نوسان، موج و صوت (فیزیک ۳ — ریاضی) — خلاصهٔ درسنامه کنکور

نوسان و موج

نوسان دوره‌ای

نوسان، حرکتی است که جسم حول یک نقطهٔ تعادل تکرار می‌کند. نوسان دوره‌ای هر چرخه را دقیقاً مثل قبلی تکرار می‌کند؛ نوسان غیردوره‌ای الگوی ثابتی ندارد.

کمیت	نماد	تعریف
دورهٔ تناوب	$T$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	زمان یک نوسان کامل
بسامد	$f$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	تعداد نوسان در ثانیه
دامنه	$A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	بیشینه فاصله از تعادل

\boxed{f=\frac{1}{T}}

نکته: دامنه نصف فاصلهٔ دو انتهای مسیر نوسان است، نه کل آن.

حرکت هماهنگ ساده (SHM)

حرکتی که نمودار مکان-زمانش سینوسی باشد، حرکت هماهنگ ساده نام دارد. با انتخاب $t=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در نقطهٔ $x=+A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

\boxed{x(t)=A\cos(\omega t)},\qquad \omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f

در نقاط بازگشتی ( $x=\pm A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) سرعت صفر و شتاب بیشینه است؛ در نقطهٔ تعادل ( $x=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) سرعت بیشینه و شتاب صفر است. رابطهٔ شتاب و مکان، $a=-\omega^2x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، نشان می‌دهد شتاب همیشه به سمت تعادل است (نیروی بازگرداننده).

فنر-جرم و آونگ ساده

\boxed{T_{\text{فنر}}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}\qquad \boxed{T_{\text{آونگ}}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}}

دورهٔ فنر-جرم به دامنه بستگی ندارد (ایزوکرونی)؛ دورهٔ آونگ ساده هم به دامنه (برای زوایای کوچک) و هم به جرم وزنه بستگی ندارد، فقط به طول نخ و شتاب گرانش. نکتهٔ کنکوری: در آسانسور با شتاب $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رو به بالا، $T=2\pi\sqrt{L/(g+a)}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (دوره کمتر)؛ در سقوط آزاد ( $a=g$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، آونگ اصلاً نوسان نمی‌کند.

انرژی در SHM

E=K+U=\frac{1}{2}kA^2=\text{ثابت},\qquad v_{max}=A\omega

انرژی مکانیکی با مربع دامنه و مربع بسامد متناسب است. در $x=A/2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، انرژی پتانسیل یک‌چهارم و جنبشی سه‌چهارم کل انرژی است.

نکتهٔ فراتر از کتاب — فنر قائم: وقتی فنر عمودی است و وزنه به آن آویزان می‌شود، نقطهٔ تعادل جابجا می‌شود ( $x_0=mg/k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) اما دورهٔ تناوب دقیقاً همان رابطهٔ افقی باقی می‌ماند؛ وزن در معادلهٔ حرکت حذف می‌شود.

ویژگی	فنر-جرم	آونگ ساده
نیروی بازگرداننده	$F=-kx$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$F\approx -\frac{mg}{L}x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
بسامد زاویه‌ای	$\omega=\sqrt{k/m}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\omega=\sqrt{g/L}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
وابستگی به جرم	دارد	ندارد
وابستگی به دامنه	ندارد	ندارد (زوایای کوچک)

تشدید

هر نوسانگر بدون نیروی خارجی، با بسامد طبیعی $f_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نوسان می‌کند. وقتی بسامد نیروی واداشته با $f_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر شود، تشدید رخ می‌دهد و دامنهٔ نوسان به بیشینه می‌رسد.

مثال	توضیح
سقوط پل تاکوما (۱۹۴۰)	باد با بسامد طبیعی پل تشدید ایجاد کرد
زلزلهٔ مکزیکوسیتی (۱۹۸۵)	ساختمان‌های ده تا چهارده طبقه با بسامد زمین‌لرزه تشدید یافتند
اجاق مایکروویو	امواج با بسامدی هم‌خوان با مولکول‌های آب تشدید ایجاد می‌کنند

نکتهٔ کنکوری: تشدید همیشه مضر نیست؛ در تنظیم رادیو، MRI و لیزر کاملاً مفید و ضروری است.

موج و انواع آن

موج، انتقال انرژی بدون انتقال ماده است. در موج عرضی (مثل نور، موج روی ریسمان)، ارتعاش ذرات عمود بر جهت انتشار است؛ در موج طولی (مثل صوت)، ارتعاش موازی با انتشار است.

\boxed{v=f\lambda}

نکتهٔ کنکوری کلیدی: تندی موج فقط به محیط بستگی دارد. وقتی موج از محیطی به محیط دیگر می‌رود، بسامد ثابت می‌ماند اما طول موج و تندی تغییر می‌کنند. توان انتقالی موج با مربع دامنه و مربع بسامد متناسب است.

تندی موج عرضی در ریسمان کشیده:

\boxed{v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}}

که $F$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نیروی کشش و $\mu=m/L$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین چگالی خطی ریسمان است. نکتهٔ کنکوری: اگر کشش چهار برابر شود، تندی فقط دو برابر می‌شود؛ اگر چگالی خطی چهار برابر شود، تندی نصف می‌شود.

محیط	فرمول تندی
ریسمان	$v=\sqrt{F/\mu}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
مایع	$v=\sqrt{B/\rho}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
جامد (طولی)	$v=\sqrt{Y/\rho}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
گاز (صوت)	$v=\sqrt{\gamma RT/M}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

امواج الکترومغناطیسی

طبق نظریهٔ ماکسول، تغییرات متقابل میدان الکتریکی و مغناطیسی موج الکترومغناطیسی می‌آفرینند. این امواج همیشه عرضی‌اند، به محیط نیاز ندارند و در خلأ با تندی

c\approx 3.00\times10^8\,\text{m/s}

منتشر می‌شوند.

ناحیه طیف	طول موج	کاربرد
امواج رادیویی	بزرگ‌تر از $1\,\text{m}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	رادیو، تلویزیون
میکروموج	$1\,\text{mm}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا $1\,\text{m}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	ماکروویو، رادار
مرئی	$400$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا $700\,\text{nm}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	دید انسان
فرابنفش	$10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا $400\,\text{nm}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	ضدعفونی
پرتو X و گاما	کمتر از $10\,\text{nm}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	رادیولوژی، هسته‌ای

در تمام این طیف، تندی امواج در خلأ یکسان است و تنها بسامد (یا طول موج) تفاوت می‌کند. در محیط مادی، تندی نور $v=c/n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است که $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ضریب شکست محیط است.

موج صوتی

صوت موجی طولی مکانیکی است. شدت صوت،

I=\frac{P_{av}}{A},\qquad \beta=(10\,\text{dB})\log\left(\frac{I}{I_0}\right)

هر بار شدت ۱۰ برابر شود، تراز دسی‌بل دقیقاً ۱۰ واحد بالا می‌رود. برای منبع نقطه‌ای، $I\propto 1/r^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ اگر فاصله دو برابر شود، شدت چهار برابر کاهش می‌یابد.

صوت	تراز (dB)	شدت ( $\text{W/m}^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)
آستانهٔ شنوایی	$0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$10^{-12}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
صحبت معمولی	$60$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$10^{-6}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
جارو برقی	$80$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$10^{-4}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
آستانهٔ درد	$120$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

گسترهٔ شنوایی انسان $20$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا $20000\,\text{Hz}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ زیر آن زیرصوت و بالای آن فراصوت نام دارد.

نمونه: سه منبع صوتی یکسان هر کدام تراز $70\,\text{dB}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارند. وقتی هر سه روشن باشند، چون شدت‌ها جمع می‌شوند (نه ترازها):

\beta_{total}=70+10\log(3)\approx 74.8\,\text{dB}

اثر دوپلر

تغییر بسامد دریافتی به دلیل حرکت نسبی چشمه و شنونده:

f_{obs}=f_s\cdot\frac{v+v_o}{v-v_s}

وقتی چشمه و ناظر به هم نزدیک می‌شوند، $f_{obs}>f_s$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ هنگام دور شدن، برعکس.

کاربرد	توضیح
رادار سرعت‌سنج پلیس	موج رادیویی بازتاب‌یافته از خودروی متحرک
سونوگرافی داپلر	اندازه‌گیری جریان خون
اخترشناسی	تعیین سرعت ستارگان و کهکشان‌ها از انتقال به سرخ یا آبی
رادار هواشناسی	پیش‌بینی توفان

برای امواج زمین‌لرزه، دو نوع موج با تندی متفاوت داریم: موج طولی P (سریع‌تر، حدود $8\,\text{km/s}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و موج عرضی S (کندتر، حدود $4.5\,\text{km/s}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین). از اختلاف زمان رسیدن آن‌ها می‌توان فاصلهٔ کانون زمین‌لرزه را محاسبه کرد.

نمونه حل‌شده

نوسانگری با $A=10\,\text{cm}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $k=50\,\text{N/m}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نوسان می‌کند. در چه مکانی انرژی جنبشی با پتانسیل برابر است؟ چون $U=E/2=\frac{1}{4}kA^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{4}kA^2 \Rightarrow x=\frac{A}{\sqrt{2}}\approx 7.07\,\text{cm}

نوسان، موج و صوت (فیزیک ۳ — ریاضی)

خلاصه‌ی درسنامه