51=5MAواقعی=400100=4η=45×100=80%\text{MA}_{\text{ایده‌آل}} = \frac{5}{1} = 5 \qquad \text{MA}_{\text{واقعی}} = \frac{400}{100} = 4 \qquad \eta = \frac{4}{5}\times100 = 80\%ادامهٔ فرمول را افقی ببین

اهرم

اهرم میله‌ای سخت است که حول تکیه‌گاه می‌چرخد. از شرط ∑τ=0\sum\tau = 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

F1d1=F2d2⟹MA=F2F1=d1d2\boxed{F_1 d_1 = F_2 d_2 \qquad\Longrightarrow\qquad \text{MA} = \frac{F_2}{F_1} = \frac{d_1}{d_2}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

نوع اهرم را ترتیب سه نقطه روی میله تعیین می‌کند: تکیه‌گاه (ت)، نیروی مقاوم (م)، نیروی محرک (ح).

نوع ترتیب مزیت مکانیکی نمونه‌ها
اول ح — ت — م می‌تواند >1>1ادامهٔ فرمول را افقی ببین، =1=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا <1<1ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد الاکلنگ، قیچی، دیلم، انبردست
دوم ت — م — ح همیشه >1>1ادامهٔ فرمول را افقی ببین فرغون، دربازکن، فندق‌شکن
سوم ت — ح — م همیشه <1<1ادامهٔ فرمول را افقی ببین انبرک، جارو، ساعد انسان

راه به‌یادسپاری: حرفِ وسط در هر ترتیب به‌ترتیب ت، م، ح است. در نوع دوم بازوی محرک همیشه بلندتر است، پس تقویت نیرو قطعی است؛ در نوع سوم دقیقاً برعکس. فقط نوع اول به محل تکیه‌گاه بستگی دارد.

ساعد انسان اهرم نوع سوم است: عضله باید چند برابرِ وزنهٔ در دست نیرو بدهد، اما در عوض دست با جابه‌جایی کوچکِ عضله مسافت زیادی می‌پیماید. بدن، سرعت و دامنه را به قیمت نیرو خریده است.

قرقره

  • قرقرهٔ ثابت: محورش جای ثابتی بسته شده؛ MA=1\text{MA} = 1ادامهٔ فرمول را افقی ببین و فقط جهت نیرو را عوض می‌کند. در واقع اهرم نوع اول با دو بازوی برابر است.
  • قرقرهٔ متحرک: همراه بار بالا و پایین می‌رود؛ MA=2\text{MA} = 2ادامهٔ فرمول را افقی ببین، چون دو رشته طناب وزن را نگه داشته‌اند. در ازای نصف شدن نیرو، طناب دو برابرِ بار کشیده می‌شود.

اگر وزن خودِ قرقره (wwادامهٔ فرمول را افقی ببین) قابل صرف‌نظر نباشد:

Fمحرک=Fمقاوم+w2F_{\text{محرک}} = \frac{F_{\text{مقاوم}} + w}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

در قرقرهٔ مرکب (کارگاه)، قاعده‌ای ساده هست:

MAایده‌آل=n(n=تعداد رشته‌طناب‌های نگه‌دارندهٔ بار)\boxed{\text{MA}_{\text{ایده‌آل}} = n \quad (n = \text{تعداد رشته‌طناب‌های نگه‌دارندهٔ بار})}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

فقط رشته‌هایی را بشمار که به قرقرهٔ متحرک یا خودِ بار وصل‌اند؛ رشته‌ای که دست می‌کشد تنها وقتی شمرده می‌شود که رو به بالا برود. افزودن قرقرهٔ ثابت به مزیت اضافه نمی‌کند و فقط کشیدن را راحت‌تر می‌کند، ولی هر قرقرهٔ متحرک مزیت را دو برابر می‌کند. و اگر MA=n\text{MA}=nادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، برای بالا بردن بار به اندازهٔ hhادامهٔ فرمول را افقی ببین، طناب n hn\,hادامهٔ فرمول را افقی ببین کشیده می‌شود.

چرخ و محور، چرخ‌دنده و تسمه

دو استوانهٔ هم‌محور با شعاع‌های متفاوت:

MAایده‌آل=Rr\boxed{\text{MA}_{\text{ایده‌آل}} = \frac{R}{r}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

نیرو به چرخ (شعاع بزرگ) و بار به محور (شعاع کوچک). اگر برعکس عمل کنی، نیروی بیشتری لازم است ولی سرعت خروجی زیاد می‌شود. فرمان خودرو، دستگیرهٔ در، پیچ‌گوشتی و چاه آب همه از این خانواده‌اند.

برای دو چرخ‌دندهٔ درگیر، با NNادامهٔ فرمول را افقی ببین تعداد دنده و nnادامهٔ فرمول را افقی ببین تعداد دور:

n1N1=n2N2τ2τ1=N2N1τ1ω1=τ2ω2\boxed{n_1 N_1 = n_2 N_2} \qquad \boxed{\frac{\tau_2}{\tau_1} = \frac{N_2}{N_1}} \qquad \tau_1 \omega_1 = \tau_2 \omega_2ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پس چرخ‌دندهٔ کوچک‌تر همیشه تندتر می‌چرخد، گشتاور با تعداد دنده مستقیم و سرعت با آن معکوس است، و حاصل‌ضربشان — یعنی توان — ثابت می‌ماند. دو چرخ‌دندهٔ درگیر خلاف جهت هم می‌چرخند؛ چرخ‌دندهٔ واسط فقط جهت را هم‌جهت می‌کند و نسبت سرعت نهایی را عوض نمی‌کند. در انتقال تسمه‌ای هم ω1R1=ω2R2\omega_1 R_1 = \omega_2 R_2ادامهٔ فرمول را افقی ببین برقرار است.

سطح شیب‌دار، گوه و پیچ

MAشیب‌دار=Lh=1sin⁡θF=Wsin⁡θ\boxed{\text{MA}_{\text{شیب‌دار}} = \frac{L}{h} = \frac{1}{\sin\theta}} \qquad F = W\sin\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین

هرچه شیب ملایم‌تر، مزیت بیشتر — کاری که جادهٔ مارپیچ کوهستانی می‌کند. البته با اصطکاک، ملایم‌کردنِ بی‌حدِ شیب به سود ما نیست، چون بازده افت می‌کند.

گوه سطح شیب‌دارِ متحرک است: به‌جای آنکه جسم روی آن برود، خودش در جسم پیش می‌رود (تبر، چاقو، اسکنهٔ حکاکی، میخ).

MAگوه=Lt\boxed{\text{MA}_{\text{گوه}} = \frac{L}{t}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

که LLادامهٔ فرمول را افقی ببین طول گوه و ttادامهٔ فرمول را افقی ببین ضخامت انتهای آن است؛ تیغهٔ تیزتر یعنی ttادامهٔ فرمول را افقی ببین کوچک‌تر و برش آسان‌تر.

پیچ سطح شیب‌داری است که دور استوانه پیچیده شده و فاصلهٔ دو رزوه را گام (ppادامهٔ فرمول را افقی ببین) می‌نامند. با یک دور چرخاندنِ دسته‌ای به شعاع RRادامهٔ فرمول را افقی ببین، دست مسیر 2πR2\pi Rادامهٔ فرمول را افقی ببین را می‌پیماید و پیچ فقط ppادامهٔ فرمول را افقی ببین پیش می‌رود:

MAپیچ=2πRp\boxed{\text{MA}_{\text{پیچ}} = \frac{2\pi R}{p}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

گام ریزتر یعنی مزیت بیشتر. بازده پیچ کم است، ولی همین اصطکاک زیادِ رزوه است که خودقفل‌شوندگی می‌آورد و نمی‌گذارد بار زیر جک پایین بیفتد.

کار، توان و پایداری

W=F d cos⁡θP=Wt=Fv=τ ω\boxed{W = F\,d\,\cos\theta} \qquad \boxed{P = \frac{W}{t} = F v = \tau\,\omega}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

توان همان چیزی است که ماشین نمی‌تواند تغییرش دهد؛ ماشین فقط توان را میان نیرو و سرعت بازتقسیم می‌کند.

مرکز جرم نقطه‌ای است که می‌توان کل جرم را در آن متمرکز فرض کرد:

xcm=m1x1+m2x2+⋯m1+m2+⋯\boxed{x_{\text{cm}} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + \cdots}{m_1+m_2+\cdots}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

جسم تا وقتی نمی‌افتد که خط قائمِ گذرنده از مرکز جرم درون سطح اتکا باشد. پایداری با پایین‌تر بودن مرکز جرم و پهن‌تر بودن سطح اتکا بیشتر می‌شود — قاعده‌ای که هر مجسمه‌ساز و دکورساز باید در پایهٔ کارش رعایت کند.

نوع تعادل پس از جابه‌جایی کوچک نمونه
پایدار بازمی‌گردد گلولهٔ ته کاسه
ناپایدار بیشتر دور می‌شود مداد ایستاده روی نوک
خنثی در حالت جدید می‌ماند توپ روی سطح افقی

فنر و آونگ

∣F∣=k xU=12kx2\boxed{|F| = k\,x} \qquad \boxed{U = \frac{1}{2}k x^2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

قانون هوک تا وقتی برقرار است که فنر از حد کشسانی نگذرد؛ علامت منفی در F=−kxF = -kxادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی نیروی فنر همیشه بازگرداننده است. فنرهای موازی سفت‌تر می‌شوند (k=k1+k2k = k_1 + k_2ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و فنرهای سری نرم‌تر (1k=1k1+1k2\frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین) — دقیقاً برعکس قاعدهٔ مقاومت‌های الکتریکی.

Tفنر=2πmkTآونگ=2πLg\boxed{T_{\text{فنر}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}} \qquad \boxed{T_{\text{آونگ}} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

دورهٔ تناوب نوسانگر جرم-فنر به گرانش بستگی ندارد و دورهٔ تناوب آونگ ساده به جرم و دامنه (برای زاویه‌های کوچک، کمتر از حدود 10∘10^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین). این استقلال از دامنه، همان هم‌زمانی گالیله است. ساعت پاندولی را چنان می‌سازند که T=2 sT = 2\,\text{s}ادامهٔ فرمول را افقی ببین شود؛ با g=9,8g = 9{,}8ادامهٔ فرمول را افقی ببین این یعنی طول نخ حدود یک متر.

تله‌های رایج

۱. گشتاور = نیرو ×\timesادامهٔ فرمول را افقی ببین بازوی عمود، نه فاصله تا نقطهٔ اثر.

۲. تعادل کامل هر دو شرط ∑F=0\sum F = 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ∑τ=0\sum\tau = 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین را می‌خواهد. هنگام نوشتن ∑τ=0\sum\tau = 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین، محور را روی نقطه‌ای بگذار که بیشترین نیروی مجهول از آن می‌گذرد تا حذف شود.

۳. مزیت ایده‌آل از هندسه می‌آید و مزیت واقعی از نیروها؛ همیشه واقعی کمتر است و هیچ ماشینی بازده 100%100\%ادامهٔ فرمول را افقی ببین ندارد.

۴. مزیت مکانیکی بی‌یکا است — نسبت دو نیرو یا دو طول.

۵. اهرم نوع دوم همیشه MA>1\text{MA}>1ادامهٔ فرمول را افقی ببین و نوع سوم همیشه MA<1\text{MA}<1ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ فقط نوع اول هر دو حالت را می‌پذیرد.

۶. در قرقرهٔ مرکب، مزیت برابر تعداد رشته‌طناب‌های نگه‌دارندهٔ بار است، نه تعداد قرقره‌ها.

سؤال تستی

۱۰ تست با پاسخنامه‌ی تحلیلی — برای دیدن بزن

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. کارگری با دیلمی سنگی را جابه‌جا می‌کند و کارگر دیگری با قرقرهٔ ثابتی سطلی را از چاه بالا می‌کشد. دربارهٔ کاری که این دو وسیله انجام می‌دهند، کدام مقایسه رواست؟

  • دیلم اندازهٔ نیرو را تغییر می‌دهد و قرقرهٔ ثابت جهتِ نیرو را
  • هر دو اندازهٔ نیرو را تغییر می‌دهند ولی جهت را دست‌نخورده می‌گذارند
  • دیلم جهتِ نیرو را تغییر می‌دهد و قرقرهٔ ثابت اندازهٔ نیرو را
  • هر دو جهتِ نیرو را تغییر می‌دهند ولی اندازه را دست‌نخورده می‌گذارند

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «دیلم اندازهٔ نیرو را تغییر می‌دهد و قرقرهٔ ثابت جهتِ نیرو را» درست است. دیلم اهرمی با بازوی محرکِ بلند است، پس MA>1\text{MA}>1ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود و نیروی کمتری می‌خواهد؛ اما قرقرهٔ ثابت دو بازوی برابر (هر دو برابر شعاع) دارد، پس MA=1\text{MA}=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین و تنها فایده‌اش این است که به‌جای بالا کشیدن، پایین بکشیم. «هر دو اندازهٔ نیرو را تغییر می‌دهند ولی جهت را دست‌نخورده می‌گذارند» رد می‌شود چون قرقرهٔ ثابت اصلاً نیرو را تقویت نمی‌کند. «دیلم جهتِ نیرو را تغییر می‌دهد و قرقرهٔ ثابت اندازهٔ نیرو را» رد می‌شود چون نقشِ دو وسیله را جابه‌جا کرده است. «هر دو جهتِ نیرو را تغییر می‌دهند ولی اندازه را دست‌نخورده می‌گذارند» رد می‌شود چون آن‌گاه دیلم هیچ سودی نداشت. تلهٔ تستی: بسیاری تصور می‌کنند هر ماشینی حتماً نیرو را کم می‌کند؛ اما ماشینی که فقط جهت را عوض کند نیز ماشین است.

2. یک ماشین ساده جسمی را با نیروی FFادامهٔ فرمول را افقی ببین به اندازهٔ ssادامهٔ فرمول را افقی ببین جابه‌جا می‌کند. اگر بخواهیم با همان ماشین و بدون تغییر بازده، نیروی لازم را نصف کنیم، ناگزیر کدام کمیت چه تغییری می‌کند؟

  • جابه‌جاییِ ورودی نصف می‌شود
  • جابه‌جاییِ ورودی دو برابر می‌شود
  • کارِ خروجی دو برابر می‌شود
  • توانِ ورودیِ ماشین نصف می‌شود

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «جابه‌جاییِ ورودی دو برابر می‌شود» درست است. قانون طلایی می‌گوید F1s1=F2s2F_1s_1=F_2s_2ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ اگر خروجی ثابت بماند و F1F_1ادامهٔ فرمول را افقی ببین نصف شود، لازم است s1s_1ادامهٔ فرمول را افقی ببین دو برابر شود تا حاصل‌ضرب ثابت بماند. وارسی: با نصف‌شدنِ نیرو و دوبرابرشدنِ مسافت، کارِ ورودی همان مقدارِ قبل می‌ماند ✓. «جابه‌جاییِ ورودی نصف می‌شود» رد می‌شود چون آن‌گاه کارِ ورودی یک‌چهارم می‌شد و انرژی از بین می‌رفت. «کارِ خروجی دو برابر می‌شود» رد می‌شود چون ماشین انرژی نمی‌آفریند و خروجی از ورودی بیشتر نمی‌شود. «توانِ ورودیِ ماشین نصف می‌شود» رد می‌شود چون توان به زمان بستگی دارد و در صورتِ مسئله زمانی مشخص نشده است. تلهٔ تستی: تصور رایج این است که ماشین «کار را کم می‌کند»؛ ماشین فقط کار را بین نیرو و مسافت بازتقسیم می‌کند.

3. چهار وسیلهٔ زیر را در نظر بگیرید: تبر، پیچ‌گوشتی، سرسرهٔ پارک و پلهٔ مارپیچ. کدام گزینه این وسیله‌ها را به‌درستی به دو خانوادهٔ بنیادیِ ماشین‌های ساده نسبت می‌دهد؟

  • پیچ‌گوشتی و پلهٔ مارپیچ از خانوادهٔ اهرم و تبر و سرسره از خانوادهٔ سطح شیب‌دار
  • تبر و پیچ‌گوشتی از خانوادهٔ اهرم و سرسره و پلهٔ مارپیچ از خانوادهٔ سطح شیب‌دار
  • تبر، سرسره و پلهٔ مارپیچ از خانوادهٔ سطح شیب‌دار و پیچ‌گوشتی از خانوادهٔ اهرم
  • تبر و سرسره از خانوادهٔ اهرم و پیچ‌گوشتی و پلهٔ مارپیچ از خانوادهٔ سطح شیب‌دار

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «تبر، سرسره و پلهٔ مارپیچ از خانوادهٔ سطح شیب‌دار و پیچ‌گوشتی از خانوادهٔ اهرم» درست است. تبر گوه است و گوه سطح شیب‌دارِ متحرک؛ پلهٔ مارپیچ همان پیچ است و پیچ سطح شیب‌دارِ پیچیده‌شده؛ سرسره خودش سطح شیب‌دار است. اما پیچ‌گوشتی چرخ و محور است (دستهٔ ضخیم چرخ، تیغهٔ باریک محور) و چرخ و محور از خانوادهٔ اهرم است. «تبر و پیچ‌گوشتی از خانوادهٔ اهرم و سرسره و پلهٔ مارپیچ از خانوادهٔ سطح شیب‌دار» رد می‌شود چون تبر گوه است نه اهرم. «پیچ‌گوشتی و پلهٔ مارپیچ از خانوادهٔ اهرم و تبر و سرسره از خانوادهٔ سطح شیب‌دار» رد می‌شود چون پلهٔ مارپیچ پیچ است. «تبر و سرسره از خانوادهٔ اهرم و پیچ‌گوشتی و پلهٔ مارپیچ از خانوادهٔ سطح شیب‌دار» رد می‌شود چون هر دو نسبت را وارونه کرده است. تلهٔ تستی: نامِ وسیله گمراه‌کننده است؛ ملاک این است که وسیله حول محور می‌چرخد (خانوادهٔ اهرم) یا وزن را روی شیب تجزیه می‌کند (خانوادهٔ سطح شیب‌دار).

4. ماشینی با نیروی ورودی 250 N250\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و جابه‌جاییِ ورودی 1.6 m1.6\,\text{m}ادامهٔ فرمول را افقی ببین کار می‌کند و باری به وزن 800 N800\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را 0.4 m0.4\,\text{m}ادامهٔ فرمول را افقی ببین بالا می‌برد. این ماشین چند درصد از انرژیِ داده‌شده را تلف می‌کند؟

  • 1515ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2525ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 8080ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 2020ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «2020ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. کارِ ورودی =250×1.6=400 J=250\times1.6=400\,\text{J}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و کارِ مفید =800×0.4=320 J=800\times0.4=320\,\text{J}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس بازده =320400×100=80%=\frac{320}{400}\times100=80\%ادامهٔ فرمول را افقی ببین و اتلاف =100−80=20%=100-80=20\%ادامهٔ فرمول را افقی ببین. وارسی مستقل: انرژیِ تلف‌شده =400−320=80 J=400-320=80\,\text{J}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 80400×100=20%\frac{80}{400}\times100=20\%ادامهٔ فرمول را افقی ببین ✓. «2525ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود چون از تقسیمِ اتلاف بر کارِ مفید (80320\frac{80}{320}ادامهٔ فرمول را افقی ببین) می‌آید نه بر کارِ داده‌شده. «8080ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود چون خودِ بازده است، نه درصدِ اتلاف. «1515ادامهٔ فرمول را افقی ببین» رد می‌شود چون با هیچ نسبتی از این اعداد جور درنمی‌آید. تلهٔ تستی: مخرجِ کسرِ بازده همیشه کارِ **داده‌شده** است؛ گذاشتنِ کارِ مفید در مخرج، پرتکرارترین خطای این محاسبه است.

5. دربارهٔ ماشینی که مزیت مکانیکی‌اش کوچک‌تر از یک است، کدام برداشت پذیرفتنی است؟

  • نیروی ورودی بیش از نیروی خروجی است ولی جابه‌جاییِ خروجی بیشتر می‌شود
  • نیروی ورودی کمتر از نیروی خروجی است ولی جابه‌جاییِ خروجی کمتر می‌شود
  • چنین ماشینی بی‌فایده است چون انرژی مصرف می‌کند و سودی نمی‌رساند
  • چنین ماشینی بازده‌ای بیش از صد درصد دارد و انرژی تولید می‌کند

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «نیروی ورودی بیش از نیروی خروجی است ولی جابه‌جاییِ خروجی بیشتر می‌شود» درست است. چون MA=F2F1<1\text{MA}=\frac{F_2}{F_1}<1ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی F1>F2F_1>F_2ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ و از قانون طلایی F1s1=F2s2F_1s_1=F_2s_2ادامهٔ فرمول را افقی ببین نتیجه می‌شود s2>s1s_2>s_1ادامهٔ فرمول را افقی ببین. نمونه‌اش جارو و انبرک است که با حرکتِ کوچکِ دست، دامنهٔ بزرگ می‌سازند. «نیروی ورودی کمتر از نیروی خروجی است ولی جابه‌جاییِ خروجی کمتر می‌شود» رد می‌شود چون این توصیفِ حالتِ MA>1\text{MA}>1ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. «چنین ماشینی بی‌فایده است چون انرژی مصرف می‌کند و سودی نمی‌رساند» رد می‌شود چون سودش تقویتِ سرعت و دامنه است نه نیرو. «چنین ماشینی بازده‌ای بیش از صد درصد دارد و انرژی تولید می‌کند» رد می‌شود چون بازده هرگز از صد درصد نمی‌گذرد. تلهٔ تستی: مزیت مکانیکیِ کمتر از یک نشانهٔ خرابیِ ماشین نیست؛ نشانهٔ آن است که ماشین برای سرعت طراحی شده نه برای نیرو.

6. دو ماشین AAادامهٔ فرمول را افقی ببین و BBادامهٔ فرمول را افقی ببین بارِ یکسانی را به ارتفاعِ یکسانی بالا می‌برند. مزیت مکانیکیِ ایده‌آلِ هر دو برابر است، اما بازدهِ AAادامهٔ فرمول را افقی ببین از BBادامهٔ فرمول را افقی ببین بیشتر است. کدام نتیجه درست است؟

  • نیروی لازم در AAادامهٔ فرمول را افقی ببین بیشتر از BBادامهٔ فرمول را افقی ببین است
  • نیروی لازم در AAادامهٔ فرمول را افقی ببین کمتر از BBادامهٔ فرمول را افقی ببین است
  • کارِ مفیدِ AAادامهٔ فرمول را افقی ببین بیشتر از BBادامهٔ فرمول را افقی ببین است
  • جابه‌جاییِ ورودیِ AAادامهٔ فرمول را افقی ببین بیشتر از BBادامهٔ فرمول را افقی ببین است

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «نیروی لازم در AAادامهٔ فرمول را افقی ببین کمتر از BBادامهٔ فرمول را افقی ببین است» درست است. چون MAواقعی=η×MAایده‌آل\text{MA}_{\text{واقعی}}=\eta\times\text{MA}_{\text{ایده‌آل}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و مزیتِ ایده‌آل برابر است، بازدهِ بیشتر یعنی مزیتِ واقعیِ بیشتر، و مزیتِ واقعیِ بیشتر با بارِ یکسان یعنی نیروی ورودیِ کمتر. «نیروی لازم در AAادامهٔ فرمول را افقی ببین بیشتر از BBادامهٔ فرمول را افقی ببین است» رد می‌شود چون رابطهٔ بازده و مزیتِ واقعی را وارونه گرفته است. «کارِ مفیدِ AAادامهٔ فرمول را افقی ببین بیشتر از BBادامهٔ فرمول را افقی ببین است» رد می‌شود چون کارِ مفید فقط به وزنِ بار و ارتفاع بستگی دارد و این دو در هر دو ماشین یکسان‌اند. «جابه‌جاییِ ورودیِ AAادامهٔ فرمول را افقی ببین بیشتر از BBادامهٔ فرمول را افقی ببین است» رد می‌شود چون جابه‌جاییِ ورودی از مزیتِ **ایده‌آل** می‌آید که برابر است. تلهٔ تستی: بازده روی نیروی لازم اثر می‌گذارد، نه روی کارِ مفید؛ کارِ مفید را هندسهٔ مسئله تعیین می‌کند نه کیفیتِ ماشین.

7. در یک ماشینِ آرمانی و بدونِ اصطکاک، توانِ ورودی 600 W600\,\text{W}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. اگر این ماشین نیرو را چهار برابر کند، توانِ خروجی و سرعتِ خروجی نسبت به ورودی چگونه‌اند؟

  • توان 150 W150\,\text{W}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود و سرعت چهار برابر می‌شود
  • توان 2400 W2400\,\text{W}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود و سرعت ثابت می‌ماند
  • توان 600 W600\,\text{W}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌ماند و سرعت یک‌چهارم می‌شود
  • توان 600 W600\,\text{W}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌ماند و سرعت چهار برابر می‌شود

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «توان 600 W600\,\text{W}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌ماند و سرعت یک‌چهارم می‌شود» درست است. در ماشینِ بی‌اصطکاک توان پایسته است، و چون P=FvP=Fvادامهٔ فرمول را افقی ببین، چهار برابر شدنِ FFادامهٔ فرمول را افقی ببین ناگزیر vvادامهٔ فرمول را افقی ببین را یک‌چهارم می‌کند تا حاصل‌ضرب ثابت بماند. «توان 2400 W2400\,\text{W}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود و سرعت ثابت می‌ماند» رد می‌شود چون ماشین توان نمی‌آفریند. «توان 150 W150\,\text{W}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود و سرعت چهار برابر می‌شود» رد می‌شود چون هم توان را کاهش داده و هم سرعت را با نیرو هم‌جهت گرفته است. «توان 600 W600\,\text{W}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌ماند و سرعت چهار برابر می‌شود» رد می‌شود چون آن‌گاه P=FvP=Fvادامهٔ فرمول را افقی ببین شانزده برابر می‌شد. تلهٔ تستی: توان همان کمیتی است که ماشین **نمی‌تواند** تغییرش دهد؛ ماشین فقط آن را بین نیرو و سرعت بازتقسیم می‌کند.

8. جسمی به وزن 600 N600\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را یک‌بار با سطح شیب‌دارِ بی‌اصطکاک و یک‌بار با قرقرهٔ متحرکِ بی‌اصطکاک تا ارتفاعِ 2 m2\,\text{m}ادامهٔ فرمول را افقی ببین بالا می‌بریم. دربارهٔ کارِ داده‌شده در دو حالت چه می‌توان گفت؟

  • بدون دانستنِ طولِ سطح شیب‌دار قابلِ مقایسه نیست
  • در سطح شیب‌دار بیشتر است چون مسافت بیشتری طی می‌شود
  • در قرقرهٔ متحرک بیشتر است چون طناب دو برابر کشیده می‌شود
  • در هر دو حالت برابر و 1200 J1200\,\text{J}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «در هر دو حالت برابر و 1200 J1200\,\text{J}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است» درست است. در ماشینِ بی‌اصطکاک کارِ داده‌شده برابر کارِ مفید است و کارِ مفید فقط W=mghW=mghادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی 600×2=1200 J600\times2=1200\,\text{J}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، مستقل از مسیر. «در سطح شیب‌دار بیشتر است چون مسافت بیشتری طی می‌شود» رد می‌شود چون به همان نسبت که مسافت زیاد می‌شود نیرو کم می‌شود. «در قرقرهٔ متحرک بیشتر است چون طناب دو برابر کشیده می‌شود» رد می‌شود چون هم‌زمان نیرو نصف می‌شود و حاصل‌ضرب ثابت می‌ماند. «بدون دانستنِ طولِ سطح شیب‌دار قابلِ مقایسه نیست» رد می‌شود چون کارِ مفید به هندسهٔ ماشین وابسته نیست. تلهٔ تستی: دیدنِ «مسافتِ بیشتر» ذهن را به‌سوی «کارِ بیشتر» می‌برد، حال آن‌که در ماشینِ آرمانی افزایشِ مسافت دقیقاً با کاهشِ نیرو خنثی می‌شود.

9. کدام وسیله هم‌زمان اندازهٔ نیرو و جهتِ نیرو را تغییر می‌دهد؟

  • قرقرهٔ متحرکی که طنابش از قرقرهٔ ثابتی هم می‌گذرد
  • قرقرهٔ ثابتی که تنها بر سقف نصب شده است
  • اهرم نوع دومی مانند فرغون با بارِ میانی
  • سطح شیب‌داری که جسم روی آن بالا رانده می‌شود

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «قرقرهٔ متحرکی که طنابش از قرقرهٔ ثابتی هم می‌گذرد» درست است. قرقرهٔ متحرک نیرو را نصف می‌کند و قرقرهٔ ثابتِ همراهش امکان می‌دهد به‌جای بالا کشیدن، پایین بکشیم؛ پس هر دو تغییر رخ می‌دهد. «قرقرهٔ ثابتی که تنها بر سقف نصب شده است» رد می‌شود چون فقط جهت را عوض می‌کند و MA=1\text{MA}=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد. «اهرم نوع دومی مانند فرغون با بارِ میانی» رد می‌شود چون در آن نیروی محرک و مقاوم هم‌جهت‌اند و جهت عوض نمی‌شود. «سطح شیب‌داری که جسم روی آن بالا رانده می‌شود» رد می‌شود چون فقط اندازهٔ نیرو را کم می‌کند. تلهٔ تستی: تنها ترکیبِ قرقرهٔ ثابت و متحرک است که هر دو مزیت را می‌دهد؛ هیچ ماشینِ سادهٔ تکی هر دو کار را با هم انجام نمی‌دهد.

10. ماشینی مزیت مکانیکیِ ایده‌آلِ 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین و بازدهِ %50\%50ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد. برای بلند کردن بارِ 900 N900\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین چه نیرویی لازم است و این نیرو چند برابرِ حالتِ آرمانی است؟

  • 150 N150\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و برابر
  • 300 N300\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و دو برابر
  • 450 N450\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و سه برابر
  • 75 N75\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و نصف

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «300 N300\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و دو برابر» درست است. مزیتِ واقعی =0.5×6=3=0.5\times6=3ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس نیرو =9003=300 N=\frac{900}{3}=300\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ در حالتِ آرمانی نیرو 9006=150 N\frac{900}{6}=150\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شد، پس نسبت 300150=2\frac{300}{150}=2ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. وارسی: چون بازده نصف است، نیروی لازم دقیقاً دو برابر می‌شود ✓. «150 N150\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و برابر» رد می‌شود چون بازده را نادیده گرفته و مزیتِ ایده‌آل را به‌جای واقعی به کار برده است. «450 N450\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و سه برابر» رد می‌شود چون از تقسیمِ بار بر 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌آید و ربطی به مزیتِ این ماشین ندارد. «75 N75\,\text{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و نصف» رد می‌شود چون بازده را به‌صورتِ ضرب در مزیت اعمال کرده و نیرو را کمتر کرده است. تلهٔ تستی: بازده نیروی لازم را **زیاد** می‌کند نه کم؛ ضربِ بازده در مزیتِ ایده‌آل انجام می‌شود، نه در نیروی حاصل.

مباحث مرتبط

اندازه‌گیری، یکاها و ارقام بامعنا (هنر)حرکت‌شناسی و سقوط آزاد (هنر)قانون‌های نیوتون و دینامیک (هنر)کار، انرژی و قانون پایستگی (هنر)گرما، دما و انبساط گرمایی (هنر)الکتریسیتهٔ ساکن و قانون کولن (هنر)جریان الکتریکی و قانون اهم (هنر)مغناطیس و القای الکترومغناطیسی (هنر)بازتاب و شکست نور، آینه و عدسی (هنر)فشار، شناوری و رفتار شاره‌ها (هنر)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان