جریان الکتریکی و مدارها (فیزیک ۲ — ریاضی)

جریان الکتریکی

جریان الکتریکی نتیجه شارش خالص بار از یک سطح مقطع است:

\boxed{I = \frac{\Delta q}{\Delta t}}, \quad \text{واحد: آمپر } (A = C/s)

جهت قراردادی جریان از قطب مثبت به منفی، خارج از باتری است (جهت حرکت بار مثبت فرضی)؛ جهت واقعی حرکت الکترون‌ها در فلز مخالف آن است. بار عبوری در زمان $t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: $q = It$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و تعداد الکترون‌های عبوری: $N = q/e$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مقاومت، قانون اهم و مقاومت ویژه

\boxed{R = \frac{\Delta V}{I}}, \quad \text{واحد: اهم } (\Omega)

برای رساناهای اهمی در دمای ثابت، $\Delta V = IR$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و نمودار $I$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $\Delta V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خط راستی از مبدأ است؛ دیود، ترمیستور و LDR غیراهمی‌اند. مقاومت به ابعاد رسانا وابسته است:

\boxed{R = \rho \frac{L}{A}}

که $\rho$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مقاومت ویژه است — طول بیشتر مقاومت را زیاد، سطح مقطع بیشتر مقاومت را کم می‌کند. مقاومت ویژه با دما تغییر می‌کند:

\boxed{\rho = \rho_0[1 + \alpha(T - T_0)]} \Rightarrow R = R_0[1 + \alpha(T - T_0)]

برای فلزات $\alpha > 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (برخورد الکترون با شبکهٔ لرزان بیشتر می‌شود)، برای نیم‌رساناها و کربن $\alpha < 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (تعداد حامل بار با دما زیاد می‌شود). چند مقاومت ویژه در $20°C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: نقره $1.6\times10^{-8}\ \Omega\cdot m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، مس $1.7\times10^{-8}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، آلومینیم $2.8\times10^{-8}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، نیکروم $100\times10^{-8}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (رساناها)، سیلیسیم $640\ \Omega\cdot m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (نیم‌رسانا)، شیشه $10^{10}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین– $10^{14}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (عایق).

در دمای بحرانی $T_c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، برخی مواد (مثلاً جیوه در $4.2\ K$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) به‌طور ناگهانی مقاومت صفر پیدا می‌کنند — ابررسانایی، که کاربردهایی در MRI پزشکی، شتاب‌دهنده‌های ذرات (LHC) و قطارهای مگلو دارد.

نمونهٔ حل‌شده: مقاومت ویژه ژرمانیم در $20°C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر $6.8\times10^{-5}\ \Omega\cdot m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\alpha=-0.5\times10^{-3}\ °C^{-1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. در $120°C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

\rho = (6.8\times10^{-5})[1+(-0.5\times10^{-3})(100)] \approx 6.5\times10^{-5}\ \Omega\cdot m

مقاومت‌های خاص: ترمیستور (حساس به دما، NTC رایج‌تر)، LDR (مقاومتش با نور کم می‌شود)، دیود (فقط در یک جهت جریان می‌دهد؛ LED در جهت موافق نور تولید می‌کند).

نیروی محرکه الکتریکی (EMF)

\boxed{\mathcal{E} = \frac{W}{q}}, \quad \text{واحد: ولت}

باتری آرمانی مقاومت داخلی ندارد؛ باتری واقعی مقاومت داخلی $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد و ولتاژ ترمینال آن:

\boxed{V_{terminal} = \mathcal{E} - Ir}

با افزایش جریان مصرفی، ولتاژ ترمینال کم می‌شود؛ در مدار باز، $V_{terminal} = \mathcal{E}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. توان خروجی باتری $P_{باتری}=\mathcal{E}I$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است که بخشی از آن ( $P_r = I^2r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) در مقاومت داخلی تلف می‌شود و بقیه به‌صورت توان مفید ( $I^2R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) به مدار می‌رسد.

قوانین کیرشهف

قانون جریان‌ها (KCL): در هر گره، مجموع جریان ورودی برابر خروجی است — پیامد پایستگی بار.

قانون ولتاژها (KVL): در هر حلقه بسته، مجموع جبری اختلاف پتانسیل‌ها صفر است — پیامد پایستگی انرژی. علامت‌گذاری: عبور از مقاومت هم‌جهت جریان $= -IR$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، خلاف‌جهت $= +IR$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ عبور از باتری از $-$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به + برابر $+\mathcal{E}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

برای مدار تک‌حلقه: $\mathcal{E} - Ir - IR = 0 \Rightarrow I = \dfrac{\mathcal{E}}{R+r}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

توان الکتریکی

\boxed{P = I\Delta V = I^2R = \frac{(\Delta V)^2}{R}}

اگر جریان ثابت باشد، $P \propto R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ اگر ولتاژ ثابت باشد، $P \propto 1/R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. انرژی مصرفی: $U = Pt$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، با واحد عملی کیلووات‌ساعت ( $1\ kWh = 3.6\times10^6\ J$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین).

نمونه حل‌شده: بخاری برقی با $\Delta V=220\ V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $I=10.0\ A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: $P = I\Delta V = 2.20\ kW$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. انرژی مصرفی در یک ماه ( $30$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روز، $3.00\ h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در روز): $U = 2.20\times(30\times3.00) = 198\ kWh$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

ترکیب مقاومت‌ها

سری: $R_{eq} = \sum R_i$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین — جریان در همه یکسان، ولتاژ تقسیم می‌شود، $R_{eq}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از هر عضو بزرگ‌تر است.

موازی: $\dfrac{1}{R_{eq}} = \sum \dfrac{1}{R_i}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین — ولتاژ در همه یکسان، جریان تقسیم می‌شود؛ برای دو مقاومت: $R_{eq} = \dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، همیشه کوچک‌تر از کوچک‌ترین مقاومت. جریان بیشتر از مقاومت کمتر عبور می‌کند: $I_1 = \dfrac{R_2}{R_1+R_2}I$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. در اتصال سری، مدار تقسیم ولتاژ پرکاربرد است: $\Delta V_i = \dfrac{R_i}{R_{eq}}\cdot \Delta V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، مثلاً در تنظیم ولتاژ مدارهای الکترونیکی.

نمونه حل‌شده: باتری با $\mathcal{E}=12\ V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $r=2.0\ \Omega$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $R=4.0\ \Omega$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

I = \frac{12}{4.0+2.0} = 2.0\ A, \qquad V_{ab} = 12 - (2.0)(2.0) = 8.0\ V

تله‌های رایج کنکور: توان با مقاومت رابطهٔ معکوس یا مستقیم دارد بسته به اینکه جریان یا ولتاژ ثابت است؛ مقاومت معادل موازی همیشه از کوچک‌ترین عضو کمتر است؛ افزودن مقاومت موازی مقاومت کل مدار را کم می‌کند؛ آمپرسنج سری با مقاومت ناچیز ( $R_A \approx 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و ولت‌سنج موازی با مقاومت خیلی زیاد ( $R_V \to \infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) ایده‌آل‌اند؛ در مسائل چندحلقه‌ای، تعداد معادلات مستقل کیرشهف باید با تعداد مجهولات برابر باشد؛ اگر گفته نشد باتری آرمانی است، باید مقاومت داخلی $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را در نظر گرفت.

برای منبعی با $\mathcal{E}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، بیشترین توان وقتی به مقاومت خارجی منتقل می‌شود که $R = r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (قضیهٔ انتقال بیشینهٔ توان)، مبنای طراحی آمپلی‌فایر و بلندگو. در مدارهای پیچیده‌تر که نه کاملاً سری‌اند و نه موازی (مانند پل وتستون)، پل در تعادل است وقتی گالوانومتر جریان صفر نشان دهد: $R_1/R_2 = R_3/R_4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ این روش برای اندازه‌گیری دقیق مقاومت مجهول به‌کار می‌رود.

جریان الکتریکی و مدارها (فیزیک ۲ — ریاضی)

خلاصه‌ی درسنامه