Q: در خازن تختی با دیالکتریک از جنس شیشه ($\kappa = 5$)، فاصله صفحات $d = 2\,\text{mm}$ و مساحت $A = 100\,\text{cm}^{2}$ است. خازن به باتری $12\,\text{V}$ متصل است. اگر دیالکتریک را بهآرامی خارج کنیم، چه مقدار انرژی توسط باتری جذب میشود؟ ($\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\text{F/m}$)

$2.55 \times 10^{-8}\,\text{J}$ — باتری به خازن متصل است، بنابراین اختلاف پتانسیل $V=12\,\text{V}$ ثابت میماند. ظرفیت خازن با دیالکتریک: $C = \kappa \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 5 \times \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 0.01}{0.002} = 2.2125 \times 10^{-10}\,\text{F}$ ظرفیت بدون دیالکتریک: $C_0 = \frac{C}{\kappa} = 4.425 \times 10^{-11}\,\text{F}$ بار اولیه و نهایی خازن: $Q = CV = 2.2125 \times 10^{-10} \times 12 = 2.655 \times 10^{-9}\,\text{C}$ $Q_0 = C_0V = 4.425 \times 10^{-11} \times 12 = 5.31 \times 10^{-10}\,\text{C}$ تغییر بار خازن: $\Delta Q = Q_0 - Q = -2.124 \times 10^{-9}\,\text{C}$ (بار کم میشود) انرژی جذبشده توسط باتری از رابطهی $W_{bat} = -\Delta Q \cdot V$ بهدست میآید. علامت منفی به این دلیل است که بار از خازن به باتری بازمیگردد (باتری کار مثبت دریافت میکند). $W_{bat} = -(-2.124 \times 10^{-9}) \times 12 = 2.5488 \times 10^{-8}\,\text{J}$ این مقدار تقریباً برابر $2.55 \times 10^{-8}\,\text{J}$ است.

Q: در آزمایشِ میلیکان، قطرهای روغنی با جرمِ $m=3.2\times10^{-15}\,kg$ در میدانِ الکتریکیِ یکنواختِ $E=2.0\times10^5\,N/C$ معلق میماند. تعدادِ بارهایِ بنیادیِ اضافیِ این قطره کدام است؟ ($g=10\,m/s^2$، $e=1.6\times10^{-19}\,C$)

$1$ — از تعادل: $qE=mg\Rightarrow q=\dfrac{mg}E=\dfrac{(3.2\times10^{-15})(10)}{2.0\times10^5}=1.6\times10^{-19}\,C$. تعدادِ بار: $n=q/e=\dfrac{1.6\times10^{-19}}{1.6\times10^{-19}}=1$. گزینهٔ «$2$» را رد میکنیم چون $m$ یا $g$ را دوبرابر محاسبه کرده. گزینهٔ «$5$» و «$10$» را رد میکنیم چون با خطایِ توانِ ده در محاسبه به دست میآیند. تلهٔ تستی: این سؤال دقیقاً به $n=1$ میرسد — یعنی قطره فقط یک بارِ بنیادیِ اضافه دارد؛ این سادهترین حالتِ ممکن در آزمایشِ میلیکان است و نباید آن را با فرضِ اشتباه پیچیدهتر کرد.

Q: دو بار نقطهای $q_1 = +2 \, \mu\text{C}$ و $q_2 = -8 \, \mu\text{C}$ به فاصله $0.6 \, \text{m}$ از یکدیگر قرار دارند. نقطهای روی خط واصل دو بار که میدان الکتریکی کل صفر است، در چه فاصلهای از $q_1$ قرار دارد؟ ($k = 9 \times 10^9 \, \frac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{C}^2}$)

$0.6 \, \text{m}$ — «$0.6 \, \text{m}$» درست است. برای دو بار ناهمنام، نقطه میدان صفر خارج از فاصله دو بار و کنار بار ضعیفتر ($q_1$) قرار دارد. با فرض فاصله $x$ از $q_1$، داریم $k\frac{2}{x^2} = k\frac{8}{(x+0.6)^2}$ که با حل معادله $x = 0.6 \, \text{m}$ بهدست میآید. سایر گزینهها حاصل اشتباه در تعیین موقعیت یا حل معادله هستند.

Question 1

در آزمایش میلیکان، قطره‌ای روغنی با جرم $m = 2.56 	imes 10^{-15}\,	ext{kg}$ در یک میدان الکتریکی یکنواخت $E = 1.60 	imes 10^{4}\,	ext{N/C}$ معلق می‌ماند. اگر شتاب گرانش $g = 10\,	ext{m/s}^{2}$ و بار بنیادی $e = 1.6 	imes 10^{-19}\,	ext{C}$ باشد، تعداد الکترون‌های اضافی یا کمبود این قطره کدام است؟

Accepted Answer

$10$ — برای تعادل: $qE=mg\Rightarrow q=\dfrac{mg}{E}=\dfrac{(2.56	imes10^{-15})(10)}{1.60	imes10^4}=1.6	imes10^{-18}\,C$. تعدادِ الکترون: $n=q/e=\dfrac{1.6	imes10^{-18}}{1.6	imes10^{-19}}=10$. گزینه‌هایِ «$9$»، «$11$» و «$12$» را رد می‌کنیم چون با محاسبهٔ دقیقِ بالا مطابقت ندارند و از خطایِ گردکردن یا اشتباه در توانِ ده ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در این مسئله $n$ دقیقاً عددِ صحیح ($10$) به دست می‌آید، نیازی به گردکردن نیست؛ اگر پاسخِ شما عددِ صحیح نشد، در محاسبهٔ $q=mg/E$ خطا کرده‌اید.

Question 2

یک خازن تخت با دی‌الکتریک هوا ($\kappa_1 = 1$) به یک باتری با اختلاف پتانسیل ثابت $V_0$ متصل است. صفحه‌های خازن $A$ و $B$ نامیده می‌شوند. اگر بدون قطع باتری، فضای بین صفحه‌ها را با دی‌الکتریکی به ضخامت $\frac{d}{2}$ و ثابت دی‌الکتریک $\kappa_2 = 4$ پر کنیم به طوری که نیمی از فاصله پر شود و نیمی خالی بماند، نسبت بار ذخیره‌شده در خازن پس از این کار به بار اولیه $\frac{Q_{final}}{Q_{initial}}$ کدام است؟

Accepted Answer

$\frac{8}{5}$ — «$\frac{8}{5}$» درست است چون خازن به دو خازن سری با ظرفیت‌های $C_1 = \kappa_1 \varepsilon_0 \frac{A}{d/2} = 2\varepsilon_0 A/d$ و $C_2 = \kappa_2 \varepsilon_0 \frac{A}{d/2} = 8\varepsilon_0 A/d$ تبدیل می‌شود. ظرفیت کل $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{16}{10} \varepsilon_0 A/d = \frac{8}{5} C_0$ است. با ثابت بودن $V$، $Q \propto C$ پس $\frac{Q_{final}}{Q_{initial}} = \frac{8}{5}$. سایر گزینه‌ها حاصل محاسبات غلط سری یا موازی گرفتن هستند.

Question 3

سه بار نقطه‌ای $q_1 = +2\,\mu	ext{C}$، $q_2 = -4\,\mu	ext{C}$ و $q_3 = +8\,\mu	ext{C}$ به ترتیب در رأس‌های یک مثلث متساوی‌الأضلاع به ضلع $a = 30\,	ext{cm}$ قرار دارند. انرژی پتانسیل الکتریکی کل این سامانه چند ژول است؟ ($k = 9 	imes 10^9\,\frac{	ext{N}\cdot	ext{m}^2}{	ext{C}^2}$)

Accepted Answer

$-0.72$ — انرژیِ پتانسیلِ کلِ سامانه، جمعِ انرژیِ پتانسیلِ هر جفت‌بار است: $U=k\left(\frac{q_1q_2}{a}+\frac{q_1q_3}{a}+\frac{q_2q_3}{a}ight)$ با $a=0.3\,	ext{m}$.

$U_{12}=\frac{(9	imes10^9)(2	imes10^{-6})(-4	imes10^{-6})}{0.3}=-0.24\,	ext{J}$

$U_{13}=\frac{(9	imes10^9)(2	imes10^{-6})(8	imes10^{-6})}{0.3}=+0.48\,	ext{J}$

$U_{23}=\frac{(9	imes10^9)(-4	imes10^{-6})(8	imes10^{-6})}{0.3}=-0.96\,	ext{J}$

مجموع: $U=-0.24+0.48-0.96=-0.72\,	ext{J}$، پس گزینهٔ «$-0.72$» درست است. گزینهٔ «$-0.24$» را رد می‌کنیم چون فقط سهمِ جفتِ $q_1q_2$ است و دو جفتِ دیگر را نادیده گرفته. گزینهٔ «$-0.36$» و «$-0.12$» را رد می‌کنیم چون با هیچ ترکیبی از سه جفت جور در نمی‌آیند. تلهٔ تستی: در سامانهٔ سه بار، دقیقاً سه جفتِ متمایز وجود دارد؛ محاسبهٔ فقط یک یا دو جفت، رایج‌ترین خطاست.

Question 4

یک خازن تخت با ظرفیت $C_0$ و فاصله صفحه‌های $d$، به یک باتری با اختلاف پتانسیل ثابت $V_0$ متصل است. سپس صفحه‌ها را از هم دور می‌کنیم تا فاصله آن‌ها $2d$ شود. اگر در این فرایند باتری متصل باقی بماند، انرژی ذخیره شده در خازن چند برابر می‌شود؟

Accepted Answer

$0.5$ — «$0.5$» درست است چون با دوبرابر شدن فاصله، ظرفیت نصف می‌شود ($C = \varepsilon_0 A / d$). با متصل بودن باتری، $\Delta V$ ثابت می‌ماند و انرژی $U = \frac{1}{2}C(\Delta V)^2$ است، بنابراین $U$ نیز نصف می‌شود. سایر گزینه‌ها نادرستند.

Question 5

نیروی خالص وارد بر بار $q_1 = +2\,	ext{nC}$ که در فاصله $r_2$ از بار $q_2 = -1\,	ext{nC}$ و در فاصله $r_3$ از بار $q_3 = +4\,	ext{nC}$ که در دو سمت آن روی یک خط راست قرار دارند، صفر است. اگر $q_2$ و $q_3$ به ترتیب در فاصله $r$ و $2r$ از $q_1$ باشند، نسبت $\frac{r_2}{r_3}$ کدام است؟ (همه بارها در یک خط راست و $q_1$ بین آن‌هاست)

Accepted Answer

$\frac{1}{2}$ — برایِ صفرشدنِ نیرویِ خالص بر $q_1$، دو نیرویِ واردشده باید هم‌اندازه و در خلافِ جهتِ هم باشند. چون $q_1$ بینِ دو بارِ دیگر است و به $q_2$ (منفی) جذب و از $q_3$ (مثبت) دفع می‌شود، این شرط برقرار می‌شود:

$k\frac{|q_2|q_1}{r_2^2}=k\frac{q_3q_1}{r_3^2}\Rightarrow\frac{1}{r_2^2}=\frac{4}{r_3^2}$

با جذرگرفتن: $\frac{r_2}{r_3}=\frac{1}{2}$. گزینهٔ «$\frac{1}{\sqrt2}$» را رد می‌کنیم چون از جذرنگرفتن به‌اندازهٔ کافی (یک‌بار به‌جایِ کاملِ نسبت) ناشی می‌شود. گزینهٔ «$1$» را رد می‌کنیم چون فرضِ برابریِ دو بار را دارد. گزینهٔ «$\frac14$» را رد می‌کنیم چون نسبتِ خودِ بارها ($1{:}4$) را به‌جایِ نسبتِ فاصله‌ها گزارش کرده. تلهٔ تستی: در رابطهٔ $\frac{q_2}{r_2^2}=\frac{q_3}{r_3^2}$، نسبتِ فاصله‌ها با **جذرِ** نسبتِ بارها برابر است، نه با خودِ آن.

Question 6

در خازن تختی با دی‌الکتریک از جنس شیشه ($\kappa = 5$)، فاصله صفحات $d = 2\,	ext{mm}$ و مساحت $A = 100\,	ext{cm}^{2}$ است. خازن به باتری $12\,	ext{V}$ متصل است. اگر دی‌الکتریک را به‌آرامی خارج کنیم، چه مقدار انرژی توسط باتری جذب می‌شود؟ ($\varepsilon_0 = 8.85 	imes 10^{-12}\,	ext{F/m}$)

Accepted Answer

$2.55 	imes 10^{-8}\,	ext{J}$ — باتری به خازن متصل است، بنابراین اختلاف پتانسیل $V=12\,	ext{V}$ ثابت می‌ماند.

ظرفیت خازن با دی‌الکتریک:
$C = \kappa \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 5 	imes \frac{8.85 	imes 10^{-12} 	imes 0.01}{0.002} = 2.2125 	imes 10^{-10}\,	ext{F}$

ظرفیت بدون دی‌الکتریک:
$C_0 = \frac{C}{\kappa} = 4.425 	imes 10^{-11}\,	ext{F}$

بار اولیه و نهایی خازن:
$Q = CV = 2.2125 	imes 10^{-10} 	imes 12 = 2.655 	imes 10^{-9}\,	ext{C}$
$Q_0 = C_0V = 4.425 	imes 10^{-11} 	imes 12 = 5.31 	imes 10^{-10}\,	ext{C}$

تغییر بار خازن:
$\Delta Q = Q_0 - Q = -2.124 	imes 10^{-9}\,	ext{C}$ (بار کم می‌شود)

انرژی جذب‌شده توسط باتری از رابطه‌ی $W_{bat} = -\Delta Q \cdot V$ به‌دست می‌آید. علامت منفی به این دلیل است که بار از خازن به باتری بازمی‌گردد (باتری کار مثبت دریافت می‌کند).
$W_{bat} = -(-2.124 	imes 10^{-9}) 	imes 12 = 2.5488 	imes 10^{-8}\,	ext{J}$

این مقدار تقریباً برابر $2.55 	imes 10^{-8}\,	ext{J}$ است.

Question 7

در آزمایشِ میلیکان، قطره‌ای روغنی با جرمِ $m=3.2	imes10^{-15}\,kg$ در میدانِ الکتریکیِ یکنواختِ $E=2.0	imes10^5\,N/C$ معلق می‌ماند. تعدادِ بارهایِ بنیادیِ اضافیِ این قطره کدام است؟ ($g=10\,m/s^2$، $e=1.6	imes10^{-19}\,C$)

Accepted Answer

$1$ — از تعادل: $qE=mg\Rightarrow q=\dfrac{mg}E=\dfrac{(3.2	imes10^{-15})(10)}{2.0	imes10^5}=1.6	imes10^{-19}\,C$. تعدادِ بار: $n=q/e=\dfrac{1.6	imes10^{-19}}{1.6	imes10^{-19}}=1$. گزینهٔ «$2$» را رد می‌کنیم چون $m$ یا $g$ را دوبرابر محاسبه کرده. گزینهٔ «$5$» و «$10$» را رد می‌کنیم چون با خطایِ توانِ ده در محاسبه به دست می‌آیند. تلهٔ تستی: این سؤال دقیقاً به $n=1$ می‌رسد — یعنی قطره فقط یک بارِ بنیادیِ اضافه دارد؛ این ساده‌ترین حالتِ ممکن در آزمایشِ میلیکان است و نباید آن را با فرضِ اشتباه پیچیده‌تر کرد.

Question 8

در یک آزمایش میلیکان، قطره روغنی با بار $q$ در میدان الکتریکی یکنواخت $E = 2.0 	imes 10^4 \, 	ext{N/C}$ معلق می‌ماند. اگر جرم قطره $m = 3.2 	imes 10^{-15} \, 	ext{kg}$ و $g = 10 \, 	ext{m/s}^2$ باشد، تعداد الکترون‌های اضافی (یا کمبود) روی قطره کدام است؟

Accepted Answer

$10$ — «$10$» درست است چون از تعادل $|q|E = mg$ داریم $|q| = \frac{mg}{E} = \frac{3.2 	imes 10^{-15} 	imes 10}{2.0 	imes 10^4} = 1.6 	imes 10^{-18} \, 	ext{C}$ و $n = \frac{|q|}{e} = \frac{1.6 	imes 10^{-18}}{1.6 	imes 10^{-19}} = 10$. سایر گزینه‌ها حاصل اشتباه در محاسبه $|q|$ یا تقسیم به $e$ هستند.

Question 9

خازن تخت با دی‌الکتریک هوا ($\kappa = 1$) به باتری $V_0$ وصل است. بدون قطع باتری، دی‌الکتریکی به ثابت $\kappa = 4$ فضای بین صفحات را کاملاً پر می‌کند. اگر $U_0$ انرژی اولیه خازن باشد، انرژی نهایی خازن چند برابر $U_0$ می‌شود؟

Accepted Answer

$4$ — «$4$» درست است چون خازن به باتری وصل است، $\Delta V = V_0$ ثابت می‌ماند و ظرفیت $C = \kappa C_0 = 4C_0$. انرژی $U = \frac{1}{2}C(\Delta V)^2 = \frac{1}{2}(4C_0)V_0^2 = 4 	imes \frac{1}{2}C_0 V_0^2 = 4U_0$. سایر گزینه‌ها حاصل اشتباه در ثابت گرفتن $Q$ یا جابجایی صورت و مخرج هستند.

Question 10

دو بار نقطه‌ای $q_1 = +2 \, \mu	ext{C}$ و $q_2 = -8 \, \mu	ext{C}$ به فاصله $0.6 \, 	ext{m}$ از یکدیگر قرار دارند. نقطه‌ای روی خط واصل دو بار که میدان الکتریکی کل صفر است، در چه فاصله‌ای از $q_1$ قرار دارد؟ ($k = 9 	imes 10^9 \, \frac{	ext{N}\cdot	ext{m}^2}{	ext{C}^2}$)

Accepted Answer

$0.6 \, 	ext{m}$ — «$0.6 \, 	ext{m}$» درست است. برای دو بار ناهم‌نام، نقطه میدان صفر خارج از فاصله دو بار و کنار بار ضعیف‌تر ($q_1$) قرار دارد. با فرض فاصله $x$ از $q_1$، داریم $k\frac{2}{x^2} = k\frac{8}{(x+0.6)^2}$ که با حل معادله $x = 0.6 \, 	ext{m}$ به‌دست می‌آید. سایر گزینه‌ها حاصل اشتباه در تعیین موقعیت یا حل معادله هستند.

01_الکتریسیته ساکن (علوم ریاضی)

خلاصه‌ی درسنامه

بار الکتریکی و قانون کولن

میدان الکتریکی

انرژی پتانسیل، پتانسیل و رسانا

خازن

نمونه تست

مباحث مرتبط

ادامه‌ی این مبحث رو ببین