02_جریان الکتریکی و مدارهای جریان مستقیم (علوم ریاضی)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$\frac{3R}{4}$» درست است. دو رأسِ متقاطعِ یک وجه (مثلاً $A$ و $C$ روی یک وجه، با $B$ و $D$ به‌عنوانِ دو رأسِ دیگرِ همان وجه) را در نظر بگیرید. از $A$ سه مسیرِ مستقیم (سه یال) به سه همسایه می‌رود. با تزریقِ جریان از $A$ و خروج از $C$ و حلِ معادلاتِ گره (با بهره‌گیری از تقارنِ مکعب)، مقاومتِ معادل بینِ دو رأسِ قطرِ وجه همیشه $\frac{3R}{4}$ به‌دست می‌آید — این یکی از سه نتیجهٔ استانداردِ شبکهٔ مکعبیِ مقاومت‌هاست: بینِ دو رأسِ همسایه (یک یال فاصله) $\frac{7R}{12}$، بینِ دو رأسِ قطرِ وجه (این سؤال) $\frac{3R}{4}$، و بینِ دو رأسِ قطرِ فضایی (مقابلِ هم در مکعب) $\frac{5R}{6}$. گزینهٔ «$\frac{R}{2}$» و «$\frac{2R}{3}$» با خلطِ این حالت با حالتِ رأسِ همسایه یا محاسبهٔ ناقصِ تقارن حاصل می‌شوند. گزینهٔ «$\frac{R}{3}$» فقط یکی از دو نیمهٔ مسیر را حساب کرده و نیمهٔ دوم را نادیده گرفته. تلهٔ تستی: شبکهٔ مکعبیِ مقاومت سه مقدارِ متفاوت و کاملاً استاندارد دارد بسته به اینکه دو رأسِ موردنظر همسایه، قطرِ وجه، یا قطرِ فضایی باشند ($\frac{7R}{12}<\frac{3R}{4}<\frac{5R}{6}$) — همیشه اول دقیقاً مشخص کن کدام‌یک از این سه حالت مطرح است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$4$» درست است. جریان سری: $I_s = \frac{\mathcal{E}}{R_1+R_2}$، جریان موازی: $I_p = \frac{\mathcal{E}}{R_{eq}}$ که $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}$. نسبت $\frac{I_p}{I_s} = \frac{R_1+R_2}{R_{eq}} = \frac{(R_1+R_2)^2}{R_1 R_2} = \frac{25}{4}$. با فرض $x = \frac{R_2}{R_1}$، داریم $\frac{(1+x)^2}{x} = \frac{25}{4}$ که به $4x^2 - 17x + 4 = 0$ می‌انجامد. ریشه‌ها $x = 4$ و $x = 0.25$ هستند. چون $R_2 > R_1$، $x = 4$ درست است. گزینه $0.25$ ریشه دیگر معادله است ولی شرط $R_2 > R_1$ را نقض می‌کند. گزینه‌های $2.5$ و $0.4$ حاصل محاسبات غلط‌اند. تلهٔ تستی: معادلهٔ درجه‌دومِ حاصل از این نوع مسئله همیشه دو ریشه می‌دهد که وارونِ هم‌اند ($x$ و $1/x$) — شرطِ اضافیِ سؤال (اینجا $R_2>R_1$) همیشه باید برایِ انتخابِ ریشهٔ درست به‌کار رود، وگرنه هر دو ریشه به‌ظاهر معتبر به‌نظر می‌رسند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«توان خروجی مفید کاهش می‌یابد و ولتاژ ترمینال 9 V افت می‌کند.» درست است. برای R=5 Ω: I=24/(5+3)=3 A، P=3²×5=45 W، V_ab=24−3×3=15 V. برای R=1 Ω: I=24/(1+3)=6 A، P=6²×1=36 W، V_ab=24−6×3=6 V. توان از 45 W به 36 W کاهش و ولتاژ 9 V افت می‌کند. سایر گزینه‌ها اشتباهند. تلهٔ تستی: کاهشِ $R$ همیشه به‌معنایِ افزایشِ توانِ خروجی نیست — فقط وقتی $R>r$ باشد و به‌سمتِ $R=r$ کاهش یابد توان افزایش می‌یابد؛ اگر $R$ از بالایِ $r$ به پایین‌ترِ آن عبور کند (یا برعکس)، باید مقدارِ توان را در هر دو نقطه مستقیماً محاسبه کرد، نه فقط جهتِ تغییرِ $R$ را حدس زد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«ولت‌سنج کاهش، آمپرسنج افزایش» درست است. با بستن کلید، مقاومت موازی معادل از R_2 به R1||R2 کاهش می‌یابد، بنابراین مقاومت کل مدار کاهش و جریان کل افزایش می‌یابد. آمپرسنج جریان کل را اندازه می‌گیرد. افزایش جریان باعث افزایش افت ولتاژ روی مقاومت داخلی r شده و ولتاژ دو سر باتری (و در نتیجه ولتاژ دو سر ولت‌سنج که موازی با باتری است) کاهش می‌یابد. تلهٔ تستی: افزودنِ هر مسیرِ موازیِ جدید در مدارِ خارجی، همیشه مقاومتِ کل را کم و جریانِ کل را زیاد می‌کند؛ این افزایشِ جریان، افتِ ولتاژِ رویِ مقاومتِ داخلیِ باتری را هم زیاد می‌کند، پس ولتاژِ ترمینال (که ولت‌سنجِ موازی با باتری آن را می‌بیند) همیشه کاهش می‌یابد — این دو اثر (جریانِ آمپرسنج و ولتاژِ ولت‌سنج) همیشه در جهتِ مخالفِ هم حرکت می‌کنند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$70.0^\circ\text{C}$» درست است. با استفاده از رابطه $R = R_0[1 + \alpha(T - T_0)]$، داریم $119.6 = 100 [1 + 3.92\times10^{-3} (T - 20)]$ که پس از حل، $T - 20 = 50$ و $T = 70^\circ\text{C}$ به دست می‌آید. سایر گزینه‌ها حاصل محاسبات با اشتباه در ضریب یا عملیات ریاضی هستند. تلهٔ تستی: در دماسنجِ مقاومتی، رابطهٔ $R=R_0[1+\alpha(T-T_0)]$ خطی است — نباید آن را با رابطهٔ نمایی یا با فرمولِ اشتباهِ $R=R_0 e^{\alpha\Delta T}$ (که در برخی مسائلِ مشابه اما نادرست به‌کار می‌رود) قاطی کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$2.0\,\text{W}$» درست است. $R_1$ و $R_2$ سری: $R_{12}=3+6=9\,\Omega$. این با $R_3=4\,\Omega$ موازی است: $R_{123}=(9\times4)/13\approx2.77\,\Omega$. مقاومت کل: $R_{total}=2.77+8+1\approx11.77\,\Omega$. جریانِ کل: $I\approx12/11.77\approx1.02\,\text{A}$. ولتاژِ دو سرِ $R_{123}$: $V\approx1.02\times2.77\approx2.83\,\text{V}$. جریانِ $R_3$: $I_3=V/R_3\approx2.83/4\approx0.71\,\text{A}$. توانِ $R_3$: $P_3=I_3^2\times R_3\approx0.5\times4=2.0\,\text{W}$. گزینه‌های دیگر از خطاهای محاسباتی در ترکیبِ سری-موازی حاصل می‌شوند. تلهٔ تستی: در مدارهایِ سری-موازیِ چندلایه، باید مرحله‌به‌مرحله از داخلی‌ترین ترکیب به بیرونی‌ترین پیش رفت — رد‌کردنِ یک لایه، کلِ محاسبه را خراب می‌کند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$50\%$» درست است. طبق قضیه بیشینه توان انتقالی، بیشینه توان به مقاومت خارجی وقتی منتقل می‌شود که $R = r = 1 \, \Omega$. جریان مدار $I = \frac{\mathcal{E}}{R + r} = \frac{9}{2} = 4.5 \, \text{A}$ است. توان کل تولیدی باتری $P_{total} = \mathcal{E} I = 9 \times 4.5 = 40.5 \, \text{W}$ و توان مصرفی در $R$ برابر $P_R = I^2 R = (4.5)^2 \times 1 = 20.25 \, \text{W}$ است. درصد توان مصرفی در $R$ برابر $\frac{20.25}{40.5} \times 100 = 50\%$ است. سایر گزینه‌ها مقادیر اشتباهی از این نسبت هستند. تلهٔ تستی: در شرطِ بیشینه‌انتقالِ‌توان ($R=r$)، بازدهِ باتری همیشه دقیقاً $50٪$ است — مستقل از مقدارِ عددیِ $\mathcal{E}$ و $r$؛ این نتیجهٔ کلی نباید با تصورِ نادرستِ «بیشینه‌توان یعنی بیشینه‌بازده» اشتباه گرفته شود (بازدهِ $100٪$ فقط وقتی $r=0$ یا $R\to\infty$ رخ می‌دهد، نه در شرطِ بیشینه‌توان).

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«1.50» درست است. از دادهٔ جریان، $R$ را پیدا می‌کنیم: مقاومتِ کلِ مدار $=\frac{R}{2}+R=\frac{3}{2}R$ و چون مقاومتِ سوم با کلِ مدار سری است، جریانِ آن همان جریانِ کل است: $\frac{12}{1.5R}=0.75\Rightarrow R=\frac{12}{1.125}=10.67\,\Omega$. ولتاژِ دو سرِ ترکیبِ موازی: $V_p=I\times\frac{R}{2}=0.75\times5.33=4.0\,\text{V}$. توانِ هر مقاومتِ موازی: $P=\frac{V_p^2}{R}=\frac{16}{10.67}=1.50\,\text{W}$. وارسیِ مستقل: جریانِ هر شاخهٔ موازی نصفِ جریانِ کل است ($0.375\,\text{A}$)، پس $P=I^2R=0.375^2\times10.67=1.50\,\text{W}$ — همان نتیجه. ردِ گزینه‌ها: «3.00» توانِ **کلِ دو مقاومتِ موازی رویِ‌هم** است ($V_p^2/(R/2)=16/5.33=3.0\,\text{W}$)، نه توانِ هرکدام. «4.50» نصفِ توانِ کلِ مدار است ($P_{کل}=\mathcal{E}I=12\times0.75=9\,\text{W}$، و $9/2=4.5$). «2.25» از تقسیمِ نادرستِ همان توانِ کلِ $9\,\text{W}$ بر ۴ به‌دست می‌آید. تلهٔ تستی: وقتی سؤال «توانِ هرکدام» می‌پرسد، نباید توانِ کلِ ترکیبِ موازی (اینجا $3.0\,\text{W}$) را گزارش کرد — این دو عدد دقیقاً ضریبِ ۲ اختلاف دارند و گزینهٔ هر دو در تست موجود است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«یک خط راست با شیب منفی که محور $V_{ab}$ را در $12\,\text{V}$ قطع می‌کند» درست است. رابطهٔ $V_{ab}=\mathcal{E}-Ir$ یک تابعِ خطیِ $V_{ab}$ برحسبِ $I$ است با شیبِ $-r=-2$ و عرض‌ازمبدأِ $\mathcal{E}=12\,\text{V}$ (در $I=0$، یعنی $R\to\infty$). گزینهٔ «خطِ راستِ شیبِ مثبت از مبدأ» جهتِ شیب را برعکس گرفته و فرضِ نادرستِ $V_{ab}=Ir$ (بدونِ $\mathcal{E}$) را دارد. گزینهٔ «منحنیِ صعودی-نزولی» رفتارِ $P_R$ برحسبِ $R$ را با رفتارِ خطیِ $V_{ab}$ برحسبِ $I$ اشتباه گرفته. گزینهٔ «خطِ افقی در $12\,\text{V}$» فرضِ نادرستِ باتریِ آرمانی (بدونِ افتِ داخلی) را دارد. تلهٔ تستی: رابطهٔ $V_{ab}$ برحسبِ $I$ همیشه خطی است (نه $V_{ab}$ برحسبِ $R$، که غیرخطی است) — این تمایز بینِ دو متغیرِ مستقلِ ممکن ($I$ یا $R$) منشأِ اصلیِ خطا در انتخابِ نمودارِ درست است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$\frac{2}{9}$» درست است. مقاومت معادل سری $R_s = R_1 + R_2 = 3R_1$ است. مقاومت معادل موازی $R_p = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{2R_1^2}{3R_1} = \frac{2}{3}R_1$ است. با ولتاژ ثابت $V$، $P = \frac{V^2}{R}$، بنابراین $P_s = \frac{V^2}{3R_1}$ و $P_p = \frac{V^2}{\frac{2}{3}R_1} = \frac{3V^2}{2R_1}$ است. نسبت $\frac{P_s}{P_p} = \frac{\frac{V^2}{3R_1}}{\frac{3V^2}{2R_1}} = \frac{2}{9}$ به دست می‌آید. گزینه $\frac{2}{3}$ حاصل اشتباه در محاسبه $R_p$ است، گزینه $\frac{1}{3}$ حاصل اشتباه در محاسبه $P_p$ است و گزینه $\frac{1}{9}$ حاصل اشتباه در محاسبه $R_s$ است. تلهٔ تستی: با ولتاژِ ثابت، توان با $1/R$ متناسب است، پس نسبتِ توان‌ها **معکوسِ** نسبتِ مقاومت‌هاست — مقاومتِ سری همیشه بزرگ‌تر از موازی است، پس توانِ سری همیشه کمتر از موازی است؛ فراموش‌کردنِ این وارونگی، خطایِ رایج‌ترین در این نوع سؤال است.