03_نوسان و موج (علوم ریاضی)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$2.25$» درست است. انرژیِ مکانیکیِ کلِ نوسان‌گرِ هماهنگِ ساده $E=\frac{1}{2}kA^2$ است که تنها به ثابتِ فنر $k$ و دامنه $A$ بستگی دارد، نه به جرم. با افزایشِ دامنه به $A'=1.5A$: $E'=\frac{1}{2}k(1.5A)^2=(1.5)^2\times\frac{1}{2}kA^2=2.25E$. گزینهٔ «$1.80$» رد می‌شود چون از ضربِ نادرستِ ضریبِ دامنه ($1.5$) در ضریبِ کاهشِ جرم ($0.8$) بدونِ به‌توان‌دو رساندنِ دامنه حاصل می‌شود. گزینهٔ «$3.75$» رد می‌شود چون از جمعِ نادرستِ اثراتِ دامنه و جرم (به‌جایِ ضربِ صحیحِ آن‌ها) ناشی می‌شود. گزینهٔ «$4.50$» رد می‌شود چون دامنه را به‌جایِ به‌توان‌دو رساندن، در ضریبی دیگر ضرب کرده است. تلهٔ تستی این سؤال، دادنِ کاهشِ ۲۰٪ در جرم است که چون $E$ به جرم وابسته نیست، هیچ تأثیری در پاسخ ندارد و صرفاً برایِ گمراه‌کردن آمده است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**الف) چرا «$\frac{\sqrt{3}}{2}A$» درست است:** «$K=\frac13U$» یعنی $U=3K$، پس $K/E=1/4$ و $U/E=3/4$. چون $U/E=(x/A)^2$: $x/A=\sqrt{3/4}=\dfrac{\sqrt3}{2}$. **ب) رد گزینه‌های غلط:** - «$\frac{\sqrt{2}}{2}A$»: این مقدار متناظرِ $K=U$ (نه $K=U/3$) است. - «$\frac{2}{3}A$»: این عدد فاقدِ جذر است؛ رابطهٔ درست شاملِ جذرگرفتن از $U/E$ است. - «$\frac{\sqrt{6}}{4}A$»: این عدد با هیچ‌کدام از نسبت‌های سادهٔ $K/U$ سازگار نیست. **ج) تلهٔ تستی:** باید همیشه ابتدا $U/E$ محاسبه شود، سپس جذر گرفته شود تا $x/A$ به دست آید؛ فراموش‌کردنِ جذر یا نسبتِ نادرست، رایج‌ترین خطاهای این خانواده از سؤالات‌اند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$x(t) = A \cos\left(\omega t - \frac{\pi}{3}\right)$» درست است. با فرضِ $x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$، از شرطِ $x(0)=\frac{A}{2}$ داریم $\cos\varphi=\frac{1}{2}$ که دو جواب $\varphi=+\frac{\pi}{3}$ یا $\varphi=-\frac{\pi}{3}$ دارد. سرعت $v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)$ و در $t=0$: $v(0)=-A\omega\sin\varphi$. برای آنکه $v(0)>0$ باشد باید $\sin\varphi<0$ باشد که تنها با $\varphi=-\frac{\pi}{3}$ برقرار است (چون $\sin(-\pi/3)=-\frac{\sqrt3}{2}<0$)؛ در نتیجه $x(t)=A\cos\left(\omega t-\frac{\pi}{3}\right)$. گزینهٔ «$x(t) = A \cos\left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$» رد می‌شود چون با اینکه $x(0)=\frac{A}{2}$ را برآورده می‌کند، سرعتِ آن در $t=0$ منفی است ($\sin(\pi/3)>0$)، نه مثبت. گزینهٔ «$x(t) = A \cos\left(\omega t - \frac{2\pi}{3}\right)$» رد می‌شود چون در آن $x(0)=A\cos(-2\pi/3)=-\frac{A}{2}$ است، نه $+\frac{A}{2}$. گزینهٔ «$x(t) = A \cos\left(\omega t + \frac{2\pi}{3}\right)$» رد می‌شود چون در آن نیز $x(0)=A\cos(2\pi/3)=-\frac{A}{2}$ است، نه $+\frac{A}{2}$. تلهٔ تستی این سؤال، وجودِ دو جوابِ ریاضیِ ممکن برای $\cos\varphi=\frac{1}{2}$ (یعنی $\pm\frac{\pi}{3}$) است که فقط یکی از آن‌ها با شرطِ علامتِ سرعت سازگار است؛ باید هر دو شرطِ مکان و سرعت را هم‌زمان بررسی کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**الف) چرا «$67\,\text{dB}$» درست است:** از $\beta=10\log\left(\frac{I}{I_0}\right)=70$ داریم $I=10^{-12}\times10^{7}=10^{-5}\,\text{W/m}^2$؛ این شدتِ حاصل از هر دو منبع است. چون منابع ناهمدوس‌اند شدت‌هایشان ساده جمع می‌شود، و چون شنونده از هر دو به یک فاصله است سهمِ هرکدام برابر است: $I_1=\frac{I}{2}=5\times10^{-6}\,\text{W/m}^2$. با خاموش‌شدنِ یکی: $\beta'=10\log\left(\frac{5\times10^{-6}}{10^{-12}}\right)=10\log(5\times10^{6})=10(6+\log5)=10(6+0.70)=67\,\text{dB}$. **وارسیِ مستقل:** نصف‌شدنِ شدت همیشه $10\log2\approx3\,\text{dB}$ کاهشِ تراز می‌دهد؛ $70-3=67\,\text{dB}$ — همان نتیجه، بدونِ نیاز به محاسبهٔ مقدارِ مطلقِ شدت. **ب) رد گزینه‌های غلط:** - «$70\,\text{dB}$»: فرض می‌کند خاموش‌کردنِ یک منبع اثری ندارد، در حالی‌که شدت دقیقاً نصف می‌شود. - «$35\,\text{dB}$»: از تقسیمِ خودِ تراز ($70$) بر $2$ به دست می‌آید؛ تراز کمیتی لگاریتمی است و هرگز مستقیماً بر تعدادِ منابع تقسیم نمی‌شود. - «$140\,\text{dB}$»: از دوبرابرکردنِ نادرستِ تراز حاصل می‌شود؛ ضمناً جهتِ تغییر هم غلط است، چون با خاموش‌شدنِ یک منبع تراز باید کاهش یابد. **ج) تلهٔ تستی:** «ناهمدوس‌بودن» منابع شرطِ لازم برای جمعِ سادهٔ شدت‌هاست؛ اگر منابع همدوس (هم‌فاز) بودند، در آن نقطه تداخل رخ می‌داد و شدتِ برایند دیگر برابرِ مجموعِ شدت‌ها نبود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$x(t) = A \cos\left(\omega t - \frac{2\pi}{3}\right)$» درست است. با فرضِ $x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$، از شرطِ $x(0)=-\frac{A}{2}$ داریم $\cos\varphi=-\frac{1}{2}$ که دو جوابِ $\varphi=\frac{2\pi}{3}$ یا $\varphi=-\frac{2\pi}{3}$ دارد. سرعت $v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)$؛ در $t=0$: $v(0)=-A\omega\sin\varphi$. برایِ آنکه $v(0)>0$ باشد، باید $\sin\varphi<0$ باشد که تنها با $\varphi=-\frac{2\pi}{3}$ برقرار است (چون $\sin(-2\pi/3)=-\frac{\sqrt3}{2}<0$)؛ در نتیجه $x(t)=A\cos\left(\omega t-\frac{2\pi}{3}\right)$. گزینهٔ «$x(t) = A \cos\left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$» رد می‌شود چون در آن $x(0)=A\cos(\pi/3)=+\frac{A}{2}$ است، نه $-\frac{A}{2}$. گزینهٔ «$x(t) = A \cos\left(\omega t + \frac{2\pi}{3}\right)$» رد می‌شود چون با اینکه $x(0)=-\frac{A}{2}$ را برآورده می‌کند، سرعتِ آن در $t=0$ منفی است، نه مثبت. گزینهٔ «$x(t) = A \cos\left(\omega t - \frac{\pi}{3}\right)$» رد می‌شود چون در آن $x(0)=A\cos(-\pi/3)=+\frac{A}{2}$ است، نه $-\frac{A}{2}$. تلهٔ تستی این سؤال، وجودِ دو جوابِ ریاضیِ ممکن برایِ $\cos\varphi=-\frac{1}{2}$ (یعنی $\pm\frac{2\pi}{3}$) است که فقط یکی از آن‌ها با شرطِ علامتِ سرعت سازگار است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$2.4$» درست است. نوسان‌گر از نقطهٔ تعادل با معادلهٔ $x(t)=A\sin(\omega t)$ شروع می‌شود. شرطِ $x=\frac{A}{2}$ می‌دهد $\sin(\omega t)=\frac{1}{2}$ که اولین جواب $\omega t=\frac{\pi}{6}$ است. با $t=0.2\,\text{s}$: $\omega=\frac{\pi/6}{0.2}=\frac{\pi}{1.2}\,\text{rad/s}$، پس $T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\times\frac{1.2}{\pi}=2.4\,\text{s}$. گزینهٔ «$1.2$» رد می‌شود چون نیمِ دورهٔ تناوبِ درست است، نه خودِ دوره. گزینهٔ «$0.8$» رد می‌شود چون با فرضِ نادرستِ $T=4\times0.2\,\text{s}$ به دست می‌آید. گزینهٔ «$0.6$» رد می‌شود چون با فرضِ نادرستِ $T=3\times0.2\,\text{s}$ به دست می‌آید. تلهٔ تستی این سؤال، حلِ درستِ معادلهٔ $\sin(\omega t)=\frac{1}{2}$ برایِ نخستین‌بار (یعنی $\omega t=\frac{\pi}{6}$، نه زاویه‌هایِ دیگر) است؛ اشتباه در این زاویه مستقیماً $T$ را غلط می‌کند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**الف) چرا «$\frac{\sqrt{2}}{2} A \omega$» درست است:** شرطِ $K=U$ یعنی $x=A/\sqrt2$. تندی: $v=\omega\sqrt{A^2-x^2}=\omega\sqrt{A^2-A^2/2}=\omega\dfrac{A}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}A\omega$. **ب) رد گزینه‌های غلط:** - «$\frac{\sqrt{3}}{2} A \omega$»: این مقدار متناظرِ $K=3U$ (نه $K=U$) است. - «$\frac{1}{2} A \omega$»: این عدد از محاسبهٔ نادرستِ $\sqrt{A^2-x^2}$ (بدونِ جذرِ صحیح) به دست می‌آید. - «$\frac{1}{4} A \omega$»: این عدد با هیچ‌کدام از نسبت‌های استانداردِ این خانواده سازگار نیست. **ج) تلهٔ تستی:** برایِ $K=U$ (تساویِ کامل)، همیشه $x=A/\sqrt2$ و $v=A\omega/\sqrt2$؛ این یکی از پرکاربردترین حالت‌های خاصِ SHM است و باید حفظ شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**الف) چرا «$x = \pm\frac{A}{\sqrt{3}}$» درست است:** «$K/U=2$» یعنی $K=2U$، پس $K+U=3U=E$، یعنی $U/E=1/3$. چون $U/E=(x/A)^2$: $x/A=1/\sqrt3$. **ب) رد گزینه‌های غلط:** - «$x = \pm\frac{A}{\sqrt{2}}$»: این مقدار متناظرِ $K=U$ (نه $K=2U$) است. - «$x = \pm\frac{A}{\sqrt{6}}$»: این عدد از یک خطایِ محاسباتی در ترکیبِ ضرایب ناشی می‌شود. - «$x = \pm A\sqrt{\frac{2}{3}}$»: این مقدار متناظرِ $U/E=2/3$ (یعنی $U=2K$، **معکوسِ** شرطِ این سؤال) است. **ج) تلهٔ تستی:** «$K/U=2$» به‌معنایِ $U/E=1/3$ است، نه $2/3$؛ خلطِ جهتِ نسبت رایج‌ترین خطای این سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$40\,\text{dB}$» درست است. شدتِ صوت با عکسِ مجذورِ فاصله تغییر می‌کند: $\frac{I_2}{I_1}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2=\left(\frac{2}{20}\right)^2=\frac{1}{100}$. تغییرِ تراز: $\Delta\beta=10\log\left(\frac{1}{100}\right)=-20\,\text{dB}$، پس $\beta_2=60-20=40\,\text{dB}$. گزینهٔ «$60\,\text{dB}$» رد می‌شود چون فرض می‌کند تراز با تغییرِ فاصله ثابت می‌ماند. گزینهٔ «$50\,\text{dB}$» رد می‌شود چون از کاهشِ نادرستِ فقط $10\,\text{dB}$ (نیمِ مقدارِ درست) حاصل می‌شود. گزینهٔ «$55\,\text{dB}$» رد می‌شود چون از محاسبهٔ ناقصِ لگاریتمِ نسبتِ فاصله‌ها به دست می‌آید. تلهٔ تستی این سؤال، به‌کاربردنِ ضریبِ $20$ (نه $10$) در $\Delta\beta=20\log(r_1/r_2)$ است، چون شدت با توانِ دومِ فاصله نسبتِ معکوس دارد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$\frac{1}{4}$» درست است. انرژیِ مکانیکیِ کلِ نوسان‌گرِ هماهنگِ ساده $E=\frac{1}{2}kA^2$ است که تنها به ثابتِ فنر $k$ و دامنه $A$ بستگی دارد، نه به جرم (ثابتِ فنر ویژگیِ خودِ فنر است و با تغییرِ جرمِ آویزان‌شده تغییر نمی‌کند). با ثابت‌ماندنِ $k$ و کاهشِ دامنه به $A'=\frac{A}{2}$: $E'=\frac{1}{2}k\left(\frac{A}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{4}E$. گزینهٔ «$1$» رد می‌شود چون فرض می‌کند انرژی به هیچ‌کدام از تغییراتِ جرم یا دامنه واکنش نشان نمی‌دهد، در حالی‌که کاهشِ دامنه انرژی را کاهش می‌دهد. گزینهٔ «$2$» رد می‌شود چون جهتِ تغییر را برعکس گرفته است؛ کاهشِ دامنه باید انرژی را کاهش دهد، نه افزایش. گزینهٔ «$\frac{1}{2}$» رد می‌شود چون نسبتِ دامنه ($\frac{1}{2}$) را بدونِ به‌توان‌دو رساندن مستقیماً به‌عنوانِ نسبتِ انرژی در نظر گرفته است. تلهٔ تستی این سؤال، دادنِ اطلاعاتِ «۴ برابر شدنِ جرم» است که چون ثابتِ فنر مستقل از جرم است، در محاسبهٔ انرژی هیچ نقشی ندارد و صرفاً برایِ گمراه‌کردنِ دانش‌آموز به سمتِ رابطهٔ نادرستِ $k=m\omega^2$ (که در آن $\omega$ را ثابت فرض می‌کند) آمده است.