03_مغناطیس (علوم ریاضی)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «هیچ میدان الکتریکی‌ای در ناحیه وجود ندارد؛ فقط میدان مغناطیسی باعث این مسیر دایروی شده است» درست است. مسیر «دقیقاً نیم‌دایره» به‌معنای یک قوسِ دایرویِ خالص با شعاعِ ثابت است؛ چنین مسیری فقط زمانی رخ می‌دهد که تنها نیروی مغناطیسی (که همیشه عمود بر سرعت است و کاری انجام نمی‌دهد) حضور داشته باشد. اگر میدان الکتریکی غیرصفری هم حضور داشت، حرکت برآیند به‌صورت یک منحنی سیکلوئیدی (ترکیب رانش + دوران) می‌شد، نه یک قوسِ دایرویِ خالص؛ علاوه‌بر این، هر میدان الکتریکی که دقیقاً روی شرطِ انتخاب‌گر سرعت ($E/B=v$) نباشد، روی ذره کار انجام می‌دهد و تندی خروجی را از $v_0$ متفاوت می‌کند. گزینه‌های دیگر همگی فرض کرده‌اند میدان الکتریکی غیرصفری وجود دارد که با هندسهٔ «نیم‌دایرهٔ خالص» ناسازگار است. تلهٔ تستی: شرط $E/B=v$ (انتخاب‌گر سرعت) فقط برای مسیر مستقیم‌الخط معتبر است، نه برای مسیر دایروی؛ اگر مسیر دایرویِ خالص باشد (نه سیکلوئیدی)، تنها تفسیرِ سازگار نبودِ میدان الکتریکی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «همواره برابر صفر» درست است. گشتاور دوقطبی مغناطیسی حلقه $\vec{\mu}=I\pi R^2\hat{k}$ است و انرژی پتانسیل آن در میدان از $U=-\vec{\mu}\cdot\vec{B}$ به دست می‌آید. در وضعیت اولیه $U_1=-I\pi R^2B_0\,\hat{k}\cdot(\hat{i}+\hat{j})=0$، زیرا $\hat{k}$ بر هر دو بردار $\hat{i}$ و $\hat{j}$ عمود است. پس از چرخش $180^\circ$ حول محور $x$، بردار $\hat{k}$ به $-\hat{k}$ می‌رود، پس $\vec{\mu}_2=-I\pi R^2\hat{k}$ و باز هم $U_2=0$. کار نیروی مغناطیسی برابر $W=-(U_2-U_1)=0$ است. وارسی مستقل با تجزیهٔ مختصاتی: چرخش حول محور $x$ به اندازهٔ زاویهٔ میانی $\varphi$، بردار $\hat{k}$ را به $-\sin\varphi\,\hat{j}+\cos\varphi\,\hat{k}$ می‌برد، پس $U(\varphi)=I\pi R^2B_0\sin\varphi$؛ این تابع در $\varphi=0$ و $\varphi=180^\circ$ هر دو صفر است و در نتیجه کارِ کلِ مسیر صفر می‌شود، هرچند در زوایای میانی $U$ غیرصفر و گشتاور فعال است. گزینهٔ «$\pi R^2IB_0$» بیشینهٔ مقدارِ $U$ در نیمهٔ راه ($\varphi=90^\circ$) است، نه کارِ کلِ مسیر. گزینهٔ «$\sqrt{2}\pi R^2IB_0$» از این فرض نادرست می‌آید که کل بزرگیِ میدان ($|\vec{B}|=\sqrt{2}B_0$) با $\vec{\mu}$ درگیر می‌شود، در حالی‌که فقط مؤلفهٔ $\hat{k}$ میدان (که صفر است) در $U$ اثر دارد. گزینهٔ «$2\pi R^2IB_0$» از فرض نادرستِ $U_2=-U_1\neq0$ (مانند حالتی که $\vec{\mu}$ موازی $\vec{B}$ باشد) نتیجه شده است. تلهٔ تستی: صفربودنِ کار به‌معنیِ صفربودنِ گشتاور در سراسر مسیر نیست؛ در همین مسئله گشتاور در زوایای میانی غیرصفر است، اما چون $U$ در دو سرِ مسیر برابر است، کارِ کل صفر می‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$\frac{\pi}{2}$» درست است. میدان مرکز حلقهٔ کوچک: $B_{حلقه}=\dfrac{\mu_0I}{2\cdot(R/2)}=\dfrac{\mu_0I}{R}$. میدان سیم بلند در فاصلهٔ $R/2$: $B_{سیم}=\dfrac{\mu_0(2I)}{2\pi(R/2)}=\dfrac{2\mu_0I}{\pi R}$. نسبت $\dfrac{B_{حلقه}}{B_{سیم}}=\dfrac{\mu_0I/R}{2\mu_0I/\pi R}=\dfrac{\pi}{2}$. گزینه‌های دیگر حاصل فراموش‌کردنِ عامل $\pi$ یا خطا در ساده‌سازیِ کسر مرکب هستند. تلهٔ تستی: در ترکیب دو فرمول متفاوت (میدان حلقه با ضریب $2$ در مخرج، میدان سیم با ضریب $2\pi$)، باید هرکدام را کامل و جداگانه محاسبه کرد؛ ترکیب یا ساده‌سازیِ زودهنگام باعث گم‌شدنِ عامل $\pi$ می‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$\frac{mv \sin \theta}{|q|B}$» درست است زیرا شعاع حرکت مارپیچی تنها به مؤلفهٔ عمود سرعت ($v_\perp=v\sin\theta$) بستگی دارد که در فرمول $r=mv_\perp/|q|B$ جای می‌گیرد. گزینهٔ «$\frac{mv}{|q|B\sin\theta}$» رابطه را معکوس کرده است. گزینهٔ «$\frac{mv\cos\theta}{|q|B}$» به‌جای $\sin\theta$ (شعاع) از $\cos\theta$ (که در فرمول گام مارپیچ به‌کار می‌رود) استفاده کرده است. گزینهٔ «$\frac{mv}{|q|B}$» فقط برای حالت خاص $\theta=90^\circ$ درست است، نه حالت کلی. تلهٔ تستی: خلط‌کردنِ $\sin\theta$ (شعاع مارپیچ) با $\cos\theta$ (گام مارپیچ) رایج‌ترین خطای مفهومی این فصل است؛ باید همیشه به یاد داشت مؤلفهٔ عمود بر میدان مسئولِ حرکت دایروی (شعاع) و مؤلفهٔ موازی مسئولِ پیشروی طولی (گام) است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$I(\pi R^2)B\cos\alpha$» درست است. رابطهٔ گشتاور $\tau=\mu B\sin\varphi$ است که در آن $\varphi$ زاویهٔ بردارِ عمود بر صفحهٔ حلقه با میدان است، نه زاویهٔ خودِ صفحه با میدان. در این مسئله زاویهٔ صفحه با میدان $\alpha$ داده شده، پس $\varphi=90^\circ-\alpha$ و در نتیجه $\tau=I(\pi R^2)B\sin(90^\circ-\alpha)=I(\pi R^2)B\cos\alpha$. وارسی مستقل با دو حالت حدی: اگر صفحهٔ حلقه موازی میدان باشد ($\alpha=0$)، بردارِ عمود بر میدان عمود است و گشتاور باید بیشینه باشد؛ رابطهٔ بالا $\tau=I\pi R^2B$ می‌دهد که همان بیشینه است. اگر صفحهٔ حلقه بر میدان عمود باشد ($\alpha=90^\circ$)، بردارِ عمود موازی میدان است و گشتاور باید صفر شود؛ رابطهٔ بالا $\tau=0$ می‌دهد. گزینهٔ «$I(2\pi R)B\cos\alpha$» به‌جای مساحتِ حلقه ($\pi R^2$) از محیطِ آن ($2\pi R$) استفاده کرده و از نظر بُعد هم نادرست است. گزینهٔ «$I(\pi R^2)B\sin\alpha$» قرارداد زاویه را جابه‌جا کرده؛ این رابطه فقط وقتی معتبر است که $\alpha$ زاویهٔ بردارِ عمود با میدان باشد، و با دادهٔ این سؤال دقیقاً در حالتِ بیشینه ($\alpha=0$) گشتاور را صفر می‌دهد. گزینهٔ «$\dfrac{I(\pi R^2)B}{\cos\alpha}$» در $\alpha=90^\circ$ به بی‌نهایت می‌رود، در حالی‌که آنجا گشتاور باید صفر باشد. تلهٔ تستی: همیشه اول تعیین کن زاویهٔ داده‌شده زاویهٔ «صفحه» با میدان است یا زاویهٔ «بردارِ عمود» با میدان؛ این دو مکمل یکدیگرند و با انتخابِ قراردادِ نادرست، دقیقاً به گزینهٔ وارونه می‌رسی.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$4$» درست است چون شعاع از رابطهٔ $r=\dfrac{mv}{|q|B}$ به دست می‌آید. با دو برابر شدن $v$ و نصف شدن $B$، نسبت $\dfrac{v}{B}$ چهار برابر می‌شود و در نتیجه شعاع هم $4$ برابر می‌گردد. گزینهٔ «$2$» فقط اثر تغییر $v$ یا فقط $B$ را در نظر گرفته، نه هر دو را. گزینهٔ «$1$» به‌اشتباه فرض کرده دو تغییر یکدیگر را خنثی می‌کنند. گزینهٔ «$0.5$» جهتِ اثرِ کاهشِ $B$ بر شعاع را برعکس گرفته است. تلهٔ تستی: چون $B$ در مخرجِ رابطهٔ شعاع است، کاهش آن باعث افزایش شعاع می‌شود، نه کاهش؛ وقتی افزایش $v$ و کاهش $B$ هم‌زمان رخ می‌دهند، هر دو اثر هم‌جهت (افزایشی) عمل می‌کنند و باید ضرب شوند، نه خنثی فرض شوند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$8$» درست است زیرا نیرو بر واحد طول از رابطهٔ $\dfrac{F}{l}=\dfrac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}$ به دست می‌آید. با دو برابر شدن هر دو جریان، حاصل‌ضرب $I_1I_2$ چهار برابر و با نصف شدن $d$، کسر $\dfrac{1}{d}$ دو برابر می‌شود؛ بنابراین نیرو $4\times2=8$ برابر می‌گردد. گزینهٔ «$2$» فقط اثر تغییر فاصله را در نظر گرفته است. گزینهٔ «$4$» فقط اثر تغییر جریان‌ها را در نظر گرفته است. گزینهٔ «$16$» حاصل ضرب نادرستِ دو ضریب (به‌جای $4\times2$، احتمالاً $4\times4$) است. تلهٔ تستی: وقتی هم جریان‌ها و هم فاصله هم‌زمان تغییر می‌کنند، باید اثر هرکدام را جداگانه محاسبه و سپس ضرب کرد؛ نادیده‌گرفتنِ یکی از این دو تغییر رایج‌ترین خطای این نوع مسئلهٔ ترکیبی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$\dfrac{\mu_0 I R^2}{2 d}$» درست است. نخست راستای میدان بررسی می‌شود: جریان در راستای $\hat{i}$ است و مرکزِ حلقه در راستای $\hat{j}$ نسبت به سیم قرار دارد، پس طبق قاعدهٔ دست راست میدانِ سیم در آنجا در راستای $\hat{i}\times\hat{j}=\hat{k}$، یعنی عمود بر صفحهٔ حلقه است و شارِ آن بیشینه و غیرصفر است. بزرگی میدان: $B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi d}$. مساحت حلقه: $A=\pi R^2$. پس $\Phi=BA=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi d}\times\pi R^2=\dfrac{\mu_0 I R^2}{2 d}$. وارسی مستقل با عدد: اگر $I=10\,\text{A}$، $d=0.5\,\text{m}$ و $R=0.01\,\text{m}$ باشد، $B=\dfrac{4\pi\times10^{-7}\times10}{2\pi\times0.5}=4\times10^{-6}\,\text{T}$ و $A=\pi\times10^{-4}\,\text{m}^2$، پس $\Phi=1.2566\times10^{-9}\,\text{Wb}$؛ رابطهٔ نهایی هم $\dfrac{4\pi\times10^{-7}\times10\times10^{-4}}{2\times0.5}=1.2566\times10^{-9}\,\text{Wb}$ می‌دهد. گزینهٔ «$\dfrac{\mu_0 I R^2}{2\pi d}$» عاملِ $\pi$ مساحت را جا انداخته است. گزینهٔ «$\dfrac{\mu_0 I \pi R^2}{2 d}$» یک عاملِ $\pi$ اضافی دارد، چون $\pi$ مساحت با $\pi$ مخرجِ میدانِ سیم ساده می‌شود. گزینهٔ «$\dfrac{\mu_0 I R}{2 d}$» به‌جای مساحت از شعاع استفاده کرده و بُعدِ شار را ندارد. تلهٔ تستی: پیش از محاسبهٔ شار، اول راستای میدان را در محلِ حلقه تعیین کن؛ اگر حلقه در صفحه‌ای می‌بود که میدانِ سیم در همان صفحه بیفتد، شار صفر می‌شد و هیچ‌یک از این عبارت‌ها معنا نداشت.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$\frac{q B' B r}{E}$» درست است زیرا از انتخاب‌گر سرعت $v=E/B$ و از حرکت دایروی $r=mv/(qB')$، با جای‌گذاری $v$ داریم $m=qB'Br/E$. گزینهٔ «$\frac{qB'r}{EB}$» به‌جای ضرب در $B$، آن را در مخرج قرار داده است. گزینهٔ «$\frac{qEr}{B'B}$» جای $E$ و $B$ را در کسر جابه‌جا کرده است. گزینهٔ «$\frac{qB'Er}{B}$» به‌جای $B$ در مخرج، $E$ را در صورت گذاشته است. تلهٔ تستی: استخراج جرم در طیف‌سنج جرمی نیازمند ترکیب دو رابطهٔ مجزا (انتخاب‌گر سرعت و شعاع دایروی) است؛ رایج‌ترین خطا، جای‌گذاری نادرستِ $v=E/B$ در فرمول شعاع یا جابه‌جاییِ محل $E$ و $B$ در کسر نهایی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$\frac{mv\sin\theta}{qB}$» درست است زیرا مؤلفهٔ عمود سرعت $v_\perp=v\sin\theta$ در فرمول شعاع $r=\dfrac{mv_\perp}{|q|B}$ قرار می‌گیرد. گزینهٔ «$\frac{mv\cos\theta}{qB}$» فرمول گام مارپیچ است، نه شعاع آن. گزینهٔ «$\frac{mv}{qB}$» فقط برای حالت خاص $\theta=90^\circ$ درست است. گزینهٔ «$\frac{mv}{qB\sin\theta}$» رابطهٔ صحیح را معکوس کرده است. تلهٔ تستی: باید همیشه دقت کرد که $\sin\theta$ مربوط به شعاع (مؤلفهٔ عمود) و $\cos\theta$ مربوط به گام (مؤلفهٔ موازی) است؛ این دو فرمول در ظاهر بسیار شبیه‌اند و خلط‌کردنشان رایج‌ترین خطای این مبحث است.