04_برهم کنش های موج (علوم ریاضی)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$\lambda = 600\,\text{nm}$ و $\lambda = 400\,\text{nm}$» درست است. گام ۱ — شرط نوار روشن در آزمایش یانگ: $y = m\lambda L/d$، پس $\lambda = \dfrac{y\,d}{m\,L}$. گام ۲ — جای‌گذاری: $\dfrac{y\,d}{L} = \dfrac{(4.8\times10^{-3})(0.50\times10^{-3})}{2.0} = 1.2\times10^{-6}\,\text{m}$، بنابراین $\lambda = \dfrac{1200}{m}\,\text{nm}$. گام ۳ — مرتبه‌ها: $m=1\Rightarrow 1200\,\text{nm}$ (فروسرخ، نامرئی)، $m=2\Rightarrow 600\,\text{nm}$ ✔، $m=3\Rightarrow 400\,\text{nm}$ ✔، $m=4\Rightarrow 300\,\text{nm}$ (فرابنفش، نامرئی). وارسی مستقل (از سمت طول موج): برای $\lambda=480\,\text{nm}$ داریم $m = 1200/480 = 2.5$؛ عددِ نیم‌صحیح یعنی آن نقطه برای بنفش‑آبیِ ۴۸۰ دقیقاً نوار تاریک است، نه روشن. ردِ سایر گزینه‌ها: گزینهٔ «۶۰۰ و ۴۸۰» و گزینهٔ «۴۰۰ و ۴۸۰» هر دو $480\,\text{nm}$ را روشن فرض کرده‌اند در حالی که $m=2.5$ برای آن نوار تاریک می‌دهد؛ گزینهٔ «۴۸۰ تنها» علاوه بر همین خطا، دو طول موجِ واقعاً روشن ($600$ و $400$) را هم کنار گذاشته است. تلهٔ تستی: برای هر طول موج باید $m$ را جداگانه حساب کرد و فقط طول موج‌هایی که $m$ صحیح می‌دهند در آن نقطه نوار روشن می‌سازند؛ عددِ نیم‌صحیح نشانهٔ نوار تاریک است نه روشن.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$\frac{v}{4L} \times \frac{2\pi}{v} \sqrt{\frac{V L_{eff}}{A}}$» درست است. گام ۱ — لولهٔ یک‌سر بسته: $f_{tube} = \dfrac{v}{4L}$. گام ۲ — تشدیدگر هلمهولتز: $f_{helm} = \dfrac{v}{2\pi}\sqrt{\dfrac{A}{V L_{eff}}}$. گام ۳ — نسبت: $\dfrac{f_{tube}}{f_{helm}} = \dfrac{v}{4L} \times \dfrac{2\pi}{v} \times \sqrt{\dfrac{V L_{eff}}{A}} = \dfrac{\pi}{2L}\sqrt{\dfrac{V L_{eff}}{A}}$. وارسی مستقل (تحلیل ابعادی): $\sqrt{V L_{eff}/A}$ بُعدِ طول دارد و بر $L$ تقسیم می‌شود، پس نسبت بی‌بعد است — همان‌طور که باید باشد. اگر جذر وارونه نوشته شود، $\sqrt{A/(V L_{eff})}$ بُعدِ یک بر طول دارد و نسبت بُعدِ $1/L^2$ می‌گیرد که برای نسبتِ دو بسامد ناممکن است. ردِ سایر گزینه‌ها: گزینهٔ اول ضریبِ $2\pi$ را $\pi$ گرفته است (نصفِ مقدار درست). گزینهٔ دوم از $f=\frac{v}{2L}$ یعنی فرمولِ لولهٔ دوسرباز استفاده کرده، در حالی که لوله یک‌سر بسته است. گزینهٔ چهارم جذر را وارونه نوشته و همان ایرادِ ابعادیِ بالا را دارد. تلهٔ تستی: هنگام تقسیم بر یک کسر، هم باید کسر وارونه شود و هم رادیکالِ داخل آن؛ وارونه‌نکردنِ رادیکال رایج‌ترین خطای این نوع نسبت‌گیری است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه «همه نور بازتاب می‌شود و زاویه بازتاب با زاویه تابش برابر است.» درست است چون وقتی زاویه تابش از زاویه حد بزرگ‌تر باشد و $n_1 > n_2$، بازتاب داخلی کامل رخ می‌دهد و قانون بازتاب $\theta_i = \theta_r$ همچنان برقرار است. سایر گزینه‌ها غلطند چون در بازتاب داخلی کامل نوری شکسته نمی‌شود و قانون بازتاب همیشه برقرار است. تلهٔ تستی: در بازتاب داخلی کامل، قانون بازتاب ($\theta_i=\theta_r$) هرگز نقض نمی‌شود؛ تنها تفاوت با بازتاب معمولی این است که هیچ نوری وارد محیط دوم نمی‌شود، نه اینکه قانون بازتاب تغییر کند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «فقط سبز ($\lambda \approx 500\,\text{nm}$)» درست است. گام ۱ — شرط نوار تاریک: $d\sin\theta = (m+\tfrac12)\lambda$ و برای زوایای کوچک $\sin\theta \approx y/L$. گام ۲ — پس $\lambda = \dfrac{d\,y}{L\,(m+\frac12)} = \dfrac{(0.50\times10^{-3})(3.0\times10^{-3})}{2.0\,(m+\frac12)} = \dfrac{750}{m+\frac12}\,\text{nm}$. گام ۳ — بررسی مرتبه‌ها: $m=0 \Rightarrow 1500\,\text{nm}$ (فروسرخ، خارج از بازهٔ مرئی)، $m=1 \Rightarrow 500\,\text{nm}$ (سبز، درونِ بازه ✔)، $m=2 \Rightarrow 300\,\text{nm}$ (فرابنفش)، $m=3 \Rightarrow 214\,\text{nm}$ (فرابنفش). وارسی مستقل: برای $\lambda=700\,\text{nm}$ (قرمز) داریم $m+\frac12 = 750/700 = 1.07$ یعنی $m=0.57$ که عددِ صحیح نیست؛ پس قرمز در این نقطه ویرانگرِ کامل نمی‌شود. ردِ سایر گزینه‌ها: «فقط بنفش ۴۰۰» نادرست است چون $750/400 = 1.875$ عددِ $m+\frac12$ صحیح نمی‌دهد. «فقط قرمز ۷۰۰» طبق وارسیِ بالا رد می‌شود. «هر دو سبز و قرمز» چون قرمز شرط را برآورده نمی‌کند نادرست است. تلهٔ تستی: همهٔ مقادیرِ ممکنِ $m$ باید بررسی و طول موجِ متناظر با بازهٔ مرئی سنجیده شود؛ ضمناً $1500\,\text{nm}$ فروسرخ است نه فرابنفش — سمتِ بلندِ طیف با سمتِ کوتاه اشتباه گرفته نشود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«λ افزایش می‌یابد و θ₂ ≈ 53.5°» درست است. با کاهش ضریب شکست از n₁ به n₂، تندی نور افزایش و در نتیجه طول موج افزایش می‌یابد (λ_n = λ₀/n). طبق قانون اسنل: n₁ sinθ₁ = n₂ sinθ₂ ⇒ sinθ₂ = (1.50 × sin40°)/1.20 ≈ 0.8035 ⇒ θ₂ ≈ 53.5°. بنابراین زاویه شکست از زاویه تابش بزرگ‌تر است و موج از خط عمود دور می‌شود. تلهٔ تستی: وقتی نور به محیط رقیق‌تر (ضریب شکست کمتر) وارد می‌شود، هم طول موج و هم زاویهٔ شکست (نسبت به تابش) افزایش می‌یابند؛ این دو تغییر هم‌جهت‌اند و نباید یکی افزایشی و دیگری کاهشی فرض شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«نوار روشن مرتبه $m = 5$» درست است. ابتدا طول موج را از $\lambda = c/f = 6.0 \times 10^{-7}\,\text{m}$ می‌یابیم. با استفاده از $y_m = m \lambda L / d$ و قرار دادن مقادیر، $0.015 = m \times (6.0 \times 10^{-7}) \times 1.0 / (2.0 \times 10^{-4})$، داریم $m = 5$. مرتبهٔ $m=5$ بدست می‌آید نه ۲، ۳ یا ۴. تلهٔ تستی: باید معادلهٔ $y_m=m\lambda L/d$ برای $m$ حل و نتیجه با دقت محاسبه شود؛ حدس‌زدن مرتبه بدون جای‌گذاری دقیق اعداد، منبع اصلی خطاست.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«f1' = 660 Hz» درست است. بسامد اصلی تار f1 = 1/(2L) * sqrt(F/μ) است. طول جدید L' = 0.8L و کشش جدید F' = 1.44F است. بنابراین f1' = 1/(2×0.8L) × sqrt(1.44F/μ) = (1/0.8) × sqrt(1.44) × f1 = 1.25 × 1.2 × 440 = 1.5 × 440 = 660 Hz. سایر گزینه‌ها نادرستند. تلهٔ تستی: وقتی طول و کشش هر دو هم‌زمان تغییر می‌کنند، باید اثر هرکدام را جداگانه در فرمول $f_1=\frac{1}{2L}\sqrt{F/\mu}$ اعمال کرد (یکی در مخرج به‌صورت خطی، دیگری زیر رادیکال) و در پایان ضرب کرد؛ ترکیب زودهنگام دو تغییر می‌تواند به خطای ضریب بینجامد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$n > 1$ و $\theta < \theta_c$» درست است. گام ۱ — قانون اسنل در مرزِ محیط و هوا: $n\sin\theta = 1\cdot\sin\phi$، پس $n = \dfrac{\sin\phi}{\sin\theta}$. گام ۲ — چون $\phi > \theta$ و هر دو زاویه در بازهٔ $0$ تا $90^\circ$ هستند، $\sin\phi > \sin\theta$ و در نتیجه $n > 1$؛ یعنی نور از محیطِ چگال‌تر به هوا رفته و از خط عمود دور شده است. گام ۳ — وجودِ پرتوِ شکسته با زاویهٔ $\phi$ به این معناست که بازتاب کلی رخ نداده، و شرطِ آن دقیقاً $\theta < \theta_c$ است که در آن $\sin\theta_c = 1/n$. وارسی مستقل با عدد: اگر $n=1.5$ و $\theta=30^\circ$ باشد، $\sin\phi = 1.5\times0.5 = 0.75 \Rightarrow \phi = 48.6^\circ > \theta$ ✔، و $\theta_c = \arcsin(1/1.5) = 41.8^\circ$ که از $30^\circ$ بزرگ‌تر است ✔. ردِ سایر گزینه‌ها: دو گزینهٔ دارای $n<1$ رد می‌شوند، چون با $n<1$ رابطهٔ بالا $\phi < \theta$ می‌دهد که خلافِ فرضِ مسئله است. گزینهٔ «$n>1$ و $\theta>\theta_c$» رد می‌شود چون در آن حالت بازتاب کلی رخ می‌دهد و اصلاً پرتوِ شکسته‌ای با زاویهٔ $\phi$ وجود نخواهد داشت. تلهٔ تستی: صرفِ وجودِ زاویهٔ شکست در صورتِ مسئله ثابت می‌کند بازتاب داخلی کامل رخ نداده است؛ این نکته را باید پیش از هر محاسبه‌ای به کار برد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

عبارت «ممکن است افزایش یا کاهش یابد، بسته به مقادیر عددی $\Delta L$ و $\Delta \lambda$.» درست است چون $\Delta y = \lambda L / d$، و تغییر آن به طور هم‌زمان به افزایش نسبی $L$ و کاهش نسبی $\lambda$ بستگی دارد. سایر گزینه‌ها به اشتباه رابطه را خطی و تک‌بعدی فرض کرده‌اند. تلهٔ تستی: وقتی دو کمیت مؤثر (اینجا $L$ و $\lambda$) در جهت‌های مخالف تغییر می‌کنند، نتیجهٔ خالص بدون دانستن مقادیر عددی دقیق، قابل‌پیش‌بینی نیست؛ نباید فرض کرد یکی همیشه بر دیگری غالب است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه «$\theta_2 = \sin^{-1}\left(\frac{v_2}{v_1} \sin \theta_1\right)$» درست است زیرا قانون شکست عمومی $\frac{\sin \theta_2}{\sin \theta_1} = \frac{v_2}{v_1}$ را مستقیماً برای $\theta_2$ حل می‌کند. گزینهٔ «$\theta_2 = \theta_1 \times \frac{v_2}{v_1}$» اشتباه است چون تابع $\sin$ را نادیده گرفته و با خودِ زاویه (نه سینوس آن) کار کرده است. گزینهٔ «$\theta_2 = \sin^{-1}\left(\frac{v_1}{v_2} \sin \theta_1\right)$» نسبت $v_2/v_1$ را وارونه به‌کار برده است. گزینهٔ «$\theta_2 = \cos^{-1}\left(\frac{v_2}{v_1} \cos \theta_1\right)$» به‌اشتباه از تابع کسینوس به‌جای سینوس استفاده کرده است. تلهٔ تستی: قانون شکست عمومی همیشه با نسبتِ *سینوس* زاویه‌ها (نه خودِ زاویه‌ها و نه کسینوس آن‌ها) بیان می‌شود؛ برای حل صریح $\theta_2$، باید دقیقاً تابع $\sin^{-1}$ روی طرف راست معادله اعمال شود.