Q: $100$ گرم یخ در $-10°C$ را تا تبدیل کامل به آب در $20°C$ گرم میکنیم. گرمای کل لازم چند است؟ ($c_{یخ} = 2100$، $L_f = 334\ \text{kJ/kg}$، $c_{آب} = 4200\ \text{J/kg·°C}$)

$43.9\ \text{kJ}$ — $Q = m[c_{یخ}(0-(-10)) + L_f + c_{آب}(20-0)] = 0.1[2100\times10 + 334000 + 4200\times20] = 0.1[21000 + 334000 + 84000] = 43900\ \text{J}$ $= 43.9\ \text{kJ}$. گزینههای دیگر («$50.5\ \text{kJ}$»، «$54.3\ \text{kJ}$»، «$33.4\ \text{kJ}$») از خطاهای محاسباتیِ رایج در این نوع مسئله (مانندِ فراموشکردنِ یک ضریب، اشتباه در $\Delta T$، یا خلطِ دو فرمولِ مشابه) به دست میآیند و با محاسبهٔ دقیق تطابق ندارند. تلهٔ تستی: در حینِ تغییرِ حالت، دما ثابت میماند؛ گرما صرفِ شکستنِ پیوندهایِ بینِ مولکولی میشود نه افزایشِ دما.

Q: مخزن فلزی حجم $10$ لیتر در $0°C$ پر از بنزین است. با گرم شدن تا $40°C$ چقدر بنزین سرریز میشود؟ ($\beta_{بنزین} = 950\times10^{-6}$، $\beta_{فلز} = 51\times10^{-6}\ \text{K}$ $^{-1}$)

$359.6\ \text{mL}$ — $\Delta V_{سرریز} = V_0(\beta_{بنزین} - \beta_{فلز})\Delta T = 10 \times (950 - 51)\times10^{-6} \times 40 = 10 \times 899\times10^{-6} \times 40 = 0.3596\ \text{L}$ $= 359.6\ \text{mL}$. گزینههای دیگر («$380\ \text{mL}$»، «$410\ \text{mL}$»، «$300\ \text{mL}$») از خطاهای محاسباتیِ رایج در این نوع مسئله (مانندِ فراموشکردنِ یک ضریب، اشتباه در $\Delta T$، یا خلطِ دو فرمولِ مشابه) به دست میآیند و با محاسبهٔ دقیق تطابق ندارند. تلهٔ تستی: رابطهٔ $\beta=3\alpha$ فقط برایِ جامدها برقرار است؛ برایِ مایعات $\beta$ باید مستقیماً از صورتِ سؤال خوانده شود، نه از رویِ $\alpha$ محاسبه شود.

Q: $200$ گرم آهن در $100°C$ با $400$ گرم آب در $10°C$ مخلوط میشود. دمای تعادل چند است؟ ($c_{آهن} = 450$، $c_{آب} = 4200\ \text{J/kg·°C}$)

$14.6°C$ — گامِ محاسبه: $\sum Q=0$ با $Q=mc(\theta_f-\theta_i)$: $0.2\times450\,(\theta-100)+0.4\times4200\,(\theta-10)=0$ ⇒ $90(\theta-100)+1680(\theta-10)=0$ ⇒ $1770\theta=9000+16800=25800$ ⇒ $\theta\approx14.58°C$. وارسیِ مستقل (حالتِ حدی): ظرفیتِ گرماییِ آب $1680\ \text{J/°C}$ و آهن $90\ \text{J/°C}$ است، یعنی آب حدودِ ۱۹ برابرِ آهن است؛ پس دمایِ تعادل باید بسیار نزدیک به دمایِ اولیهٔ آب ($10°C$) بماند — و $14.6$ دقیقاً همینطور است. ردِ گزینهها: «$20°C$» یعنی آب $10$ درجه گرم شود که $16800\ \text{J}$ میطلبد، ولی کلِ گرمایِ قابلِ آزادشدنِ آهن حداکثر $90\times100=9000\ \text{J}$ است — ناممکن. «$25.3°C$» از میانگینِ سادهٔ وزندار با جرم (بدونِ گرمایِ ویژه) میآید. «$12.5°C$» از گرفتنِ $\Delta\theta$ آهن برابرِ $\Delta\theta$ آب به دست میآید که نادرست است. تلهٔ تستی: گرمایِ ویژهٔ آب حدودِ ۹ برابرِ آهن است؛ وقتی جرمِ آب هم دو برابر باشد، دمایِ تعادل تقریباً به دمایِ آب میچسبد. علامتگذاریِ گزینهٔ وسطِ دو دما ($55°C$-گونه) خطایِ کلاسیکِ این نوع سؤال است.

Q: صفحه مربعی به ضلع $a$ را $\Delta T$ گرم میکنیم. تغییر محیط آن چند است؟

$4a\alpha\Delta T$ — محیط اولیه $= 4a$، پس $\Delta P = 4a \times \alpha\Delta T$. گزینههای دیگر («$2a\alpha\Delta T$»، «$8a\alpha\Delta T$»، «$a\alpha\Delta T$») از خطاهای محاسباتیِ رایج در این نوع مسئله (مانندِ فراموشکردنِ یک ضریب، اشتباه در $\Delta T$، یا خلطِ دو فرمولِ مشابه) به دست میآیند و با محاسبهٔ دقیق تطابق ندارند. تلهٔ تستی: $\alpha$ بسیار کوچک است؛ اگر سؤال «چند برابر شدنِ طول» بخواهد، باید از $L_2=L_1(1+\alpha\Delta T)$ استفاده کرد نه فقط $\Delta L$.

Q: $m$ گرم یخ در $0°C$ به $m$ گرم آب در $0°C$ تبدیل میشود. در این فرآیند کدامیک تغییر نمیکند؟

دما — دما در حین ذوب ثابت میماند. گزینههای دیگر («حجم»، «چگالی»، «انرژی داخلی») هرکدام در بخشی از ادعا با تعریفِ دقیقِ علمیِ موضوع در تناقضاند و با بازخوانیِ دقیقِ محتوایِ فیزیکیِ هر گزینه میتوان نادرستیِ آنها را نشان داد. تلهٔ تستی: با افزایشِ دما، حجم زیاد میشود اما جرم ثابت میماند، پس چگالی همیشه کاهش مییابد؛ فرمولِ دقیق $\rho_2=\rho_1/(1+\beta\Delta T)$ و فرمولِ تقریبیِ $\rho_2\approx\rho_1(1-\beta\Delta T)$ فقط برایِ $\beta\Delta T$ کوچک به هم نزدیکاند.

Question 1

مکعبی به ضریب انبساط طولی $\alpha$ را $\Delta T$ گرم می‌کنیم. اگر حجم اولیه $V_1$ باشد، حجم نهایی کدام است؟

Accepted Answer

$V_1(1 + 3\alpha\Delta T)$ — گامِ محاسبه: برایِ جامدِ همسانگرد $\beta=3\alpha$ و $V_2=V_1(1+\beta\Delta T)$، پس $V_2=V_1(1+3\alpha\Delta T)$. وارسیِ مستقل (تجزیهٔ ابعادی): مکعبی به ضلعِ $L$ داریم؛ $L_2=L(1+\alpha\Delta T)$ و $V_2=L_2^3=V_1(1+\alpha\Delta T)^3=V_1(1+3\alpha\Delta T+3\alpha^2\Delta T^2+\dots)$؛ چون $\alpha\sim10^{-5}$ است، جمله‌هایِ مرتبهٔ دوم به بعد ناچیزند و همان $V_1(1+3\alpha\Delta T)$ می‌ماند. ردِ گزینه‌ها: «$V_1(1+\alpha\Delta T)$» ضریبِ انبساطِ طولی را به‌جایِ حجمی گذاشته (ضریبِ ۳ جا افتاده). «$V_1(1+2\alpha\Delta T)$» ضریبِ انبساطِ سطحی ($2\alpha$) را به‌کار برده که مالِ مساحت است نه حجم. «$3V_1\alpha\Delta T$» خودِ تغییرِ حجم $\Delta V$ است نه حجمِ نهایی؛ حجمِ اولیه در آن جا افتاده. تلهٔ تستی: صورتِ سؤال «حجمِ نهایی» خواسته نه «تغییرِ حجم»؛ پرتکرارترین خطا این است که $\Delta V=\beta V_1\Delta T$ را به‌عنوانِ پاسخ علامت بزنند.

Question 2

دو میله فولادی و آلومینیومی در $20°C$ هم‌طول هستند. در چه دمایی اختلاف طول آن‌ها $0.1\%$ طول اولیه می‌شود؟ ($\alpha_{Al} = 23	imes10^{-6}$، $\alpha_{Fe} = 13	imes10^{-6}$)

Accepted Answer

$120°C$ — $\Delta L_{Al} - \Delta L_{Fe} = L_0(\alpha_{Al} - \alpha_{Fe})\Delta T = 0.001L_0 \Rightarrow 10	imes10^{-6}\Delta T = 0.001 \Rightarrow \Delta T = 100\ 	ext{K}$. دمای نهایی $= 20 + 100 = 120°C$. گزینه‌های دیگر («$220°C$»، «$320°C$»، «$520°C$») از خطاهای محاسباتیِ رایج در این نوع مسئله (مانندِ فراموش‌کردنِ یک ضریب، اشتباه در $\Delta T$، یا خلطِ دو فرمولِ مشابه) به دست می‌آیند و با محاسبهٔ دقیق تطابق ندارند. تلهٔ تستی: $\alpha$ بسیار کوچک است؛ اگر سؤال «چند برابر شدنِ طول» بخواهد، باید از $L_2=L_1(1+\alpha\Delta T)$ استفاده کرد نه فقط $\Delta L$.

Question 3

کره توخالی فلزی با شعاع داخلی $r$ و شعاع خارجی $R$ را $\Delta T$ گرم می‌کنیم. تغییر حجم حفره داخلی چند است؟ ($\beta = 3\alpha$)

Accepted Answer

$4\pi r^3\alpha\Delta T$ — حفره مانند کره توپر از همان جنس منبسط می‌شود: $\Delta V = \beta V_1\Delta T = 3\alpha 	imes \frac{4\pi r^3}{3}\Delta T = 4\pi r^3\alpha\Delta T$. گزینه‌های دیگر («$\frac{4\pi r^3\alpha\Delta T}{3}$»، «$4\pi r^2\alpha\Delta T$»، «$\frac{8\pi r^3\alpha\Delta T}{3}$») از خطاهای محاسباتیِ رایج در این نوع مسئله (مانندِ فراموش‌کردنِ یک ضریب، اشتباه در $\Delta T$، یا خلطِ دو فرمولِ مشابه) به دست می‌آیند و با محاسبهٔ دقیق تطابق ندارند. تلهٔ تستی: $\Delta T$ همیشه باید (دمای نهایی) منهایِ (دمای اولیه، با علامتِ خودش) باشد؛ نادیده‌گرفتنِ علامتِ منفیِ دمایِ اولیه رایج‌ترین خطا در این نوع مسئله است.

Question 4

$100$ گرم یخ در $-10°C$ را تا تبدیل کامل به آب در $20°C$ گرم می‌کنیم. گرمای کل لازم چند است؟ ($c_{یخ} = 2100$، $L_f = 334\ 	ext{kJ/kg}$، $c_{آب} = 4200\ 	ext{J/kg·°C}$)

Accepted Answer

$43.9\ 	ext{kJ}$ — $Q = m[c_{یخ}(0-(-10)) + L_f + c_{آب}(20-0)] = 0.1[2100	imes10 + 334000 + 4200	imes20] = 0.1[21000 + 334000 + 84000] = 43900\ 	ext{J}$ $= 43.9\ 	ext{kJ}$. گزینه‌های دیگر («$50.5\ 	ext{kJ}$»، «$54.3\ 	ext{kJ}$»، «$33.4\ 	ext{kJ}$») از خطاهای محاسباتیِ رایج در این نوع مسئله (مانندِ فراموش‌کردنِ یک ضریب، اشتباه در $\Delta T$، یا خلطِ دو فرمولِ مشابه) به دست می‌آیند و با محاسبهٔ دقیق تطابق ندارند. تلهٔ تستی: در حینِ تغییرِ حالت، دما ثابت می‌ماند؛ گرما صرفِ شکستنِ پیوندهایِ بینِ مولکولی می‌شود نه افزایشِ دما.

Question 5

مخزن فلزی حجم $10$ لیتر در $0°C$ پر از بنزین است. با گرم شدن تا $40°C$ چقدر بنزین سرریز می‌شود؟ ($\beta_{بنزین} = 950	imes10^{-6}$، $\beta_{فلز} = 51	imes10^{-6}\ 	ext{K}$ $^{-1}$)

Accepted Answer

$359.6\ 	ext{mL}$ — $\Delta V_{سرریز} = V_0(\beta_{بنزین} - \beta_{فلز})\Delta T = 10 	imes (950 - 51)	imes10^{-6} 	imes 40 = 10 	imes 899	imes10^{-6} 	imes 40 = 0.3596\ 	ext{L}$ $= 359.6\ 	ext{mL}$. گزینه‌های دیگر («$380\ 	ext{mL}$»، «$410\ 	ext{mL}$»، «$300\ 	ext{mL}$») از خطاهای محاسباتیِ رایج در این نوع مسئله (مانندِ فراموش‌کردنِ یک ضریب، اشتباه در $\Delta T$، یا خلطِ دو فرمولِ مشابه) به دست می‌آیند و با محاسبهٔ دقیق تطابق ندارند. تلهٔ تستی: رابطهٔ $\beta=3\alpha$ فقط برایِ جامدها برقرار است؛ برایِ مایعات $\beta$ باید مستقیماً از صورتِ سؤال خوانده شود، نه از رویِ $\alpha$ محاسبه شود.

Question 6

$50$ گرم یخ در $0°C$ با $200$ گرم آب در $40°C$ مخلوط می‌شود. دمای تعادل چند است؟ ($L_f = 334\ 	ext{kJ/kg}$، $c_{آب} = 4200\ 	ext{J/kg·°C}$)

Accepted Answer

$16.1°C$ — «$16.1°C$» درست است. یخ ابتدا ذوب و سپس تا دمای تعادل گرم می‌شود؛ آب هم‌زمان سرد می‌شود: $0.05	imes334000+0.05	imes4200	imes	heta=0.2	imes4200	imes(40-	heta) \Rightarrow 16700+210	heta=33600-840	heta \Rightarrow 1050	heta=16900 \Rightarrow 	heta\approx16.1°C$. گزینه‌های دیگر («$10°C$»، «$20°C$»، «$5°C$») از خطاهای محاسباتیِ رایج در این نوع مسئله (مانندِ فراموش‌کردنِ گرمای نهانِ ذوب یا اشتباه در جرم‌ها) به دست می‌آیند. تلهٔ تستی: پیش از فرضِ ذوبِ کاملِ یخ، باید بررسی کرد گرمایِ در دسترس برایِ ذوبِ کاملِ آن کافی است یا نه؛ در غیرِ این‌صورت دمایِ تعادل دقیقاً $0°C$ می‌ماند.

Question 7

$50$ گرم بخار آب در $100°C$ با $500$ گرم آب در $20°C$ مخلوط می‌شود. دمای تعادل تقریباً چند است؟ ($L_v = 2256\ 	ext{kJ/kg}$، $c_{آب} = 4200\ 	ext{J/kg·°C}$)

Accepted Answer

$76.1°C$ — «$76.1°C$» درست است. گرمای آزادشده از میعان و سردشدن بخار: $Q_{بخار}=0.05	imes2256000+0.05	imes4200	imes(100-	heta)$. گرمای گرفته‌شده توسط آب: $Q_{آب}=0.5	imes4200	imes(	heta-20)$. با برابرقراردادن این دو و حل معادله، $	heta\approx76.1°C$. گزینه‌های دیگر («$73.7°C$»، «$34.5°C$»، «$27.3°C$») از خطاهای محاسباتیِ رایج در این نوع مسئله (مانندِ فراموش‌کردنِ یک ضریب، اشتباه در $\Delta T$، یا خلطِ دو فرمولِ مشابه) به دست می‌آیند و با محاسبهٔ دقیق تطابق ندارند. تلهٔ تستی: پیش از فرضِ ذوبِ کاملِ یخ، باید بررسی کرد گرمایِ در دسترس برایِ ذوبِ کاملِ آن کافی است یا نه؛ در غیرِ این‌صورت دمایِ تعادل دقیقاً $0°C$ می‌ماند و بخشی از یخ ذوب‌نشده باقی می‌ماند.

Question 8

$200$ گرم آهن در $100°C$ با $400$ گرم آب در $10°C$ مخلوط می‌شود. دمای تعادل چند است؟ ($c_{آهن} = 450$، $c_{آب} = 4200\ 	ext{J/kg·°C}$)

Accepted Answer

$14.6°C$ — گامِ محاسبه: $\sum Q=0$ با $Q=mc(	heta_f-	heta_i)$: $0.2	imes450\,(	heta-100)+0.4	imes4200\,(	heta-10)=0$ ⇒ $90(	heta-100)+1680(	heta-10)=0$ ⇒ $1770	heta=9000+16800=25800$ ⇒ $	heta\approx14.58°C$. وارسیِ مستقل (حالتِ حدی): ظرفیتِ گرماییِ آب $1680\ 	ext{J/°C}$ و آهن $90\ 	ext{J/°C}$ است، یعنی آب حدودِ ۱۹ برابرِ آهن است؛ پس دمایِ تعادل باید بسیار نزدیک به دمایِ اولیهٔ آب ($10°C$) بماند — و $14.6$ دقیقاً همین‌طور است. ردِ گزینه‌ها: «$20°C$» یعنی آب $10$ درجه گرم شود که $16800\ 	ext{J}$ می‌طلبد، ولی کلِ گرمایِ قابلِ آزادشدنِ آهن حداکثر $90	imes100=9000\ 	ext{J}$ است — ناممکن. «$25.3°C$» از میانگینِ ساده‌ٔ وزن‌دار با جرم (بدونِ گرمایِ ویژه) می‌آید. «$12.5°C$» از گرفتنِ $\Delta	heta$ آهن برابرِ $\Delta	heta$ آب به دست می‌آید که نادرست است. تلهٔ تستی: گرمایِ ویژهٔ آب حدودِ ۹ برابرِ آهن است؛ وقتی جرمِ آب هم دو برابر باشد، دمایِ تعادل تقریباً به دمایِ آب می‌چسبد. علامت‌گذاریِ گزینهٔ وسطِ دو دما ($55°C$-گونه) خطایِ کلاسیکِ این نوع سؤال است.

Question 9

صفحه مربعی به ضلع $a$ را $\Delta T$ گرم می‌کنیم. تغییر محیط آن چند است؟

Accepted Answer

$4a\alpha\Delta T$ — محیط اولیه $= 4a$، پس $\Delta P = 4a 	imes \alpha\Delta T$. گزینه‌های دیگر («$2a\alpha\Delta T$»، «$8a\alpha\Delta T$»، «$a\alpha\Delta T$») از خطاهای محاسباتیِ رایج در این نوع مسئله (مانندِ فراموش‌کردنِ یک ضریب، اشتباه در $\Delta T$، یا خلطِ دو فرمولِ مشابه) به دست می‌آیند و با محاسبهٔ دقیق تطابق ندارند. تلهٔ تستی: $\alpha$ بسیار کوچک است؛ اگر سؤال «چند برابر شدنِ طول» بخواهد، باید از $L_2=L_1(1+\alpha\Delta T)$ استفاده کرد نه فقط $\Delta L$.

Question 10

$m$ گرم یخ در $0°C$ به $m$ گرم آب در $0°C$ تبدیل می‌شود. در این فرآیند کدام‌یک تغییر نمی‌کند؟

Accepted Answer

دما — دما در حین ذوب ثابت می‌ماند. گزینه‌های دیگر («حجم»، «چگالی»، «انرژی داخلی») هرکدام در بخشی از ادعا با تعریفِ دقیقِ علمیِ موضوع در تناقض‌اند و با بازخوانیِ دقیقِ محتوایِ فیزیکیِ هر گزینه می‌توان نادرستیِ آن‌ها را نشان داد. تلهٔ تستی: با افزایشِ دما، حجم زیاد می‌شود اما جرم ثابت می‌ماند، پس چگالی همیشه کاهش می‌یابد؛ فرمولِ دقیق $\rho_2=\rho_1/(1+\beta\Delta T)$ و فرمولِ تقریبیِ $\rho_2\approx\rho_1(1-\beta\Delta T)$ فقط برایِ $\beta\Delta T$ کوچک به هم نزدیک‌اند.

روش	مکانیزم	نیاز به محیط
رسانش	ارتعاش اتمی	بله
همرفت	جابه‌جایی ماده	بله (سیال)
تابش	امواج الکترومغناطیسی	خیر

04_دما و گرما (علوم ریاضی)

خلاصه‌ی درسنامه

دما و گرما — خلاصه

مقیاس‌های دما

انبساط گرمایی

گرما و ظرفیت گرمایی

تغییر حالت ماده

قوانین گازها

روش‌های انتقال گرما

نمونه تست

مباحث مرتبط

ادامه‌ی این مبحث رو ببین