دینامیک و حرکت دایره‌ای (فیزیک ۳)

چرا کیسه هوا جان می‌بخشد؟

در تصادف، سرنشین در کسری از ثانیه متوقف می‌شود. تکانهٔ او،

\vec{p}=m\vec{v},

باید به صفر برسد؛ اما نیرویی که این کار را انجام می‌دهد به زمان توقف هم بستگی دارد:

\vec{F}_{net}=\frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}.

کیسهٔ هوا با طولانی‌کردن $\Delta t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، نیروی واردشده به سرنشین را کم می‌کند. همین رابطهٔ ساده، ستون فقرات این فصل است: قانون دوم نیوتون.

سه قانون حرکت نیوتون

قانون اول (لختی): اگر برایند نیروها صفر باشد ( $\vec{F}_{net}=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، جسم حالت حرکتی‌اش را حفظ می‌کند. «نیروهای متوازن» یعنی برایند صفر، نه نبودِ نیرو — جسمی که با سرعت ثابت روی سطح افقی یا حتی شیب‌دار حرکت می‌کند هم نیروهای متوازن دارد.
قانون دوم: $\boxed{\vec{F}_{net}=m\vec{a}}$ شتاب و نیروی خالص همیشه هم‌جهت‌اند؛ اگر چند نیرو وارد باشد، اول باید برایند برداری گرفت.
قانون سوم (کنش-واکنش): $\vec{F}_{12}=-\vec{F}_{21}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین — دو نیرو هم‌اندازه، هم‌راستا و خلاف‌جهت‌اند، از یک نوع (هر دو گرانشی یا هر دو الکتریکی)، و هرگز بر یک جسم وارد نمی‌شوند؛ پس هیچ‌وقت با هم خنثی نمی‌شوند.

نیروهای رایج

نیرو	رابطه	نکته
وزن	$W=mg$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	جهت همیشه رو به مرکز زمین؛ جرم ثابت است، وزن نه
نرمال	$F_N=mg$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی سطح افقی	در آسانسور: $F_N=m(g\pm a)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ در سقوط آزاد $F_N=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (بی‌وزنی)
اصطکاک ایستایی	$f_s\le \mu_sF_N$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	در آستانهٔ حرکت: $f_{s,max}=\mu_sF_N$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
اصطکاک جنبشی	$f_k=\mu_kF_N$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	همیشه $\mu_k<\mu_s$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
فنر (قانون هوک)	$F_e=kx$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	جهت همیشه به سمت نقطهٔ تعادل

نکتهٔ کنکوری: اصطکاک به مساحت سطح تماس بستگی ندارد — نتیجه‌ای که در نگاه اول عجیب به نظر می‌رسد اما در آزمایشگاه بارها تأیید شده است.

بازگشت به تکانه و ضربه

همان کمیتی که در ابتدا دیدیم را رسمی کنیم:

\boxed{\vec{p}=m\vec{v}}\qquad \boxed{\vec{F}_{net}=\frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}}\qquad \boxed{\vec{J}=\vec{F}_{net}\cdot\Delta t=\Delta\vec{p}}

ضربه برابر تغییر تکانه است. اگر نیروی خالص خارجی وارد بر یک سیستم صفر باشد، تکانهٔ کل سیستم پایسته می‌ماند:

m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2=m_1\vec{v}_1'+m_2\vec{v}_2'

همین اصل توضیح می‌دهد که چرا کیسهٔ هوا، تشک فرود ژیمناستیک و حتی خم‌کردن زانو هنگام پریدن، همگی با افزایش $\Delta t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نیروی وارد بر بدن را کاهش می‌دهند.

فنرهای سری و موازی

وقتی چند فنر با هم ترکیب می‌شوند: در حالت موازی، $k_{eq}=k_1+k_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (سفت‌تر می‌شود)؛ در حالت سری، $\dfrac{1}{k_{eq}}=\dfrac{1}{k_1}+\dfrac{1}{k_2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (نرم‌تر می‌شود).

حرکت دایره‌ای یکنواخت

در این حرکت اندازهٔ سرعت ثابت است اما جهتش دائم تغییر می‌کند، پس شتابی رو به مرکز (مرکزگرا) وجود دارد:

a_c=\frac{v^2}{r},\qquad F_{net}=\frac{mv^2}{r},\qquad T=\frac{2\pi r}{v}

نیروی مرکزگرا نوع جدیدی از نیرو نیست؛ برایند نیروهای موجود (گرانش، اصطکاک، کشش طناب) نقش آن را بازی می‌کند — مثلاً در پیچ جادهٔ تخت، اصطکاک ایستایی همان نیروی مرکزگراست.

گرانش عمومی

F=G\frac{m_1m_2}{r^2},\qquad g=\frac{GM_e}{R_e^2}

اگر فاصلهٔ دو جسم دو برابر شود، نیروی گرانشی چهار برابر کم می‌شود. برای ماهواره‌ای در مدار دایره‌ای، برابر گذاشتن نیروی گرانشی با نیروی مرکزگرا می‌دهد:

v=\sqrt{\frac{GM_e}{r}},\qquad T=\frac{2\pi r^{3/2}}{\sqrt{GM_e}}

نمونه: پیچ شیب‌دار بدون نیاز به اصطکاک

ماشینی با تندی $v$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در پیچی با شعاع $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و زاویهٔ شیب $\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌چرخد، طوری که اصطکاک لازم نباشد. تجزیهٔ نیروی نرمال در راستای قائم و افقی:

F_N\cos\theta=mg,\qquad F_N\sin\theta=\frac{mv^2}{r}

با تقسیم دو رابطه بر هم:

\boxed{v=\sqrt{rg\tan\theta}}

همین رابطه توضیح می‌دهد چرا پیچ‌های اتوبان با زاویهٔ مشخصی طراحی می‌شوند: در تندی طراحی‌شده، حتی روی سطح یخ‌زده هم ماشین از پیچ منحرف نمی‌شود.

نکات کنکوری طلایی

اگر جسم A با نیروی $F$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به B وارد کند، B هم دقیقاً با نیروی $F$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (نه $2F$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) به A نیرو وارد می‌کند.
شتاب مرکزگرا همیشه رو به مرکز است؛ پس بردار سرعت هیچ‌گاه رو به مرکز نیست، بلکه بر شعاع عمود است.
در حرکت دایره‌ای یکنواخت، کار نیروی مرکزگرا صفر است چون همیشه بر جابجایی عمود است.
در ارتفاعی که وزن جسم نصف مقدار سطح زمین می‌شود: $h=(\sqrt{2}-1)R_e\approx 0.414R_e$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
وزن ماهواره در مدار صفر نیست؛ همان نیروی گرانشی است که نقش نیروی مرکزگرا را ایفا می‌کند.

خلاصه‌ی درسنامه