کار، انرژی و توان (فیزیک ۱ — ریاضی)

کار، انرژی و توان — خلاصه

۱. انرژی جنبشی

هر جسمی که حرکت کند انرژی دارد؛ انرژی ناشی از حرکت را انرژی جنبشی می‌نامیم:

\boxed{K = \frac{1}{2}mv^2}

$K$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر حسب ژول $(J)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جرم بر حسب کیلوگرم $(kg)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $v$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تندی بر حسب متر بر ثانیه $(m/s)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. انرژی جنبشی کمیتی اسکالر و همواره مثبت یا صفر است و به جهت حرکت وابسته نیست، اما به مربع تندی بستگی دارد — اگر تندی دو برابر شود، $K$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین چهار برابر می‌شود؛ اگر جرم دو برابر شود، $K$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط دو برابر می‌شود.

مثال حل‌شده: خودرویی به جرم $m=840\text{ kg}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با تندی $v=54.0\text{ km/h}=15.0\text{ m/s}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حرکت می‌کند:

K = \frac{1}{2}(840)(15.0)^2 = 9.45\times10^4\text{ J}

۲. کار

کار نیروی ثابت هم‌راستا با جابه‌جایی:

\boxed{W = Fd}

اگر نیرو با جابه‌جایی زاویهٔ $\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بسازد:

\boxed{W = (F\cos\theta)\cdot d = Fd\cos\theta}

فقط مؤلفهٔ نیرو در راستای جابه‌جایی کار انجام می‌دهد؛ مؤلفهٔ عمود بر جابه‌جایی هیچ کاری ندارد. به همین دلیل نیروی وزن و نیروی عمودی سطح در حرکت افقی کار صفر دارند، و اصطکاک روی جسم متحرک همیشه کار منفی انجام می‌دهد.

زاویهٔ $\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\cos\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	کار
$0°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	بیشینهٔ مثبت
$90°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	صفر
$180°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	بیشینهٔ منفی

اگر چند نیرو وارد شوند، کار کل جمع کار هر نیرو (یا کار نیروی خالص) است: $W_t = W_1+W_2+W_3+\cdots$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مثال حل‌شده: نیروی $F=200\text{ N}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با زاویهٔ $\theta=30°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نسبت به افق، جعبه‌ای را $d=10.0\text{ m}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جابه‌جا می‌کند:

W = (200)(10.0)\cos30° = (200)(10.0)\left(\frac{\sqrt3}{2}\right) \approx 1.73\times10^3\text{ J}

۳. قضیهٔ کار ـ انرژی جنبشی

\boxed{W_t = K_2 - K_1 = \Delta K}

کار کل انجام‌شده روی یک جسم برابر تغییر انرژی جنبشی آن است؛ این رابطه برای هر مسیری، حتی مسیر خمیده، صادق است و مستقیماً از قانون دوم نیوتون به دست می‌آید.

مثال حل‌شده: توپی به جرم $0.450\text{ kg}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از $v_1=20.0\text{ m/s}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $v_2=18.0\text{ m/s}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسد:

K_1=90.0\text{ J},\quad K_2=72.9\text{ J} \;\Rightarrow\; W_t = 72.9-90.0 = -17.1\text{ J}

علامت منفی نشان می‌دهد کار کل انجام‌شده انرژی جنبشی توپ را کاهش داده است.

۴. انرژی پتانسیل گرانشی

\boxed{U = mgh}

این انرژی ویژگی سامانهٔ جسم-زمین است، نه فقط جسم؛ هم به جرم $m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و هم به $g$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بستگی دارد. رابطهٔ کار وزن با آن:

\boxed{W_{\text{وزن}} = -\Delta U = -(U_2-U_1)}

کار نیروی وزن فقط به اختلاف ارتفاع بستگی دارد، نه به مسیر طی‌شده — به همین دلیل وزن یک نیروی پایستار است. مبدأ انرژی پتانسیل را می‌توان در هر نقطه‌ای انتخاب کرد؛ مقادیر $U_1,U_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عوض می‌شوند اما $\Delta U$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و نتیجهٔ فیزیکی مسئله ثابت می‌مانند.

۵. پایستگی انرژی مکانیکی

E = K+U = \frac12mv^2+mgh

اگر نیروهای اتلافی (اصطکاک، مقاومت هوا) ناچیز باشند:

\boxed{E_1=E_2} \;\Rightarrow\; \frac12v_1^2+gh_1=\frac12v_2^2+gh_2

(جرم $m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از طرفین حذف شده است.) در سقوط آزاد یا حرکت روی سطح بدون اصطکاک، تندی جسم در یک ارتفاع معین مستقل از مسیر است و فقط به همان ارتفاع بستگی دارد.

مثال حل‌شده: سورتمه‌ای از $h_1=5.0\text{ m}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $v_1=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $h_2=3.0\text{ m}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسد:

(9.8)(5.0) = \frac12v_2^2+(9.8)(3.0) \;\Rightarrow\; v_2\approx6.3\text{ m/s}

۶. کار و انرژی درونی

وقتی نیروهای اتلافی روی جسم کار انجام دهند، بخشی از انرژی مکانیکی به انرژی درونی (گرما) تبدیل می‌شود:

\boxed{W_f = E_2-E_1}

یعنی کاهش انرژی مکانیکی برابر افزایش انرژی درونی است. طبق قانون پایستگی انرژی، انرژی کل یک سامانهٔ منزوی همواره ثابت می‌ماند — انرژی نه خلق می‌شود نه از بین می‌رود، فقط از شکلی به شکل دیگر تبدیل می‌شود.

۷. توان و بازده

\boxed{P_{av} = \frac{W}{\Delta t}}\qquad 1\text{ W}=1\ \frac{\text{J}}{\text{s}}

رابطهٔ کاربردی توان با نیرو و تندی:

\boxed{P = Fv}

نکتهٔ مهم: کیلووات‌ساعت $(kWh)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یکای انرژی است نه توان: $1\text{ kWh}=3.6\times10^6\text{ J}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. همچنین $1\text{ hp}\approx746\text{ W}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

بازده:

\boxed{\eta = \frac{E_{\text{خروجی}}}{E_{\text{ورودی}}}\times100\%}

همواره $\eta<100\%$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، چون بخشی از انرژی ورودی به گرما (انرژی درونی) تبدیل می‌شود.

مثال حل‌شده: خودرویی به جرم $1300\text{ kg}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $\Delta t=3.0\text{ s}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از $13.0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $18.0\text{ m/s}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسد:

W_t=\frac12(1300)(18.0^2-13.0^2)\approx1.01\times10^5\text{ J} \;\Rightarrow\; P_{av}=\frac{100750}{3.0}\approx3.4\times10^4\text{ W}

مثال حل‌شده (بازده): تلمبه‌ای با توان ورودی $P=15\text{ kW}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $\Delta t=1.0\text{ s}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین آب را با انرژی خروجی $10290\text{ J}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بالا می‌برد:

E_{\text{ورودی}}=15000\text{ J} \;\Rightarrow\; \eta=\frac{10290}{15000}\times100\approx68\%

جمع‌بندی فرمول‌های کلیدی

رابطه	فرمول
انرژی جنبشی	$K=\frac12mv^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
کار	$W=Fd\cos\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
قضیهٔ کار ـ انرژی جنبشی	$W_t=K_2-K_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
انرژی پتانسیل گرانشی	$U=mgh$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
کار نیروی وزن	$W_{\text{وزن}}=-\Delta U$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
انرژی مکانیکی	$E=K+U$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
پایستگی انرژی مکانیکی	$K_1+U_1=K_2+U_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
انرژی مکانیکی با اتلاف	$W_f=E_2-E_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
توان متوسط	$P_{av}=\dfrac{W}{\Delta t}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
توان و تندی	$P=Fv$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
بازده	$\eta=\dfrac{E_{\text{خروجی}}}{E_{\text{ورودی}}}\times100\%$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین