03_کار، انرژی و توان (علوم ریاضی)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

ابتدا $K_1=\frac{1}{2}(0.450)(20)^2=90.0\text{ J}$ و $K_2=\frac{1}{2}(0.450)(18)^2=72.9\text{ J}$. پس $W_t=K_2-K_1=72.9-90.0=-17.1\text{ J}$. تله تستی: انرژی جنبشی با *مربع* تندی متناسب است ($K\propto v^2$)؛ اگر تندی $n$ برابر شود، $K$ به‌اندازه‌ی $n^2$ برابر می‌شود نه $n$ برابر — این تناسبِ درجه‌دوم، رایج‌ترین منبعِ خطای محاسباتی در مسائلِ انرژی جنبشی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

انرژی ورودی $E_{in}=P\Delta t=15000\times1=15000\text{ J}$ و انرژی خروجی مفید $E_{out}=mgh=(70)(9.8)(15)=10290\text{ J}$ است. پس $\eta=\frac{10290}{15000}\times100\approx68\%$. تله تستی: بازده همیشه به‌صورتِ نسبتِ انرژی/توانِ *خروجیِ مفید* به *ورودی* تعریف می‌شود ($\eta=E_{\text{خروجی}}/E_{\text{ورودی}}$) و همواره کمتر از $100\%$ است؛ معکوس‌کردنِ این نسبت (تقسیمِ ورودی بر خروجی) یا ضرب‌کردن به‌جای تقسیم، رایج‌ترین خطای مسائلِ بازده است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

بازده کل حاصل‌ضرب بازده‌های کسری است: $\eta_{کل}=0.35\times0.90\times0.05=0.01575$. با تبدیل به درصد: $1.575\%\approx1.6\%$. تله تستی: بازدهِ کلِ یک زنجیره از *ضربِ* بازده‌های تک‌تکِ مراحل به‌دست می‌آید ($\eta_{\text{کل}}=\eta_1\times\eta_2\times\cdots$)، نه از جمعِ آن‌ها یا میانگین‌گیری؛ همین ضربِ ساده باعث می‌شود بازدهِ کل همیشه از کوچک‌ترینِ بازده‌های مرحله‌ای هم کمتر باشد — نکته‌ای که در زنجیره‌های واقعی (مثلِ نیروگاه تا لامپ) اغلب غافلگیرکننده است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

در مثال چترباز، $W_{\text{وزن}}$ بسیار بزرگ و مثبت است، اما $W_{\text{مقاومت}}$ تقریباً به همان اندازه و منفی است؛ پس جمع آن‌ها یعنی کار کل کوچک می‌شود و تغییر $K$ نیز کوچک می‌ماند. تله تستی: انرژی جنبشی با *مربع* تندی متناسب است ($K\propto v^2$)؛ اگر تندی $n$ برابر شود، $K$ به‌اندازه‌ی $n^2$ برابر می‌شود نه $n$ برابر — این تناسبِ درجه‌دوم، رایج‌ترین منبعِ خطای محاسباتی در مسائلِ انرژی جنبشی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

طبق رابطه $K = \frac{1}{2}mv^2$، انرژی جنبشی با جرم و مربع تندی رابطه مستقیم دارد. تندی جدید $v_2 = 1.4v_1$ و جرم جدید $m_2 = 0.75m_1$ است. پس: $K_2 = \frac{1}{2}(0.75m_1)(1.4v_1)^2 = \frac{1}{2}m_1v_1^2 \times (0.75 \times 1.96) = K_1 \times 1.47$. بنابراین انرژی جنبشی به میزان $47\%$ افزایش یافته است. تله تستی: وقتی جرم و تندی هم‌زمان تغییر می‌کنند، باید رابطه‌ی $K=\frac{1}{2}mv^2$ را با ضرایبِ تغییرِ *هر دو* متغیر به‌طور مستقیم بازنویسی کرد، نه درصدهای تغییر را با هم جمع یا ضربِ ساده کرد؛ چون $v$ به‌توانِ دوم ظاهر می‌شود، ترکیبِ درصدها هرگز خطی نیست.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

توان مفید خروجی دستگاه برابر است با $P_{out} = \eta \times P_{in} = 0.75 \times 20000 = 15000 \text{ W}$. کار انجام شده در یک دقیقه ($60$ ثانیه) برابر است با $W = P_{out} \times t = 15000 \times 60 = 900000 \text{ J}$. چون آب با تندی ثابت بالا می‌آید، کار موتور صرف غلبه بر وزن می‌شود: $W = mgh \Rightarrow 900000 = m \times 10 \times 15 \Rightarrow m = 6000 \text{ kg}$. تله تستی: بازده همیشه به‌صورتِ نسبتِ انرژی/توانِ *خروجیِ مفید* به *ورودی* تعریف می‌شود ($\eta=E_{\text{خروجی}}/E_{\text{ورودی}}$) و همواره کمتر از $100\%$ است؛ معکوس‌کردنِ این نسبت (تقسیمِ ورودی بر خروجی) یا ضرب‌کردن به‌جای تقسیم، رایج‌ترین خطای مسائلِ بازده است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

طبق پایستگی انرژی در مسیر بدون اصطکاک، انرژی جنبشی در پایین مسیر برابر انرژی پتانسیل اولیه است ($K = mgH = 40H$). در مسیر افقی، طبق قضیه کار-انرژی جنبشی، کار کل (فقط اصطکاک) برابر تغییر انرژی جنبشی است: $W_f = K_2 - K_1 \Rightarrow -200 = 0 - 40H \Rightarrow 40H = 200 \Rightarrow H = 5 \text{ m}$. تله تستی: مسافتِ توقف تحتِ اصطکاکِ ثابت با *مربع* تندیِ اولیه متناسب است ($d=v^2/(2\mu g)$) و به جرم بستگی ندارد؛ فرضِ نادرستِ وابستگی به جرم یا تناسبِ خطی با تندی (به‌جای تناسبِ درجه‌دوم)، رایج‌ترین خطای این نوع مسئله است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

$K' = \frac{1}{2}(2m)(2v)^2 = \frac{1}{2}(2m)(4v^2) = 8 \times \frac{1}{2}mv^2$. اثر جرم ($\times 2$) در اثر مربع تندی ($\times 4$) ضرب می‌شود و مجموعاً $8$ برابر می‌شود. تله تستی: انرژی جنبشی با *مربع* تندی متناسب است ($K\propto v^2$)؛ اگر تندی $n$ برابر شود، $K$ به‌اندازه‌ی $n^2$ برابر می‌شود نه $n$ برابر — این تناسبِ درجه‌دوم، رایج‌ترین منبعِ خطای محاسباتی در مسائلِ انرژی جنبشی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

$W_{\text{وزن}} = mgd = (75)(9.8)(800) = 5.88 \times 10^5 \text{ J}$، $\Delta K = 864 - 54 = 810 \text{ J}$. پس $W_{\text{مقاومت}} = 810 - 5.88 \times 10^5 \approx -5.87 \times 10^5 \text{ J}$. تله تستی: انرژی جنبشی با *مربع* تندی متناسب است ($K\propto v^2$)؛ اگر تندی $n$ برابر شود، $K$ به‌اندازه‌ی $n^2$ برابر می‌شود نه $n$ برابر — این تناسبِ درجه‌دوم، رایج‌ترین منبعِ خطای محاسباتی در مسائلِ انرژی جنبشی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

$W_t = \frac{1}{2}(0.01)(300^2 - 500^2) = 0.005(90000 - 250000) = 0.005(-160000) = -800 \text{ J}$. تله تستی: انرژی جنبشی با *مربع* تندی متناسب است ($K\propto v^2$)؛ اگر تندی $n$ برابر شود، $K$ به‌اندازه‌ی $n^2$ برابر می‌شود نه $n$ برابر — این تناسبِ درجه‌دوم، رایج‌ترین منبعِ خطای محاسباتی در مسائلِ انرژی جنبشی است.