Q: یک فنر به طول طبیعی $L_0$ با ثابت $k = 100\,\text{N/m}$ روی سطح افقی بدون اصطکاک قرار دارد. یک سر فنر به دیوار و سر دیگر آن به جسمی به جرم $m = 2\,\text{kg}$ متصل است. جسم را $x = 20\,\text{cm}$ از حالت تعادل کشیده و رها میکنیم. جسم در حالی که به سمت دیوار حرکت میکند، در لحظهای که از نقطه تعادل عبور میکند، چه نیرویی از طرف فنر به آن وارد میشود؟

$0\,\text{N}$ — «$0\,\text{N}$» درست است. در نقطه تعادل، فنر به حالت طبیعی خود بازگشته است، بنابراین تغییر طول $x = 0$ است. طبق قانون هوک $F_e = kx$، نیروی کشسانی فنر در این نقطه صفر است. گزینه «$5\,\text{N}$» غلط است (ممکن است $x = 5\,\text{cm}$ در نظر گرفته شده باشد). گزینه «$10\,\text{N}$» غلط است (ممکن است $x = 10\,\text{cm}$ فرض شده). گزینه «$20\,\text{N}$» غلط است (نیروی اولیه $kx = 100 \times 0.2 = 20\,\text{N}$ است ولی در نقطه تعادل صفر است). **تلهٔ تستی:** نقطهٔ تعادل دقیقاً همان طولِ طبیعیِ فنر است؛ نیرویِ فنر همیشه صفر در همینِ نقطه است، نه در انتهایِ مسیرِ نوسان.

Q: دو جسم $m_1 = 2\,\text{kg}$ و $m_2 = 3\,\text{kg}$ توسط یک طناب ناکشسان و سبک به یکدیگر متصل شدهاند. جسم $m_1$ روی یک سطح افقی با ضریب اصطکاک جنبشی $\mu_k = 0.2$ قرار دارد و جسم $m_2$ از لبه سطح آویزان است. مقدار نیروی کشش طناب (بر حسب نیوتن) در این سامانه چقدر است؟ ($g = 10\,\text{m/s}^2$)

$14.4$ — «$14.4$» درست است. ابتدا معادلات حرکت را مینویسیم: برای $m_2$ داریم $m_2g - T = m_2a$ و برای $m_1$ داریم $T - \mu_k m_1g = m_1a$. با جمع این دو معادله، شتاب $a = \frac{m_2g - \mu_k m_1 g}{m_1 + m_2} = \frac{30 - 4}{5} = 5.2\,\text{m/s}^2$ به دست میآید. سپس $T = m_1(a + \mu_k g) = 2 \times (5.2 + 2) = 14.4\,\text{N}$. گزینههای دیگر از اشتباه در نوشتن علامت اصطکاک یا محاسبه کشش از رابطه $m_2g$ حاصل میشوند. **تلهٔ تستی:** برایِ یافتنِ کشش، باید اول شتابِ سامانه را از جمعِ دو معادله به دست آورد، نه مستقیماً از وزنِ یکی از دو جسم.

Q: یک قایق موتوری با جرم $1000\,\text{kg}$ در حال حرکت در آب است. نیروی مقاومت شاره (بر حسب نیوتن) برابر $f_D = 200v$ است. موتور قایق یک نیروی ثابت $F = 4000\,\text{N}$ به قایق وارد میکند. تندی حدی قایق (بر حسب متر بر ثانیه) و شتاب آن در لحظهای که تندی قایق نصف تندی حدی است، به ترتیب از راست به چپ کدام است؟

$20\,\text{m/s}$ و $2\,\text{m/s}^2$ — «$20\,\text{m/s}$ و $2\,\text{m/s}^2$» درست است. در تندی حدی، شتاب صفر است: $F - f_D = 0 \Rightarrow 4000 = 200v_t \Rightarrow v_t = 20\,\text{m/s}$. در تندی $v = 10\,\text{m/s}$، نیروی مقاومت $2000\,\text{N}$ است. شتاب: $a = \frac{F - f_D}{m} = \frac{4000 - 2000}{1000} = 2\,\text{m/s}^2$. سایر گزینهها از اشتباه در محاسبه تندی حدی یا شتاب ناشی میشوند. **تلهٔ تستی:** در تندیِ حدی $a=0$ است، نه اینکه سرعت صفر شود؛ این دو مفهوم را نباید خلط کرد.

Q: یک فنر به طول طبیعی $L_0 = 20\,\text{cm}$ و ثابت $k = 500\,\text{N/m}$ روی میز افقی بدون اصطکاکی قرار دارد. یک سر فنر به دیوار و سر دیگر به جسمی به جرم $m = 2\,\text{kg}$ متصل است. اگر جسم را $10\,\text{cm}$ از حالت تعادل کشیده و رها کنیم، تندی جسم در لحظهای که طول فنر به $25\,\text{cm}$ میرسد، کدام است؟

$1.37\,\text{m/s}$ — «$1.37\,\text{m/s}$» درست است. از پایستگی انرژی مکانیکی استفاده میکنیم. انرژی جنبشی اولیه صفر و انرژی پتانسیل کشسانی $\frac{1}{2}k x_1^2 = \frac{1}{2} \times 500 \times (0.1)^2 = 2.5\,\text{J}$ است. در لحظه مورد نظر، $x_2 = 5\,\text{cm} = 0.05\,\text{m}$ و انرژی پتانسیل $\frac{1}{2}k x_2^2 = 0.625\,\text{J}$ است. بنابراین $\frac{1}{2}mv^2 = 2.5 - 0.625 = 1.875 \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2 \times 1.875}{2}} = \sqrt{1.875} \approx 1.37\,\text{m/s}$. گزینه $1.25$ از اشتباه در تشخیص تغییر طول (گرفتن مستقیم $25\,\text{cm}$ به جای $x_2 = 5\,\text{cm}$) حاصل میشود. **تلهٔ تستی:** تغییرِ طولِ فنر نسبت به تعادل باید از موقعیتِ نسبیِ فنر محاسبه شود، نه مستقیماً از عددِ طولِ نهاییِ دادهشده در سؤال.

Q: جسمی به جرم $m$ از روی نیمکرهای به شعاع $R$ و بدون اصطکاک از حالت سکون رها میشود. در لحظهای که زاویه بردار شعاع گذرنده از مرکز نیمکره با خط قائم برابر $\theta$ است، تکانه جسم چند $\text{kg} \cdot \text{m/s}$ است؟

$m\sqrt{2gR(1-\cos\theta)}$ — «$m\sqrt{2gR(1-\cos\theta)}$» درست است چون با استفاده از پایستگی انرژی مکانیکی، $\frac{1}{2}mv^2 = mgR(1-\cos\theta)$، سرعت $v = \sqrt{2gR(1-\cos\theta)}$ به دست میآید و تکانه $p = mv$ است. گزینه $\sqrt{2m^2 g R \cos\theta}$ غلط است زیرا از کسینوس به اشتباه استفاده کرده. گزینه $m\sqrt{gR(1-\cos\theta)}$ غلط است چون فاقد ضریب 2 زیر رادیکال است. گزینه $m\sqrt{2gR(1-\sin\theta)}$ غلط است چون سینوس به جای کسینوس به کار رفته. **تلهٔ تستی:** زاویهٔ دادهشده نسبت به خطِ قائم است، نه نسبت به سطحِ افقی؛ خلطِ $\sin$ و $\cos$ در این نوع سؤال رایجترین خطاست.

Question 1

جسمی به جرم $2\,	ext{kg}$ روی سطح افقی با ضریب اصطکاک ایستایی $\mu_s = 0.4$ و جنبشی $\mu_k = 0.3$ قرار دارد. نیروی افقی $F$ به جسم وارد می‌شود. اگر $F$ از صفر تا $15\,	ext{N}$ به آرامی افزایش یابد، در لحظه‌ای که جسم شروع به حرکت می‌کند، شتاب آن چند $	ext{m/s}^2$ است؟ ($g = 10\,	ext{m/s}^2$)

Accepted Answer

$1$ — در آستانهٔ حرکت، نیرویِ محرک برابرِ $F=f_{s,max}=\mu_smg=0.4	imes2	imes10=8\,	ext{N}$ است. در همین لحظه که جسم تازه شروعِ حرکت می‌کند، اصطکاک به‌طورِ آنی به نوعِ جنبشی تبدیل می‌شود: $f_k=\mu_kmg=0.3	imes2	imes10=6\,	ext{N}$. شتابِ لحظه‌ای: $a=\dfrac{F-f_k}{m}=\dfrac{8-6}{2}=1\,	ext{m/s}^2$. گزینه‌ی $2.0$ با فراموش‌کردنِ تبدیلِ اصطکاک به جنبشی (استفادهٔ نادرست از $\mu_s$ در هر دو نیرو) به دست می‌آید. گزینه‌های $2.5$ و $3.5$ از خطاهایِ محاسباتیِ دیگر در همین رابطه ناشی می‌شوند. **تلهٔ تستی:** «لحظهٔ شروعِ حرکت» یعنی $F$ هنوز دقیقاً برابرِ بیشینهٔ اصطکاکِ ایستایی است، اما اصطکاکِ مؤثر در همان آن به‌جنبشی تبدیل شده؛ این دو مقدارِ متفاوتِ اصطکاک ($\mu_s$ برایِ $F$، $\mu_k$ برایِ نیرویِ مخالف) باید هم‌زمان به‌کار روند.

Question 2

یک فنر به طول طبیعی $L_0$ با ثابت $k = 100\,	ext{N/m}$ روی سطح افقی بدون اصطکاک قرار دارد. یک سر فنر به دیوار و سر دیگر آن به جسمی به جرم $m = 2\,	ext{kg}$ متصل است. جسم را $x = 20\,	ext{cm}$ از حالت تعادل کشیده و رها می‌کنیم. جسم در حالی که به سمت دیوار حرکت می‌کند، در لحظه‌ای که از نقطه تعادل عبور می‌کند، چه نیرویی از طرف فنر به آن وارد می‌شود؟

Accepted Answer

$0\,	ext{N}$ — «$0\,	ext{N}$» درست است. در نقطه تعادل، فنر به حالت طبیعی خود بازگشته است، بنابراین تغییر طول $x = 0$ است. طبق قانون هوک $F_e = kx$، نیروی کشسانی فنر در این نقطه صفر است. گزینه «$5\,	ext{N}$» غلط است (ممکن است $x = 5\,	ext{cm}$ در نظر گرفته شده باشد). گزینه «$10\,	ext{N}$» غلط است (ممکن است $x = 10\,	ext{cm}$ فرض شده). گزینه «$20\,	ext{N}$» غلط است (نیروی اولیه $kx = 100 	imes 0.2 = 20\,	ext{N}$ است ولی در نقطه تعادل صفر است). **تلهٔ تستی:** نقطهٔ تعادل دقیقاً همان طولِ طبیعیِ فنر است؛ نیرویِ فنر همیشه صفر در همینِ نقطه است، نه در انتهایِ مسیرِ نوسان.

Question 3

یک ماهواره به جرم $m$ در مدار دایره‌ای به شعاع $r$ به دور زمین می‌چرخد. اگر شعاع مدار به $2r$ افزایش یابد، سرعت مداری ماهواره چند برابر می‌شود؟

Accepted Answer

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ — «$\frac{1}{\sqrt{2}}$» درست است. سرعت مداری ماهواره از رابطه $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ به دست می‌آید. اگر شعاع دو برابر شود ($r' = 2r$)، سرعت جدید $v' = \sqrt{\frac{GM}{2r}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{GM}{r}} = \frac{v}{\sqrt{2}}$ می‌شود. گزینه «$\frac{1}{2}$» غلط است (رابطه خطی نیست). گزینه «$\sqrt{2}$» غلط است (نسبت معکوس است). گزینه «$2$» غلط است (با افزایش شعاع سرعت کاهش می‌یابد). **تلهٔ تستی:** رابطهٔ $v\propto1/\sqrt{r}$ یک رابطهٔ خطی نیست؛ دوبرابرشدنِ $r$ هرگز $v$ را نصف نمی‌کند.

Question 4

دو جسم $m_1 = 2\,	ext{kg}$ و $m_2 = 3\,	ext{kg}$ توسط یک طناب ناکشسان و سبک به یکدیگر متصل شده‌اند. جسم $m_1$ روی یک سطح افقی با ضریب اصطکاک جنبشی $\mu_k = 0.2$ قرار دارد و جسم $m_2$ از لبه سطح آویزان است. مقدار نیروی کشش طناب (بر حسب نیوتن) در این سامانه چقدر است؟ ($g = 10\,	ext{m/s}^2$)

Accepted Answer

$14.4$ — «$14.4$» درست است. ابتدا معادلات حرکت را می‌نویسیم: برای $m_2$ داریم $m_2g - T = m_2a$ و برای $m_1$ داریم $T - \mu_k m_1g = m_1a$. با جمع این دو معادله، شتاب $a = \frac{m_2g - \mu_k m_1 g}{m_1 + m_2} = \frac{30 - 4}{5} = 5.2\,	ext{m/s}^2$ به دست می‌آید. سپس $T = m_1(a + \mu_k g) = 2 	imes (5.2 + 2) = 14.4\,	ext{N}$. گزینه‌های دیگر از اشتباه در نوشتن علامت اصطکاک یا محاسبه کشش از رابطه $m_2g$ حاصل می‌شوند. **تلهٔ تستی:** برایِ یافتنِ کشش، باید اول شتابِ سامانه را از جمعِ دو معادله به دست آورد، نه مستقیماً از وزنِ یکی از دو جسم.

Question 5

یک قایق موتوری با جرم $1000\,	ext{kg}$ در حال حرکت در آب است. نیروی مقاومت شاره (بر حسب نیوتن) برابر $f_D = 200v$ است. موتور قایق یک نیروی ثابت $F = 4000\,	ext{N}$ به قایق وارد می‌کند. تندی حدی قایق (بر حسب متر بر ثانیه) و شتاب آن در لحظه‌ای که تندی قایق نصف تندی حدی است، به ترتیب از راست به چپ کدام است؟

Accepted Answer

$20\,	ext{m/s}$ و $2\,	ext{m/s}^2$ — «$20\,	ext{m/s}$ و $2\,	ext{m/s}^2$» درست است. در تندی حدی، شتاب صفر است: $F - f_D = 0 \Rightarrow 4000 = 200v_t \Rightarrow v_t = 20\,	ext{m/s}$. در تندی $v = 10\,	ext{m/s}$، نیروی مقاومت $2000\,	ext{N}$ است. شتاب: $a = \frac{F - f_D}{m} = \frac{4000 - 2000}{1000} = 2\,	ext{m/s}^2$. سایر گزینه‌ها از اشتباه در محاسبه تندی حدی یا شتاب ناشی می‌شوند. **تلهٔ تستی:** در تندیِ حدی $a=0$ است، نه اینکه سرعت صفر شود؛ این دو مفهوم را نباید خلط کرد.

Question 6

یک فنر به طول طبیعی $L_0 = 20\,	ext{cm}$ و ثابت $k = 500\,	ext{N/m}$ روی میز افقی بدون اصطکاکی قرار دارد. یک سر فنر به دیوار و سر دیگر به جسمی به جرم $m = 2\,	ext{kg}$ متصل است. اگر جسم را $10\,	ext{cm}$ از حالت تعادل کشیده و رها کنیم، تندی جسم در لحظه‌ای که طول فنر به $25\,	ext{cm}$ می‌رسد، کدام است؟

Accepted Answer

$1.37\,	ext{m/s}$ — «$1.37\,	ext{m/s}$» درست است. از پایستگی انرژی مکانیکی استفاده می‌کنیم. انرژی جنبشی اولیه صفر و انرژی پتانسیل کشسانی $\frac{1}{2}k x_1^2 = \frac{1}{2} 	imes 500 	imes (0.1)^2 = 2.5\,	ext{J}$ است. در لحظه مورد نظر، $x_2 = 5\,	ext{cm} = 0.05\,	ext{m}$ و انرژی پتانسیل $\frac{1}{2}k x_2^2 = 0.625\,	ext{J}$ است. بنابراین $\frac{1}{2}mv^2 = 2.5 - 0.625 = 1.875 \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2 	imes 1.875}{2}} = \sqrt{1.875} \approx 1.37\,	ext{m/s}$. گزینه $1.25$ از اشتباه در تشخیص تغییر طول (گرفتن مستقیم $25\,	ext{cm}$ به جای $x_2 = 5\,	ext{cm}$) حاصل می‌شود. **تلهٔ تستی:** تغییرِ طولِ فنر نسبت به تعادل باید از موقعیتِ نسبیِ فنر محاسبه شود، نه مستقیماً از عددِ طولِ نهاییِ داده‌شده در سؤال.

Question 7

جسمی به جرم $m$ از روی نیم‌کره‌ای به شعاع $R$ و بدون اصطکاک از حالت سکون رها می‌شود. در لحظه‌ای که زاویه بردار شعاع گذرنده از مرکز نیم‌کره با خط قائم برابر $	heta$ است، تکانه جسم چند $	ext{kg} \cdot 	ext{m/s}$ است؟

Accepted Answer

$m\sqrt{2gR(1-\cos	heta)}$ — «$m\sqrt{2gR(1-\cos	heta)}$» درست است چون با استفاده از پایستگی انرژی مکانیکی، $\frac{1}{2}mv^2 = mgR(1-\cos	heta)$، سرعت $v = \sqrt{2gR(1-\cos	heta)}$ به دست می‌آید و تکانه $p = mv$ است. گزینه $\sqrt{2m^2 g R \cos	heta}$ غلط است زیرا از کسینوس به اشتباه استفاده کرده. گزینه $m\sqrt{gR(1-\cos	heta)}$ غلط است چون فاقد ضریب 2 زیر رادیکال است. گزینه $m\sqrt{2gR(1-\sin	heta)}$ غلط است چون سینوس به جای کسینوس به کار رفته. **تلهٔ تستی:** زاویهٔ داده‌شده نسبت به خطِ قائم است، نه نسبت به سطحِ افقی؛ خلطِ $\sin$ و $\cos$ در این نوع سؤال رایج‌ترین خطاست.

Question 8

سه فنر یکسان با ثابت $k$ را به صورت موازی می‌بندیم، سپس یک جرم $m$ را به انتهای مجموعه وصل کرده و سیستم را از حالت تعادل به اندازه $x$ به سمت پایین می‌کشیم و رها می‌کنیم. اگر دوره تناوب نوسان $T$ باشد، با نصف کردن جرم $m$، دوره تناوب جدید چند $T$ می‌شود؟ (فنرها بدون جرم و ایده‌آل هستند.)

Accepted Answer

$\frac{T}{\sqrt{2}}$ — «$\frac{T}{\sqrt{2}}$» درست است چون سه فنر موازی معادل با $k_{eq} = 3k$ است. دوره $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{3k}}$. با نصف کردن جرم، $T' = 2\pi\sqrt{\frac{m/2}{3k}} = \frac{2\pi\sqrt{m/3k}}{\sqrt{2}} = \frac{T}{\sqrt{2}}$. گزینه $T$ غلط است زیرا دوره به جرم وابسته است. گزینه $\frac{T}{2}$ غلط است. گزینه $\sqrt{2}T$ غلط است. **تلهٔ تستی:** دورهٔ تناوب با جذرِ جرم متناسب است؛ نصف‌کردنِ جرم، دوره را در $\frac{1}{\sqrt2}$ ضرب می‌کند، نه در $\frac12$.

Question 9

ماهواره‌ای در مداری دایره‌ای به شعاع $r$ دور زمین می‌چرخد. اگر شعاع مدار را ۴ برابر کنیم، تغییر انرژی جنبشی ماهواره نسبت به حالت اول، چند برابر انرژی جنبشی اولیه است؟ (از تغییر جرم ماهواره صرف‌نظر کنید.)

Accepted Answer

$-\frac{3}{4}$ — «$-\frac{3}{4}$» درست است. انرژی جنبشی ماهواره $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2r}$. در شعاع $4r$، انرژی جنبشی $K' = \frac{GMm}{8r} = \frac{1}{4}K$. تغییر انرژی $\Delta K = K' - K = -\frac{3}{4}K$. گزینه $-\frac{2}{3}$ غلط است چون کسر اشتباهی را نشان می‌دهد. گزینه $-\frac{4}{5}$ غلط است. گزینه $-\frac{1}{2}$ غلط است. **تلهٔ تستی:** «تغییرِ» انرژیِ جنبشی خواسته شده، نه مقدارِ نهاییِ آن؛ باید مقدارِ نهایی منهایِ مقدارِ اولیه محاسبه شود.

Question 10

جسمی به جرم $m$ روی سطح افقی با ضریب اصطکاک جنبشی $\mu_k$ قرار دارد. نیروی $F$ به طور مماسی به آن وارد می‌شود و جسم شروع به حرکت می‌کند. اگر نیروی $F$ به صورت $F(t) = kt$ (با $k$ ثابت) بر حسب زمان افزایش یابد، شتاب لحظه‌ای جسم در لحظه $t = t_0$ کدام است؟ (از مقاومت هوا صرف‌نظر کنید.)

Accepted Answer

$\dfrac{k t_0}{m} - \mu_k g$ — نیرویِ خالص برابرِ $F_{net}=F(t)-f_k=kt-\mu_kmg$ است و با تقسیم بر جرم، شتابِ لحظه‌ای $a=\dfrac{kt}{m}-\mu_kg$ به دست می‌آید که در $t=t_0$ برابرِ $\dfrac{kt_0}{m}-\mu_kg$ است. گزینه‌ی «$\dfrac{kt_0}{m}-\mu_kmg$» جملهٔ اصطکاک را بدونِ تقسیمِ لازم بر جرم رها کرده و از نظرِ بعدی نادرست است. گزینه‌ی «$\dfrac{kt_0-\mu_kmgt_0}{m}$» زمان را به‌اشتباه در جملهٔ اصطکاک هم ضرب کرده است. گزینه‌ی «$\dfrac{k}{m}-\mu_kg$» مقدارِ $t_0$ را در جملهٔ اول حذف کرده است. **تلهٔ تستی:** نیرویِ متغیرِ $F(t)=kt$ باید در لحظهٔ مشخصِ $t_0$ مقداردهی شود؛ نباید با نیرویِ ثابت اشتباه گرفته شود.

نیرو	رابطه	نکته
وزن	$W=mg$	جهت همیشه رو به مرکز زمین؛ جرم ثابت است، وزن نه
نرمال	$F_N=mg$ روی سطح افقی	در آسانسور: $F_N=m(g\pm a)$ ؛ در سقوط آزاد $F_N=0$ (بی‌وزنی)
اصطکاک ایستایی	$f_s\le \mu_sF_N$	در آستانهٔ حرکت: $f_{s,max}=\mu_sF_N$
اصطکاک جنبشی	$f_k=\mu_kF_N$	همیشه $\mu_k<\mu_s$
فنر (قانون هوک)	$F_e=kx$	جهت همیشه به سمت نقطهٔ تعادل

02_دینامیک و حرکت دایره ای (علوم ریاضی)

خلاصه‌ی درسنامه

چرا کیسه هوا جان می‌بخشد؟

سه قانون حرکت نیوتون

نیروهای رایج

بازگشت به تکانه و ضربه

فنرهای سری و موازی

حرکت دایره‌ای یکنواخت

گرانش عمومی

نمونه: پیچ شیب‌دار بدون نیاز به اصطکاک

نکات کنکوری طلایی

نمونه تست

مباحث مرتبط

ادامه‌ی این مبحث رو ببین